第25课 四边形综合 （解析版）-2021年中考数学学霸必刷测评卷（+综合）

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第五单元四边形第25课：四边形综合

一.选择题（共7小题）

1.如图，正方形MCD中，点E,F,G,H分别是各边的中点，连结GH,取G4的中点P,连结EP,

FP,则下列说法正确的是（）

B.四边形BEPF的周长是DGD”周长的3倍

C.1EPF60?

D.四边形BEPF的面积是DGDH面积的3倍

【解析】连接AC,BD,EH,HG,EF,FG,

Q点E,F,G,〃分别是各边的中点，

\EF,是DA8C和D4X7的中位线，

\EF//AC,EF=-AC,HG//AC,HG=-AC,

22

\EF//EF,EF=HG,

同理，EH=FG,

Q正方形ABCD中，AC=BD,AlBD,

\四边形£FGH是正方形，

Q点尸是的中点，

\HP=-HG=-EH,

22

\设EW=HG=EF=FG=2x,

\HP=PG=x,

\PE=PF=-J5x,

\PE=—GH,故A错误；

2

QAE=BE=AH,?BAD90?,

\AE=BE=缶，

\四边形5EP尸的周长二（2&+DGW7周长=（2&+2）x,

Q3?（2应2）x?（2>/22&x,故8错误;

Qsin?EPB,

\胜PB30?,

\^PF60?,故C错误；

QOB=OD,

QHG/1AC,AH=DH,

\PD=PO,

\PB=3PD,

i3I

\四边形BEPF的面积=yEFgPB=7EFgPD,DGDH面积=5EFgPD,

\四边形BEPF的面积是DG，归面积的3倍，故D正确.

故选：D.

2.如图，四边形AB。、CEFG是正方形，E在CZ）上且8E平分DOBC,。是BO中点，直线BE、DG交

于H.BD,AH交于M,连接0”,下列四个结论:

①BEAGD；®OH=-fiG；③？AHD45?；④GD=叵AM,

2

其中正确的结论个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】①正确，证明如下：

QBC=DC,CE=CG,?BCE?DCG90?,

\DBEC@DDGC(SAS),

\?EBC?CDG,

Q?BDC?DBH?EBC90?,

\?BDC?DBH?CDG90?,即昭八6。，故①正确；

②QBE平分DDBC,

\?DBH?GBH.

QBE八GD,

\2BHD?BHG90?.

在DBHD和DBHG中

I?DBH?GBH

\BH^BH,

BHD?BHG

\DBHD@DBHG(ASA),

\DH=GH.

Q。是BO中点，

\DO=BO.

\。”是D8DG的中位线，

\OH=-BG,故②正确；

2

③由于B54£>、DBCD、D3HZ)都是直角，因此A、B、C、。、H五点都在以BO为直径的圆上；

由圆周角定理知：?DHA7ABD45?,故③正确；

④由③知：A、B、C、D、H五点共圆，贝?BDH；

又?DBG45?,

\DABM^DDBG,

\AM:DG=AB:BD=I:&,B[J£>G=-JlAM：

故④正确；

\正确的个数有4个.

故选：D.

3.如图，矩形ABCZ)中，AB=8.AD=3.点E从。向C以每秒1•个单位的速度运动，以AE为一边在AE

的右下方作正方形A瓦G.同时垂直于CD的直线MN也从C向。以每秒2个单位的速度运动，当经过多少

秒时.直线MN和正方形AEFG开始有公共点？（）

【解析】过点F作世八C。于点Q,

Q在正方形AEEG中，2AEF90?,AE=EF,

\?1?290?,

Q?DAE?190?,

\1DAE?2,

在DAD石和DEQ尸中，

?£)?FQE

?DAE?QEF,

AE=EF

\DADE@DEQF(AAS),

\AD=EQ=3,

当直线MV和正方形AEFG开始有公共点时：3Q+CM..8,

\f+3+2，..8,

解得：t..2,

3

故当经过*秒时.直线MN和正方形AEFG开始有公共点.

