高中立体几何典型500题及解析2

各位教师，同学，我精

心汇总，好好利用

高中立体几何典型500题及解析(三)(101〜150题)

101.AA'8'C'是△ABC在平面a上的射影，那么NA'B'C'和NABC的大小关系是()

(A)ZA'B'C'<ZABC(B)ZA'B'C'>ZABC

(C)ZA'B'C'^ZABC(D)不能确定

解析：D

一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等.

102.已知：如图，AABC中，NACB=90。,CZXL平面a,和平面a所成的角分别为30。

和45°,CD=h,求:。点到直线AB的距离。

解析：1、先找出点。到直线AB的距离，即过。点作DE1AB,从图形以及条件可知，若

把OE放在△ABO中不易求解。

2、由于C3J•平面a,把OE转化到直角三角形中求解，从而转化为先求OE在平面a内的

射影长。

解：连AC,BC,过。作DE1AB,连CE,则DE为D到直线AB的距离。

VCDla

；.AC,BC分别是在a内的射影。

ADAC,ZDBC分别是AD和BD与平面a所成的角

/.ZDAC=30°,ZDBC=45°

在Rt/\ACD中，

VCD=h,ND4C=30°

：.AC=Mh

在RtABCD中

*：CD=h,ZDBC=45°

：.BC=h

\'CD±a,DE1AB

：.CE1AB

在RtAACZ?中

AB=7AC2+BC2=2h

S=-ACxBC=-AB*CE

22

ACxBC

CE=里

AB2h2

.•.在RtADCE中,

DE=y/DC2+CE2

万

.•.点D到直线AB的距离为业人。

2

103.已知心b、c是平面a内相交于一点。的三条直线，而直线/和a相交，并且和“、b、

c三条直线成等角.

求证：l±a

证法■：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=C。.设/经过。，在/上取一点P,

在△POA、△FOB、△P0C中，

,?P0公用，A0=80=CO,NP0A=NP0B=NP0C,

：.△POA丝△P08丝△尸OC

/.PA=PB=PC.取A8中点。.连结0。、PD,OD1AB,PD±AB,

PDC\OD=D

：.AB_L平面POD

•/POu平面POD

POA.AB.

同理可证PO.LBC

'：ABua,BCua,AB^}BC=B

：.POA.a,即l±a

若/不经过。时，可经过。作/'〃/.用上述方法证明

l±a.

证法二：采用反证法

假设/不和a垂直，贝心和a斜交于0.

同证法一，得至ijPA=P8=PC.

过P作只9'_1。于0',则AO'=3O'=CO',。是△ABC的外心.因为。也是△ABC的外

心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的.

假设/不和a垂直是不成立的.

Zl«

若/不经过。点时，过。作/'〃/,用上述同样的方法可证/'_La,

/±«

评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如

证法二）或同一法.

104.P是AABC所在平面外一点，。是点P在平面a上的射影.

（1）若PA=尸8=PC,则0是AABC的心.

（2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则。是△ABC心.

(3)若PA、PB、PC两两垂直，则。是△ABC心.

(4)若44次:是直角三角形，且PA=P8=PC则O是△ABC的心.

(5)若△ABC是等腰三角形，且PA=PB=PC,则0是aABC的心.

(6)若以、PB、PC与平面4BC所成的角相等，则。是△48C的心；

解析：(1)外心.：PA=PB=PC,：.OA=OB=OC,：.。是△ABC的外心.

(2)内心(或旁心).作。。_LA8于。，0E上BC于E,OFLACF,连结尸。、PE、

PF.,：PO_L平面ABC,，OD、OE、OF分别为P。、PE、PF在平面ABC内的射影，

由三垂线定理可知，PDLAB,PELBC,PF1AC.由已知PZ)=PE=尸尸，WOD=OE=OF,

：.。是△ABC的内心.(如图答9-23)

(3)垂心.

