核心考点03 三角形有关概念与性质-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

核心考点03三角形有关概念与性质

目录

考点一：三角形

考点二：三角形的角平分线、中线和高

考点三：三角形的面积

考点四：三角形的稳定性

考点五：三角形三边关系

考点六：三角形内角和定理

考点七：三角形的外角性质

Q考点考向

一.三角形

（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

组成三角形的线段叫做三角形的边.

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.

相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.

（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三

角形即等边三角形）.

（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高.

（4）三角形具有稳定性.

二.三角形的角平分线、中线和高

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三

角形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一

条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，

三条高所在直线相交于三角形外一点.

三.三角形的面积

(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即SA=1X底X高.

2

(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

四.三角形的稳定性

当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主

要应用在实际生活中.

五.三角形三边关系

(1)三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的

线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

(3)三角形的两边差小于第三边.

(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容

易忽略.

六.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于

0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

七.三角形的外角性质

(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

(2)三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.

Q考点精讲

三角形（共1小题）

1.（2018春•浦东新区期末）设“表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，。表示等腰直

角三角形.下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（）

【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形;

有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形.

根据概念就可找到它们之间的关系.

【解答】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系.

故选：C.

【点评】考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系.

二.三角形的角平分线、中线和高（共5小题）

2.（2021春•浦东新区期中）三角形的角平分线、中线、高都是（）

A.直线B.线段C.射线D.以上都不对

【分析】三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点.

【解答】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段.

故选：B.

【点评】线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无

法度量.

3.（2022春•静安区期中）下列判断错误的是（）

A.三角形的三条高的交点在三角形内

B.三角形的三条中线交于三角形内一点

C.直角三角形的三条高的交点在直角顶点

D.三角形的三条角平分线交于三角形内一点

【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可.

【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；

8、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；

C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；

。、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查三角形的角平分线，中线和高，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.注

意：锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形三条高的交点是直角顶点；钝角三角形三条高

所在直线相交于三角形外一点.

4.（2021春•徐汇区校级期中）下列说法中正确的是（）

A.三角形的三条高交于一点

B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角

C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等

D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直

【分析】根据三角形的高的概念、对顶角的概念、平行线的性质判断即可.

【解答】解：人三角形的三条高所在的直线交于一点，故本选项说法不正确，不符合题意；

8、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故本选项说法不正确，不符合题意；

C、两条平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故本选项说法不正确，不符合题意；

D,两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，故本选项说法正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形的高的概念、对顶角的概念、平行线的性质是解题的

关键.

5.（2021春•青浦区期中）直角三角形的三条高的交点在直角顶点.

【分析】根据三角形的高的概念解答即可.

【解答】解：•••直角三角形有两条高与直角边重合，

它们的交点是直角顶点，

故答案为：直角顶点.

【点评】本题考查的是三角形的高的概念，注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一

点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有

两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点.

6.（2021春•上海期中）在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是0或2条.

【分析】当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内；当三角形为直角三

角形和锐角三角形时没有高在三角形外.由此即可确定三角形的三条高中，在三角形外部的最多有多少条.

【解答】解：；当三角形为直角三角形和锐角三角形时，没有高在三角形外；而当三角形为钝角三角形时,

三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内.

.•.三角形的三条高中，在三角形外部的最多有2条.

故答案为：0或2.

【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握三角形高的定义和画法.

三.三角形的面积（共10小题）

7.（2021春•崇明区期末）如图，已知“〃6,点A、E在直线a上，点8、C在直线b上，且8D=2BC,则

下列说法中正确的是（）

C.S&BDE—2S^ABCD.无法确定

【分析】先根据平行线间的距离处处相等得到点A、E到8。的距离相等，然后根据三角形的面积公式可对

各选项进行判断.

【解答】ft?：'：a//b,

...点A、E到8力的距离相等，

,:BD=2BC,

:・S公EBD=2SAABC.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=^x底X高.也考

2

查了平行线之间的距离.

