高中数学导数、微积分测试题

导数、微积分

1、(2012德州二模)如图，在边长为兀的正方形内的正弦曲线y=sin不与x轴围成的区域记为M

(图中阴影部分)，随机往正方形内投一个点P,则点P落在区域M内的概率是

解析：区域M的面积为：SM=J。sinxM;=-cosx|j=2,而正方形的面积为S=/,所以，所求

2

概率为P———»选民

71

2^(2012济南三模)已知函数/(x)=3x2+2x+l,若［J(x)cZx=2/(a)(a>0)成立，则〃=

答案：I

解析：因为/f(x)<&=/(3X2+2X+1)(k=(x3+x2+x)|-i=4,所以2(3a?+2a+l)=4>a=—

.-1

1或a=~.

3、(2012莱芜3月模拟)函数/(©=<x0~<尤~<1的图像与x轴所围成的封闭图形的面积

2-x\<x<2

为.

【答案】-

6

【解析】£f^^)dx=£(2-x)dx=%31o+(2x—=~

4、(2012济南三模)已知a、夕是三次函数的两个极值点,

b-3

且。£(0,1),0e(l,2),则的取值范围是()

a-2

/2、22

A.(-Q0,-)B.(―,1)C.(l,4oo)D.(―00,—)VJ(l,+oo)

答案：B

解析：因为函数有两个极值，则/'(x)=0有两个不同的根，即△>(),又/'(x)=x2+仪+26

/,(0)>0

又ae(0,1),y9e(1,2)，所以有尸⑴<0

/'⑵>0

2/2>0

\l+a+2b<0o——b-3的几何意义是指动点P(。/)到定点A(2,3)两点斜率的取值范围，做出

。一2

4+2a+2b>0

可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时,斜率最小，此时斜率为司=」1_-^3_=2£，直.线经过

-3-25

AD时，斜率最大，此时斜率为Z0-3=所以2*<人幺一3^<1,选B.

-1-25a-2

5、(2012临沂3月模拟)函数V+x+i在点(1,2)处的切线与函数g(x)=/围成

的图形的面积等于；

七4

【答案】一

3

【解析】函数的导数为f'(x)=3x2-2x+l,所以尸⑴=3-2+1=2,即切线方程为

y-2=2(x-l),整理得y=2x。由="解得交点坐标为(0,0),(2,2),所以切线与函数

〔y=2x

g(x)=x2围成的图形的面积为£!(2x-x2Xr=(x2--x3)|^=4-|=-»

6、(2012临沂二模)已知。={(x,y)|0<x<L0<1}-A是由直线y=0,x=a(0<a<1)

和曲线y=/围成的曲边三角形区域，若向区域C上随机投一点，点落在区域A内的概率为‘•，

64

则。的值是

(A)—(B)-(C)-(D)-

64842

【答案】D

【解析】区边三角形的面积为公区域。的面积为］,若向区域。上随机

投一点，点落在区域A内的概率La,=1-,所以"=_L,所以〃=2.,选D.

464162

2

7、(2012青岛二模)设a=f(l—3d)公+4,则二项式(丁+与6绽开式中不含/喇系数和是

J0x'-

A.-160B.160C.161D.-161

【答案】C

【解析】［2(l-3x2)tZx=(x-x3)|^=-6,所以a=-6+4=—2,二项式为(一一2)6,绽开式

J。1X

26t

的通项为Tk+i=C*(x)-\--)=C*I2-3“_2)«,令12-31=3,即％=3,所以

X

/=。"3(_2)3,所以X，的系数为—23。；=—160,令x=l,得全部项的系数和为1,所以不

含/项的系数和为1一(一160)=161,选C.

8、(2012青岛二模)己知函数/(x)的定义域为［-1,5］,部分对应值如下表，/(x)的导函数

y=/'(x)的图象如图所示.下列关于/(x)的命题:

①函数"X)的极大值点为0,4；

②函数“X)在［0,2］上是减函数；

③假如当时，“X)的最大值是2,那么f的最大值为4；

④当1<。<2时，函数y=/(x)—。有4个零点；

⑤函数y=/(x)-。的零点个数可能为0、1、2、3、4个.

其中正确命题的序号是.