(4)外心.(5)外心

(6)外心.必与平面ABC所成的角为/次0,在△B4。、△PB。、△PC。中，P。是公共

边，NP0A=/POB=NP0C=9Q°,NPAO=NPBO=/PCO,：./\PAO^/\PBO^/\PCO,

：.OA=OB=OC,：.。为△ABC的外心.

(此外心又在等腰三角形的底边高线上).

105.将矩形ABC。沿对角线3。折起来，使点C的新位置U在面A8C上的射影E恰在A3

上.

求证：ACLBC

分析：欲证ACU8C',只须证BC'与AC'所在平面AC'。垂直；而要证BC'，平面AC'。，

只须证3C'_LC'D且3C'J_A。.因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤

T.

证明：由题意，BC1CD,又斜线BC'在平面ABC。上的射影是BA,

BALAD,由三垂线定理，得C'B_LAO,C'D^}DA=D.

BCmeAD,而C'Au平面C'A。

BC±AC

106.已知异面直线/|和/2,/山2,MN是/|和/2的公垂线，MN=4,AGli，B^h，AM=BN

=2,。是MN中点.①求/i与OB的成角.②求A点到0B距离.

分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直

线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了.

解析：(1)如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一

标在图中.

0B在底面上射影NBLCQ,由三垂线定理，OBLCD,又

CD//MA,

：.0BLMA即0B与71成90°

(2)连结30并延长交上底面于E点.

ME=BN"

ME=2,又ON=2

：.OB=OE=2应.

作AQ_L8E,连结MQ.

对于平面EM0而言，AM.AQ,MQ分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线

逆定理得MQVEO.

+C人一LCr+,X。ME•MO2x2r-

在RtAMEO中，MQ=-----------=—尸=V2.

EO2V2

评述：又在RtZ\4W。中，

AQ=y]AM2+MQ2=J4+2=屈,本题通过补形法

使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的距离，仍

然是利用直线与平面垂直的关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的.

107.已知各棱长均为〃的正四面体ABCQ,E是AQ边的中点，连结CE.求CE与底面3C。

所成角的正弦值.

解析：作A4J_底面BCD,垂足H是正△BCD中心，

连。H延长交BC于F,则平面AHOJL平面BCD

作EO_L”。于。，连结EC,

则NECO是EC与底面BCD所成的角

贝ijEOJ_底面BCD.

22

HD=-DF=-x理”且a

23

EO=—AH=-x旦a=CE=2

22

V2

sinZECO=——

EC

108.已知四面体S-ABC中，S4_L底面ABC,AABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上

的射影.求证：“不可能是ASBC的垂心.

分析：本题因不易直接证明，故采用反证法.

证明：假设”是△SBC的垂心，连结8H,并延长交5c于。点，则B，J_SC

,/AH_L平面SBC,

班/是AB在平面SBC内的射影

…—A―/

又：SA,底面ABC,AC是SC在面内的射影

AB1,AC（三垂线定理的逆定理）

/.△ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立.

故“不可能是ASBC的垂心.

109.已知A8CD是边长为4的正方形，E、F分别是A8、40的中点，GC垂直于A8C力所在

的平面，且GC=2.求点8到平面EFG的距离.

解析：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BL＞分别交AC于H、0.因为A8C£）是正

方形，E、F分别为A8和4。的中点，i^EF//BD,H为AO的中点.

8。不在平面EFG上.否则，平面EFG和平面A8CZ）重合，从而点G在平面的488上，与

题设矛盾.

由直线和平面平行的判定定理知2。〃平面EFG,所以3。和平面EFG的距离就是点B到平

面EFG的距

离.

-4分

BDLAC,

：.EF1HC.

,/GC_L平面ABCO,

EFLGC,

：.EFJ_平面”CG.

平面EFG,平面"CG,“G是这两个垂直平面的交线.——6分

作0KL//G交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知0K,平面EFG,所以线段0K的长就

是点B到平面EFG的距离.——8分

,/正方形ABC。的边长为4,GC=2,

：.AC=4五，H0=41,HC=3&.

：.在RtzXHCG中，/7G=V（3V2）2+22=V22.

