四川省绵阳市高中学阶段学校2022-2023学年九年级数学第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如果，那么代数式的值是（）.A．2 B． C． D．2．一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（）A． B． C． D．3．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（

）A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里4．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（）A．的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G，下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE＝S△CEF，其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④6．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜47．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长尺.同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺A． B． C． D．8．如图，点，在双曲线上，且．若的面积为，则（）．A．7 B． C． D．9．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()A．54° B．27° C．36° D．46°10．cos60°的值等于（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点A'处，若AO＝OB＝2，则图中阴影部分面积为_____．13．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=．以A为圆心，AD的长为半径做弧交BC边于点E，则图中的弧长是_______.14．如图，边长为4的正六边形内接于，则的内接正三角形的边长为______________.15．如图在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，为的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，则阴影部分的面积为________．16．抛物线经过点,则这条抛物线的对称轴是直线__________．17．如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是_____．18．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是_______．三、解答题(共66分)19．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求∠ADE的度数；（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，试问∠ADE的度数是否发生变化？如果不变化，请给出理由；如果变化了，请求出∠ADE的度数；（3）在（2）的条件下，若AB=6，求CF的最大值．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一动点，抛物线(是常数，且过点，与轴交于两点，点在点左侧，连接，以为边做等边三角形，点与点在直线两侧．（1）求B、C的坐标；（2）当轴时，求抛物线的函数表达式；（3）①求动点所成的图像的函数表达式；②连接，求的最小值．21．（6分）如图1,在矩形ABCD中AB=4,BC=8,点E、F是BC、AD上的点，且BE=DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形.(2)如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长.(3)如图2,在(2)的条件下，取AB、CD的中点G、H,连接DG、BH,DG分别交AE、CF于点M、Q,BH分别交AE、CF于点N、P,求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积。22．（8分）如图，在中，，是绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．求旋转角的大小；若，，求BE的长．23．（8分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据，，）24．（8分）某商场以每件20元购进一批衬衫，若以每件40元出售，则每天可售出60件，经调查发现，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，若设每件衬衫涨价元，回答下列问题：（1）该商场每天售出衬衫件（用含的代数式表示）；（2）求的值为多少时，商场平均每天获利1050元？（3）该商场平均每天获利（填“能”或“不能”）达到1250元？25．（10分）某校组织了主题为“我是青奥志愿者”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按，，，四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求一共抽取了多少份作品？（2）此次抽取的作品中等级为的作品有份，并补全条形统计图；（3）扇形统计图中等级为的扇形圆心角的度数为；（4）若该校共征集到800份作品，请估计等级为的作品约有多少份？26．（10分）如图，在某广场上空飘着一只气球P，A、B是地面上相距90米的两点，它们分别在气球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45°，仰角∠PBA=30°，求气球P的高度（精确到0.1米）．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】（a－）·=·=·=a+b=2.故选A.2、B【分析】先由三视图得出圆柱的底面直径和高，然后根据圆柱的体积=底面积×高计算即可.【详解】解：由三视图可知圆柱的底面直径为，高为，底面半径为，，故选B．【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.3、B【解析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE=

x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2

x+2x=30，解之即可得出答案.【详解】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，

∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，

∴∠ABC=135°，

又∵BE=CE，

∴∠ACB=∠EBC=15°，

∴∠ABE=120°，

又∵∠CAB=30°

∴BA=BE，AD=DE，

设BD=x，

在Rt△ABD中，

∴AD=DE=

x，AB=BE=CE=2x，

∴AC=AD+DE+EC=2

x+2x=30，

∴x=

=

≈5.49，

故答案选：B.【点睛】考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.4、C【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：二次函数，，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；故选项D的说法正确，故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、C【解析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，②设BC=a，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形，④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【详解】①四边形ABCD是正方形，∴AB═AD，∠B=∠D=90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF∵BC=CD，∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故①正确）．②设BC=a，CE=y，∴BE+DF=2（a-y）EF=y，∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−）a时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠BAE=15°，∴∠EAF=90°-2×15°=60°，又∵AE=AF∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：(x+y)2+y2＝(x)2∴x2=2y（x+y）∵S△CEF=x2，S△ABE=y(x+y)，∴S△ABE=S△CEF．（故④正确）．综上所述，正确的有①③④，故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．6、C【解析】根据判别式的意义得△=12﹣1k≥0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△=12﹣1k≥0，解得k≤1．故选C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣1ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．7、B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】设竹竿的长度为x尺，∵太阳光为平行光，∴，解得x＝45（尺）．．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．8、A【分析】过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为点C，点D，根据待定系数法求出k的值，设点，利用△AOB的面积=梯形ACDB的面积+△AOC的面积-△BOD的面积=梯形ACDB的面积进行求解即可．【详解】如图所示，过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为点C，点D，由题意知，，设点，∴△AOB的面积=梯形ACDB的面积+△AOC的面积-△BOD的面积=梯形ACDB的面积，∴，解得，或（舍去），经检验，是方程的解，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的表达式，反比例函数系数k的几何意义，用点A的坐标表示出△AOB的面积是解题的关键．9、C【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】解：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝54°，∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，∴∠ACB＝∠AOB＝36°．故答案为C．【点睛】本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.10、A【解析】试题分析：因为cos60°=，所以选：A．考点：特殊角的三角比值．二、填空题(每小题3分,共24分)11、30°【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD减去∠AOB即可.【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°.故答案为30°.12、．【分析】根据等腰三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得BA′＝AB，然后求出∠OA′B＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，再根据S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2OA＝2OB＝4，BC＝2，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′＝AB，∴BA′＝2OB，∴∠OA′B＝30°，∴∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查了阴影部分面积的问题，掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解题的关键．13、π【分析】根据题意可得AD=AE=，则可以求出sin∠AEB，可以判断出可判断出∠AEB=45°，进一步求解∠DAE=∠AEB=45°，代入弧长得到计算公式可得出弧DE的长度．【详解】解：∵AD半径画弧交BC边于点E，AD=