【答案】①②⑤

【解析】由导数图象可知，当一l<x<0或2cx<4时，/'(x)>0,函数单调递增，当0<x<2

或4<x<5，/'(x)<0,函数单调递减，当x=0和x=4,函数取得极大值/(0)=2./(4)=2,

当x=2时，函数取得微小值/1(2),所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4,函数取得极

大值/(0)=2,/(4)=2,要使当11］函数)(x)的最大值是4,当24f45,所以f的最

大值为5,所以③不正确；由/(x)=a知，因为微小值/(2)未知，所以无法推断函数y=/(x)-a

有几个零点，所以④不正确，依据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，

(线段只代表单调性)，依据题意函数的微小值不确定，分

/(2)<1或14/(2)<2两种状况，由图象知，函数y=f(x)和y=a的交点个数有0,1,2,3,4

等不怜悯形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤。

9、(2012青岛3月模拟)直线y=2x+4与抛物线y=/+i所围成封闭图形的面积是

A.Wn16n35

D.-----cD.——

33-f3

答案：c

【解析】联立方程求得交点分别为(一1,2),(3,10).

所以阴影部分的面积为5=：义4*(2+10)-/：卜2+］加=24一日=,.

10、(2012日照5月模拟)如图，由曲线y=sinx,直线x=?乃与x轴围成的阴影部分

的面积是

(A)1

(B)2

(C)272

(D)3

答案：D

【解析】由定积分的几何意义，阴影部分的面积等于

3%3n衣n

£sinjuZx-J?sinx公=—cosx|j+cosx|j=3.(^3^sinxdx=-3cosx|J=3)选口.

11、(2012泰安一模)已知Q={(x,讣|41,|乂41},A是曲线y=Y与y=/围成的区域，若

向区域。上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为

【答案】D

【解析】本题为几何概率.区域。的面积为2x2=4.区域A的面积为

f(x2-x2)dx=(-x2--x3)|o=——二一，所以点P落入区域A的概率为P=3=」_,选

J。3310333位412

D.

12、(2012滨州二模)已知函数f(x)=—x2,g(x)=elnx.

(I)设函数F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的惑叔布

(II)若存在常数k,m,使得f(x)2kx+m,对X£R!恒成立，且g(x)良kx+m,对x

e(0,+8)恒成立，则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”，试问：f(x)

与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由。

解析：(I)由于函数f(x)=-x2,g(x)=elnx,

2

因此，F(x)=f(x)—g(x)=—x2—elnx,

-2

则/(x)=X.色=不二=(x-G)(x+〃)”(0,+孙

XXX

当OVxV及时，F,(x)<0,所以F(x)在(0,4e)上是减函数；

当x>及时，F\x)>0,所以F(x)在(〃，+oo)上是增函数；

因此，函数F(x)的单调减区间是(0,4e),单调增区间是(&,+oo)。

(II)由(I)可知，当乂=五时，F(x)取得最小值F(五)=0,

则f(x)与g(x)的图象在x=\[e处有公共点(五，/)。

假设f(x)与g(x)存在“分界线”，则其必过点(及，-)o

2

故设其方程为：y_j=k(x_&)，即>=履+]-2g,

由f(x)2辰+2一A五对x£R恒成立，

2

则x2-2kx-e+2k\[e20对x£R恒成立，

所以，A=4Z?-4(2%五一e)=46一82"+4e=e(k-\[e)2WO成立，

因此k=心,“分界线”的方程为：y=&x-3

2

下面证明g(x)对x£(0,+°°)恒成立，

设G(x)=e\nx-x4e+—,则G⑺=匕-五="("—―,

2xx

所以当OVxV五时，G'(x)>0,当x>8时，G'(x)vo,

当乂=五时，G(x)取得最大值0,则g(x)W&x—W对x£(0,+8)恒成立，

2

故所求“分界线”的方程为：y=y/^x--

2

13、(2012德州二模)设函数F(x)=xlnx(x>0),g(x)=T+2.

(I)求函数f(x)在点M(e,/(e))处的切线方程;

(II)设一(*)=0?一(a+2)x+/'(x)(a>0),探讨函数尸(x)的单调性；

(III)设函数H(x)=/(x)+g(x),是否同时存在实数m和使得对每一个

直线旷=，与曲线丫="。)"€己,。])都有公共点？若存在，求出最小的实数

e

m和最大的实数M；若不存在，说明理由。

解析：⑴解：1(x)=lnx+l(x>0),则函数1(x)在点M(eJ(e))处的斜率为尸(e)=2,

f(e)=e,所以，所求切线方程为y—e=2(x—e),即y=2x—e

(II)F(x)=ax1-(a+2)x+lnx+l(x>0),

。/、o(-12OX2-(«+2)X+1(2X-1)(O¥-1)

