【初中数学解题技法】半角模型

半角模型

模型倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

已知如图：

Z2=-ZA0B,OA=OB»

2

连接FB,将△FOB绕点0旋转

至aF'0A的位置，连接F'E、FE,

可得△OEF'^A0EF»

基本模型（1）——正方形内含半角

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45°,

求证：EF=BE+DF0

基本模型（2）——等边三角形内含半角

已知：如图S.MC是等边三角形，点D是…LBC外一点,DB=DCS.ZBDC=120°.

Z£DF=60°,DE、Z）F分别交.也、于点E、F.

求证:EF=BE+CF

分折：延长FCSIG,使网CG=8E,

mSDG,窈证

再证:J)EFmDFG(5US),所以EF=FG=BE+CF

基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角

已知：如图xL5C是等腰直角三角形，点。、E在BC上,且满足ND4£=45。.

求证：DE'=BD'+C£:

BDE

法一:fi»$

如右圈：将烧首点a旋转御L/CF,易

证“IDE邑4FE所以DE=FE.CF=8Z>,由

于Z£CF=4CA+4CF

=Z8C4+Z-4C5=90°

所以EC：+CF：=EF：,得证.

法二：翻折

如右图：格』LB。沿膏AD翻折用到4的,

联结EF,易证-MDEuiQ,

aiCE=^AFE，所以BD=FD,CE=FE

zJDFE=ZDFA+AEFA=zJ+ZC=90°

所以QF：+£F：=DE：,得证

模型分析

(1)半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点;

(2)通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

(3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°。

半角模型及其常见结论

在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足，乙EAF=45°

AE、AF分别与对角线交于点M、N（4AEF满足定角定・为‘唐三角模型）

求证：(1)BE+DF=EF

(2)SAABE+SAADF=SAAEF

(3)AH=AB

(4)CAECF=2AB

(5)BM^DN^MN2

(6)△AMN^ADNF^ABEM->AAEFVZ>ABNA^ADAM

(7)SAAMN=SsawMNEF

(8)AAOM^AADF,AAON^AABE

(9)AAEN为等腰直角三角形且乙AEN=45:AAEN为等腰直角三角

形

且乙AEN=45・

(10)A、M、F、D四点共圆；A、B、E、N四点共圆；M、N、F、C、

E

五点共圆；

核心母题如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点,ZEAF=45°,

求证：EF=BE+DF.

【专题*明题.

【分析，口图，作辅助线，首先证明△AFEW^AFG,进而得到EF=FG问题即可解决.

【解答XE明：VAB=AD,

.•.把448卫线点4逆时针旋转90°至AADG,可使AB与AD重合，如图:

.".NBAE=NDAG,

VZBAD=90°,NEAF=45°,

AZBAE+ZDAF=45°,

:.NEAF=NFAG,

VZADC=ZB=90°,

AZFDG=180°»点F、D、G共线,

在aAFE和AAFG中，

'AE=AG

(4EAF=ZFAG>

..-F=AF

AAAFE^AAFG(SAS)，

.,.EF=FG>

即：EF=BE+DF

【点评考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作

辅助线，构造全等三角形.

变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上的点，若4ECF

的周长是2,求NEAF的度数？

3C

【考点褰等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【分析班长CD至H,使得DH=BE,连接AH,得出4ABE丝△ADH,可得FH=EF,即可证明4AF

E丝△AFH,可得NEAF=NHAF,根据NHAE=NBAD=90。即可解题.

【解答篇：延长CD至H,使得DH=BE,连接AH,

,”…H

,.■CE+CF+ED=2,BC+CD=2.

J.EF=BE+FD,

.•.△ADH是AABE逆时针选转90度。形成，

」.△ABE丝△ADH，

AZDAH=ZBAE>AE=AH,BE=DH>

.".FH=DF+DH=DF+BE=EF,ZHAE=ZBAD=90°,

(AE^AH

V在ZkAFE和ZkAFH中，<EF=FH，

1AF~AF

AAAFESAAFH.(SSS)

ZEAF=ZHAF,

VZMAE=900»

AZEAF=450.

【点评墓题考查了全等三角形的判定，考察了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证

△AFE丝△AFH是解题的关键.

变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45°,AG

±EF,求证:AG=AB.

【考点疏转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题翼明题.

【分析冼根据正方形的性质得AB=AD,ZBAD=90°,则可把AADE线点A|顺时针旋转90°得

到△ABQ,如图，根据旋转的性质得AQ=AE,ZEAQ=90°.ZABQ=ZD=90°，则可

判断点Q在CB的延长线上，由NEAF=45°得到NQAF=90。-NEAF=45°，然后根据

“SAS”判断△AFQWAAFE,得到FQ=FE,再根据全等三角形对应边上的高相等得

到结论.

