六年级奥数第16讲-比较数的大小教案

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：六年级课时数：3

学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：

授课主题第16讲一一比较数的大小

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

①小数的大小比较常用方法；

教学目标②分数的大小比较常用方法；

③数的估算时常用方法。

授课日期及时段

T(Textbook-Based)El/]/1果早

知识梳理，

*

一、小数的大小比较常用方法

为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数

相同的小数.（如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式）

二、分数的大小比较常用方法

⑴通分母：分子小的分数小.

⑵通分子：分母小的分数大.

⑶比倒数：倒数大的分数小.

⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小.（适用于真分数）

⑸重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大.

⑹放缩法

在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！

三、数的估算时常用方法

（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小.使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果.

（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式.

典例分析

考点一：两个数的大小比较

例1、如果a=您，b="竺，那么a,b中较大的数是

20062007

【解析】方法一：＜与1相减比较法》

20051120061国%11

=；1--------.因为>所以b较大;

2006----2006--------20072007--------2006----2007

1山220062007、什=20052006

方法二：〈比倒数法》因为，所以---->-----，进而-----<-----，即nn4<匕7；

200520062005200620062007

方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以b大。

111111110444444443

例2、如果A=，Dn=A与B中哪个数较大?

222222221888888887

【解析】方法一：观察可以发现A、B都很接近!，且比它小.我们不防与L比较.

22

11R-11R/lARbkA审熔*1血痴;壬汨R、A

-—A=

22x222222221，2''2x88888888752'''2.2

111111110x4444444440444444443”

方法二:A==B,，即A<3.

222222221222222221x4888888884、888888887

1_,1-?1品级1>

方法三:：2----------,则AvB

A111111110B444444443AB

例3、在a=20032003X2002和b=20022003X2003中，较大的数是,比较小的数大

［解析】b-a=20022003X2003-20032003X2002=20020000X2003+2003X2003-20030000X2002-2003X2002

=2003X(2003-2002)=2003

所以a比b大2003。

例4、试比较：2x2x2xx2与3x3x3xx3哪一个大？

296个2185个3

8个2

?x?x?xx9

【解析】296=37X8,185=37X5,因为-------------=一>1所以2x2x2xx2>3x3x3xx3

3x3x3xx3243296个2侬个3

5个3

758QQQ

例5、已知：A=-x-x-xx—,那么A与0.1中比较大，说明原因;

369999

3〃-23n_（3«-1）2-1（3H-1）2

【解析】-------------X=A<彳-

3〃-13«+1---（3«）2-1--------（3n）2

258998丫1239979989991

A3=—X—X—XX-------->—X—X—XX--------X---------X-----------=------------

369999J23499899910001000

A>—,即A比0.1大

10

考点二：多个数的比较

35915

例1、(1)把下列各数按照从小到大的顺序排列:—，---，----

7131628

1012152060

(2)(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“<”号连接起来:

17?19?23?33?91

【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得:

3x15_455x9_459x54515x3—45,分母大的反而小，所以5义<士315Q

7xl5-W5,13x9-117,16义5―丽'28x3841372816

⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦.再看分子，60正好是10、12、15、20、

60五个数的公倍数.利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数.我们称之为“通分

子比大小”的方法.

106012601560206060606060606060

可见——<一<一<——<——

17102199523923399919110299959291

年海日1020121560

也就是一<一<—<一<

1733192391

例2、在下面9个算式中:

公3543637公38310'⑦⑧*，⑨

—I------，④-+—，⑤------1------

520620720820»⑥1020

2+上，第几个算式的答数最小，这个答数是多少？

1320

【解析】方法一：①-②二———>0,即①>②;

&即②〉③;

即③〉④;

④-⑤]|+即④〈⑤;

⑤-⑥，⑥-⑦,⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为二——L,——————均小于o,所以⑤〈⑥，⑥〈⑦,

10x112011x122011x1220

心小小

⑦〈⑧，⑧〈⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为一3+—8二一31

82040

方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为

20

因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小.其中第4个算式中3、§最接近，所以第4个算式

820

最小•

考点三：数的估算

例1、求数〃=〃_+1010

-----++士的整数部分.