由于RtZXHKO和RtZ\"CG有一个锐角是公共的，故RtZ\HKOs^，CG.

."HOGCV2x22vH

HGV2211

，/I1

即点8到平面EFG的距离为‘一.一一10分

11

注：未证明“8。不在平面EFG上"不扣分.

110.已知：AB与CO为异面直线，AC=BC,AD=BD.

求证：ABLCD.

说明：(1)应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路.

(2)思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直是关

键.

(3)教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法.

证明：如图，取A8中点E,连结CE、DE

'：AC=BC,E为AB中点.

D

w

：.CE±AB

一

同理。E_L4B,又CECDE=E,

c

且CEu平面CDE,DEu平面CDE.

D

平面CDE/\a

又C£>u平面CDE

：.AB±CD.

111.两个相交平面a、尸都垂直于第三个平面那么它们的交线，7一定和第三个平面垂直.

证明：在y内取一点P,过P作PA垂直a与

7的交线；过P作PB垂直力与y的交线.

■/aA-y且尸J_y

p

a

zL

P

PA±aSiPBLa

aLy

112.在立体图形P—ABCD中，底面A8CO是正方形，P4_L底面ABC。，PA=AB,Q是PC

中点.

AC,8。交于。点.

（I）求二面角Q-BZ）-C的大小：

（II）求二面角B-QD-C的大小.

解析：（I）解：连QO,贝IJQO//PA且。。=

'''2

1

=-AB

2

•.*PA±®ABCD

：.QO_L面ABC。

面QBD过QO,

ffiQBDABCD

故二面角Q-BO—C等于90°.

（H）解：过O作OHLQD,垂足为H,连CH.

'：面

又：COLBD

CO±®QBD

C4在面QBD内的射影是OH

'：OHVQD

CHLQD

于是NO〃C是二面角的平面角.

设正方形ABCO边长2,

则OQ=1,0D=叵,Q£)=VL

OH-QD=OQ•OD

V2

0H=

XOC=V2

0c

在RtACOW中：tanZOHC=——=41--==^

OH6

：.NOHC=60°

故二面角8—QO—C等于60°.

113.如图在AABC中，AD1BC,ED=2AE,过E作FG〃BC,且将AAFG沿FG折起,

使NA'ED=60°,求证:A£_L平面ABC

解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和

位置关系。

解：VFG/7BC,AD±BC

.•.A'E±FG

.\A'E±BC

设A'E=a,则ED=2a

由余弦定理得：

A'D2=A'E2+ED2-2»A'E•EDcos60°

=3a2

.'.EDM'D^A'E2

/.A'DiA'E

.\AE_L平面A'BC

114.a、夕是两个不同的平面，如〃是平面a及£之外的两条不同直线，给出四个论断：①

mLn,②a，/?,③〃，夕，®m±a.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，

写出你认为正确的一个命题，并证明它.

解析：/M±«,n邛,a±/f=>/n±/i（或m±a,邛）

证明如下：过不在a、夕内的任一点P,作PM〃m,PN//n

过PM、PN作平面r交a于MQ,交.0于NQ.

mA.a

y=>PMLa=>PM±MQ,

PMUm

同理PN±NQ.

因此NMPN+/MQN=180°,

故/MQN=90°O/MPN=90°

即a_L4<=>

115.已知：a[\（3-a,a±y,pi.y,b//a,b//p.

求证：a±/且b±y.

解析：在。上任取一点P,过P作尸

,/卬,PQu0,

,：air,：.PQcza,

PQ与a重合，故

过b和点P作平面S,

则S和a交于PQi,S和“交于PQi，

,/b//a,b//p

：.b//PQ\,§.b//PQ2.

于是PQi和PQ与。重合，

故b"a,而a_Lr,bVr.

116.已知PA_L矩形ABC。所在平面，且AB=3,BC=4,PA=3,求点P到CD和B。的

距离.

解析：：PA±nABCD,AD1CD,且COu平面ABCD\

22

PO_LC7）（三垂线定理）.在RtAPAD中，PD=-JPA+ADB'

=-J32+42—5.