【解答XE明：•.•四边形ABCD为正方形，

AAB=AD.ZBAD=90°»

.•.把AADE绕点A顺时针旋转9。°得到AABQ,如图,

AQ=AE,ZEAQ=90°,ZABQ=ZD=90°,

而NABC=90°,

二点Q在CB的延长线上，zH

VZEAF=45°,

AZQAF=900-ZEAF=45°>

:.ZEAF=ZQAF,

在AATQ和AAFE中，

'AF=AF

<ZO.lr=Z£ir,

KAO=AE

/.△AFQ^AAFE(SAS),

FQ=FE,

VAB±FQ.AG±FE,

AB=AG.

【点评整题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转自旋转前、后的图形全等.也考查了全等三角形的判定与性质

、正方形的性质.

综合：在正方形/版中,若机N分别在边8C、切上移动，且满足必仁物/+如

求证：①./物心45°②.'CACMN=2AB③.例月1分别平分加和N7W

BMC

练习

1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,ZA=ZC=90°,ZB=135°,K、N分别是AB、

BC上的点，若ABKN的周长是AB的2倍，求NKDN的度数?

2、已知：正方形ABCD中，ZMAN=45°,NMAN绕点A顺时针旋转，它的

两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.当/MAN绕点A旋转到BM=DN

时（如图1）,易证BM+DN=MN.

（1）当/MAN绕点A旋转到BMWDN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有

怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当NMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎

样的数量关系？请直接写出你的猜想.

图1图2

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专邕】计算题；压轴题.

【分析】(1)BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到aAEM丝aANM，从而证得ME=MN.

(2)DN-BM=MN.证明方法与(1)类似.

【依答】解：(1)BM+DN二MN成立.

证明：如图，把AADN线点A顺时针旋转90°，

得到aABE，则可证得E、B、M三点共线(图形画正确》.

AZEAM=900-ZNAM=90°-45°=45°，

又・・・NNAM=45°，

AE=AN

二在2UEM与AANM中，AEAM-Z.NAM

AM=AM

---AAEM^AANM(SAS)，

・••ME;MN，

VME=BE+BM=DN+BM，

.'-DN+BM=MN；

(2)DN-BM=MN.

在线段DN上截取DQ=BM，

在AADQ与AABM中，

AD-AB

•・•Z-ADQ-Z.ABM，

DQ=BM

/.AADQ^AABM(SAS)，

・•・ZDAQ=ZBAM，

:.ZQAN=ZMAN.

在AAMN和△AQN中，

AQ=AM

<AOAN-^MAN

AN=AN

AAAMN^AAQN(SAS)，

・•・MN=QN，

ADN-BM=MN.

【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变里.

3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD,,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD±

的点，且2NEAF=NBAD,

(1)求证：EF=BE+FD

(2)如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成

立？说明理由。

【分析】(1)延长CE至M,使BM=DF,连接AM，证aADF丝ZkABM,证aFAE空ZiMAE,即可得出答案；

(2)在CB上截取BM=DF,连接AM,证AABM丝21ADF,推出AF=AM,ZDAF=ZBAM,求出NEAM二NE

AF,证aFAE丝ZkMAE,推出EF二EM即可.

【解答】(1)证明：延长CB至M,使BM=DF,连接AM

9

ZABC+ZD=180<>,ZABC+ZABM=180°

9

・•・ZD=ZABM,

在AABM和AADF中，

图2

fAB=AD

<ZABM=ZD

\BV=DF

---AABM^AADF(SAS),

・・・AF二AM,ZDAF=ZBAM,

•・•ZBAD=2ZEAF,

・•・ZDAF+ZBAE=ZEAF,

・•・ZEAB+ZBAM=ZEAM=ZEAF,

在aFAE和△MAE中，

'AE=AE

<ZFAE=ZMAE,

<AF=AM

AAFAE^AMAE(SAS)，

*

..EF=EM=BE+BM=BE+DF>

即EF=BE+DF.

(2)解：EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF,

理由是：在CB上截取BM=DF,连接AM,

VZABC+ZD=180°.ZADC+ZADF=180°,

:.ZABC=ZADF»

在ZkABM和4ADF中，

'AB=AD

<ZB=ZADF

^BM=DF

AAABM^AADF(SAS),

AAF=AM,ZDAF=ZBAM»

VZBAD=2ZEAF=2(ZEAD+ZDAF)=2(ZEAD+ZBAM)=NEAF+(ZEAD+ZBAM)

又•••NBAB=(ZBAM+ZEAD)+ZMAE

二NMAE=NEAF在AFAE和△MAE中，

fAE=AE

<ZFAE=ZMAE，

、月尸=/3/

AAFAESAMAE(SAS)>

.,.EF=EM=BE-BM=BE-DF,

即EF=BE-DF.

