高中数学圆锥曲线十大题型 03椭圆的离心率（学生版+解析版）

03椭圆的离心率

碧刎合所

类型一、利用定义法求离心率

直线x-y+l=0经过椭圆三+2

1.方=1（〃＞人＞0）的左焦点F,交椭圆于A、B两点，交y轴于c点，若

a

FC=2AC.则该椭圆的离心率是（)

AV10-V2V3-1

RC.2>/2-2D.&-]

22

2、已知Q,尸2是椭圆c：$+/=l（a泌＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为常的直

线上，为等腰三角形，NFiF2P=120°,则C的离心率为（）

A.|B.；

C.；

D4

3、如图，用与底面成45。角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（）

A乎

B坐FA

c坐

4.过椭圆/小爪＞。）的左焦点臼作x轴的垂线交椭圆于点P,修为右焦点，若的P『。。，则椭圆

的离心率为（）

A..B百

23

1

cD.-

-13

类型二、利用齐次式法求离心率的最值或取值范围.

r221

设A、5为椭圆上关于原点的两个对称点，右焦点为3）,若WSQr

则该桶圆离心率含的取值范围为（）

-W]'.例

cl。,倒"用

22

2.如图，椭圆,+£=1（。>人>0）的左焦点为F,点P在y轴上，线段EP交

椭圆于点Q.若OQJ_EP,忻P|=3|FQ|,则椭圆的离心率是（）

1B*4。.李

A.-

3

3.已知F”尸2分别是椭圆C：，+方=15泌>0）的左、右焦点，若椭圆C上

存在点P,使得线段PR的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是（）

「2i明

A.胃B.

弟，1）

22

4、已知椭圆T+}=i（a>o〉o）的左、右焦点分别是尸2,点A是椭圆上位于工轴上方的一点，若

直线A4的斜率为孚，且|A耳|=|耳闾，则椭圆的离心率为.

方准点技

求椭圆离心率或其取值范围的方法

（1）定义法：求出a,6或a,c的值，代入£>2=?=邑］亘=1—（0求出d,再开方.

（2）齐次式法：先根据条件得到关于a,6,。的齐次等式（不等式），结合S=一-/转化为关于a,。的齐次

等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或才等转化为关于e或J等的方程（不等式），

再解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

（3）特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

双&练可

I.已知椭圆c：W+S=i（a>%>0）的左、右顶点分别为A，4,且以线段A4为直径的圆与直线

ah

依+勿-2〃〃=0相切，则C的离心率为（）

4任RGC亚n1

3333

2、已知Fi，尸2分别为椭圆、+1=13>8>0）的左、右焦点，点尸是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2

交椭圆于点。，若PFJPQ,且|PF||=|PQ,则椭圆的离心率为（）

A.2一啦B.小一也

C.^2-1D.#一小

3.已知椭圆C：5+p=l（«＞^＞0）,直线），=x与椭圆相交于A,B两点,若椭圆上存在异于A,B两点的

点P使得kpA'kpB^0,则离心率e的取值范围为（）

1

，+卓=1320）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点

4、如图，过椭圆C

且点B在x轴上的射影恰好为右焦点只若上则椭圆C的离心率的取值范围是

B,

B(|,1

D(0,1

已知椭圆C的标准方程为］+£=1（。＞b＞0）,点F（2,0）是椭圆C的右焦点，过歹的直线与椭圆C相

5.

交于A,B两点，且线段48的中点为。（l，g

,则椭圆C的离心率e为（）

B6C.逅D.述

333

22

rv

6.已知点尸，Q，M是椭圆C：AAK»＞。）上的三点，坐标原点。是“QM的重心，若点

M,直线PQ的斜率恒为-g,则椭圆C的离心率为（）

也6

33

A.B.