8.（2022春•杨浦区校级期末）如图，直线A8〃CD,点E、N位于直线AB上，点F、例、G位于直线CD

上，且EN：FG=\：2,若的面积为5,则△£■水；的面积为10.

【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△EFG和的面积比等于FG：

EN,从而进行计算.

【解答】解：

.♦.△EFG的面积：△£：〃尺的面积=FG：EN=2：1,

...△£尸6的面积=5*2=10.

故答案为：10.

【点评】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积比的一种方法，即等高的两个三角形的面积比等于

它们的底的比.

9.（2022春•杨浦区校级期中）如图，AD//BC,AC.BD交于点E,BF=FC,其中面积相等的三角形有_4

对.

【分析】利用平行线间的距离相等和三角形面积公式得到S“BC=&DCB，SMBDS^DCA，再利用三角形面

积的和差得到SAABE=SAOCE，然后利用8F=FC得到S/、BEF=S4CEF.

【解答】解：

.•.点A、。到8c的距离相等，

•'•SAABC=S^DCB>S^AHD—SADCA>

5AABC-SAEBC=SADCB-S&EBC，

即SAABE=SADCE，

'：BF=FC,

SABEF=SACEF.

...图中面积相等的三角形有4对.

故答案为：4.

【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=』x底x高；三角

2

形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

10.（2022春•闵行区校级期中）如图：已知。〃儿AD=3,BC=5,SAAOD=2.25,S》OB=3.75,则SABOC

=6.25

【分析】利用平行线之间的距离相等，得到面积之比，就是对应底的比，进行计算即可.

【解答】ft?：'：a//b,

.•.点A到直线b的距离与点D到直线b的距离相等.

:,S&ABD：SABCD=AD：BC=3：5,

,**SAABD=SAAOD~^SZ\AOB=^^5+3.15=69

:・S&BCD=10,

***S/\ABD=S&ACD，

SAABD-S〉AOD=SdACD-S&AOD，

即S^\AOB=S/^COD—3.75,

:・S&BOC=SABDC-SACOD

=10-3.75

=6.25,

故答案为：6.25.

【点评】本题考查的是求三角形的面积，解题的关键是等高的三角形的面积的比，等于对应底的比.

11.（2022春•宝山区校级月考）如图，已知直线。〃4点A、8在直线a上，点C、。在直线方上，如果

△A8C的面积和△8。的面积之比为2：3,那么A8：C。的值为2：3.

rD

【分析】利用行线间的距离处处相等得到C点到直线。的距离等于B点到直线b的距离，然后根据三角形

面积求解.

【解答】解：•・•直线〃〃4

・・・C点到直线。的距离等于B点到直线b的距离，

・・・△A8C的面积和△8CO的面积=4&CD,

:△ABC的面积和△3CD的面积之比为2：3,

：.AB：CD=2：3.

故答案为：2：3.

【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即5=工乂底X高.也考

2

查了平行线之间的距离.

12.（2021春•徐汇区校级期中）如图，AD//BC,AC、BD交于点、E,三角形A8E的面积等于4,三角形

CBE的面积等于5,那么三角形D8C的面积等于9.

【分析】由4O〃3C得弘48£>=5^。£>，可得Sz\ABE=SziECO=4,从而可得出结果.

【解答】'."AD//BC,

••SJ\ABD=S^ACD>

••SAABE=SAECD=4,

SADBC=SZ\ECD+SABCE=5+4=9，

故答案为：9.

【点评】本题考查了三角形的面积，利用同底等高求解是解题的关键.

13.（2021春•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AB=AD=DC,AELBD,如果△ABC的面积是12,那么

△ABE的面积是3.

【分析】根据题意可得AE、08分别是△AB。和△ABC的中线，进而可得面积之间的关系.

【解答】解：；A8=AO=AC,

二。是△ABC的中线，

S/\ABD——S&ABC——X12=6,

22

•.•△ABO是等腰三角形，AELBD,

...点E是3。的中点，

SAABE=-^S&ABD=—x6=3.