又作P4_LB£>于H,连结AH,由三垂线定理的逆定理，

有这里，P"为点尸到BO的距离.

在川△ABD中，AH=--------=—

BD5

117.点P在平面ABC的射影为0,且PA、PB、PC两两垂直，那么。是△人8。的（）

（A）内心（B）外心

（C）垂心（D）重心

解析：由于PCJ_PA,PC±PB,所以PC_L平面PAB,

PC1AB.P

又P在平面ABC的射影为0,连CO,则CO是PC在平面48c/,\

的射影，根据三垂线定理的逆定理，得：COLAB,c弋#一7^>B

同理可证AO_LBC,。是△A8C的垂心，答案选C.\

118.如图02,在长方体ABC。一AIBICQI中，P、Q、R分别是棱AA、BBi、8c上的点,

PQ//AB,CiQLPR,求证：/DiQR=90°.

91tutor自助家教网

证明：：PQ//AB,A3,平面BG，

PQL平面8。，QR是尸R在平面BG的射影.

根据三垂线定理的逆定理，由CiQLPR得GQLQ?.

又因"GL平面8G,则Ci。是在平面BC的射影，根据三垂线定理，由CiQLQR

得QRJ_AQ.

ZDtQR=90°

119.在空间四边形A3CZ)中，已知AC_LBZ),AD1BC,求证:A8_LCD。

解析：1、条件ACJLB2AO1BC,可以看作斜线AQ,AC与平面BCD内的直线的位置关系,

从而联想到用三垂线定理或其逆定理证明命题。

2、如何找斜线在平面内的射影，显然是过A点作直线垂直于平面BCD这样斜线与直

线的位置关系，通过射影与直线的位置关系判定。

证明：过A点作A0垂直于平面BCD于0

连BO,CO,DO

：AOJ_平面BCD,ACYBD

：.COA.BD

：.DOLBC

二0为△BCO的垂心

J.BOVCD

：.ABYCD

120.如图，在空间四边形SABC中,S4L平面ABC,ZA8C=90。,4V1SB于MAKLSC于M。

求证：®AN1BC;②SCJ_平面ANM

解析：①要证ANLBC,转证,BCL平面SAB.

②要证SCL平面4NM,转证,SC垂直于平面AM0内的两条相交直线，即证SCL4MseL4M

要证SCLAN,转证AML平面SBC,就可以了。

证明：

①；SAJ■平面ABC

：.SA1BC

又YBCl/W,且A8口SA=4

，8C_L平面SAB

：ANu平面SAB

：.ANA.BC

②ANLBC,AN,SB,且SBDBC=8

.♦.AML平面SBC

：SCC平面SBC

：.AN1SC

又.；AM_LSC,且AMDAN=A

，SCL平面ANM

121.已知如图，P史平面ABC,PA=PB=PC,ZAPB=ZAPC=60°,ZBPC=900求证：平面ABC

_L平面PBC

解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证

明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D,证明AD垂直平PBC即可

证明：取BC中点D连结AD、PD

VPA=PB；ZAPB=60°

二APAB为正三角形

同理APAC为正三角形

设PA=a

在RTABPC中,PB=PC=a

BC-42a

V2

；.PD=­a

2

在AABC中

AD=7AB2-B£>2

6

=---a

2

也叵

•/AD2+PD2=---aY+---ay

2J2/

=a2=AP2

/.AAPD为直角三角形

即AD±DP

又：AD_LBC

.\AD_L平面PBC

平面ABC_L平面PBC

122.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面。

已知：P±a,y±a,PAY=a

求证：a±a

解析：利用线面垂直的性质定理

证明：设anB=AB,anY=CD

在平面B内作L11AB,

在平面Y内作LILCD,

：a_LB.\L1±a

同理L2J.a

AL1//L2

AL1//P

ALI//a

.'.a±a

113.已知SA、SB、SC是共点于S的且不共面的三条射线，Z

BSA=ZASC=45",ZBSC=60",求证:平面BSA_L平面SAC

解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根据给定的条件，在棱S

上取一点P,分别是在两个平面内作直线与棱垂直

证明：在SA上取一点P

过P作PR_LSA交SC于R

过P作PQJ_SA交SB于Q

/.ZQPR为二面角B-SA-C的平面角设PS=a

VZPSQ=45°,ZSPQ=90"