3

4.如图，在矩形中，AB=日45=3,点E从点B出发，沿8c边运动到点C,连结。E,点E作

OE的垂线交AB于点尸.在点E的运动过程中，以EF为边，在E尸上方作等边DEFG,则边EG的中点”

所经过的路径长是（）

A.26B.3色C.一下D.一代

23

【解析】如图，连接切，取EF的中点M,连接8M,HM,

在等边三角形EFG中，EF=FG,”是EG的中点，

\?FHE90?,?EFH-?EFG30?,

2

又QM是EF的中点，

\FM=HM=EM,

在RtDFBE中，?FBE90?,M是E尸的中点，

\BM=EM=FM,

\BM=EM=HM=FM,

'点、B,E,H,尸四点共圆，

连接BH,则？HBE?EFH30?,

'点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30。的射线上,

如图，过C作CH廿BH于点、HC，

Q点E从点8出发，沿8c边运动到点C,

\点H从点B沿BH运动到点H弧

在中，?BH算90?,

\BH庄SCgpos?CBH3?4孚，

\点H所经过的路径长是地.

2

故选：C.

5.如图，在四边形ABCD中,AC=BD=7,点E,F,G,"分别为边AB,BC,CD,D4的中点,

连接£G,HF,相交于点O,则EG2+"2的值为（）

A.32B.41C.36D.49

【解析】如图，连接EF、FG、HG、EH,

QE、F、G、”分别是线段AB、BC、CD、4。的中点，

\EH、FG分别是DAB£＞、DBC£）的中位线，EF、HG分别是DACD、DABC的中位线,

根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=-BD=3.5,EF=HG=-AC=3.5,

22

又QAC=BD,

\EH=FG=EF=HG,

\四边形EFG”是菱形；

\£GAFH,EG=2OE,FH=2OH,

在RtDOEH中，根据勾股定理得：OE2+OH-=EH2=3.52,

等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=4?3.5249,

\(2OE)2+(2OH)2=49,

即EG2+FH2=49.

故选：D.

6.如图，将正方形（图①）作如下操作：第1次，分别连接各边中点，得到5个正方形（图②）；第2次将

图②中左上角的正方形按上述方法再分割得到9个正方形（图③），%,以此类推，若要得到2033个正方

形，则需要操作（）次.

【解析】Q第1次：得到4+1=5个正方形;

第2次：得到4?21=9个正方形；

以此类推，第"次得到（4〃+1）个正方形，

若第n次得到2033个正方形，则4n+1=2033,

解得：”=508.

故选：C.

7.如图，RtDABE中，?B90?,AB=BE,将DABE绕点A逆时针旋转45。，得到DA//O,过。作£心八BE

交BE的延长线于点C,连接并延长交"■于点尸，连接OE交于点O.下列结论：

①DE平分SHDC;®DO=OE-.③H是8F的中点；@BC-CF=2CE:

⑤CD=HF,其中正确的有（）

A.5个B.4个C,3个D.2个

【解析】90?,AB=BE,

\?AEB1BAE45?,AE=>/2BE,

Q将DABE绕点A逆时针旋转45°,

\?DAE?AEB45?,AD=AE=yflBEfDH=BE,AH=ABf?ABE?AHD90?,

\?DAB?ABE90?,AH=DH=AB=BEf

又QZ)C八BE,

\四边形ABCD是矩形，

\AB=CD=DH,AD=BC=&E,2BCD?DHE90?,

QDH=DC,DE=DE,

\RtDDEC@RtDDEH(HL),

\HE=EC,?AED?DEC67.5?,?CDE?HDE22.5?,

\DE平分DHDC,故①正确；

QAB=AH,?BAE45?,

\?ABH?AHB67.5?,

\?OHE?OEH67.5?,

\OH=OE,2DHO22.5??HDO,

\DO=HO,

\OE=OD,故②正确；

如图，连接8,

Q2ABH67.5?,

\?CBH22.5?,

\?BFC67.5?,

QHE=EC,?AEB45?,

\?ECH?EHC22.5?,

\?HBC?HCE，?FCH67.5?,

\BH=CH,?FCH2BFC,

\HC=HF,

\BH=HF,

'点”是创7的中点，故③正确，

如图，过点H作HN人BC于N,

\HN//CD,

\DBHNsDBFC,

、BH_HN_\

~BF~~FC~21

\FC=2HN,

QAE=42BE,AH=BE,

\HE=(>/2-1)BE=CE,

QHV八BC,?AEB45?,

\HN=—HE=-(y/2-1)BE,

22

\CF=2HN=(2-垃)BE,

QBC-CF=BE+CE-CF=BE+(72-\)BE-(2-C)BE=2(>/2-1)BE,

\BC-CF=2CE,故④正确；

Q?HFD180?67.5=112.5?,?HDF45?,

\2HDF,

\HF?DH,

\HF?CD,故⑤不合题意，

故选：B.

二.填空题（共5小题）

8.四边形对角线4C=8耳,BD=6应，P、Q、R、S分别是A8、BC、CD、ZM的中点，则PR2+QS2

的值为132.

【解析】如图1，QP、Q、R、S分别是43、BC、CD、ZM的中点，

\PS和RQ分别是DABD和DCM的中位线，

\PS=^BD,PS//BE）,RQ=』BD,RQUBD,

\PS=RQ,PS/IRQ,

\四边形PQRS是平行四边形；

如图2,过户作尸于G,过S作加人QR交QR的延长线于H,

则？PGQ?SHR90?.

Q四边形PQRS是平行四边形，

\PQ=SR,PQ//SR,

\?PQG?SRH,

\DPQG@DSRH(AAS),

\PG=SH,QG=RH.

在RtDPRG和RtDQSH中，由勾股定理，得

PR2=PG2+RG2=PG2+(QR-QG)2,

QS2=SH2+QH2=SH2+(QR+RH)2=PG2+(QR+QG)2,

\PR2+QS2=2PG-+2QR2+2QG2=2(PG2+QG2)+2QR2.

又PG?+QG2=PQ",

故PR2+QS2=2（PQ2+QR2）.

\PR?+。晓=2（RS、RQ2）=2（§AC）2+（；8D）2）=2?66132,

故答案为：132.

9.如图，矩形ABCD的对角线AC与BO交于点O,点E在AC上，且。E=CD,连接O£,?ABE-?ACB,

2

【解析】如图，作8八BE于H,EF"80于尸.设BE与AC的交点为G.

则？?BCH?BHC90?,

Q四边形为矩形，

\AD=BC,AB=CD,?ABC?BAD90?,AD!IBC,AC=BD

\1ABE?CBH90?,

\2ABE1BCH,

Q?ABE-?ACB,

2

\?BCH?GCH,

\BH=GH,BC=CG,?CBH?CGH,

设则££>=8=M=x,

QAE=2,所以AD=AE+£»=2+x,

\CG=CB=2+x，

QAD//BC,

\?AEG2CBH2CGH?AGE,

\AG=AE=2,

\AC=AG+CG=4+x,

在RtDABC中：AB2+BC2=AC2,

222

\x+(x+2)=(x+4),解得玉=6,x2=-2(舍)，

\AB=CD=6,AD=AC=8,AC=BD=10,

QAC与BD交于点O,

\AO=80=CO=DO=5,

Qsin?^"=竺/，cos?如处=空=；

BDDE5BDED：

、〜3~、18A4厂八24

\EF=-ED=—，Dr=—ED=——

5555

\OF=OD-DF=5--=-

55

在RtDEFO中：

OE2=OF2+EF2=(-)2+(—)2=—=13,

5525

\0E=713.

故答案为：＞/rj

10.如图，正方形中，4)=6,点E是对角线AC上一点，连接。E,过点E作EF八ED,交A8于

点F,连接。F,交AC于点G,将DEFG沿E尸翻折，得到D比连接。M,交EF干点N,若点尸是4B

边的中点，则DSW的面积是—.

