北师版初中九年级下册数学教案 第一章 直角三角形的边角关系

九年级数学•下新课标［北师］

第一章直角三角形的边角关系

本/章/整/体/说/课

G教学目标

知识与技能

1.经历探索直角三角形中边角之间关系，以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程，发展观察、分

析、发现问题的能力.

2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.

3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.

4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.

5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.

6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.

7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.

过程与方法

1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.

2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.

3.通过探索学习，使学生经历“观察一一分析一一发现一一运用”的过程,掌握直角三角形边角之间

的关系,进一步体会数形之间的联系.

1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究，进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.

2.能够运用锐角三角函数解直角三角形，进•步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.

«教材分析

本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时

也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中

应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们

常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边

和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系

（边和角之间的关系），把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过

学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体

会数形结合的方法.

&教学重难点

【重点】

1.三角函数及其有关的概念.

2.特殊角的三角函数值的探究及应用.

3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.

4.能够用锐角三角函数解直角三角形.

1

5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.

【难点】

1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.

2.解决与直角三角形有关的实际问题.

3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.

教学建议

1.注重问题情境的创设.

在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境，激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与

现实世界的联系.如通过梯子的情境问题，引出第一个三角函数一一正切.对于这个问题，学生比较熟悉,而

且属于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入，使学

生较快进入30°,45。，60。角的三角函数值的探索.

2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.

引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利

用相似的直角三角形，如何获得正切的概念?如何建立直角三角形中角和边之间的关系?如何类比正切的概

念获得正弦和余弦的概念？

3.重视渗透数学思想方法，促进学生思维水平的提高.

教学中应注重渗透数形结合的思想方法，引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.

在形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探

索对边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时，可以类比正切概

念获得的过程，从数学的角度直接引入.这样可以使学生从己学知识进行联想，加深对概念的理解，提升学

生的思想水平.在解直角三角形的过程中，要让学生体会计算过程所依据的算理，以及如何根据已知条件去

探求结论的思考过程.

4.关注问题解决的教学过程.

对于实际问题，首先要引导学生弄清实际问题的意义，然后逐步把实际问题转化为数学问题，帮助学生

形成模型思想.另外，教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”：一是对一些术语（如仰角、俯角、

坡度、零部件截面图等）进行说明；二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都耍提供一定的帮助与

支持.

5.精心设计实践活动的教学流程.

对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活

动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必

要的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在

活动期间，教师应在现场观察、指导各组的活动，同时应做必要的记录.

6.根据《标准》要求，把握好三角函数的定位.

教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角/的正弦、余弦和正切都是N4的三角函

数”，但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值

的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫

提高要求.

Q课时划分

1锐角三角函数2课时

230°,45°,60°角的三角函数值1课时

3三角函数的计算1课时

4解直角三角形1课时

5三角函数的应用1课时

6利用三角函数测高1课时

回顾与思考1课时

2

课/时/教/学/详/案

1锐角三角函数

。教学目标

一口识写技能L

1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.

2.理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明.

3.能够运用tanA,sin/I,cos力表示直角三角形中两边的比.

4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.

字］

1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.

2.在探索锐角三角函数的过程中，初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.

F情巧度目箱割

i.通过锐角三角函数概念的建立，使学生经历从特殊到一般的认识过程.

2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦，从解决实际问题中感悟数

学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.

q教学重难点

【重点】

i.理解锐角三角函数的意义.

2.能利用三角函数解三角形的边角关系.

【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.

第E课时

一整体设寸

口，教学目标

喋瞅身耨铲

3

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用tan/表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切

进行简单的计算.

3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系.

京|

1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.

2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.

马箱

1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.

2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.

色教学重难点

【重点】

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系.

【难点】理解正切的意义，并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.

¥教学准备

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】

1.自制4个直角三角形纸板.

2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.

旧教学过程

E新课导入

导入一：

课件出示:

你知道图中建筑物的名字吗?是的，它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观，位于意大利

托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之

日起便由于土层松软而倾斜.

【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.

［设计意图］创设新颖、有趣的问题情境，以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣，从而自然引

出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.

导入二：

课件出示：

四个规模不同的滑梯4B,C,〃它们的滑板长（平直的）分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与

地面所成的角度分别为30°,45。，45°,60°.