，PQ=a,SQ=V2a

同理PR=a,SR=41a

VZPSQ=60°,SR=SQ=V2a

ARSQ为正三角形贝四=拒a

•.•PR）+PQJ2a2=QW

/.ZQPQ=90°

二面角B-SA-C为90°

.•.平面BSAJ_平面SAC

114.设S为AAJBC平面外的一点，SA=SB=SC,ZASB=2ot,Z.BSC=2/3,ZASC=2/1

若sin?a+sin?尸usin?y,求证：平面ASC_L平面ABC。

解析：（1）把角的关系转化为边的关系

（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）

证明：设D为AB的中点

\-SA=SB:.ZASD=ctsina="=坐

SA2SA

口m.BC.AC

同理sinBn=-----,siny=------

2SB2SC

;SA=SB=SC^sin?a+sin2=sin2/

AB2+BC2AC2

即AABC为且S在平面上的射影0为A43C的外心

则O在斜边AC的中点。

SO_L平面ABC

SOu平面SAC

，平面ASC_L平面ABC

115.两个正方形A8C£>和ABEF所在的平面互相垂直，求异面直线AC和8F所成角的大小.

解析：作BP〃AC交OC延长线于P,则/尸8P(或补角)就是异面直线8尸和AC所成的角，

设正方形边长为mPF=娓a在ABPF中,由余弦定理得cos/EBP=,，异面直线AC

2

和M成60°角.

116.二面角a—a一万的值为外0。<"180。)，直线L。，判断直线/与平面月的位置关系,

并证明你的结论.

解析：分两种情况，。=90。，，#90。.

当〃=90。时，/〃£或/u£,这个结论可用反证法证明;

当。W90。时，/必与£相交，也可用反证法证明.

117.已知平面平面£,交线为AB,CGa,DW。，A8=AC=5C=4g,E为

8c的中点，ACA.BD,BD=8.

①求证：8ZXL平面a；

②求证：平面AEQ_L平面BCD；

③求二面角B-AC-D的正切值.

解析：①AB是AC在平面£上的射影，由AC_L8。得AB_LBD；a_L£.二DBA.a.

②由A8=AC,且E是8c中点，得AE1.BC,又AEJ_£>8,故AE_L平面BCD,因此可证得

平面4E£>_L平面BCD.

③设厂是AC中点，连BF,DF.由于△ABC是正三角形，故BF_LAC.又由。B_L平面a,

则DF1AC,NBFD是二面角B-AC-D的平面角，

在RtABFQ中，tgZBF£>=—

BF3

118.如图，△ABC和△Q8C所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=B£>,ZABC=

ZDBC=120°,求

(I)A、。连线和直线BC所成角的大小;

(2)二面角A—B。一C的大小

D

解析：在平面AOC内作A，J_8C,“是垂足，连”。.因为平面A8C_L平面8OC.所以A4

_L平面BQC.是AO在平面3DC的射影.依题设条件可证得“£>_L8C,由三垂线定理

得ACBC,即异面直线A。和8c形成的角为90°.

在平面BOC内作R是垂足，连AR.HR是AR在平面BQC的射影，，AR±BD,

NAR”是二面角A-BO-C的平面角的补角，设AB=a,可得，

V3

AH=­aHR=—BH——a

224

AU

：.tg/ARH=——=2.

HR

二面角A—BD—C的大小为Jr—arctg2.

119.正方体A8C£>-48IGDI中，E、F分别是B8i，CG的中点，求异面直线AE和8尸所

成

角的大小.

解析：取。。।的中点G,可证四边形ABR7是平行四边形，得出8月〃AG,

则NGAE是异面直线AE与3b所成的角.连GF,设正方体棱长为

GE=AE=AG^—a.