U0A且

2一2

丫2V2|

7.尸是椭圆］■+方=1（。＞人＞0）上的一点，A为左顶点，F为右焦点,轴，若tanNPAF=］,则

椭圆的离心率e为（）

72

RD

2-I

22

8.已知椭圆Cx:与+2=1（〃＞匕＞0）的右焦点为E经过点F的直线/的倾斜角为45。,且直线1交该椭圆于

ao

A,B两点，若而=2而，则该椭圆的离心率为（）

A币R近

r\.--------D.--------DY

32

9.已知点P在椭圆C:二+^=l（a”>0）上，点月，入分别为点C的左、右焦点，并满足尸“艺，

a~b~

|。升=/闾，则椭圆c的离心率为（）

A.1B.BC.G-lD.

222

10.已知直线/：y=x+2,若椭圆C:[+y2=l（“>l）上的点到直线/的距离的最大值与最小值之和为2应,

a

则咽圆C的离心率范围是（）

11.已知椭圆C：x2+^-=l（b>0,且bxl）与直线/：y=x+m交于M,N两点，B为上顶点.若BM=BN,

则椭圆C的离心率的取值范围是（）

12.（多选题）椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，4、&分别为椭圆的左、右顶点，与、鸟分别为

椭圆的下顶点和上顶点，心为椭圆的右焦点，延长鸟巴与交于点尸，若/瓦尸名为钝角，则该椭圆的离

心率可以为（）

A.@B.巫C.显D.1

5322

22

13.（多选题）已知仁用分别为椭圆C:£+/=l（a>6>0）的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴

上），△PF；用外接圆的圆心为〃，△尸耳入内切圆的圆心为/,直线P/交x轴于点V。为坐标原点.则（）

A.丽.丽的最小值为B.丽.丽的最小值为《

24

一\PI\一\1M\

C.椭圆C的离心率等于端D.椭圆C的离心率等于周

14.(多选题)已知椭圆03=+与=1(。>6>0)的左，右两焦点分别是Fi,F2,其中FIF2=2C.直线/0y=k(x+cXk0R)

ab'

与椭圆交于A,8两点则下列说法中正确的有()

A.EMBF2的周长为4a

B.若AB的中点为M,则心的/=，

C.若西・亚'=302,则椭圆的离心率的取值范围是容;

D.若A8的最小值为3c,则椭圆的离心率e=；

15、如图，过椭圆C：二+广=1的左、右焦点Q,尸2分别作斜率为2夜的直线交椭圆c上半部分于A,B

。2b2

两点，记AAOFI,ABO尸2的面积分别为SI,S2,若S：S2=7：5,则椭圆C离心率为

16.我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成

功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道.“嫦娥

一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为凡卫星近地点、远地点离地

面的距离分别是与苧(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为.

Y9

17、已知椭圆+=l(a>〃>0)的内接A43C的顶点3为短轴的一个端点，右焦点E,线段中点

a~

为K，且丽=2前，则椭圆离心率的取值范围是.

18、椭圆C：胃+'=l(a>b>0)的右焦点为F(c,0),直线x-2&y=0与C相交于4、B两点.若而•而=0,

则椭圆C的离心率为.

19.已知椭圆C：二+斗=1(">0,8>0)的右焦点为F，点A在椭圆C上，直线A尸与圆C'：

a-b

=与相切于点B,若Q=4旃，则C的离心率为

16

JC2V26

20.已知椭圆C的方程为，+*=1(。>6>0),焦距为2c,直线/：产=节与椭圆C相交于A,8两点，若

\AB\=2c,则椭圆C的离心率为

03椭圆的离心率

碧刎合所

类型一、利用定义法求离心率

直线x-y+l=0经过椭圆三+2

1.方=1（〃＞人＞0）的左焦点F,交椭圆于A、B两点，交y轴于c点，若

a

FC=2AC＜则该椭圆的离心率是（）

A.回一五B.回C.272-2

D.V2-1

22

【答案】A

【分析】看问题：求椭圆的离心率（属于求值问题）

想方法：求值问题考查方程思想的应用，找等量关系，因为e=^=£=，『X，所以建立关于-

或2的方程，利用整体思想求离心率，或者是求出c的值和a的值，再求离心率。

a

看条件：直线x-y+l=0经过椭圆O/lQb〉。）的左焦点尸，由此可得c=l,即尸㈠。）

直线x-y+l=o交y轴于C点，由此得点c（o,l）,

FC-2AC,根据向量相等坐标相同可得,彳3，

直线x-y+l=°交椭圆于A、8两点，由此知点A在椭圆上，根据椭圆定义可求出a的值

定措施：利用定义法求该椭圆的离心率.