22

故答案为：3.

【点评】本题考查三角形的面积，明确三角形的中线会平分三角形的面积是解题关键.

14.（2021春•松江区期中）如图，已知点8在线段CF上，AB//CD,AD//BC,DF交AB于点E,联结AF、

CE,SABCE：SME/的比值为

【分析】利用平行线间距离相等得到同底等高的三角形面积相等即可解答.

【解答】解：连接5。，如图，

•••SdAFD=SAABD，

Sz^AFD-SAAED=SAABD-S&AED，

BPSAAEF=S&BED，

*：AB〃CD,

♦•S&BED-S&BEC，

••S^AEF-S&BEC，

SABCE：S-EF=1，

故答案为：1.

【点评】本题以平行为背景考查了同底等高的三角形面积相等，关键是找到要求三角形有关的同底等高的

三角形.

15.（2021春•浦东新区期中）如图，在四边形3CEF中，8尸〃AO〃CE,S3c=3,则的面积是6.

「E

B

D

【分析】利用平行线间距离处处相等，可以求得SA4)F=SA4B£＞，S/VU)E=SAACO，S4CEF=S〉BCE，利用面积

相等把SAOE尸转化为已知△ABC的面积，即可求解.

【解答】解：U：BF//AD//CE

:•SMDF=SMBD，S〉ADE=SMCD，S&CEF=SABCE，

:・SMEF=S〉CEF-S&ACE=S&BCE-SMCE=S&ABC，

S/\DEF=S^ADF+S/\ADE^-S/\AEF=S/\ABD+S^ACD+S^ABC=1S/\ABC^S^ABC=2S/\ABC=2X3=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了平行线间距离处处相等这一定理，同时考查了转化思想，利用三角形面积相等，把

。所转化为己知△ABC的面积.

16.(2021春•静安区校级期末)如图，在△A8C中，ZC=90°,BC=8cm,AC=6cm,点E是8c的中点，

动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A-C运动，然后以1cm/s的速度沿C-8运动.若设点尸运动

的时间是1秒，那么当t=1.5s或5s或9s,的面积等于6.

二

CER

【分析】分为3种情况讨论：当点尸在AC上时：当点P在BC上时，根据三角形的面积公式建立方程求出

其解即可.

【解答】解：如图1，当点P在AC上，

♦.•△ABC中，ZC=90°,BC=Scm,AC=6c机，点E是BC的中点，

，CE=4,AP=2t.

△APE的面积等于6,

.,•5A4PE=AAP«C£=AX2/X4=6,

22

・1=1.5；

如图2,当点尸在线段CE上,

是DC的中点,

：.BE=CE=4.

：.PE=4-(f-3)=7-f,

.\5=AEPMC=A«(7-r)X6=6,

22

.1=5,

如图3,当尸在线段BE上，

同理：PE=t-3-4=r-7,

：.S=lEP-AC=l<t-l)X6=6,

22

***Z=9,

综上所述，/的值为1.5或5或9；

图3

图2

【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用及动点运动问题，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运

用三角形的面积公式求解是关键.

四.三角形的稳定性（共1小题）

17.（2017秋•兴隆台区校级月考）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木

板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是三角形的稳I定性.

A八6

【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性.

【解答】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理

是三角形的稳定性.

故答案为：三角形的稳定性.

【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题.

五.三角形三边关系（共5小题）

18.（2021春•浦东新区月考）已知三角形的两边长分别为4和9,则下列数据中，能作为第三边长的是（）

A.2B.3C.4D.9

【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值.

【解答】解：设这个三角形的第三边为X.

根据三角形的三边关系定理，得：9-4<x<9+4,

解得5<x<13.

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理.掌握构成三角形的条件：两边之和>第三边，两边之差〈第

三边是解决问题的关键.