F(x)=lax-(a+2)+—=---------------=------------(x>0,Q>0),

xxx

令尸(x)=0,则x=L或』，

2a

①当0VQV2,即时，令/'(x)>0,解得OVxV，或x>，

a22a

令尸(x)vo,解得LvxvL

2a

所以，F(x)在(0,L),(1,+oo)上单调递增，在(1,1)单调递减。

2a2a

②当a=2,即，=_L时，尸(x)》0恒成立，

a2

所以，F(x)在(0,+oo)上单调递增。

③当a>2,即工<■!■时，

a2

所以，F(x)在(0,-),(-,+oo)上单调递增，在(,，-)单调递减

a2a2

(III)H(x)=-x+2+xlnx,H*(A:)=Inx,令“'(x)=0,则x=l,

当X在区间d,e)内改变时，的改变状况如下表：

e

X11e

(-,1)(l,e)

ee

—+

H\x)0

H(x)2二单调递减微小值1单调递增2

e

21

又2一一＜2,所以函数H(X)=(XG[—,e])的值域为口,2]»

ee

—1]

据经可得，若1一'，则对每一个直线y=t与曲线y=H(x)(xe[-,e])都有

M-2e

公共点。

并且对每一个fe(fo,/n)一(M,+8),直线y=f与曲线y=”(x)(xeA,e])都没有公共点。

e

综上，存在实数m=l和M=2,使得对每一个f，直线y=t与曲线y=H(x)(xe[—,e])

都有公共点。

14>（2012德州一模）已知函数f（x）=ax-\-lnx（qeR）.

⑴求的单调区间；

（H）设g（x）=%2-2x+l,若对随意再£（0,+8）,总存在马£[0,1],

使得了（%1）<奴工2"求实数@的取值范围.

解析：⑴fXx）=a+-=^^（x>0）.

XX

①当420时，由于x>0,故ax+l>0,f*（x）>0,所以f（x）的单调递增区间为（0,+oo）o

②当。<0时，由f\x）=0,得了=一~-,在区间（0,-'）上，f'（x）>0,

aa

在区间（-L,+8）上，f\x）<0,

a

所以，当。20时，所以f（X）的单调递增区间为（0,+8）。

当。<0时，f（x）的单调递增区间为（0,--）,f（x）的单调递减区间为（-L,+oo）

aa

（II）由已知,转化为<g（X）a，又g（X）max=g（°）=】

由（I）知，当时，f（X）在（0,+00）递增，值域为R,故不符合题意。

当。<（）时，f（X）在（0,--）递增，在（一L,+8）递减，

aa

故f（X）的极大值即为最大值，/（--）=-1+ln（--）=-1-ln（-a）,

aa

所以—（-a）,解得：a〈-J

15、（2012济南3月模拟）己知函数f（x）=办+1僦，其中。为常数，设e为自然对数的底数.

（1）当时，求/（X）的最大值；

（2）若/（x）在区间（0,e]上的最大值为・3,求。的值；

（3）当。=1时，试推断方程|/（©|=?+；是否有实数解.

【答案】解：(1)当。=-1时，f(x)=-x+lnx,f(x)=-l+-=^—..............................1分

XX

当0<x<l时，f(x)>0；当X>1时，f(x)<0.

：.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数.......3分

/(X)max=/(1)=-•...................................................................................4分

(2)•:f(x)=a+—,x£(O,e],-—,+<x)|.............................................5分

xxe)

①若1，则/（x）>0,从而於）在（0q]上增函数

e

・'・/QOmaxg（e）=々£+120.不合题意.........................6分

②若a<—,则由，(x)>0ciH—>0,即0<%<-----

exa

由人工)<0=>。~1—<0,即---

xa

(3)由(I)知当〃=1时/(%)max寸(1):1，

：.\f(X)|21...........................................................................................10分

「人/、Inx1,/、1-Inx.八,口

又令g(x)=—+—,g'(x)=-令Ag'(刈=0,得产e,

x2x

当0<x<e时，g'(x)>0,g(x)在(0,e)单调递增；

当x>e时,g'(x)<0,g(x)在(e,+8)单调递减...................11分

Jg(%)max=g(C)=_+・・・g(X)〈l...........................................12分

e2

・・・/(x)|>g(x),即|/U)|>+!........................................................13分

x2

方程1/a)|=生2+，没有实数解..........................14分

x2

16>(2012莱芜3月模拟)已知函数/(x)=/+QX-]nx,。£R.