4

【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高？

一设计意图］利用学生所熟悉的滑梯进行引导，使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学

生的探究思路会比较顺畅.

至新知构建

［过渡语］梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放

的‘'平缓"，人们是如何判断的呢？“陡”和“平缓”是用来描述梯子什么的？

一、正切的定义

（一）探究新知

请同学们看下图，并回答问题.

探究一：

问题1

课件出示：

在下图中，梯子48和4哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

小组讨论后展示结果：

1组:梯子较陡.我们组是借助量角器量倾斜角，发现NABONEFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡，

可以得到梯子48较陡.

师:哪组还有不同的判定方法？

2组:我们也是认为梯子仍较陡.我们组是分别计算然与比的比,ED与如的比,发现前者的比值大，

根据铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡,可以得到梯子46较陡.

3组:我们组的方法和1组的大致相同，借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过£作EG〃AB交FD

于G,就可以清晰比较N49C与N回叨的大小了.

4组:我们组发现这两架梯子的高度相同，水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子A5较陡.

探究二：

问题2

课件出示：

在下图中，梯子四和4哪个更陡?你是怎样判断的？

5

学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.

问题3

课件出示：

在下图中,梯子4?和颂哪个更陡?你是怎么判断的？

多给学生思考和讨论的时间.

代表发言和绪的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可

以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以4?和原的倾

斜度一样.

教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问

题2与问题3中，两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.

问题4

课件出示：

在下图中,梯子四和"哪个更陡?你是怎样判断的？

1.5m1.3m

教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面

的探究中得到什么启示呢？

生讨论后得出：

思路1:梯子所较陡,但为乙EFANABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.

思路2:梯子项较陡,因为黑嚏,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.

师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子48和用的倾斜角大小,或垂直

高度和水平宽度的比的大小来判断.

做一做:请通过计算说明梯子48和房哪一个更陡呢？

生独立解答，代表展示：

..i4£__4__8EO_g.5_358,35

*BC~15~3yFD-L3-T3,F131

・・・梯子〃比梯子相更陡.

6

「设计意图1通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程，既对

己学知识和生活经验进行了回味和运用，也让学生的思想逐步向本节课的中心”两直角边之比”靠近.

一知识拓展1梯子的倾斜程度的判定方法：（1）梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就

越陡.（2）梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.

（二）再探新知

［过渡语］在日常生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子加?和郎的倾斜角大小,或垂直高度和

水平宽度的比的大小来判断.可是小明和小亮在判断梯子AR的倾斜程度时发生了矛盾,我们来看一看.

课件出示：

【想一想】如图所示，小明想通过测量86及算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则

认为,通过测量BC及AG,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？

（1）直角三角形，耳G和直角三角形4氏G有什么关系？

生很容易得出两个三角形相似.

由生说明理由：N足44=/8£4=90°,.•.RtZVW£sRt△破&

（2）笔和挈有什么关系？

由于所以有挈学1.

AC2AC］

（3）如果改变花在梯子上的位置呢？由此你得出什么结论？

生先独立思考后分组讨论.

生得出结论:改变用在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.

想一想:现在如果改变N4的大小，ZJ的对边与邻边的比值会改变吗？

生讨论得出：N4的大小改变，N4的对边与邻边的比值会改变.N4的对边与邻边的比只与N4的大小

有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.

【总结提升】由于直角三角形中的锐角4确定以后，它的对边与邻边的比也随之确定，因此我们有

如下定义：

H

■4N4的邓迪<

如图所示,在RtZU」笫中，如果锐角A确定，那么N/I的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做N4的

正切（tangent）,记作tanA,即tan力=幺然粤.

N4的邻叱

当锐角A变化时，tanA的值也随之变化.

能力提升:如果N4+N比90°,那么tan/与tan8有什么关系？

生讨论得出结论：

tan布焉,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.

【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度，在课本图1-3中，梯子的倾斜程度与tan4有关系吗？

学生思考后，统一答案：

tanA的值越大,梯子越陡.（反之,梯子越陡,tanA的值越大）

7

一设计意图」此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手

操作，让学生学会由特殊到•般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.