19.（2022春•杨浦区校级期末）下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（）

A.1cm,5cm,10c/nB.8cm,6cm,4cm

C.10cm,10cm,5cmD.5cm,5cm,10cm

【分析】根据三角形的三边关系”任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析.

【解答】解：A、5+7>10,则能构成三角形，不符合题意；

B、4+6>8,则能构成三角形，不符合题意；

C、5+10>10,则能构成三角形，不符合题意；

D、5+5=10,则不能构成三角形，符合题意.

故选：D.

【点评】此题考查的知识点是三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中较小的两个数

的和是否大于第三个数即可.

20.（2022春•普陀区校级期末）已知三角形中两条边的长分别为2和7,则第三边。的取值范围是5<〃

<9.

【分析】利用“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”，可求出a的取值范围.

【解答】解：；7-2=5,2+7=9,

第三边a的取值范围为5<a<9.

故答案为：5<a<9.

【点评】本题考查了三角形三边关系，牢记“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”

是解题的关键.

21.（2022春•徐汇区校级期末）三角形的三边分别为5,1-〃，9,则a的取值范围为-13<a<-3.

【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得9-5<1-〃<9+5,再

解不等式即可.

【解答】解：根据三角形的三边关系可得：9-5<1-a<9+5,

解得-13<a<-3,

故答案为：-13<a<-3.

【点评】本题考查了三角形的三边关系.此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关

系定理列出不等式，然后解不等式即可.

22.（2022春•徐汇区校级期末）周长为30,各边互不相等且都是整数的三角形共有12个.

【分析】不妨设三角形三边为a、b.c,且〃〈力Vc,由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范

围，以此作为解题的突破口.

【解答】解：设三角形三边为“、氏c,且a<b<c.

Va+b+c=30,a+b>c

.,.10<c<15

♦••c为整数

为11,12,13,14

•.•①当c为14时,有5个三角形,分别是：14,13,3；14,12,4；14,II,5；14,10,6；14,9,7；

②当c为13时，有4个三角形，分别是：13,12,5；13,11,6；13,10,7；13,9,8；

③当c为12时，有2个三角形，分别是：12,11,7；12,10,8；

④当c为11时，有1个三角形，分别是：11,10,9；

故答案为：12个.

【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力.

六.三角形内角和定理（共8小题）

23.（2022春•杨浦区校级期中）在△ABC中，如果NA+NB=135°,且/B=2NC,那么aABC是直

角三角形.

【分析】利用三角形内角和定理，求得NB=90°即可.

【解答】解：VZA+ZB=135°,ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=45°,

ZB=2ZC,

AZB=90°,

二ZV1BC是直角三角形.

故答案为：直角.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，关键是要掌握内角和定理

24.（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（）

A.45°B.135°C.45°或135°D.都不对

【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义计算.

【解答】解：如图：..乂£8。是直角三角形中两锐角平分线，

：.ZOAB+ZOBA=90a+2=45°,

两角平分线组成的角有两个：NBOE与NE。。这两个角互补，

根据三角形外角和定理，ZBOE=ZOAB+ZOBA=45°,

...NEOZ）=180°-45°=135°,

故选：C.

【点评】①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做

方程的思想；

②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；

③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.

25.（2020春•虹口区期末）如果一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3,那么这个三角形中最大的

一个内角等于90度.

【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为A,根据三角形的内角和等于180。列方程求三个

内角的度数，从而确定三角形的最大角的度数.

【解答】解：设三个内角的度数分别为公2k,3k.

则收21+34=180°,

解得女=30°,

则2k=60°,3k=90°,

这个三角形最大的角等于90°.

故答案为：90.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理.解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算.

26.（2021春•徐汇区校级期末）如图，ZiABC中，NB=40°,ZC=30°,点。为边BC上一点，将△AOC

沿直线折叠后，点C落到点E处，ZBAE=30°,则ND4C的度数为40°.

【分析】根据三角形的内角和定理得到NBAC,进而求出/。E,由折叠的性质得到，NDAE=NDAC,即

可求出/D4C的度数.

