重难点01平行线（四种模型）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

重难点01平行线（四种模型）

目录

题型一：M型（含锯齿形）

题型二：笔尖型

题型三：“鸡翅”型

题型四：“骨折”型

匚技巧方法

模型一：M模型

如图，若AB//CD,你能确定NB、ND与NBED的大小关系吗？

解：NB+ND=NDEB.

理由如下：

过点E作EF//AB

又AB//CD.

:.EF//CD.

ZD=ZDEF.ZB=ZBEF.

ZB+ZD=ZBEF+ZDEF=ZDEB

即NB+ND=NDEB.

模型二、笔尖型

如图，AB//CD,探索NB、ND与NDEB的大小关系？

解：ZB+ZD+ZDEB=360".

理由如下：

过点E作EF//AB.

又VAB//CD.

/.EF//CD.

，ZB+ZBEF=180°.

ZD+ZDEF=180".

，ZB+ZD+ZDEB

-ZB+ZD+ZBEF+ZDEF=360°.

即/B+ND+NDEB=360°.

模型三、“鸡翅”型

如图，已知AB〃CD,试猜想NA、NE、ZC的关系，并说明理由.

解：NAEC=NA-NC,

理由如下：

过点E作EF//AB

又VAB//CD.

，EF//CD.

/.ZA+ZFEA=180°,

ZC+ZFEC=180°

二ZAEC=ZFEC-ZFEA

=180°-ZC-(180°-ZA)

-ZA-ZC

即：ZAEC=ZA-ZC

模型四、“骨折模型”

如图，已知BC〃DE,试猜想NA、NB、ND的关系，并说明理由.

解：NBAD=ND-NB,

理由如下：

过点A作AG//BC

又VCB//DE.

AG//DE

AZGAB+ZB=180°,

ZGAD+ZD=180°

ZBAD=ZGAB-ZGAD

=180°-ZB-（180°-ZD）

=ZD-ZB

即：NBAD=ND-NB

注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！

U能力拓展

题型一：M型（含锯齿形）

一、填空题

1.（2023春•七年级课时练习）如图，已知8E平分/ABC,DE平分N/WC,Z&4D=80°,

NBCD=〃°,则N8ED的度数为.（用含〃的式子表示）

【答案】40°+g〃°

【分析】首先过点£'作瓦'〃4?,由平行线的传递性得回〃8〃所，再根据两直线平行，内错角相等,

得出4/”=乙物=〃。，ZBAD=ZADC=80°,由角平分线的定义得出NABE：］”。，ZEDC=40°,再

由两直线平行，内错角相等得出NBEF=NABE=：〃。ZFED=ZEDC=40°,由N5ED=NBEF+N庄D即可

得出答案.

【详解】解：如图，过点6作即〃则AB〃CD〃EF,

AB//CD,

：.乙BCD=乙ABC=if,ZBAD=ZADC=S0°,

又：BE平分/ABC,3E平分N45C,

NABE=-ZABC=-n°,

22

ZEDC=-ZADC=-x80°=40°,

22

ABUEFI,CD,

：.ZBEF=ZABE=-n°,

2

/FED="DC=40。,

：.NBED=NFED+NBEF=40°+-n°,

2

故答案为：40°+1«°.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和

角平分线的定义.

二、解答题

2.(2023春•七年级课时练习)如图，A8//CD,点£■在直线初切内部，且AE_LCE.

(1)如图1,连接AC,若平分ZBAC,求证：CE平分ZACD:

(2)如图2,点."在线段形、上，

①若ZMCE=NECD,当直角顶点《移动时，NB4E与NMC3是否存在确定的数量关系?并说明理由；

②若NMCE=，NEC。（”为正整数），当直角顶点£移动时，4E与NMCD是否存在确定的数量关系？并

n

说明理由.

1n

【答案】（1）见解析；（2）①NBA吩g/MO）=90。，理由见解析；②NBAE+--Z,10=90°,理由见解析.