100W1102110

【解析】这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和.要求a的整数部分，只要知道a在哪两个连续

整数之间.

因为a中的11个分数都不大于生，不天小।于工-1-°-，

100110

10-10101010<11x11

所以-----X11<------+----+-----++-----

110100101102110100

10101010

即1<------F----+----++------<1.1

100101102110

由此可知a的整数部分是1.

例、求数

21~/——f的整数部分是几?

-1-1--F—

10111219

1

【解析】>

111T11i~~

-F+一+---1--1--F

即IV原式VI.9,所以原式的整数部分是1.

例3、已知双=1+』+工+L+-1-+-1-++,1、—+,求N的整数部分.

511192941%优+1)-110099

【解析】题中已经指明，式子中每一项的分母都可以表示成左(左+1)-1,对于左(左+1)-1不好直接进行处理,

很容易联想到上伏+1)及小T)3所以可以进行放缩.

由于(I)心小+1)-1＜小+1),所以人(晨那么

A-111111111111,

N>1+------+------+------++—1++++—1+>1,

2x33x44x5100x10123341001012101

111

N<1+-----+------+------++—-—-1+1--+---+---++-———=2一一—<2,即1<N<2,那

1x22x33x499x1002233499100100

么N的整数部分为1.

小结：从式子中也可以直接看出N>1,所以对于这一点也可以不进行放缩.

P(Practice-Oriented)一-一实战演练

实战演练

>课堂狙击

2222213_333331

1、如果A=那么A和B中较大的数是

222223'—333334

…七64222221666663666662333331八.

【解析】A=---------=---------->----------=----------=B,即nnA4大

222223666669666668333334

2、有8个数，0.51,750.51,?兰4,1U3是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51,

394725

那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

959413

【解析】—=0.6,-=0.5,0.5106,—=0.52，显然有0.5106<0.5K0.51<0.52<0.5<0.6，即

394725

—<051<0,51<—8个数从小到大排列第4个是0.51,

472593

所以有口<口V兰74vo.5ko.5k13Uv53v?±.（"口”表示未知的那2个数）.所以，这8个数从大到小排列第4个

472593

数是0.51.

3、将1必31、—?1>0.523、0.523、0.52从小到大排列，第三个数是.

25040

【解析】—=0.524,,=0.525

25040

17171

所以：0.52<0.523<0.523<上〈一，第三小的数是0.523

25040

4、甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪一个是平衡的?

【解析】考虑除以3,所得的余数

因为478除以3余1,9763除以3也余1（只要看4+7+8,9十7+6十3除以3的余数），所以478X9763除

以3余1义1=1,而4666514除以3余2（即4+6+6+6+5+1+4除以3余2）,因此478X9763^4666514,

从而天平甲不平衡.天平乙是平衡的.

5、a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998,a的整数部分是。

【解析】＜7=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222

所以。的整数部分是54o

6、有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9.那么，精确到小数点后两位数

是多少？

【解析】利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.854平均数＜26.95,则这13个自然数的和介于

13x26.85和13x26.95之间.即在349.05和350.35之间,所以只能是350.所以350+13=26.923,则精确

到小数点后两位数是26.92.

＞课后反击

1户―444443工口555554....

1、比较------和-------的大小

444445555556

44444325555542日822

【解析】因为1----------，显然------->-----,--根据被减数一定，减数越

444445444445555556555556444445555556

444443555554

大差越小的道理，有:------<-------

444445555556

1111

2、试比较山和的大小

111111111

【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多I.对于这样的分数，可以利用它们的倒

山的倒数是'黑的倒数是…

数比较大小.1+-w_=10-L—=10—,我们很容易看出

11111nil111111111111

1福四111ini

10—>10

11111111111mu'

十壮一111_111x101110

两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比

“’11111111x10111107

11101111目口111mi

较大，所以•-----<------，即——<-----.