【解答】解：；.NBAC=180°-ZB-ZC=110°,

♦.•N8AE=30°,

.".ZCAE=ZBAC-ZBA£=80°,

由折叠的性质得，ZDAE^ZDAC,

：.ZDAC=AZCA£=AX80°=40°,

22

故答案为：40°.

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

27.（2022春•嘉定区校级期末）在△ABC中，NB=NC,点。在BC边上，ZBAD=50°（如图1）.

（1）若E在aABC的AC边上，且NADE=N8,求NEDC的度数；

（2）若/B=30°,E在△ABC的AC边上，△AOE是等腰三角形，求NEOC的度数；（简写主要解答过程

即可）;

（3）若A。将4ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求N3的度数.（直接写出答案）.

A

A

备用图

【分析】(1)由三角形的内角和和三角形的外角的性质可直接得出结论；

(2)由等腰三角形的性质可得，NBAC=120°.所以ND4C=NBAC-NBAD=70°,由三角形的外角的

性质可知，ZADC=ZB+ZBAD=SOQ,由等腰三角形的性质可知，需要分类讨论，当AE=£»E时，当A。

=DE时两种情况，再利用等腰三角形的性质可得出结论；

(3)若△ABO为等腰三角形，则只能40=8。，所以/8=/区4。=50°.若△4C。为等腰三角形，则只

能AD=CD或4c=DC,根据等腰三角形的性质可得出结论.

【解答】解：(1)是△A3。的外角，

NADC=NB+NBAD,

VZADC^ZADE+ZEDC,且ZBAD=50°,

：.ZEDC=ZBAD=50°.

即NEDC的度数为50°；

(2)•.♦/B=CC=30°,

/.ZBAC=180°-(ZB+ZC)=120°.

VZBAD=50<,,

二ZDAC=ABAC-NBAD=70°,

'：ZADC是△A8£)的外角,

.•./AOC=/8+/8A£>=80°,

♦.•△/!£>£是等腰三角形，

若AE=DE,则NAO£；=NOAC=70°,

AZEDC^ZADC-ZADE=10°.

若AD=£>E,则/AE£>=N£»AC,

...NAOE=180°-2ND4c=40°,

ZEDC=ZADC-NAOE=40°.

若4£>=AE,则/AOE=NAE£>=（180°-70°）+2=55°,

AZEDC=80°-55°=25°.

即NEDC的度数为10°或40°或25°；

（3）若△48。为等腰三角形，则只能

AZB=ZBAD=50°.

若△4C。为等腰三角形，则只能A£）=CO或4c=OC,

.•./8=/C=/CA£）=l”/BAD=（130）o或/B=/C=18°"-2/BAD=（毁）°,

3333

.♦./B的度数为50°或（2阻）°或（殁）°.

33

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想等

内容，解题的关键是掌握等腰三角形的性质.

28.(2022春•上海期末)在AABC中，AB=AC,Zl^^ZABC,/2=1/4CB,8。与CE相交于点O,

22

如图，NBOC的大小与NA的大小有什么关系？

若/1=工乙48(7,/2=L/AC8,则/BOC与/A大小关系如何？

33

若Z2=1ZACB,则/BOC与/A大小关系如何？

nn

【分析】根据三角形的内角和得到NA=1800-CZACB+ZABC\ZBOC=180°-(Z1+Z2),代入已

知条件即可得到结论.

【解答】W：'：AB=AC,Zl=AzABC,,/2=>1/AC8,

22

-A(ZABC+ZACB)

.•./BOC=180°-(Z1+Z2)=180°=180°.1(180°-NA),

22

即N8OC=90°+工乙4；

2

VZI=AZA/?C,Z2=AZACB,

33

AZB(?C=180°-(Z1+Z2)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-NA),

33

即ZBOC=120°+ZA；

VZ1=AZ/ABC,Z2=AZACB,

nn

：.ZBOC=\SO°-(Z1+Z2)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-NA),

nn

即N80C=n-1180°+AZA.

nn

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，角平分线的定义,熟练掌握三角形的内角和是

解题的关键.