【知识拓展］正切的注意事项：（1）tan4是一个完整的符号,它表示N4的正切，记号里习惯省去角的

符号“N”.（2）tan力没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中的对边与邻边的比.（3）tan4不表

示“tan”乘以“4（4）初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切.

（三）例题解析

［过渡语］通过探究我们了解了正切的概念,下面就来进行“实战演习”，检验一下我们的理解能力.

课件出示：

（教材例1）如图所示表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

甲乙

想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可？

生思考后得出：比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tan。，tan户的值进行比较大小

即可,正切值越大,扶梯就越陡.

要求学生独立解答，代表展示：

解：甲梯中，tanoZ

乙梯中,tan£-/5喂

向12

因为tana>tan£,所以甲梯更陡.

一设计意图］通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度，同

时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.

二、正切的应用

［过渡语］正切在日常生活中的应用很广泛，例如，在建筑、工程技术中，经常用正切描述山坡的坡

度.

课件出示：

如图所示，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度（即tan。）就是:

结论:坡面与水平面的夹角（。）称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比），tana

饕,即坡度等于坡角的正切.

水平宽度

-设计意图］正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义，密

切数学与生活的联系，使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.

:知识拓展］坡度与坡面的关系:坡度越大，坡面越陡.

回课堂小结

8

的对边

（1）正切的定义:tanA-

的邻边'

⑵梯子的倾斜程度与tan力的关系（乙4和tan力之间的关系）：tan4的值越大，梯子越陡.

（3）坡度（或坡比）的定义:f=tan"矍整.

水平宽度

囱检测反馈

1.在已44及7中，/090°,4比13,4合12,则12114等于（）

AB

-n-nc.1|D,^

解析：..,在RtZ\4%7中，Z^90°,/族13,4>12,...g5,...tan故选B.

2.如图所示，将N4Q8放置在5X5的正方形网格中，则tanN/m的值是)

「2713

C.D•警

解析:认真读图，在以4期的0为顶点的直角三角形里求tanN4期的值，由图可得tan乙仞娼.故选

3.（中考）如图所示,在△AK1中，N伐90°,40=2,BOX,则tanA的值是.

解析:tan号/•故填提

4.河堤横断面如图所示,堤高淤5m,迎水坡48的坡度是1：8（坡度是坡面的铅直高度比i与水平

宽度4c之比），则08的长是.

解析:在RtAWC中，及>5,tanA=\:V3,：.AO5y/3,：.AB-卜？+(5V5)2=10(m).故填10m.

9

巨板书设计

第1课时

⑴正切的定义:tan｛嘲黑.

（2）梯子的倾斜程度与tan4的关系（/｛和tan4之间的关系）：tan4的值越大，梯子越陡.

（3）坡度（或坡比）的定义：产tana-警鬟.

水平宽度

叵布置作业

一、教材作业

【必做题】

1.教材第4页随堂练习第1,2题.

2.教材第4页习题L1第1,2题.

【选做题】

教材第4页习题L1第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,在RtZ\4%'中，/e90°,戊＞6,BC=8,则tanA的值为（）

.3

A-s

2.小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1000m,则他升高了（）

A.500mB.200-\/5m

C.500V3mD.1000m

3.已知斜坡的坡度为7=1：5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.

【能力提升】

4.如图所示,在网格中，小正方形的边长均为1,点力拓,C都在格点上,则N1比、的正切值是

R2店

A.2

10

C—1

L-5UD-2

5.如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形力及7沿直线交平移得到△4'5'C',使点B'与C重合,连

接A'8,则tanZA'及7'的值为.

Bc<ir>c

6.如图所示,在锐角三角形4■中，4层10cm,叱9cm,△48。的面积为27cm?.求tan6的值.

7.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图所示）.如果改

动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分比的长.

A

上发二

CHD

【拓展探究】

8.如图所示,在△胸中，A牛AC,BD是4c边上的中线,若4氏13,及＞10,试求tanN〃及7的值.