【分析】（1）根据平行的性质可得/胡◎/〃。=180°,再根据AE_LCE可得/胡3/£。=90°,根据46

平分/胡。可得/为庐/皮IC等量代换可得/敏＞/口小90°,继而求得/“庐/必!；

（2）①过£作必〃4?,先利用平行线的传递性得出必〃4?〃缪，再利用平行线的性质及已知条件可推得

答案；

②过E作EF〃AB,先利用平行线的传递性得出EF//AB//CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.

【详解】（1）解：因为4B//CD,

所以/力介/。。=180°,

因为AELCE,

所以N用什/£。=90°,

因为平分/胡C,

所以NZW后NS4G

所以N物加N〃C层90°,

所以N必G/〃彦90°,

所以NDCE=NECA,

所以"平分N"®；

（2）①历与乙）0存在确定的数量关系：28型^乙肥斤90°,

理由如下：过E忤EF"AB,

B

YAB〃CD,

：.EF//AB//CD,

"BA4/AEF,ZFEC=ZDCEt

・・・/斤90°,

：.ZBAE+ZECD-90°,

/Md4ECD,

・・・N为加女90°；

M

②/物9与N/©存在确定的数量关系：NBAE+—；/加氏90°,

理由如下：过2作"〃力氏

♦：ABUCD,

：.EF//AB//CD,

：/BA人AEF,4FE04DCE,

VZ^90°,

:・/BAE。ECA9G,

/MCE=>AECD,

n

，N员伊■」-/加%90°.

n+\

【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.

3.（2023春•七年级课时练习）如图：

B

B

ABA

D

图1图2图3

⑴如图1,AB//CD,ZABE=45°,NCDE=21。，直接写出ZBED的度数.

⑵如图2,AB〃C。，点E为直线AB,C£＞间的一点，BF平分/ABE,DF平分NCDE,写出NBED与

ZF之间的关系并说明理由.

（3）如图3,AB与C。相交于点G,点E为ZSG。内一点，BF平分NABE,DF平分NCDE,若NBGD=60°,

NBFD=95。，直接写出NB£D的度数.

【答案】（DN应氏66°；

（2）/施庐2/凡见解析；

（3）/质的度数为130°.

【分析】（1）首先浜EF〃AB,根据直线46〃5，可得EF〃徽所以N4除Nl=45°,NOeN2=21°,据

此推得/瓦氏Nl+N2=66°；

（2）首先作£'G〃/I6,延长DE交防于点〃，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到/断2/尸;

（3）延长分'交48于点〃，延长必到/,利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到/酶的度

数为130°.

【详解】（1）解：（1）如图，般EFHAB,

•.•直线四〃微

：.EF//CD,

二/4废Nl=45°,2CDB=Z2=2\0,

.,.Z5E9=Z1+Z2=66°；

(2)解：NBED=2NF,

理由是：过点£作用〃{6,延长庞交跖于点〃,

'：AB//CD,：.AB//CD//EG,

.•.Z5=Z1+Z2,Z6=Z3+Z4,

又,：BF平介4ABE,DF平■分乙CDE,

/.Z2=Z1,Z3=Z4,则/5=2/2,Z6=2Z3,

.,.Z5E9=2(Z2+Z3),

又匕H43=4BHD,/BHD^Z2=NBED,

：.N3+N2+N4/颇，

综上/跖0/412/庞〃理NBED=2NF；

(3)解：延长DF交AB于点、H,延长麻1到/,

•:/BGD=60°,

N3=N1+N6瑟Nl+60°,ZJW7>Z2+Z3=Z2+Z1+60°=95°,

••.Z2+Z1=35°,即2(N2+N1)=70°,

■:BF平分4ABE,DF*，分4CDE,

.♦./月除2/2,2CDE=2C

：.NBEI=NABE+4BG拄2N2+4BGE,ZDE1=ZCDE+ZDGB=2Z1+ZDGE,

:.ZBEANBER/DES2+乙\)+(/BGE+NDG0=70°+60°=130°,

质的度数为130°.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添

加辅助线是解题关键.

4.（2023春♦七年级课时练习）问题情境：如图①，直线AB〃CD,点、E,尸分别在直线46,CD上.

（1）猜想：若N1=13O。，Z2=150°,试猜想NP=°；

⑵探究：在图①中探究Nl,N2,NP之间的数量关系，并证明你的结论；

⑶拓展：将图①变为图②，若/1+N2=325。，NEPG=75。,求NPG尸的度数.