112

在△AEG中，由余弦定理得

55c

AG1+AE2-GE2+-2.

cosZGAE=44=1

2-AGAE.V5V5-5

z,,--------,---------

22

ZGAE=arccos-.

5

120.矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线BD把AABD折起，使点A在平面BCD上的射影A'

落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值.

图4

.AB•AD3x412,,

略解：A0=————=—―=—,0A7=OE=B0♦tg/CBD,

BD55

=AB29/3,,,27

而BO=w=M，tg/8D=i，故OA，=—.

15JJJ4ZU

在RtZiAA'0中，NAA'0=90°,

所以cos/AOA」=A%O,=94,即所求的二面角A-BD-C的大小的

AO16

余弦值一为高9.

10

121.已知：如图12,P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a,AB=a.

求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值.

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线.

解：因为AB〃CD,CDU平面CPD,AB。平面CPD.

所以AB〃平面CPD.

又PG平面APB,且PC平面CPD,

因此平面APBCI平面CPD=1,且Pel.

所以二面角B-1-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角.

因为AB〃平面CPD,ABU平面APB,平面CPDC平面APB=1,

所以AB〃:L.

过P作PE_LAB,PEXCD.

因为1〃AB〃CD,

因此PE±LPF11,

所以ZEPF是二面角B-1-C的平面角.

因为PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a,

所以PE=¥a.

73

同理P=

因为E,F分别是AB,CD的中点，

所以EF=BC=a.

在AEPP中，

PE?+PF2-EF?1

cosZEPF=

2xPExPF3

所以平面APB和平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值为-1.

122.在四面体4BCO中，AB=AO=BO=2,BC=OC=4,二面角A-BC-C的大小为60°,

求AC的长.

解析：作出二面角A—8。一C的平面角

在棱BO上选取恰当的点

AB^AD,BC=DC

解：取80中点E,连结AE,EC

,/AB=AD,BC=DC

：.AE1BD,ECLBD

/AEC为二面角A—8。一C的平面角

?.ZAEC=60°

'：AD=2,£>C=4

AE=BEC=V15

据余弦定理得：AC=718-375.

123.河堤斜面与水平面所成角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB的夹

角为30°,沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？

解析：已知所求

河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离

利用E或G构造棱上一点/以EG为边构造三角形

解：取C£>上一点E,设CE=10m,过点E作直线A3所在的水平面的垂线EG,垂足为G,

则线段EG的长就是所求的高度.

在河堤斜面内，作垂足为R连接FG,由三垂线定理的逆定理，知FGJ_A8.因

此，/EFG就是河堤斜面与水平面A2G所成的二面角的平面角，NEFG=60°.

由此得：

EG=EFsin60°

=C£sin30°sin600

1V3

=10X—X-----Ra4.3("?)

22

答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米.

124.二面角a—是120°的二面角，P是该角内的一点.P到a、/?的距离分别为小A求:

尸到棱a的距离.

解析：设尸4_1_6（于4PBL£于B.过PA与PB作平面r与a交于AO,与少交于08,

PALa,PBA-P，：.aLPA,且

a_L面r,alPO,PO的长为尸到棱a的距离.

且NAOB是二面角之平面角，NAOB=120°

ZAPS=60°,PA=a,PB=b.

2222

1AlB|=>]a+h—2aZ?cos60°=V«—ab+h

=\po\，

sinZAPS

|PO\=a~—ab+b~.

125.如图，正方体中，E、F分别为AB、CG的中点，则异面直线AC

与EF所成角的余弦值是（）

V3V21

(A)—(B)(C)-(D)

6

解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在EF

图01

上选一点作AC的平行线要简单易行，观察图形，看出尸与4c确定的平面4CG恰是正方

体的对角面，在这个面内，只要找出4G的中点0,连结0F,这条平行线就作出了，这样,

NEF。即为异面直线4c与EF所成的角.容易算出这个角的余弦值是匚，答案选B.