4、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180°求证:

AD平分NCDE.

【分析】连接AC，延长DE到F,使EF=BC,连接丸F，易证aABC丝4AEF,进而可以证明aACD丝AAPD,

可得NADC二NADF即可解题.

【解答】解：连接AC，延长DE到F,使EF二BC,连接AF,

・•・CD=FD,

VZABC+ZAED=180°,ZAEF+ZAED=180°,

・•・ZABC=ZAEF,

在AABC和AAEF中，

(AB=AE

\4ABC=4EF，

[BC=EF

.•.△ABC^AAEF(SAS),

・，AC=AF,

在AACD和AAPD中，

(AC=AF

\cD^FD，

(AD=AD

.'.△ACD^AAFD(SSS)

・•・ZADC=ZADF,

即AD平分NCDE.

5、如图，已知AB二CD二AE=BC+DE=2,NABC=NAED=90°,求五边形ABCDE的面

积.

E

A

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】应用题.

【分析】可延长DE至F,使EF=BC,可得△ABC丝△AEF,连AC,AD,AF,可将五边形ABCDE的面积转化

为两个AADF的面积，进而求出结论.

【解答】解：延长DE至F,使EF=BC,连AC，AD,AF，

VAB=CD=AE=BC+DE,ZABC=ZAED=90°,

.,■CD=EF+DE=DF,

在aABC与AAEF中，

AB=--LE

•・•{/ABC=/-AEF

BC^EF

/.AABC^AAEF(SAS),

・•・AC;AF,

在AACD与aAFD中，

AC=AF

•・・ICD^DF

iAD=.4D

AACD^AAFD(SSS),

二五边形ABCDE的面积是：S=2SAADF=2xl'DF'AE=2xlx2X2=4.

K点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练茎握.

6、如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、

CD上的点，且/BAD=2/EAF.

(1)求证：EF=BE+DF；

(2)在(1)问中，若将4AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、

CD延长线上时，如图2所示，

试探究EF、BE、DF之间的数量关系.

图1图2

1考点】全等三角形的判定与性质.

工分析】(1)延长CB至M,使BM=DF,连接AM,证△ADFWZkABM,证△FAEWZkMAE,即可得出答案；

(2)在CB上截取BM=DF,连接AM,证aABM经ZkADF,推出AF=AM,ZDAF=ZBAM,求出NEAM

=ZEAF,证AFAE丝ZiMAE,推出EF二EM即可.

4BM=ZD

{BM^DF

.'.△ABM^AADF(SAS),

AF=AM,ZDAF=ZBAM,

,/ZBAD=2ZEAF,

・•・ZDAF+ZBAE=ZEAF,

・•・NEAB+NBAM二NEAM;NEAF,

在AFAE和aMAE中，

\NF.4E=Z.MAE,

1,4尸=皿

.'.△FAE^AMAE(SAS),

.'.EF=EM=BE+BM=BE+DF,

即EF=BE+DF.

(2)解：EF、BE、DF之间的关系是EF二BE-DF,

理由是：在CB上截取BM二DF,连接AM,

VZABC+ZD=180°,ZADC+ZADF=180°,

ZABC=ZADF,

在△ABM和AADF中，

(AB=AD

(N3=/ADF

[BM=DF

AAABM^AADF(SAS),

AAF=AM,ZDAF=ZBAM,

VZBAD=2ZEAF=2(ZEAD+ZDAF)=2(ZEAD+ZBAM)=ZEAF+(ZEAD+ZBAM)

又・・・NBAD二(ZBAM+ZEAD)+ZMAE

・•・/MAE二NEAF在aFAE和△MAE中，

[AE=AE

\4FAE=/.MAE,

[AF=^f

AFAE^AMAE(SAS)，

AEF=EM=BE-BM=BE-DF,

即EF=BE-DF.

7、如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点，且PA=3,PC=2,

PB=1.求NBPC的度数

【专题】计算题.

t分析】过点C作CD_LCP，使CD=CP=2,连接CD,PD,AD,根据AC=BC,由同角的余角相等得到夹角相

等，利用SAS的三角形ACD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到A

D=BP=1,ZADC=ZBPC,在直角三角形DCP中，利用勾股定理求出DP的长，由AD以及AP的长，

利用勾股定理的逆定理得到三角形ADP为直角三角形，由N4+N5求出NADC度数，即为NBFC

度数.

