微积分试题卷（一）

答案在文档末

(习题一)

一、判断题

1、若函数/(x)在点无=不处有定义，则limf(x)存在；()

2、无一＞0时，sin2x与2x是等价无穷小量；()

3、设/(0)=0,函数“X)可导，则1而丛»=7'(0)；()

X

4、函数的极值点一定是函数的驻点；()

5、若在(〃/)内恒有/'(x)=g'(x),则在(4/)内/(x)=g(x)+c;()

6、Inx与ln|x|是同一函数的原函数;

()

8、2cosxdx=212cosxdx；()

nJ0

"2

二、填空题

(2Y

1、极限lim1+-=_______________

X)

2、已知/(〃)为可导函数，设y=/(Inx),则y；=

Y

3、曲线的垂直渐近线为.

x—3

「2力

4、5、lim———

3x

6、dx=

三、单选题

1、下列极限计算中不正确的是（）;

1

A

A.lim（x+l）=4B.lim----=1C.lim2=+ooD.lim10"-2=QO

XT3-0x+l10+x->2~

2、下列函数中在区间上满足罗尔定理三个条件的是（）；

A.y=B.y=x2C.y=—D.y=x3

x

3、函数曲线y=e"-6一"在定义域（一8,+8）内（）；

A.有极值有拐点B.有极值无拐点C.无极值有拐点D.无极值无拐点

4、下列计算中不正确的是（）；

A.j12比¥=3B.L半^=2C.j\sinxdx=0D.「%n2

兀X

5、由曲线y=》2与直线y=2x所围平面图形的面积是（）.

24

A.—B.—C.2D.1

33

四、计算题

1、求极限lim”「sin'

a。xsinx

2、方程e*+y2-2x=5确定y是x的函数，求y'；

.1八

S]x(J

3、讨论/'(x)=<,?在x=0处的连续性和可导性;

0x=0

4、求不定积分JxlnWr

5、求定积分±公;

J。V2X+1

6、求曲线y=Y与直线y=0,x=2所围平面图形绕y轴旋转一周所成立体的体积.

五、应用题

Y

1、经营某种商品，设年销量为x万件，年固定成本为1万元，边际成本为C'(x)=4+士

4

(元/件)，边际收益R'(x)=8—x(元/件)。问销量x为多少时利润最大？此时的利

润为多少？

六、证明题

1dxr-dx,2

试证明:中士47「°)

(习题二)

一、判断题

1、若limf(x)存在，则函数/(x)在点x=Xo处有定义；()

Xf须

2>X—>0时，Jl+X—yJl—X与X是等价无穷小：()

3、变量y=姮当Xf4W时是无穷小量；()

4、函数/(x)在点与处可导，则/(x)在点玉1处连续；()

5、若y=ln"，"=f(x)可导，则乂='/(x)；

()

u

6、若在(a,。)内恒有_f(x)=O,则在(a⑼内/(x)=c；()

C+00_.

7、xe~xdx=1；()

Jo

8、J\sinxdx=2jsinxdx,()

~2'

二、填空题

1、极限lim」sin(x+l)=___________；2、lim—:+J—=____

-HOXx+o5r+x-1

3、若八%)=3,则1加/5+2/0一/(玉))=____________；

AfOh

4、/(x)=x2-2]nx的单调减少区间为；

farctantdt

5>Q(Je<sinxdx^=；6^lim—--------

三、单选题

—/7Y~一尤+2

1、已知极限lim-―-—--=b,贝ij常数a、b的值()；

x->lx-1

A.a——2,b=2B.a=2,b=—2

C.a=-2,b=—1D.a=2,b=—1

2、曲线y=xe-'的拐点是()

A.x=1B.x=2c.(1，1)D.(2,2/)

3、函数/(幻=,+耳不可导点的个数为();

A.0B.1C.2D.3

极限lim蚂U

4、);

XTO-Inx

A.+ooB.0C.1D.-1

5、函数=/-12x在区间［—3,3］上的最小值在点％=()处取得;

C.-2D.-3

2、方程x=yin（孙）确定y是x的函数，求y'；

.2'

sin4—

3、已知/(x)=e3求/'(x)；

4、求不定积分arctan

5、求定积分J。—%=dx；

6、求曲线y=/与直线y=0,x=l,x=2所围平面图形绕x轴旋转一周所成立体的体

积.