【答案与解析】

1.D（解析：•.,在中，N俏90°,4伐6,除8,：.tan力器故选D.）

AC63

2.B（解析:设铅直高度为xm,I•坡度为1：2,...水平宽度为2xm,由勾股定理得/+（2x）2=10002,解得

个200遍....他升高了200«m.故选B.）

3.1。（解析：.斜坡的坡比是1：5,二斜舞黑舐;二―，二斜坡的水平距离为=1°-故填

10.）

11

4.D（解析：如图所示,连接AC,由勾股定理，得力小企,小2注，及:WTU,%为直角三角形，，tan

^4故选仄）

HCW)DC*

53（解析:如图所示,过，作垂足为D.在等腰直角三角形中，易知4'。是底边上的中线,

:.A'AB'D=咚.•：BOB'C',.•.tan"”嚼/24故填;.)

，DUDC+Du33

6.解:如图所示，过点4作加/_La1于〃疑=27,.,4乂9*力用=27,.•"年6.•.•45=10,二

帆而=贷不=8,...tan姿磊

7.解：在RtA4W中，49：DC=\：2.4,71（^13,由疝+比七小,得必+（2.4］犷=1319士5（负值不合题意，

舍去），.••。仁12.在RtZ\4劭中，•.•/W：BD=\：L8,...盼5XL8=9,...除好除12-9=3（m）.答:改动后电梯

水平宽度增加部分比•的长为3m.

8.解:如图所示,过点4。分别作AHLBC,DF1BC,垂足分别为点H,F.V5C=10,AHLBC,AB-AC,:.B尼5」：

止13,：.AH=y!132-52=\2,在RtZ\4口中,必12,易知AH//DF,且。为4。中点，."得•仍=6,...用弓及考，，

在Rt△戚中，tanNDS

（噜BF上5

区L教学反思

■成功之处

本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心

发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观

察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的认识规律，能使学生学

习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教

12

学由学生熟悉的实例入手，引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与

小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念，引出正切概念，

再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结

知识和方法.

I。不足之处

本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内

容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.

再教设计

对第一个环节的处理力求更加简洁，并大胆放手让学生去探索、去发现，真正让学生成为学习的主人.

国教材习题解答

随堂练习（教材第4页）

1.解:能.tan，愣思■孝三.

CDyC|x44

2.解:根据题意,得仍200,除55,则〃W4B2-BC2=V2002-552=5m^,所以山的坡度为蚱五年

AC5V14/v

0.286.

习题1.1（教材第4页）

l.»：VBC=ylAB2-AC2=^132-52=12,：.tantan斤赛总

2.解:：tan/1=^=^,BC=3,

4-tan力」

国—备课资遐

Qi教学建议

学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务，做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”

的数学思想，通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan4的关系（N月和tan力之间的关系），在

探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定

要注意其前提条件一一在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角

形,也可以通过角度的转化进行求解，同时还要注意数形结合思想的运用.

经典例题

阚题如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为方,两侧的坡角分别为明

£.已知ZF2m,。=45°,tan号10m.求路基底部47的宽.

13

D

(解析)如图所示,过，分别作下底48的垂线，垂足分别为£E在RtZi｛外■和Rt△呼中,可根

据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,毋'的长,进而可求得48的值.

解：如图所示,过。作DELAB于E,过，作CFLAB于F,：.DE//CF.

•.•四边形力腼为梯形，

:.AB〃CD,：.EP=CA\Qm.

...四边形加•为矩形.

在RtZi4庞中，。=45°,/ZF2m,ACf^DE=h=2m.

在Rt△舒,中，tan吟上2m,.•.游2小4(m).

故AI^AE^EF^BF^AI^CD^Bf^2+10+4=16(m).

答:路基底部4?的宽为16m.

［解题策略］此题主要考查了坡度问题的应用，求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,

必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.

第②课时

国整体设计

q教学目标

知识与技能

i.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.

2.能够用sinA,cos4表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.

,过程写方雷

1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能

2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.

i.在探究新知的过程中，培养与他人合作的意识.

2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐，培养应用数学的意识.

作教学重难点

【重点】

I.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.

14

2.能用sinA,cos4表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.

【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.

.教学准备

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习tan4的定义以及利用tan4表示直角三角形两边比的方法.

旧教学过程

区新课导入

导入一：

如图所示,力。是旗杆四的一根拉线,测得/庐6m,4ACFa,同学们，你能用。表示出拉线力。的长度

吗？

【问题】边然和〃'分别是N/8的什么边?黑和我们上节课学习的正切一样吗？

-设计意图］通过与正切的对比，引出本节课要探究的问题，让学生体会类比思想的重要性.