【解答】解：过点C作CD-LCP,使CD=CP=2,连接CD,PD,知,

VZl+Z2=ZACB=900=ZDCP=Z3+Z2,

AZ1=Z3,

在△CAD和△CBP中，

(CD=CP

Z3=Z1,

[AC=BC

AACAD^ACBP(SAS),

ADA=PB=1,ZADC=ZBPC,

在等-RtZkDCP中,Z4=45°,

根据勾股定理得：DP^CD^CP^Z^Z^S,

VDP2+DA2=8+1=9,AP2=32=9,

.•.DP2+DA2=AP2,

•••△ADP为直角三角形，即/5二9。°，

则NBPC=NADC=N4+N5=450+90°=135°・

半角模型

a」尸且6+7=180°.

条件：2

思路：

(1)、延长其中一个补角的线段

(延长切到使ED=BM,连〃或延长⑦到A模FB=DN,连

AF)

结论：①)MN=BM+DN②C&CM—AB③.

4V分别平分NBMN和NDNM

(2)对称(翻折)

思路:分别将和△AON以AM和AN为对称轴翻折，但

一定要证明

M、P、N三点共线.(ZB+ZD=1KAB=AD)

例题应用：例1、在正方形极力中，若以〃分别在边加；CD

上移动，且满足腑=飒+如求证：①.4L4N=45

②.

C&CMN=2AB

③.幽的分别平分NBMN和〃NM.

思路同上略.

例1拓展:在正方形2比2?中，已知/W4N=45°,

若欣〃分别在边宓加的延长线上移动，

①.试探究线段孙BM、加之间的数量关系.

②.求证：AB-AH.

提不如图:

例2.在四边形极力中，^B+^D=iS0,AB=AD,若反尸分别

ZEAF=-ZBAD.

在边况1、CD上,且满足酬助+班:求证：2

D

A

练习巩固：如图，在四边形四0中，ZB=ZD=^,AB=AD,

^EAF=-ZBAD.

若反尸分别在边必切上的点，且2.求证：泊阳+在

半角

例题：

如图，将ACftV绕点C顺时针旋转90),得AC4D,连结MD,

则==〃,CD^CN,ZACD=XBCN,

/.NMCD=ZACM+AACD

=ZACM+/BCN

=90°-45°=45°=ZMCN.

〕AWCgAMM?,

；MD=MN=x

又易得mtW=45。+45。=90°,

丁•在中,有〃J+〃'=x，,故

练习：

1、如图，正方形JBCD的边长为1,AB、上各存一点尸、。，若&4P0的周长为2,求ZPC0的度数.

2、£、尸分别是正方形H?C£＞的边友?、8上的点，且N£4F=45。，⑷UEF,〃为垂足，

求证：AH=AB.

3、如图所示，在等腰直角A血?的斜边⑷9上取两点A/、N,使乙WCV=45。，记4W=m,MN=x,BN^n,

求证：以八用、〃为边长的三角形的形状是直角三角形.

AmMxNB

4、已知：如图1在R1A曲?中，ZBAC=MP,AB^AC，点£>、£分别为线段8c上两动点，若Z£M£=45。.探

究线段DE.£C三条线段之间的数量关系.

小明的思路是：把A4£C•绕点,4顺时针旋转90°,得到山吟，连结££>,

使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴猜想EXDE、皮三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵当动点七在线段灰•上，动点。运动在线段C8延长线上时，如图2,其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生

改变？请说明你的猜想并给予证明.

BDE

mi

DBE,

图2

解析：

1、如图，正方形.西CO的边长为1,AB,仞上各存一点。、Q,若&4P0的周长为2,求ZPC0的度数

解：把绕点C旋转90°到AC防的位置，CQ=CF.

./0+/P+QP=2,0.

又AQ+QD+AP+PB=2,

:QD+BP=QP.

又DQ=BF.

:PQ=PF.

AQCP^AFCP.

"QCP=AFCP.

又N0c尸=90。,

••"8=450.

2、E、F分别是正方形.45。的边加\CD上的点，且NE"、=45。，A//J.EF.〃为垂足，

求证：AH=AB.

解：延长C8至G,使5GP，辘/G,ADAD

子下

易证△JBGgAinF,

NR4G=ND4F,AG^AF.\

再证△JEGgA4£F,'

全等三角形的对应高相等L_

（利用三角形全等可证得），则有⑷/=,必.BECGBEC

3、如图所示，在等腰直角A4BC.的斜边川9上取两点A/、N，使4MCV=45。，记=m,MN^x,BN=n,

求证：以x、桁、〃为边长的三角形的形状是直角三角形.

解：法1：如图所示，将AC&V绕点C'顺时针旋转90°,得到AC4D.

连接MD,贝!1==〃,CD=CN,ZAC