【详解】由题意可知，点尸（―。,0）在直线x-y+i=o上，即1-。=0,可得c=i,直线x-y+i=o交y轴于

1

m=——

-2m=12

点C(O,l),设点A(肛“),FC=(1,1),AC=（-m,1-n）,由定=2而可得，解得

1

n=—

2

22

椭圆,+%•=1（"＞人＞0）的右焦点为£（1,0）,则\AE\=

又|AF|=}+=y--2a=\AE\+\AF\=回丁-

2c244(V10-V2)710-72

因此，该椭圆的离心率为，=五=近苒=而&=一8——

2

点P在过A且斜率为坐的直

2、己知Q,巳是椭圆C：，+1=13泌>0）的左、右焦点，A是C的左顶点,

线上，△PQB为等腰三角形，NFiF2P=120°,则C的离心率为（）

A.1

B-2

C3D4

【答案】D

【解析】如图，作PB，x轴于点B.由题意可设|尸|巳|=|尸问=2,则c=l.

由NFiF2P=120°,可得尸8|=小，|8川=1,故|A8|=a+l+l=a+2,

tan，以8=周=/=坐，解得。=4,所以e弋耳

3、如图，用与底面成45。角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（

【答案】B

【解析】设圆柱的底面直径为d,则椭圆的短轴长为d,椭圆的长轴长24=忌方=让”,

=乎&根据得，（当则椭圆的离心率6=坐故选A.

所以a

22

过椭圆三+营

4.=l（a>b>0）的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若/FIPF2=60。，则椭

圆的离心率为（）

„V3

D.----

3

【答案】B

【分析】由直角三角形可把|珍|,归国用c衣示，再由椭圆定义得关系，然后由离心率定义计算.

【详解】设卬42c,则由题设条件，知仍仁耨=£，麻户考，

2c1

叱1=坦.故选:

则椭圆的离心率e2c,4cB.

2a\PF\+\PF\

t2忑*忑3

类型二、利用齐次式法求离心率的最值或取值范围.

丫221

1.设人、8为椭圆=+与=1（4>6>0）上关于原点的两个对称点,右焦点为F9,0）,若|/^|=2°,5、"2彳/,

。-b~2

则该椭圆离心率提的取值范围为（）

-也旦

A.V'V

。当

D.

【答案】A

【分析】看问题：求椭圆的离心率席的取值范围（属于范围问题）

想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想

2

s>lc

看条件：VABf-2,由此可得不等关系，

定措施：先求出圆x2+y2=02与椭圆的交点，进而表示出再根据Sv/BF^gc?建立关于离心

率窟的不等式，由此解出离心率窟的取值范围。

【详解】A,8关于原点对称，故|Q4|=|0B|=；|AB|=c,若b>c,则椭圆与圆Y+寸=c?没有交点,

b<c,即6=£=/2：-2^^^=孝,设A（x，x）,8（-玉,一凶），不妨设%>0,必>0,

“2^2

r+'=02h2212（2\

则/2,整理可得解得》2=。2-哗，y2=c2_a2+a_ja^_iy，解得

—+77=1/C-（c）

[a"h

2222

yt=~^.­.S^ABF=-yl-\OF\+^\-yt\.\OF\=yt-c>^c,Bp^>lc,.-.a-c>^c,解得e，4半.

c222c22a3

综上所述，可得如.故选：A

23

22

2.如图，椭圆\+3=1（。>匕>0）的左焦点为F,点P在y轴上，线段FP交

椭圆于点Q.若OQLEP,|FP|=3|F0,则椭圆的离心率是（）

A1R1rV2百

A.D.U.U.