∴AD=AE=，

又∵AB=1，

∴∴∠AEB=45°，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DAE=∠AEB=45°，

故可得弧DC的长度为==π，

故答案为：π．【点睛】此题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是求出∠DAE的度数，要求我们熟练掌握弧长的计算公式及解直角三角形的知识．14、【分析】解：如图，连接OA、OB，易得△AOB是等边三角形，从而可得OA=AB=4，再过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，然后解直角△AOM求得AM的长，进而可得答案.【详解】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，在直角△AOM中，，∴AE=2AM=.故答案为：.【点睛】本题考查了正多边形和圆，作辅助线构造直角三角形、利用解直角三角形的知识求解是解题关键.15、【分析】过D作DM⊥AB，根据计算即得．【详解】过D作DM⊥AB，如下图：∵为的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点∴AD=ED=CD∴，∵∴∴∵在中，∴∵∴∴∴，，∴，，∴故答案为：【点睛】本题考查了求解不规则图形的面积，解题关键是通过容斥原理将不规则图形转化为规则图形．16、【分析】根据抛物线的轴对称性，即可得到答案．【详解】∵抛物线经过点，且点，点关于直线x=1对称，∴这条抛物线的对称轴是：直线x=1．故答案是：．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握抛物线的轴对称性，是解题的关键．17、2【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（1，1），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=1．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+1）×1=2，从而得出S△AOB=2．【详解】解：∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，

∴当x=1时，y=1，即A（1，1），

当x=4时，y=1，即B（4，1）．

如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=×4=1．

∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，

∴S△AOB=S梯形ABDC，

∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+1）×1=2，

∴S△AOB=2．

故答案是：2．【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．18、15个．【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解：由题意可得，，解得，a=15（个）．三、解答题(共66分)19、（1）∠ADE=30°；（2）∠ADE=30°，理由见解析；（3）【分析】（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AD=AE，∠CAE=∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；（2）同（1）的证明方法相同；（3）证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．【详解】解：（1）∠ADE=30°．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵∠ACM=∠ACB，∴∠ACM=∠ABC，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠CAE=∠BAD，∴∠DAE=∠BAC=120°，∴∠ADE=30°；（2）（1）中的结论成立，证明：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°．∵∠ACM=∠ACB，∴∠B=∠ACM=30°．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°．即∠DAE=120°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=30°；（3）∵AB=AC，AB=6，∴AC=6，∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴，∴AD2=AF•AC，∴AD2=6AF，∴AF=，∴当AD最短时，AF最短、CF最长，易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD=AB=3，∴AF最短===，∴CF最长=AC－AF最短=6－=．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20、（1）、；（2）；（3）①；②．【分析】（1），令，则或4，即可求解；（2）当轴时，则，则，故点，即可求解；（3）构造一线三垂直相似模型由，则，解得：，，故点，，即可求解．【详解】解：（1）当时，即，解得或4，故点、的坐标分别为：、；（2）∵等边三角形，∴，∴当轴时，，∴，故点，即，解得：，故抛物线的表达式为：；（3）①如图，过点作于点，过点作轴的垂线于点，过点作轴交轴于点交于点，为等边三角形，∴点为的中点，，∴点，，，，，，，其中，，解得：，，故点，，即动点所成的图像的函数满足，∴动点所成的图像的函数表达式为：．②由①得点，，∴，故当时，的最小值为，即的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，其中（3）构造一线三直角模型，用三角形相似的方法求解点的坐标，是本题的难点．21、（1）见解析；（2）菱形AECF的边长为5；（3）距离为，面积为【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，又BE=DF，所以AF∥EC，AF=EC，从而可得四边形AECF为平行四边形；（2）设菱形AECF的边长为x，依据菱形的性质可得AE=EC=x，BE=8－x，在Rt△ABE中运用勾股定理可求解；（3）先由中位线的性质得出CH=2，OH=1.5，再证明△PQH∽△PCB，根据相似三角形的性质得出h的w的值，再求出四边形MNPQ的面积即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE=DF，∴AD∥BC，AD=BC，∴AF∥EC，AF=EC，∴四边形AECF为平行四边形.（2）解：设菱形AECF的边长为x，∵四边形AECF为菱形，AB=4，BC=8，∴AE=EC=x，BE=8－x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2即x2=42+（8－x）2，解得x=5，∴菱形AECF的边长为5.（3）连接GH交FC于点O，设点P到BC的距离为h，∵G、H分别为AB、CD的中点，∴OH是△CDF的中位线，CH=2，∴△POH∽△PCB，∵DF=8－5=3，∴QH=1.5，∴，解得h=，由P到BC的距离可得N到BC的距离为，四边形NECP的面积为，菱形面积为5×4=20；∴四边形MNPQ面积为=菱形AECF的面积-四边形NECP的面积×2=20-×2=【点睛】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握对应关系是解此题的关键．22、（1）90°；（2）1．【分析】（1）根据题意∠ACE即为旋转角，只需求出∠ACE的度数即可．

（2）根据勾股定理可求出BC，由旋转的性质可知CE=CA=8，从而可求出BE的长度．【详解】解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE=90°，即旋转角为90°，（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=8，∴BC==6，∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，∴CE=CA=8，∴BE=BC+CE=6+8=123、GH的长为10m【分析】首先构造直角三角形，设