一21

DC

【解析】如图1,过E作PQ人0C,交.DC于P,交AB于Q,连接BE,

图1

QDC//AB,

\PQAAB,

Q四边形ABC。是正方形，

\2ACD45?,

\DPEC是等腰直角三角形，

\PE=PC,

设则PE=x,PD=6-x,EQ=6-x,

\PD=EQ,

Q2DPE?EQF90?,?PED?EFQ,

\DDPE@DEQF(AAS)9

\DE=EF,

QDE八EF,

\DZ)即是等腰直角三角形，

QDC=BC,?DCE?BCE45?,CE=CE,

\DDEC@DBEC(SAS),

\DE=BE,

\EF=BE,

QEQ八FB,

\FQ=BQ=-BF,

一2

QAB=AD=6,尸是AS的中点，

\BF=3,

3

\FQ=BQ=PE=|,

\CE=—,PD=),

22

\EF=DE=,

2

如图2,过点尸作"/人AC于点/7,

图2

QAD=CD=6,

\AC=6A/2

QDC//AB,

\DDGC^DFGA,

、CGCD6c

AGAF3

\CG=2AG,

\AG=20,

\GE=AC-AG-CE=672-2&--=—,

22

Q?MC45?,HF^AC,

\1FAC1AFH45?,

\AH=HF,且AF=3,

Q将DEFG沿EF翻折，得到DE/必，

\5口环材=Y，FM=GF=#,1DFE?EFM45?,

\?DFM90?，

QDF=->JDA2+AF2=J36+9=3丘,

'SDDFM=l仓中右\/5=y,

QDEQM的面积=S四边侬

\DEDM的面积=工仓白叵迹+

222422

故答案为：—.

2

11.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线AP交OE于点尸.若

正』P=1,PB=瓜,下列结论：

®DAPD@DAEB；②点B到直线AE的距离为正；③EB八ED；

④^DAPD+SDAPB=1+y/^•⑤SjE方彩ABC。=4+下.

其中正确结论的序号是①②③

【解析】①Q?£48?BAP90?,?PAD?BAP90?)

\?EAB?PAD,

又QAE=AP,AB=AD,

Q在DAPD和DA£B中，

iAE=AP

1?EAB?PAD,

\AB=AD

\DAPD@DAEB(SAS)；

故此选项成立；

@QDAPD@DAEB,

\?APD1AEB,

Q?AEB1AEP?BEP,1APD?AEP?PAE,

\?BEP?PAE90?,

\EB八ED；

故此选项成立；

②过B作8尸入AE,交AE的延长线于F,

QAE=AP,?EAP90?,

\?AEP?APE45?,

又Q③中EB^EO,BFAAF,

\?FEB?FBE45?,

又QBE=-JBP2-PE2=2,

\BF=EF=丘,

故此选项正确；

④如图，连接BO,在RtDAEP中，

QAE=AP=1,

\EP=0,

又QPB二底,

\BE=2,

QDAPD@DAEB,

\PD=BE=2,

QEF=BF=~]2,AE=1,

\在RtDABF中，AB2={AE+EF)2+BF1=5+272,

\S.+S1MMsD曲=gs正方彩Me-；仓"BE=i?(5押2=g+".

(也可以证明SDABP+SDADP=SnillKiAEBP=SDAEP+SDPEB=—+*)

故此选项不正确.

QAB2=5+20,

\&方形ABCO=AB-=5+2*,

故此选项不正确.

故答案为：①②③.

12.如图，在正方形中，E为A8上一点，过点E作EF〃AO.与AC、0c分别交于点G、F,H

为CG的中点，连接。E、EH>DH、FH.下列结论：

①EG=DF-,

②？AEH?ADH180?:

③DEHF@DDHC；

④PH2=AP2+CH2-,

⑤若若=:，则3SDHW=5s00Hc，

AB3

其中结论正确的有①②③④⑤.（填写序号）

BC

【解析】①Q四边形ABCQ为正方形，EF//AD,

\EF=AD=CD,?ACD45?,?GFC90?,

\DC尸G为等腰直角三角形，

\GF=FC,

Q£G=EF-GF,DF=CD-FC,

\EG=，故①正确；

②QDCFG为等腰直角三角形，〃为CG的中点,

\FH=CH,?GFH-?GFC45??HCD,

2

在DE/正和D£>”C中，

IEF=CD

UEFH?DCH,

FH=CH

\DEHF@DDHC(SAS),故③正确；

\?HEF?HDC,

\?AEH?ADH?AEF?HEF?ADF2HDC?AEF?ADF180?,故②正确;

④如图，将DDCH绕点。顺时针旋转90。，可得DD4Q,连接QP,

O

\DDAQ@DDCH,

\AQ=CH,DQ=DH,?ADQ?CDH,

QDEHF@DDHCf

\EH=DH,?EHF?DHC,

\?DHE1FHC90?,

\?EDH45?,

\?ADP?CDH45?,

\?ADP?ADQ45??EDH,

又QQD=DH,DP=DP,

\DQDP@DHDP(SAS),

\PH=QP,?QAD?HCD45?,

\?0AP90?,

\QA2+AP2=QP1,

\PH?=AP2+C//2,故④正确;

⑤Q寮(

\AE=-BE,

2

QDC77G为等腰直角三角形，”为CG的中点,

\FH=GH,?FHG90?,

Q?EGH2FHG?HFG90?1HFG2HFD,

在DEG"和DDFH中，

IEG=DF

1?EGH?HFD,

\GH=FH

\DEGH@DDFH(SAS),

\7EHG1DHF,EH=DH,?DHE1EHG?DHG?DHF?DHG?FHG90?,

\为等腰直角三角形，

过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：

设“M=x,贝ljDW=2x,DH=&,CD=3x,

DPHC2222

则S=；仓归"CD=|x,SDEDH-1?DH1?(V5x)|x,

\3SDEDH=5SDOHC,

故⑤正确；

故答案为：①②③④⑤.

三.解答题(共3小题)

13.已知如图，在四边形ABCD中，?BAD?BCD,点E、F、G、H分别是BC、CD、AC、BD中点.

(1)求证：?EGF?EHF；

(2)求证：?DHG?DBA?DBC.

【解析】证明：（1）QDF=FC,DH=HB,

\FH//CB,

QDH=HB,BE=EC,

\EH//CD,

\四边形是平行四边形,

\?EHF?BCD,

QCF=DF,CG=GA,

\FG//AD,

\?FGC?DAC，

QAG=GC,CE=EB,

\EG//AB,

\?CGE?CAB,

\?EGF?DAB,

Q?DAB2BCD,

\?EGF?EHF.

(2)Q?EGF2EHF,

\E,F,G,H四点共圆，

\?GHF?GEF,

QCF=DF,CE=EB,

\EF//BD,

QCG=GA,CE=EB,

\EG//BA,

\?GEF2ABD,

QEF//CB,

\1DHF?DBC,

\?GHD?GHF?DHF2ABD?DBC.

D

14.如图①，已知RtDABC中，?C90?,AC=Scm,8c=6cm,点尸由B出发沿BA方向向点A匀速运

动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2c?〃/s.以AQ、PQ为边作Y4QPO,

连接。Q，交AB于点E.设运动时间为f（单位：s）（01效4）.解答下列问题：

（1）当f为何值时，AQ=AP-.

（2）如图②，当f为何值时，Y4QPQ为矩形；

（3）当/为何值时，DPEQ是以PE为直角边的直角三角形.

【解析】（1）在RtDABC中，由勾股定理得：AB=yJAC2+BC2=+62=10,

Q点P由8出发沿班方向向点A匀速运动，同时点。由4出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均

为2cm/s,

\AP=AB-BP=10-2t,AQ=It,

QAQ=AP,

\10-2r=2t,

解得：/=2(s)；

2

(2)Q四边形AQPD是矩形,

\?PQA?C90?

又Q?8AC?BAC,

\DAQP^DACB,

,AQ_AP

\---=----,

ACAB

日口2t10-2t

8