导入二：

课件出示：

n

N4的时边

八NA的邻边c

如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系一一正切.由正切定义我们

知道正切是一个比值,并且得出了当RtZVL%中的一个锐角〃确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.

【问题】此时,其他边之间的比值也确定吗？

:设计意图］引导学生回忆上节课学的正切后，开门见山，直入正题，让学生的思维很快进入今天的学

习内容.

陷新知构建

［过渡语］在直角三角形4%中，除了两条直角边的比之外,还有没有利用其他边的比值来表示梯子

48的倾斜程度的情况呢？

一、正弦、余弦、三角函数的定义

问题1

课件出示：

15

H

如图所示,在直角三角形中，除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗？

生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学

生|口1答的有道理就予以肯定和表扬)

教师引导:如果以为例，总结一下共有几种情况.

【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.

【教师点评】在中，如果锐角4确定,那么N4的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随

之确定.

【师生活动】共同总结：

//的对边与斜边的比叫做N4的正弦(sine),记作sinA,即sin小缥等.

斜边

的邻边与斜边的比叫做N/的余弦(cosine),记作cosA,即cos

锐角力的正弦、余弦和正切都是的三角函数.

提示：当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.

.设计意图」通过探究，引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念，为下面的学

习打下良好的基础.

二、sinA,cos4与梯子倾斜程度的关系

［过渡语］通过上节课的学习我们知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系:tanA的值越大,梯子越

陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA,cos4有关系呢？如果有关系，是怎样的关系？

问题2

【想一想】在教材图1-3中，梯子的倾斜程度与sin4和cos4有关系吗？

［教师活动】要求小组合作交流,统一答案.

【学生活动】小组同学认真思考,热烈讨论,积极总结.

思路一

教师引导学生分析：

如图所示,?!比45,在中，sin4啜,在RtAAat；中，sin4=羯.

•：AB=AB,即sin水sin4,二梯子48比梯子陡.

tAB41%

梯子的倾斜程度与sin4有关系.sin4的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.

思路二

学生互相交流，类比分析过程：

coscos'."AS=AtR,，丝>4^,WcosJ>cos4,

ABAB

・•・梯子的倾斜程度与cos4也有关系.cos1的值越小，梯子越陡.

16

【师生总结】梯子的倾斜程度与sinA,cos4的关系:sin4的值越大，梯子越陡;cos0的值越小,

梯子越陡.

［设计意图］此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念.通过学生的参与、动手

操作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.

例题解析

［过渡语］通过探究我们掌握了正弦、余弦的定义，下面就通过例题检验一下我们对新知的理解能

力.

课件出示：

(教材例2)如图所示在RtZ\〃C中，/小90°"俏200,sin庐0.6,求比?的长.

【师生活动】生独立解答,师巡视观察学生解题的情况,随时进行指导.

解:在Rt△物中，Tsin主第,即磊0.6,：.8(=200X0.6=120.

想一想：你还能求出cosA,sinC和cos，的值吗？

生认真思考,独立写解题过程.

代表展示：cos4=0.8,sin00.8,cos8=0.6.

一设计意图］例题的安排既对学生学习的内容加以巩固，也让学生体会严谨的做题思路,并通过拓展

得出直角三角形的三角函数之间的关系.

:知识拓展］1.若/4+/生90°,一个锐角的正弦等于它余角的余弦,sin力二cos6;一个锐角的余弦

等于它余角的正弦，cos力二sinB.

2.锐角三角函数之间的关系：

(1)同一个角：①商的关系：tan片黑;②平方关系：sini+cosZ=L

(2)互余两角：若/月+/#90°,则sinA=cosB,cos启sinB.

三、三角函数的运用

［过渡语］灵活运用三角函数能提高我们的解题效率.

课件出示：

【做一做】如图所示，在RtA4比1中，N俏90°,cos丹桧10,47等于多少？sin8呢？

［学生活动】要求学生独立完成,代表展示解题过程.