29.(2022春•杨浦区校级期中)如图1,已知等腰△ABC中，ZA=ZC=30°,动点。在AB的平行线/

上，联结AD

(1)如图2,若NB=NADC,说明A£>〃2c的理由：

(2)如图3,当时，△AC£>是什么三角形？为什么？

(3)过点A作/的垂线，垂足为H,若NAO4=60°,求ND4C的度数.

图1

【分析】(1)由平行线的性质得/3+/8CZ)=180°,再等量代换得NADC+N3CZ)=180。，进而根据平行

线的判定得结论；

(2)由平行线的性质得/CD4+ND4B=180°,再由NCDA=ND4B得NCD4=90°,进而判断三角形的

形状；

(3)分两种情况：①当点。在点，的左边时，根据三角形的内角和定理求得结果；②当点。在点，的右

边时，根据三角形的外角性质求得结果.

【解答】(1)证明：•••d)〃AB,

AZB+ZBCD=180°,

"：ZB=ZADC,

：.ZADC+ZBCD=1SO°,

：.AD//BC；

(2)解：△AC。是直角三角形.

理由：\'CD//AB,

：.ZCDA+ZDAB=\S0°,

'：ZCDA^ZDAB,

/.ZCDA=90°,

.♦.△AC。是直角三角形；

(3)解：当点。在点，的左边时，如图，

'.'CD//AB,NBAC=30°,

：.,NACH=NA=30°,

VZAD//=60°,

：.ZDAC=180°-60°-30°=90°；

当点。在点“右边时，如图，

VZADH=60°，ZACH=30°,

ZDAC=ZADH-ZACH=30°.

综上，/D4C=90°或30°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，分类讨论的思

想方法，灵活应用这些知识解题是关键.

30.（2022春•宝山区校级月考）已知：如图，△A8C.求证：ZA+ZB+ZACB=180°.

证明：如图，作延长线CD,过点C作CE〃A8.

因为CE〃AB（已知），

所以/1=4B（两条直线平行，同位角相等）

Z2=ZA（两直线平行，内错角相等）

因为Nl+N2+/AC3=180°（平角的定义）

所以N4+N8+/C=180°（等量代换）

【分析】作BC的延长线CD,过点C作CE〃射，根据平行线的性质得到N1=N8,Z2=ZA,由平角的

定义得到Nl+N2+NACB=180°,等量代换即可得到结论.

【解答】解：：CE〃A8,（已知）

/.Z1=ZB,（两条直线平行，同位角相等）.

N2=NA,（两直线平行，内错角相等）.

VZl+Z2+ZACB=180°,（平角的定义）,

.,.ZA+ZB+ZACB=180°,（等量代换）.

故答案为：两条直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换.

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.

七.三角形的外角性质（共8小题）

31.（2021春•浦东新区期末）将一副三角板如图摆放，斜边48与直角边。E相交于点凡则60

c

【分析】根据已知条件得到ND4E=NE=45°,ZCAF=30°,根据角的和差得到/EAF=ND4E-ND4F

=15°,由外角的性质即可得到结论.

【解答】解：；NZME=NE=45°,NC4F=30°,

/.ZEAF^ADAE-ZDAF=15°,

/.ZBFE=ZFAE+ZE=15°+45°=60°,

故答案为：60°.

【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关

键.

32.（2021春•浦东新区期中）如图，E为△4BC的BC边上一点，点。在BA的延长线上，OE交AC于点

F,ZB=46°,ZC=30°,NEFC=70°,则/£>=34°.

【分析】先求/D4C,再在△A。尸可得答案.

【解答】解：：/8=46°,NC=30°,

AZDAC=ZB+ZC=76°,

VZEFC=70°,

...NAF£>=70°,

，/。=180°-ZDAC-ZAFD=?>4°,

故答案为：34°.