(I)若函数/'")在U，2J上是减函数，求实数。的取值范围；

(II)令g(x)=/(x)—是否存在实数”，当xe(0,e］(e是自然常数)时，函数g(x)的

最小值是3,若存在，求出。的值；若不存在，说明理由；

(III)当xe(0,e］时，证明：e2x2(x+l)lnx.

i2r24-/7v_1

(22).解：解：(I)f\x)=2x-^a一一二----------4。在［1,2］上恒成立，

xx

a<-1,

^h(x)=2x2+ax-\,有，)得<

7...............3分

〃(2)<0,a<——,

7

所以〃W—........4分

2

(II)假设存在实数m使g(x)=a¥—lnM>£(。,e])有最小值3,

gr(x)=a--=――..............5分

xx

①当Q<0时，g(x)在[0,e]上单调递减，

4

gmin(x)=g(e)=〃e—l=3,Q=—(舍去).

②当0<，<e时，g(x)在(0,4上单调递减，在d,e)上单调递增，

aaa

所以gmin(X)=g(')=1+Ina=3,a=e2,满意条件-

a

14

③当一2e时，g(x)在[0,e]上单调递减，gmin(x)=g(e)=-1=3,tz=—(舍去).

ae

综上，存在实数a=e>使得当％w(0,e]时，g(x)有最小值3........10分

(III)令尸(x)=e2x—lnx,由(2)知

口/、々人/、Inx5，/、1-lnx

工1in(X)=3,令(p(x)=----H—,(P(x)=一，

x2x

当0<xve时，(p\x)>0,0(x)在(0,e]上单调递增，

所以*max(X)=8(e)=[+[<；+[=3.

e222

所以e2x-lnx>^^+』,即e2/--%>(%+l)lnx........14分

x22

17、(2012青岛二模)已知函数〃力=俯(2+3力—

(I)求函数y=的极大值；

(II)令g(X)=〃X)+|x2+(m—l)x(加为实常数)，试推断函数g(x)的单调性；

(IH)若对随意xe，不等式k-/〃x|+/〃[/'(x)+3x]>0均成立，求实数a的取值范围.

解：(I).〃》)=/〃(2+3万)一^X2,...y=/(x)的定义域为(_g,+oo);

9(x+l)(T)1

由于/'(x)=-----3x+2-----，由/'(x)=0nx=§,

当时,/,(x)>0；当xe，,+oo)时，/(x)<0.

,y=/(x)在卜g，；上为增函数；在+8)上为减函数,

从而f(x)极大=.............................3分

(II)ng(x)=ln(2+3x)+(m-l)x,fx>--1j

3]3(m-l)x+2m+1

ng'(x)=4分

2+3%2+3x

/3

①当〃2—1=0,即m=1时，g'(x)=----->0,

2+3x

二g(九)在(-弓,+00)上为增函数;

5分

2m+l

x+-----

3(机-l)x+2m+l3(772-1)7

②当m—IwO,即加工1时，g'(x)=

2+3x2+3x

2m+1

由g'(x)=O=x=一

3(zn-l)

/,\

2m+121

3m—1

2"?4-12

(i)若加>1,贝IJ--7——r<—,X>—时，g'(x)>。,

3(n?-l)33

.••g(x)在(-■1,+8)上为增函数;

7分

<2/7?+12

(11)若"2<1,贝MI！J-二7----r>--

3(优-1)3

(2、

2m+12m+1

xeDi时,g<x)>()；xe,4-oo时，g'(x)<0,

、3,3(加-、3(〃I)

、7

2/77+12/n+l

•••g(x)在、一§，H上为增函数，在-,+00上为减函数.

)

综上可知：当加21时，在［-■1,+8］上为增函数;

22m+12m+1

当机＜1时，g(x)在上为增函数，在一'上为减函数.

j3，-3(w-l)而可“

9分

(Ill)由/〃x|+/〃[/'(x)+3x]>0n\a-lnx\-^-ln

j_£36

xe,/.0<In一:——W打一，而心一历之(),

6；32I5

.•.要对随意XE,不等式,一加厘+/〃"'("+3%]>0均成立，必需：

3

In———与|<2—/HX|不同时为0...........................................................................11分

131

因当且仅当工=一时，In-----二0,所以为满意题意必有Q—/〃一W0,

32+3x3

即.................................................12分

3

18、(2012青岛3月模拟)己知函数，幻二/

(I)记°(x)=/(九)+；/”(>),«£R),求玄用的微小值；

(II)若函数/?(x)=/l・WD+sinx的图象上存在相互垂直的两条切线，求实数4的值及相应的

X

切点坐标.

2t

解：(I)由已知：/(x)=x3,^(x)=x3+rx2,<9Z(X)=3X2+2rx=3x(x+—)

2/

由“(x)=0nx=0,或工=——,

当f=0时，。(尤)=3尤2NO,.,.0(X)在(YO,+OO)为增函数，此时不存在极值；

当f>0时，尤改变时，e'(x)，e(力改变如下：

2/2/2/

X(-8,---)一--(--,0)0(。,+8)

e'(x)+o0+

e(x)极大微小

由上表可知：°(x)极，卜=夕(())=().