3222

【答案】D

【分析】由忸H=3|FQ|可得点。的横坐标为一|c，再由。。，即可求出得点Q的纵坐标的绝对值为乎c，

然后将点。的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率

【详解】由题意得尸（一。，0）,设。（x。,%）,因为|FP|=3|FQ|,所以晶="|，得x0=-|c,因为OQLEP,

所以为2=闻―（|05|-同）=|«-|十%2,所以闻子£,,因为2*。,为）在椭圆上,所以/+某=1,

化简得，4h2c2+2a2c2=9a2b2,因为b'M—c?,所以4c2(6—，?)+2丘2=9/d“2),

9a4-15a2c2+4a4=0,得（3/一牝与©/-，2）=0,解得£=走或£=百（舍去）故选：D

a2a

3.已知Q,尸2分别是椭圆C：，+%=1（“>6>0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P,使得线段PF\的中

垂线恰好经过焦点Fi，则椭圆C离心率的取值范围是（)

A.修1)

B.［疗］

C(310D.(0,|

【答案】C.

【解析】设p(xo,和)，则料务=1,则线段所的中点乂代三号)，：线段用的中垂线恰好过焦点&

以一0,,

AkPFvkF2M=x^cx^c=-1,化为方康F=T'•方(1—曰+3+0•-3c)=0,化为c?看

2-c

、一…6cz2±2ac一一〃2—2〃c^cr—2ac_

-2«cxo+ba-3^=0,解仔xo=—^—,•一aW沏Wa,...xo=^—.一aW-Wa

1c1

.•・c〈〃W3c,1•又0<e<1,.•・gWe<l.

4、已知椭圆=l（a>〃>0）的左、右焦点分别是6,工，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若

直线凹的斜率为半，且恒耳|=山闾，则椭圆的离心率为.

3

【答案】

5

【解析】设乙466=6,由直线Af；的斜率为谑，知121!。=型吆=逑，且sin2e+cos20=l，

7cos07

7

即得cos。=5,由|A制=忻闾=2c及椭圆定义知|A周=2〃-|A用=%z-2c,由余弦定理即可得，

\AF2f=\AFf+\FtF2f_2|A£ME|COS8,即（2a—2C『=（2C『+（2C/一2（2C）（2C1,化简得

（a_c『=#

,故a?—2QC+C。=—C2=>—C2—2ac+a2=0=5/—186+9=0=>6=。或3（舍）

995

即e=?.

5

方法克被

求椭圆离心率或其取值范围的方法

（1）定义法：求出a,6或a,。的值，代入=1一《）求出e2,再开方.

（2）齐次式法：先根据条件得到关于a,b,。的齐次等式（不等式），结合^=3-1转化为关于外。的齐次

等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或一等转化为关于e或e?等的方程（不等式），

再解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

（3）特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

双国栋习

2

1.已知椭圆c：1f+2V=1（。＞人＞0）的左、右顶点分别为A，4,且以线段AA?为直径的圆与直线

ab

or+0y-2aZ?=0相切，则C的离心率为（）

A.逅B.3C・立

333

【答案】A

2ab

【分析】以线段44为直径的圆与直线ax+by-2ab=0相切，可得原点到直线的距离化简

\!a2+b2

即可得出.

【详解】以线段A4为直径的圆的圆心为坐标原点（0,0）,半径为。，.•.圆的方程为一+丁=",...圆心到直

2

线的距离等于半径，即772a万b="，整理可得：/=3〃，即/,=3（/。,-田,\，即2/=302,从而62哈c=2；,

c[2y/6

72

2、已知Fi，色分别为椭圆5+齐=1（。＞》＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长

交椭圆于点。，若PQ_LP。，且|PQ|=|PQ|,则椭圆的离心率为（）

A.2-^2B.

