全国大纲卷高考文科数学真题及答案

2014年普通高等学校统一考试（大纲）

文科数学

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则中元素的个数为

（）

A.2B.3C.5D.7

2.已知角a的终边经过点（-4,3）,则COS<7=（）

A.-B.-C.--D.--

5555

3.不等式组卜+二〉。的解集为（）

〔|x|<l

A.{x\-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<l}D.{x\x>l}

4.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所

成角的余弦值为（）

A.-B.C.-D.@

6633

5.函数y=lnM+l）（x〉-1）的反函数是（）

A.y=（l—e工）3（x〉—1）B.y=（/—l）3（x〉—l）

C.y=(l-ex)3(xeR)D.y=(ex-l)3(xeR)

6.已知标为单位向量，其夹角为60。，则（21B）・B=（）

A.-1B.0C.1D.2

7.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生

组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

A.60种B.70种C.75种D.150种

8.设等比数列｛%,｝的前n项和为S”，若§2=3,邑=15,则凝=（）

A.31B.32C.63D.64

22

9.已知椭圆C：0+3=1（。〉6〉0）的左、右焦点为耳、耳，离心率

ab

为g,过月的直线交C于A、B两点，若的周长为4g,则C

的方程为（）

x22222x22

Kyx2iyA

A■—i——lD■—Fy—lG■—i——ID■—i——I

323128124

10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4,底面边长

为2,则该球的表面积为（）

A81/Ccr>27TC

l-----B1167rC.9兀D■------

44

22

11.双曲线C:=-2=1（。〉0/〉0）的离心率为2,焦点到渐近线的距

ab

离为则C的焦距等于（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

12.奇函数/（x）的定义域为R,若/（x+2）为偶函数，且"1）=1,则

/(8)+/(9)=()

A.-2B.-1C.0D.1

第II卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.以的展开式中三的系数为.（用数字作答）

14.函数y=cos2%+2sinx的最大值为.

x-y>0

15.设乂、y满足约束条件Jx+2y<3,则z=x+4y的最大值

x-2y<1

为.

16.直线4和4是圆好+>2=2的两条切线，若4与的交点为

（1.3）,贝I"与4的夹角的正切值等于.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

数列｛。〃｝满足弓=2,。2=2,an+2=2an+l-an+2.

（1）设……,证明总｝是等差数列；

（2）求a｝的通项公式.

18.（本小题满分12分）

AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知

3acosC=2ccosAtanA=—,求B.

19.(本小题满分12分)

如图，三棱柱ABC-A与G中，点4在平面ABC内的射影D在AC上，

ZACB=90°,BC=1,AC=CC}=2.

(1)证明：Aq1\B;

(2)设直线相与平面3。。出的距离为求二面角4-AB-C的大

小.

20.(本小题满分12分)

设每个工作日甲'乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别

为0.6、0.5、0.5、0.4o各人是否需使用设备相互独立。

(I)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(II)实验室计划购买k台设备供甲、乙'丙、丁使用。若要求

“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1.求

k得最小值。

21.(本小题满分12分)

函数千(x)=ax3+3x2+3x(a芋0)

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a得取值范围。

22.(本小题满分12分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的交点为F,直线y=4与

y轴的交点为P。与C的交点为Q,且3［以。

(I)求C的方程；

(II)过F的直线I与C相较于A、B两点。若AB的垂直平分线/'

与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一个圆上，求I的

方程。

文科数学

一、选择整：本大题共12小题,每小题5分.在意小趣给出的四个选项中，只有一项是符合I

U)设集合M=”24,6,8).N={123,5,6.7}.则MCN中元素的个数为

(A)2(B)3(C)5(D)7

(2)已知角a的终边经过点(-4,3).则8$a=

(A)g(B)(C)-1to)-j

Xi

(3)不等式组，

(A){x|-2<x<-l}(B){x|-l<x<0)(C){JC|0<X<1}(D)(x|.

U)巳知正四面体ztSCO中，£是/S的中点.，克异而五线。£与8。所成角的余弦值为

(A)1(B)£(C)|(D)且

6633

(5)函数y=ln(次+1Xx>-I)的反函数是

(A)J=(I-4(X>7)(B)y=(e,-|f(x>-l)

(C)y=(l-e^r-R)(»))=(/-『(.R)

(6)已知4、,为单位回撤，其夹角为60°,则a-，)"=

(A)-I(B)0(C)1(D)2

(7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疔小组，则不|

(A)60种(B)70种(C)75种<D)15(M

<N)设等比数列{雨}的前n项和为&，若S*3.%75.则&=

1A)31(B)32(C)63(D)64

(9)已知椭圆c；［+A=ig>b>o)的左、在焦点为尸|、尸如离心率为£,过T的直线，

Qb3

长为46.则，的方程为

(10)正四梭鞋的顶点都在同一球面上.若诙棱锥的高为4,底面边长为2.则该球的表面积幺

(A)如(B)I6R(C)9n(D)—

44

»>

Iu1双曲续c：-4=ig>0*>0)的离心率为2,色点到渐近线的距离为6.则c的噌

Tbr

(A)2(B)2&(04(D)4百

(12)奇函数f(x)的定义域为R,若/(x+2)为偶函数，且"1)=I.则/(8)+/(9)=

(A)-2(B)-I(C)0(D)I

二、填空题：本大通兵：小题，银小题5分。

(13)(x-2，的候开式4■，的索数为-160.(用数字作答)

(14)函数y=cos2x+2sinr的最大值为孑.