11110111111111mu

。十199819981999199920002000

最小的分数是

199919992000200020012001

匚'巾4199819981998199919991999土日坦壬,心±、人g工衣人吉八将

【解析】因为--------=——-2-0-0-0-2-0-0-0-=-2-0--0-0根据重要结论----对于两个真分数,

199919991999200020002000200120012001

如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且:

19981999200019981998

<------<-------所以,最小的是

19992000200119991999

4、编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为11山5，3—0?,4华39克的重物.问：金、银、铜牌应分别发给几

127333488

号蚂蚁?

_L__i_

【解析】—=1-=1

12712712710.5'

12

30213111I

------1--------=1-------=1-----------

33333333310.7

31

43914911I

=1--------=1----------

4884884889.9

49

山〜302115439

所以，一＞>-----.

333127488

5、这里有5个分数：2,9,竺,12,乜，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？

38231719

【解析】分子的最小公倍数是60,给出的5个分数依次等于：,比较分母的大小，居中的

90969210295

分数是竺，即上。

9519

6、已知x=0.9+0.99+0.999++0.9999999999.求x的整数部分.

【解析】方法一：要求X的整数部分，必须找到x介于哪两个连续整数之间即a<x<a+l,x的整数部分和n

相等.可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是1x10=10；然后将原算式缩小，把每个加数都

看成0.9,结果是0.9x10=9.可见原算式的结果介于10和9之间即9<x<10,所以x的整数部分是9.

方法二：将原式变型后再估算.

x=0.9+0.99+0.999++0.9999999999

=(1-0.1)+(1-0.01)+(1-0.001)++(1-0.0000000001)

=10-(0.1+0.01+0.001++0.0000000001)=10-0.1111111111

所以X的整数部分是9.

7、有一列数，第一个数是133,第二个数是57,从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，

第16个数的整数部分是.

【解析】由已知：

第三个数=(133+57)+2=95,

第四个数=(57+95)4-2=75,

第五个数=(76+95)+2=85.5

第六个数=(85.5+76)4-2=80.75,

第七个数=(80.75+85.5)4-2=83.125,

第八个数=(83.125+80.75)4-2=81.9375,

第九个数=(81.9375+83.125)+2=82.53125.

第十个数=(81.9375+82.53125)4-2=82.234375,

从第H^一个数开始，以后任何一个数都82.53125与82.234375之间，所以，这些数的整数部分都是

82,那么第16个数的整数部分也82.

直击赛场，

1、(第五届华杯赛口试)图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘

米黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由.

19932

19962

【解析】此题利用到平方差公式：片-尸=(a+6)x(a-6)

19972-19962=(1997+1996)x(1997-1996)=1997+1996=3993

19932-19922=1993+1992=3985

所以19972-19962>19932-19922

即19972+1992?>1996,+19932,两个白色正方形的面积大.

2、（第十五届华杯赛初赛）从±1」」」中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与9接近，去掉的两个数是

234567

).

1,

（A）(D)

©M3J4

1945

【解析】-+-H—=——

3461260

11120+15+1247

—+—+—二

3456060

1111155

—I—+

2461260

11152

—+-+—=

25660

本题不是计算最大，而是计算哪个与9接近，再找分母的最小公倍数比较大小，[7,60]=420,

305329385364”以写成翁显然含最接近。

则以上分式分别可以写成：—,

420商，420420

A=l1+1+1111,则A的整数部分是

3、（第七届希望杯赛一试）己知++++

245678

r版*c,1111111,1111114

【角牛析】A4=l+—+-+—+-+-+—+->1+—+—+-+-+-+-=2o—；

23456784488888

24=1+!+!+工+工+工+工+工<1+工+1+('+!)+!+!+』+'=2+&+工<3所以A的整数部分是2O

2345678241245555512

4、（清华附中入学测试）已知：S=--------j——彳----------「，则S的整数部分是.

----------1------------1----------+...+

1980198119822006

1

【解析】如果全是'，那么结果是731，如果全是那么结果是74色,所以73」<S<74§,不能

19803200627327

确定S的整数部分.我们不妨采用分段估值，有：

10107111110107

++<+++...+<+-十

1989199920061980198119822006198019902000

10io1~<~11ii-107

----------1------------1-------------------------1------------1------------1-H----------++

198919992006198019811982…2006198019902000

大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞

大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这