C."^2一1D.yl6~y[3

【答案】D

【分析】设|尸Q|=|PQ|=，*（，〃>0）,则|。码=2〃一"7,\QF2\=2m~2a,|。丹|=4〃一2"?.由题意知△PQB为等

腰直角三角形，所以|。凡|=正仍厂||,故，〃=4〃一2啦因为尸尸1|2+尸尸2|2=尸/2|2=4/,所以（4〃-2也4+

[2。一（4〃-2啦a）]2=4c2,整理得4乂七）=36-24啦，R吟=,9_6啦=降一#,故选D.

/«_............

3.已知椭圆C：^2+^2=1（（2>/?>0）,直线y=x与椭圆相交于4,B两点，若椭圆上存在异于A,3两点的

点P使得蒯1・幻8右（一；，0），则离心率e的取值范围为（）

A（0,当）B律1）

c（。,I）D©1）

【答案】B

【分析】设PQo,vo）,直线y=x过原点，由椭圆的对称性设4（为，yi）,仅一汨，-yi）,

则颌*痣，又料$I,两式作差，

代入上式得输心8=一旨（一；，0）,故宗1一.<1，所以e=[1-如（坐,1）.

4、如图，过椭圆C：，+卓=13>6>0）的左顶点A且斜率为％的直线交椭圆C于另一点ZL«/

11/手o21

B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若pg,则椭圆C的离心率的取值范围是

【答案】C

0770O9

crL//r"111（1—C~I

【分析】由题意可知，|AF|=a+c,|BF|=---,于是左=上又54行,所以小（上叶<5,

aa伍十c）323a（a-rc）2

11—/]12

化简可得*■而弓，解得;<e<f,故选C.

5.已知椭圆C的标准方程为]+，=1（。>。>0）,点/（2,0）是椭圆C的右焦点，过尸的直线与椭圆C相

交于A,B两点，且线段A3的中点为。g],则椭圆C的离心率《为（

)

A.也B.叵C.显D.述

3333

【答案】D

【分析】利用点差法可表示出如1sA=-学，由砥5=即&可求得与=」，根据椭圆a，"c关系可求得

Xy-x2ara9

离心率.

，222

【详解】设A&y）,5（孙％）,则冬+1=1,与+与=1,两式作差整理可得：

ab-a：h'

Q-）、=&X|+/=匕2=3b-l_0bii

22

x,-x2ay{+y2a2/，：%""=%，.3b=3=,，即-^=3，

3a2-1-2-3a9

02

6.已知点尸，Q，M是椭圆C:二+4=l（a>8>0）上的三点，坐标原点。是APQM的重心，若点

a~b~

M彳a,三b,直线PQ的斜率恒为-弓，则椭圆C的离心率为（）

k2272

A.立B.正

33

C.也D.3

22

【答案】D

【分析】设尸（办2）,。（々,％），由重心公式可得尸，。的横纵坐标的和，再由"点差法"结合斜率公式可得

进一步可求得椭圆的离心率.

a2

F-\

【详解】设义与乂）,。（马，%），又M彳a七-b，由原点。是APQM的重心，得

/

夜72,

"三上=ot»=o,即为+9,=

=-^-a,y]+y2~~~b»又P，Q是椭圆

3—，3

2222

C:3+4=l（a>b>0）上的点，・•・¥+与=1：J£=i,作差可得：（—）（一）」「『七）

ab~a~ba2b2%b'

,2（]

即,-b（%+%）___12J口心=；，•&£=、件1H=旦

2…）」凡丫a2aya\a2

I2）

丫2、,2i

7.P是椭圆£+左=l（a>6>0）上的一点，A为左顶点，F为右焦点，轴，tanZPAF=~,则

椭圆的离心率e为（）

A.也B.也C.昱D,1

3232

【答案】D

【分析】求出「日、W可，由tanNPAF=g可求得e的值.