【点评】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三

角形内角和定理.

33.（2021春•宝山区校级期中）如图，在△ABC中，ZB=25",NBAC=31°,过点A作8C边上的高，

交BC的延长线于点Q,CE平分NACZ),交A。于点E.

求：(1)NACD的度数；

(2)/AEC的度数.

【分析】(1)利用三角形的外角的性质求解即可.

(2)求出/EC。，ZD,利用三角形的外角的性质求解即可.

【解答】解：(1)VZACD^ZB+ZBAC,/B=25°,ZBAC=3\°,

：.ZACD=25°+31°=56°.

(2)'：ADLBD,

：.ZD=90°,

VZACD=56°,CE平分NACD,

：.ZECD=AZAC£>=28°,

2

AZAEC=ZECD+ZD=2S°+90°=118°.

【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

34.(2022春•杨浦区校级期末)如图，已知在△ABC中，ZA=(3x+10)°,NB=(2x)°,NACD是

△ABC的一个外角，且/ACZ)=(6x-10)。，求NA的度数.

【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程,

求出x,从而求出/A的度数.

【解答】解：是△ABC的一个外角，

・・・NACO=NA+N3,

VZA=(3x+10)0，N8=⑵)°,ZACD=(6x-10)

A6x-10=3x+l0+2x.

解得：x=20.

AZA=70°.

【点评】此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质

列一元一次方程，求出X.

35.（2021春•浦东新区期末）如图，已知/8AC=70°,。为△ABC的边2c上的一点，且NC4D=/C,

ZADB=60°.求的度数.

【分析】由三角形的外角性质及已知条件可求得NC=30°,再利用三角形的内角和定理即可求N8的度数.

【解答】解：VZCAD=ZC,是△AC。的外角，

ZADB^ZC+ZCAD=2ZC,

VZADB=60°,

.*.ZC=AZA/）B=3O°,

2

VZAfiC=70°,

.,.ZB=1800-ABAC-ZC=80°.

故/B的度数为80°.

【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其

不相邻的两个内角之和.

36.（2021春•静安区校级期末）AABC中，NA、NB、NC的外角的度数之比是2：3：4,求NA的度数.

【分析】根据三角形的外角和等于360。列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：设乙4的外角为2%,则的外角为3x,NC的外角为4x,

•.•任意多边形的外角和为360°,

.•.2x+3x+4x=360°，

解得：x=40°，

的外角为80°,

AZA=100°.

【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的外角和等于360°是解题的关键.

37.（2020春•杨浦区期末）如图，已知点。为△ABC的边BC延长线上一点，ORLAB于点凡交AC于点

E,ZA=35°,ZD=42°,求NACO的度数.

解：因为。F_LAB（已知），

所以乙DFB=90°（垂直的意义）.

因为NO尸B+NB+NO=180°（三角形内角和是180°）,

又/。=42°,

所以NB=48°（等式性质）.

因为/ACO=/A+NB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）,

又/4=35°,NB=48°,

所以NAC£>=83°（等式性质）.

【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答.

【解答】解：因为O/UAB（已知），

所以/£>FB=90°（垂直的意义）.

因为/DFB+NB+NO=I80°（三角形内角和是180°）,

又/。=42°,

所以NB=48°（等式性质）.

因为（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

又NA=35°,N8=48°,

所以NACD=83°（等式性质）.

故答案为：三角形内角和是180°,48,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，48,83.

【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系，三角形内角和定理.解题的关键是熟练掌握三角形外角与

内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形内角和定理：三角形内角和是180

38.（2018春•浦东新区期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点。、E分别在△ABC的边

AB.AC上，且延长。E与BC的延长线交于点尸，NB4C和/8尸。的角平分线交于点G.那

么AG与FG的位置关系如何？为什么？

解：AG±FG.将AG、OF的交点记为点P,延长AG交8c于点Q.