代表展示：

解:在Rl△力回中，

...AC1012

•cos小;

.jp^l0xl3_65

・"少――不

17

.设计意图」在学习前边知识的基础上，巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比，体

验数形之间的联系，学习利用数形结合思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.

巨课堂小结

（D三角函数的概念:正弦:sin警边余弦:cos小/鬻边

斜边斜边

锐角［的正弦、余弦和正切都是N力的三角函数.

⑵梯子的倾斜度与三角函数之间的关系：

sin力的值越大，梯子越陡;cos4的值越小，梯子越陡.

⑶锐角三角函数之间的关系：

⑴同一个角:①商的关系：tan/仁吗;②平方关系：sin，+cos*l.

cos/1

⑵互余两角：若N4+N户90°,则sinJ=cosff,cosA=sinB.

互检测反馈

1.如图所示，在中，NC=90°,4?=6,cos典，则比的长为（）

A.4B.2V5

。18V13「12VI3

C•kD.三

解析:•.•cos若,.•.蕾.•心6,.,.但X6=4.故选A.

2.在双△<比'中，N<?=90°,若cos则tan8的值是（）

A2V5DV5r3^5nV5

A-TB-TC-TD-T

解析：•.•在RtAJSC中，N090°,...cos4=务tan啮,AC+B代屈.,：cos樗，.,.设402”（x〉0）,则

48=3x,BC=y[5x,.,.tan庐警军.故选A.

V5x5

18

H

3.如图所示,在中，勿是斜边相上的中线，已知4e3,则sin8的值是—

解析：•..在RtZXI比'中，)是斜边四上的中线，CD=2,：.AB=2CD=4,Asin代若弓・故填

4.如图所示,△｛及7的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=.

解析:过。作交45的延长线于点〃如图所示,设小方格的边长为1,在汽△〃》

中，小、W+。。2=2圾.'.sin4嘤*.故填唱.

5.如图所示，N皿5=90°,DEVAB,垂足为点£月庐10,小6,求N顺的三个三角函数值.

解；•：NC=NBED=90°,NB=NB,

：.△ACBs△DEB,：.ZBD片ZA,

区板书设计

第2课时

1.三角函数的概念：

(1)Z/f的对边与斜边的比叫做N4的正弦，即sin小幺等曲.N4的邻边与斜边的比叫做N4的余弦,

斜边

即cosV?瞥.锐角A的正弦、余弦和正切都是N4的三角函数.

2.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sin/的值越大，梯子越陡;cos/的值越小，梯子越陡.

肉布置作业

一、教材作业

【必做题】

L教材第6页随堂练习第1,2题.

2.教材第6页习题1.2第1,2,3,4题.

19

【选做题】

教材第7页习题1.2第5题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示，在△/阿中，/孤90°,小户5,小3,则cos力的值是（）

2.如图所示，在Rt△力回中，/心90°"庐13,小12,则下列三角函数表示正确的是（）

A.sinJ=y|B.COSJ=y|

C.tanA=-5-D.tan庐q12

H

AC

3.在中，N4除90°,力比3,除4,贝ijsinA=.

4.如图所示,在直角坐标系中，户是第一象限内的点,其坐标是（3,而，且0P与x轴正半轴的夹角的正切

值是g,则sina的值为—

【能力提升】

5.如图所示，已知△4%'的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）

20

,V3V5

A-TBn-T

2V32V5

cr-vDn-v

6.在△48,中，N合90°,除6,sin樗，则4?边的长是.

7.如图所示，在Rt△，比•中，N俏90°,A?=10,sin4=1,求应'的长和tan8的值.

8.如图所示,在正方形中,M是49的中点,除3花求sinN£。/的值.

【拓展探究】

9.网格中的每个小正方形的边长都是1,△加％■每个顶点都在网格的交点处,则sinA=

【答案与解析】

1.D（解析：斤5,BO3,：.AO4,Acos故选D.）

AB5

2.A（解析：,.・N水冷90°,4户13,小12,AA（=yjAB2-BC2=y/132-122=5.A,sin小黑二出故本选项正

确;B,cos4二**，故本选项错误;C,tan力考二告故本选项错误;1),tan斤祟点故本选项错误.故选A.)

AB13AC5BC12

3.白解析:首先由勾股定理求得斜