【详解】不妨设点P在第一象限，因为PFJ_X轴，所以/=%将彳=。代入椭

圆方程得<+圣=1,因为%>0,可得力=”即阳上，因为M=a+c,

abaa

所以，解得6

|AF|a+cQ（Q+C）a2

22

8.已知椭圆C:[+4=l（a>%>0）的右焦点为£经过点F的直线/的倾斜角为45。,且直线/交该椭圆于

a~h-

AB两点，若赤=2而，则该椭圆的离心率为（）

A.叵B.立C.同D.2

3232

【答案】C

【分析】写出直线/的方程为N=x—c,与椭圆联立，写出韦达定理，结合条件兄'=2论，求得A，8的横

坐标，代入到韦达定理中的％也中，化简求得。与c的关系，从而求得离心率.

y=x-c

22

【详解】由题知，直线/的方程为y=X-C,设4（再,必），8（超,％）,联立bXvy=1,整理得

（a2+b2）x2-2a2ex+a2c2-a2b2=0,则为+x?=^，卒,="*2dB

122,又&_、

-a+b--a+bAr-Z/i

则（。-占,一》）=2（々-。,%），则为+2占=3。，结合韦达定理知，玉=勺等，入+岁,

a+b~a~+b~

则疗片等、5瞽二笔/整理得2—则离心率可邛。

22

9.己知点P在椭圆C：W+方=1（。>匕>0）上,

点耳，鸟分别为点C的左、右焦点，并满足PR1PF2,

|。青=忸用，则椭圆c的离心率为（）

A.；B.3C.6-1G-1

22,2

【答案】C

【分析】由题意画出图形，再由椭圆定义及勾股定理列式求解椭圆的离心率.

【详解】如图，由得△耳尸用为直角三角形，则|OP|=|OKI=c,

又|OP|=|P5.•J%|=c,由|尸耳|+|尸号=2a,可得|P£|=2"C,

则（2。-。）2+/=4。2,即02+2a_2/=0,.,.e:!+2e-2=0，又0<e<l,

解得e=G-1.故选：C.

10.已知直线l-y=x+2,若椭圆C:=+9=1（。>1）上的点到直线I的距离的最大值与最小值之和为20，

a

则口阻圆C的离心率范围是（）

A.4

D.争

【答案】A

【分析】先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去了，山AKO求出。的范围，设椭圆上任意一点P（QCOS0

sini?）,然后利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离d,利用三角函数的性质可求得d的最值，从

而可得当直线与椭圆相切或相离时满足题意，再由e1_勺可求出离心率的范围

y=x+2

【详解】联立f,可得（1+。2）x2+4a2x+3o2=o,因为直线/与椭圆C相离或相切,

m=i

所以/=16。4-124（1+a*2）<0,/.l<a2<3,设椭圆上任意一点P（crcosi?,sini?）,则点到直线/的距离

|〃cose-sine+2||J"+1sin（e+a）+2|

d=,其中tana=—a,d的最小值、最大值分别为：2一'尸

72

正毕匚，满足最大值与最小值之和为2及，e=

V2

2

11.已知椭圆C：x2+-p-=l（b>0,且brl）与直线/：y=x+m交于M,N两点，8为上顶点.若BM=BN,

则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A.（0,B.

【答案】c

【分析】由直线方程与椭圆方程联立，结合条件和判别式即求.

y=x+m

2J

【详解】设直线y=x+m与椭圆*+方=1的交点为小，外忸，%），联立R4L得俨+加

222^?/2方22222222

+2mx+m—b=0,所以xi+x2=------\—,*途2=々----，A=(2m)—^(b+l)(m—b)=4b(b+l—m)>0.

b+1/?■+1

设线段MN的中点为G,知G点坐标为单巴)，因为BM=8N,所以直线8G垂直平分线段MN,

b2+\tr+\

所以直线BG的方程为y=-x+b,且经过点G,可得毕巴=+b,解得m=烂虫.因为b2+l-m2>0,

b2+lb'+\b2-1

所以"+1一（2也）2>0,解得0<b<且，因为e2=l—按，所以亚<e<l.故选：C.

b2-\33

12.（多选题）椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A、&分别为椭圆的左、右顶点，鸟、鸟分别为

椭圆的下顶点和上顶点，鸟为椭圆的右焦点，延长与乙与&约交于点尸，若NBf为为钝角，则该椭圆的离