<II）由（I）得心=1+2。-1）.

即an4i-=2n-I.

于是—（%-aJ=Z（2A-l）.

“I1-1

22

所以a^\~a\=H.即OH=n+a）.

又6=I一所以｛4｝的通项公式为o«=«2-2n+2.

（13）（本小腮满分12%

△45C的内角45、C的对边分别为a.b.c.已知3acosC=2ccosJ,tan^x1,可

3

解；由题设和iE弦定理得SsiiUcosC=2sinCctMU.

故JtaivfcosC=2sinC»

因为taM=g,所以cosC=2sinC,

tanC='.

所以13位二始”恒伊一仆0]

=-ranf/+C）

_tan/+tanC

tan/tanC-I

="!,

即B=I350.

（"Jl本小题满分12分）

如图.二棱柱48C-4B1G中，点小在平面/BC内的射影。在HC上，

LACB=90。.5C=1.AC=CCi=2.

（I）证明：ACxXAfft

（ID设直线/小与BCCR的距禹为石.求二面角Ai-AB-C的大

解法一：（I）因为40」平面，BC,4Du平面44GC.故平面/UiCCJ_T面48c.

XBCLAC,所以8CJ•平而4/|GC

连结小C.因为侧面/MiGC为菱形，故4CU0仁

由三垂城定理得《1，/田，]

（II）BCL平面AAtCiC.BCu平面BCC\ii\.朴平面4,4|C,C±平面BCRB1.I

作4£_LCG,£为垂足,则为£J•平面BCG/-**

又直坡平面aCGBt,因而4E为直线与平面BCG8】的距离.x,£=

因为小c为乙1CG的平分线，WAQ=A\E=石.

作。:­1i/为垂足，连篇小尸.由三垂线定理得出RL4.

故乙为二面角力-48-C的平面角一

由/£>="3；-4。2W】得。为力C中点.

〜.IACxBC75…—40/—

Df9二：x------：--=—.tn/41FD=---------Vl5.

2AB5DF

所以二面角Ai-AB-C的大小为arccan屈.

做法二二以C为坐标原乩时续CA为1负的正半轴.以CR的&为照他倏.

(11)设中面的法向.杭则二区M4mlCfi，”…BRi,KPw•CB=(

\iiCB=(0,1,0)♦-AA\=(。一2・。，')・故T=0・IL(G-2)K+e*=0.

令“却娜才=2-G"MuO,2・G•点♦到平ifiibCQBi的距阖为

^HcosMd小哈台必含广’

乂依即停.A到平面8CG&的雨离为后,所以c=JL

代人①斛得"=3(舍去)或4=1.

于是AA\=(-L0.6).

设平面46小的法向城”=(p,q,r)则〃-l.It.w±17?.即〃，~AA\=0.

-夕+必r=0,且-2/，+g=(L令p=v3.则v=2\Zi,r=I,»=(4.2V3

又p=(0,0,1)为平而4BC的法向M.故

O=丽=丁

所以二而与zlI-4J3-C的大小为arccos7.

4

120)(本小照满分12分)

设标个工作H甲、乙.丙.丁4人需使用某甲就小的概率分别为Q-6.05.05.0.4.

Kr求同一工作11至少3人而使川设备的限率；

(n)实腕室计划购买人和设备供甲、乙.内,丁使用.若嬖求“同一匚作口需使用没得的,

小孙

解；记出袅求力件：用一工作日乙，内中恰有i人需使用设备./=0.I,2.

白表示界件：甲.由叱福.

C表示小件：丁露心川设钻，

。表示事件：同•【：作H至少3人尚使用设备.

—事件：同一T作口4人需使用改备.

一一东力件；同•「.作口需使用说希的人数大I人

(I)D=A.BC+A,B+A,HC.

尸(g)=0.6,P(C)=0.4,/X，4Jsfix0.5\/=0,1.2.

所以P(D)=P(A,BC+A.B+.^BC)

.4——汽―助十•一•瓦C)

-P^)P(B)P(C)+P(/li)P{B}+P(42)P(fi)P(C)

0.31.

，仃)由于。¥0,故当。<】时.有两个根：

—1+VI—。-1—"jl-d

Xi=-------------------,必=----------,

aa

若Ovovl.则当xe或xe(x,,+<o)时/'(x)>0,故f(x)分别在(-a>,x2).

当xw(S西)0'1f'fx)<Q,故/(x)在(马,不)是减函数；

若a<0,则当“\«,苍)或后.xo)时八X)V0,故〃x)分别在。…J.(x3,+oo

当XW—时八X)A0,故/(X)在—是增函数.

(II)当。>0.*>。时，f(x)=W+6r+3>0.故当a>0时，/(外在区间(1,2)是地眼

当。时，/(x)在区间Q2)是增函数当且仅当，⑴至0且/'(2)卦0,解得】，

僚上，。的取值范朋是「之o)U(o.y).

4

(22)(本小题满分12分)

已知抛物线Cz2Mp>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为尸.与C的交点