3

126.在60°的二面角M-a-N内有一点P,P到平面M、平

面N的距离分别为1和2,求P点到直线a的距离.

解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的

平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应

的图形是解决本题的关键.可以有不同的作法，下面仅以一个

作法为例，说明这些概念的特点，分别作M是垂足,

PBLN，N是垂足，先作了两条垂线，找出尸点到两个平面的

距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面。，设aRN=BC,c

Wa.由于PA_LM,则PA_La,同理PB_La,因此a_L平面。，得a_LPC.这样，NACB是

二面角的平面角，PC是P点到直线。的距离，下面只要在四边形ACB尸内，利用平面几何

的知识在4PAB中求出AB,再在AABC中利用正弦定理求外接圆直径2R=,即为

3

P点到直线。的距离，为名近.

127.已知空间四边形ABC。中，AB=BC=CD=AD=BD=AC,E、尸分别为AB、CO的中

点，

(1)求证：EF为AB和CO的公垂线

(2)求异面直线AB和C。的距离

解析：构造等腰三角形证明EF与AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF

解；①连接8。和AC,4尸和B尸，DECE

设四边形的边长为。

,:AO=C£>=AC=a

二△ABC为正三角形

：DF=FC

:.AWC且八方

同理BF=——A

2

:.BF=FA

即4AF3为等腰三角形

在aAFB中，

*.•AE=BE

：.FEIAB

同理在△OEC中

EFA.DC

：.EF为异面直线AB和CO的公垂线

②在△AFB中

EF1ABELAF=—a,AE=-AB=-a

a22

，EF=ylAF2-AE2=—a

2

EFLDC,EFLAB

EF为异面直线AB和CD的距离

•••AB和CO的距离为当。

128.正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把AABD折起，使二面角A'-BD-C为60°,求

二面角B-A'C-D的余弦值

解析：要求二面角B-A'C-D的余弦值，先作出二面角的

平面角，抓住图形中A'B=BC,A'D=DC的关系，采用定

义法作出平面角NBED（E为AC的中点）然后利用余弦定

理求解

解：连BD、AC交于0点

则A'0"LBD,C0±BD

ZA'0C为二面角A'-BD-C的平面角

ZA'0C=60°

设正方形ABC!）的边长为a

•:A'0=0C=l/2AC=­a

2

NA'0C=60°

/y

...△A'OC为正三角形则A'C=­a

2

取A'C的中点，连DE、BE

,:A'B=BC

,\BE±A,C

同理DE_LA'C

NDEB为二面角B-A'C-D的平面角在ABA'C中

BE=7BA2b_（曰a）2=--a

V14

同理DE=——a

4

在ABED中，BD=V2«

BE2+DE2-BD2

cosZBED=

2BE-DE

1

二-----

7

二面角B-A(C-D的余弦值为

7

129.如图平面SAC_L平面ACB,△SAC是边长为4的等边三角形,

△ACB为直角三角形，ZACB=90°,BC=4A/2,求二面角S-AB-C

的余弦值。

解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直，作

SD_L平面ACB,然后利用三垂线定理作出二面角的平面角

解：过S点作SDLAC于D,过D作DMLAB于M,连SM

:平面SAC_L平面ACB

；.SD_L平面ACB

.,.SM±AB

XVDMXAB

NDMS为二面角S-AB-C的平面角

在ASAC中SD=4X—=2A/3

2

在△ACB中过C作CH_LAB于H

；AC=4,BC=4V2

Z.AB=4V3

VS=1/2AB•CH=1/2AC•BC

.AC»BC4*4724V2

••CH----------------------------————,—■

AB473V3

,.•DM〃CH且AD=DC

2V2

.\DM=1/2CH=

•?SD_L平面ACBDMu平面ACB

.'.SD±DM

在RT△SDM中

SM=7S£)2+DA/2

DM

cosZDMS=----

SM

272

叵

HT

130.已知等腰A4BC中，AC=BC=2,N4CB=120。，A4BC所在平面外的一点P到三角

形三顶点的距离都等于4,求直线PC与平面ABC所成的角。

解析：解