五、应用题

1、经营某种商品，设年销量为x万件，年固定成本为20万元，边际成本为C'(x)=10

X

(元/件)，边际收益R(x)=16-《(元/件)。问销量x为多少时利润最大？此时的价

格P为多少，收入为多少？

六、证明题

试证明：f1(1-x)n=f'(1-X)"'dx(加>0,〃>0)

(习题三)

一、判断题

1、函数#x)三o,则〃x)=c；()

2、若limg(x)=O且/(x)为有界函数，则lim/(x)g(x)=O；()

3、无穷小量的倒数是无穷大量；()

「sin2x2x2,、

4>lim—---=lim——=—；()

if乃sin3x乃3x3

5、_f(Xo)="(x。］'；()

6、若y=ln〃，"=/Xx)可导，则乂='/(x)；()

u

7、InW+c是函数/(x)=g的原函数；()

兀

8、J\sinxdx-0；()

二、填空题

.+n.mvInsinx

1、极限hm------=____________；

XTO*Inx

2、曲线y=xe-*的拐点是:

x2

3、曲线y=-的水平渐近线为_______________

1+x~r

5、函数y=x—Inx的单调增区间为

三、单选题

1、设函数f(x)=sin2,则lim〃X+例一7⑴=()

1

A2B0C-Doo

2

2、下列结论错误的是()

A、如果函数/(x)在点人处不连续，则/(x)在点X。处不可导；

B、如果函数/(x)在点/处连续，则/(x)在点/处可导；

C、如果函数/(x)在点与处可导，则/(x)在点/处连续；

D、如果函数“X)在点人处可导，则“X)在点与处可微；

3、下列极限存在的是()

x(x+l)1-

AlimBlim-----Clime，D

XTOO£Xf02,—Jx->0

X2+IVY4-77

4、已知极限lim~~竺』:5,则常数m、n的值(

Am=3,n=-4Bm=­3,〃=—4Cm=-3,n=4Dm=3,n=4

5、函数/(x)=x3—12x在区间［-3,3］上的最小值在点》=()处取得；

A2B3C-2D-3

四、计算题

1

1、求极限哂

x-1Inx

2、由方程f-y+siny=0所确定y是x的函数，求心;

dx

3、已知>=%疝”,求力；

4、求不定积分，工21nAz仪;

5、求定积分

6、求曲线y=J,x=2,y=0,所围平面图形绕x轴旋转一周所成立体的体积;

五、应用题

1、经营某种商品，设年销量为x万件，年固定成本为20万元，边际成本为C'(x)=20(元

/件)，边际收益R'(x)=30—gx(元/件)。问销量x为多少时利润最大？并求最大利

润。

六、证明题试证明：J"f(x)dx=J"[/(x)+/(-x)]tZx.

(习题四)

一、判断题

1、若lim，(x)存在，则y=/(x)在/处一定有定义；()

2

2>limex=0；()

.so+

3、零是常数，所以零不是无穷小量；()

4、若函数y=/(x)在点尤°不连续，则函数在/点一定不可导;()

5、若在(。力)内恒有f(x)=g'(x),则在(a,b)内/(x)=g(x)；()

6、ln(—x)是/(x)=-L的一个原函数;

()

X

7、函数的驻点一定是极值点；()

n三

2

8、j\cosxdx-21cosxdx.()

~2'

二、填空题

1、已知/(〃)为可导函数，设y=/(Inx),则乂=

2、曲线y=a的垂直渐近线为；

3、设/'(力存在，则［J/(力］'=；

［sintdt

rJ()

4A、lim----z——=________________；

・so2X~

p+<302

5、xe~xdx=_________________.

J0

三、单选题

1、下列极限计算中不正确的是();

「sinxi

r龙(2x+l)

Alim(x+l)=4Blim---=1clim—―~-=2Dlim-----=1

Xf-3XT。X+1XT8X2XBx

2、设〃x)=cosx,则lim'⑷―以^』()

''-0Ax

AsinaB-sin。c.cosaD--cosa

,E..3sinmx2

3、如果lim-------=—,则团二=()

i。2x3

2349

A-B-cD

3294

i0)

4、设y=3xV°,piijy=()

A0B1ce'°De

5、下列函数中在区间上满足罗尔定理三个条件的是（);

213

Ay=|x|By=xcy=-Dy=x

X

四、计算题

1、求极限limlanx

Dx-sinx

2、方程InQ?+/)=e*+y+5确定y是x的函数，求y'；

,、f2sinx,x>0

3、讨论/(x)=<在x=0处的连续性和可导性;

x,x<0

4、求不定积分

5、求定积分［।~dx；

J。^/^+T

6、计算抛物线V=2%与直线y=x—4所围城的图形的面积.