当t<0时，X改变时，d(x),°(x)改变如下：

2t_2£(，)

x(-00,0)0(0,—―)♦+8

-T

”(x)+00+

QU)极大微小

由上表可知：e(x)极小=e(-争=、■/.

(II)//(x)=3Ax+sinx=>/z'(x)=3A+cosx

设两切点分别为(4收(4))，&，入«2))，则〃(4)〃&)=T

即(32+cos(32+cosr2)=-l

2

=>92+3(cosr)+COSZ2)4+(COS，]cosr2+1)=0•••(*)

AwR,方程(*)的判别式2\=[3(cos/\+cosr2)]"-36(cosr,cosr2+1)>0,

即(COS『1-COS-2)24,又一14COS。<1,-1<COSz2<1,「.(cos/]-COS[2)44

从而可得：(cos4-cos马)2=4

cost,-1fcosA=-l

上式要成立当且仅当11，或4I

cosZ2=-1[cost2=1

此时方程(*)的解为4=0.

xwO,.,.存在/1=0,此时函数〃(x)=2•工■^•+sinx的图象在点(2%肛0)(2wZ,攵w())处

的切线和在点(2〃%+冬0)(机£2)处的切线相互垂直.

19、(2012日照5月模拟)已知二次函数从¥)=/+。工+伙4/为常数，awR/cR)的一个零

点是一。，函数g(x)=lnx,e是自然对数的底数.设函数/(x)=r(x)-g(x).

(I)过坐标原点0作曲线y=/(x)的切线，证明切点的横坐标为1；

(II)令F(x)=/学，若函数尸(x)在区间(0,1]上是单调函数，求a的取值范围。

e

解：(I)是二次函数r(x)=x2+ax+b的一个零点，.』二0.

/.f(x)=x24-ax-Inx,

/.fr(x)=2x+a--(x>0)....................................2分

x

设切点为P(X。,y。),则切线的斜率k=2x0+a-—=

X。x0

2

整理得xo+lnxo-l=O.明显，x0=1是这个方程的解............4分

又因为y=x?+lnx-1在(0,+00)上是增函数，

所以方程x?+lnx-l=0有唯一实数解。故x0=1.................6分

一、f(x)x2+ax-lnx

F(x)==--------;------，

(ID°,6i.......................................7分

-x-+(2-a)x+a-+lnx

F'(x)=----------------——&-------

设h(x)=-x2+(2-a)x+a-—+Inx,则h*(x)=-2x+」■+'+2-a.......................8分

xx-X

易知h，(x)在(0,1］上是减函数，从而h，(x)NhF)=2-a.

(1)当2-aZO,即aV2时,h'(x)>0,h(x)在间(0,1)上是增函数。

,/h(l)=0,.\h(x)V0在(0,1］上恒成立，即F'(x)V0在(0,1］上恒成立。

；.F(x)在区间(()』上是减函数。所以，aW2满意题意....................10分

(2)当2-a<0,即a>2时，设函数h<x)的唯一零点为X。，

则h(x)在(0,X。)上递增，在(x0,l)上递减。又：h⑴=0,;.h(x0)>0.

又Vh(e-a)=-e&+(2-a)ea+a-ea+lne-a<0,

；.h(x)在(0,1)内有唯一一个零点x,

当xe((),xj时，h(x)〈0,当xe(x'l)时，h(x)>0.

从而F（x）在（0,x'）递减，在（x',1）递增，与在区间（05上是单调函数冲突。

/.a＞2不合题意.

综合（1）（2）得，a42.即a的取值范围是（-0,2].......................................14分

20、（2012威海二模）已知函数f（x）=alnx+等/+].

（I）当。=—!■时，求/（x）在区间上的最值；

2e

（II）探讨函数/（x）的单调性；

（III）当一1＜。＜0时，有/（X）＞1+g11（一4）恒成立，求。的取值范围.

11X2

解：（1）当。=一一时，/（%）=一一lnx+—+1,

224

・・/(X)=—+—=--------

2x22x

・・・/(x)的定义域为(0,+oo),，由/(x)=0得x=l.2分

.../(%)在区间［Le］上的最值只可能在/⑴jd)J(e)取到,

ee

而/(l)=1,//)=［+{,/(e)=；+-，

4e24e~24

2

1e5

••・/（X）max=/（e）=5+1，/（X）min=/（l）=1---------------------------4分

/IT、£，，、（。+1）%2+。/八、

（II）f