因为AG、尸G分别平分NB4C和NBFD（已知）

所以N8AG=NC4G,NPFG=NOFG（角平分线定义）

又因为NFPO=NCAG+NAEZ）,NF0G=/BAG+NB

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

4AED=4B（已知）

所以/尸PO=/FOG（等式性质）

（请完成以下说理过程）

【分析】根据角平分线的定义得到/54G=NC4G,ZPFG=NQFG,根据三角形的外角的性质得到/FPQ

=/尸。6得到FP=FQ,根据等腰三角形的三线合一证明.

【解答】解：AGLFG.将AG、OF的交点记为点P,延长AG交BC于点Q.

因为AG、FG分别平分NB4C和（已知）

所以/BAG=/C4G,NPFG=/QFG（角平分线定义）

又因为NFPQ=/C4G+/AE3,NFQG=NBAG+NB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

NAED=NB（已知）

所以NFPQ=NFQG（等式性质）

所以FP=FQ（等角对等边）

又因为NPFG=NQFG

所以AG_LFG（等腰三角形三线合一）.

故答案为：ZCAG；NPFG=NQFG；ZCAG；NFQG；/BAG；ZFQG.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关

键.

U巩固提升

一、单选题

I.（2022春.上海静安•七年级统考期中）下列判断错误的是（）

A.三角形的三条高的交点在三角形内

B.三角形的三条中线交于三角形内一点

C.直角三角形的三条高的交点在直角顶点

D.三角形的三条角平分线交于三角形内一点

【答案】A

【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解.A.三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合

题意；

B.三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意；

C.直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意；

D.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意.

故选：A.

【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义.

2.（2022春•上海.七年级专题练习）已知三条线段长分别为2cm、4cm、“cm,若这三条线段首尾顺次相接

能围成一个三角形，那么。的取值可以是（）

A.7B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，

再一一比较即可.

【详解】解：根据题意得：4-2<a<4+2,

:.2<a<6,

*••只有选项B在这范围内，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟悉掌握三角形的定义是解题的关键.

3.（2019春•七年级课时练习）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩A8即可固定，这里所用的几何原理是

（）

A.两点之间线段最短B.垂线段最短.

C.两定确定一条直线D.三角形具有稳定性

【答案】D

【分析】三角形具有稳定性的实际应用.

【详解】根据题意窗钩A8可固定，用的是三角形（图中的一408）的稳定性,

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的稳定性性质的实际应用，理解性质是解题关键.

4.（2019春•七年级课时练习）如图，三角形的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】根据三角形的定义可直接进行解答.

【详解】解：由图可得：

三角形有：AABC、△ABD,△ADC,所以三角形的个数为3个；

故选B.

【点睛】本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键.

5.（2022春•上海•七年级专题练习）三角形的角平分线、中线和高都是（）

A.直线B.线段C.射线D.以上答案都不对

【答案】B

【分析】根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可.

【详解】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义是解

题关键.

6.（2022春・上海•七年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE

交于。点，如果设NBAC="。，那么用含〃的代数式表示NBOC的度数是（）

A.45°+〃°B.90°-〃°C.90°+〃°D.180°-n°

【答案】D

【分析】由垂直的定义得到NADB=/BDC=90。，再根据三角形内角和定理得N4BD=180。-ZADB-ZA

=90。-〃。，然后根据三角形的外角性质有NBOC=NEBO+/BE。，计算即可得到/BOC的度数.

【详解】解：CE分别是边AC,AB上的高，

二ZADB=NBDC=90。,

又

AZABD=180°-ZADB-ZA=180°-90°-n°=90°-n°,

ZBOC=ZEBD+ZBEO=90°-+90°=180°-n°.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质,垂直的定义以及三角形内角和定理，掌握以上性质定理是解答本题的

关键.

7.（2021春.上海.七年级上海市第二初级中学校考期中）下列说法中正确的是（）

A.三角形的三条高交于一点

B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角

C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等

D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直

【答案】D

【分析】分别对每个选项进行分析，即可解题.

【详解】A选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故A错误；

B选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故