五、应用题

1、某厂生产某产品。（百台）的成本C（万元）的变化率。'（。）=2（设固定成本为

零），总收入R（万元）的变化率为产量。（百台）的函数尺'（。）=7—2。问销产量为

多少时利润最大？并求最大利润？

六、证明题

Y

证明：当x>0口寸<ln(l+x)<x

参考答案习题1

一、判断题

1—4XVVX5—8VVXV

二、填空题)

1X1

1.e12.—/"(Inx)3.x=34.———5.-6.71

xx+13

三、单选题

1.D2.B3.C4.A5.B

四、计算题

I2

1x-sinx「x-sinx「l-cosx-X

l.lim-------=lim-----—=lim-----——

*7。xsinxioxxf。3元一端F6

2.方程两边同时对尤求导数，得

e”+2y•了-2=0/.y，=-——

2y

3.lim/(x)=limxsin—=0=/(O),故/(x)在x=O处连续

x->0x—»Ox

.1c

r/、r/(wxsin—0

「(0)"lim*")―/⑼=lim———

=limsin一不存在,

XT°X-0X.3x

故/(x)在x=0处不可导

4jxdx~^\nxd\—1x2卜;/Inx-j^x2c/(lnx)

2

xdx^-x2\nx--x2+c

22J2：4

_____产_]

5,令/=J2x+1,x=-,-d-x-=tdt

2

4x+2.322

-7一:(lx—-P+3t=

0J2x+11T

6.匕=乃・22-4一万J。(4)办(5分)=8万

五、应用题

x

解：(1)成本函数。(%)=4工+7+1

1、

收入函数R(X)=8X-QY

5%2

利润函数L(x)=/?(%)-C(x)=-------+4x-l

8

L(x)=--x+4,令£(x)=0,得x=3.2

4

L(x)=--,L(3.2)=--<0,则L(x)在A=3.2处取得极大值

44

故当销量x=3.2万件时，才能获利润最大.

(2)最大利润为L(3.2)=5.4(万元)

六、证明题

证明：令t——,x——,dx———dt,

xtt

idx11J1

dx

Xl+%2=J；2力=J72

XX1+rl+x

参考答案习题2

一、判断题

1—4XVX5-8XVVX

二、填空题

3

1.02.-3.64.(0,1)5.exsinxdx6.

52

三、单选题

1.B2.D3.C4.C5.A

四、计算题

1

X、xlnx-x+1Inx

l.lim=lim----l-i-m---------=lim1■1

InxJ3(x-l)lnxzlx-l1xflII2

+lnxT+—

xxx

2.方程两边同时对x求导数，得

1二y'In(盯)+y—(y+xy')

孙x(lnx+lny+1)

,sin2l(.1Asin2l1(1、

3./(x)=e*sin~—=e*・2sin—sin一

kx)X,

疝2,c.11<1Y1Sin2*.2

=ex-2sin—cos——=——-ex-sin-

x八xJxx

1-12If0、121fX2

4Jxarctanxdx=^arctanxd—x=­x-arctanx——xa(arctanx)=—arctan%——-----

2J22J22」l+x

i、i(iLi，i，\

=­x-arctanx——1---------=—x-arctarir——(x-arctanx)+c

22Jtl+x2J272')

5.令f=Vx,x=f,dx-3『dt

「一!^^=「一^-S『力=3「'一1+-^-］力=3(，/-r+ln(l+t)］2=3m3

Joi+aJor+1J。1r+D(2JO

6.匕=乃］(x2)力;(5分)=微■乃

五、应用题

解：

(1)成本函数C(x)=20+10x

x

收入函数7?(x)=16x--

X2

利润函数L(x)=R(x)-C(x)=+6x-20

L(x)=-『+6,令L(x)=0,得x=30

(x)=-g,力(30)=-(<0,则〃x)在x=30处取得极大值

故当销量x=30万件时，才能获利润最大.

r3()

(2)定价p=16——=16——=13(元/件)

1010

利润最大时的产品定价为13元/件

302

利润最大时的收入为R(30)=16x30--=390(万元)

六、证明题(6分)

证明：^-t=\-x,x-\-t,dx--dt,当x=0时,，=l,x=l时，t=0

J；xw(l-x)ndx=^(\-t)n,x"(-狗=J；Z(l-x)"'dx

参考答案习题3

一、判断题

1—4VVXX5-8XXVV

二、填空题

1.12.(2,2e<)3.y=x-164.y=3x2e~xi-2xe~x"5.x+y>0

三、单选题

1.B2.B3.A4.A5.A

四、计算题

I2sinx

...x-2sinx..l-2cosx..尤八、

1.lim-------------=hm-------------=hm-------A—(6分)=]t

xex+sinxx->81+cosxas]।smx

x

2.方程两边同时对％求导数，得

y，=1,y“=——2、

1-COSy-(1-cosj)3

3.方程两边取对数求导数，得

，(.sinx],C.sinxV

y=ylcosxlnx+------I,ay=y\cosxlnx+-------\dx

4、1Inxdx=—%3Inx-x3dx=—finx--^1+c

J3Jx33V3)

解：令五=t,x=『，则

五、应用题

解：

成本函数C(x