【答案】（1）80。

(2)ZP=36O°-Z1-Z2；证明见详解

(3)140°

【分析】（1）过点尸作MZV〃AB,利用平行的性质就可以求角度，解决此问：

（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；

（3）分别过点尸、点G作出〃回、KR//AB,然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可.

【详解】（1）解：如图过点尸作脑V〃AB,

AB//CD,

：.AB//MN//CD.

：.Nl+N£PN=180°,

N2+NFPN=180°.

•：Z1=130°,Z2=150°,

，Z1+Z2+ZEPN+NFPN=360°

ZEPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

ZP=ZEPN+ZFPN,

・・・N分80°.

故答案为：80°；

⑵解:ZP=36O0-Z1-Z2,理由如下:

如图过点P作

JAB//MN//CD.

：.Nl+N石PN=180。，

N2+NFPN=1800.

・・・Z1+Z2+/EPN+ZFPN=360°

■:/EPN+/FPN=/P,

ZP=36O°-Z1-Z2.

(3)如图分别过点P、点G作MN〃45、KR//AB

♦：AB//CD,

：.AB//MN//KR//CD.

：.Nl+N"N=180。，

ZNPG+/PGR=18。。,

Z/?GF+Z2=180°.

・・・Z14-ZEPN+ZNPG+ZPGR+RGF+Z2=54()°

VZEPG=ZEPN+ANPG=75°,

/PGR+/RGF=ZPGF,

Zl+Z2=325°,

NPGF+Z1+Z2+NEPG=540°

，ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案为：140°.

【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键.

5.（2023春•七年级课时练习）已知直线。〃6,直线用分别与直线a,6相交于点发八点4,6分别在

直线a,6上，且在直线切的左侧，点尸是直线切上一动点（不与点反尸重合），设NRIQNl,/APB

=/2,乙PBF=N3.

（1）如图1,当点户在线段E尸上运动时，试说明/1+N3=N2；

（2）当点一在线段跖外运动时有两种情况.

①如图2写出Nl,Z2,N3之间的关系并给出证明；

②如图3所示，猜想/I,N2,N3之间的关系（不要求证明）.

【答案】（1）证明见详解

⑵①？3?1?2；证明见详解；②/1=/2+/3；证明见详解

【分析】（1）如图4过点尸作PC〃a,利用平行线的传递性可知PC〃a〃6,根据平行线的性质可知

Zl-ZAPC,A=NBPC,根据等量代换就可以得出N2=Nl+/3；

（2）①如图5过点尸作PC〃a,利用平行线的传递性可知尸C〃a〃b,根据平行线的性质可知N3=/BPC,

N1=ZAPC,根据等量代换就可以得出？3?1?2；

②如图6过点P作PC〃a,利用平行线的传递性可知PC〃a〃6,根据平行线的性质可知N1=NAPC,

Z3=/BPC,根据等量代换就可以得出4=N2+N3.

【详解】⑴解：如图4所示：过点P作PC〃a,

a//b

：.PC//a//b

二N1=ZAPC,Z3=NBPC,

'：Z2=ZAPC+ZBPC,

图4

(2)解：①如图5过点尸作PC〃a,

■:a"b

.・.PC//a//b

:,A=/BPC,Zl=ZAPC,

♦：NBPC=N2+NAPC,

图5

②如图6过点尸作PC〃a,

■:a"b

：.PC//a//b

：.Z1=ZAPC,Z3=ZBPC,

■:ZAPC=N2+/BPC,

：.Z1=Z2+Z3.

【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助

线和找到对应的内错角是解决本题的关键.

6.（2023春♦七年级课时练习）已知直线力分/以，打'是截线，点,"在直线加?、切之间.

⑴如图1,连接GM,HM.求证：ZM=ZAGM+ZCHM；

⑵如图2,在NGZ/C的角平分线上取两点〃、Q使得/力。/=/〃皈试判断与/G0”之间的数量关系,

并说明理由.

【答案】（1）证明见详解

⑵NGQH=180。-；理由见详解

【分析】(1)过点例作MV〃回，由AB〃CD,可知MN〃AB〃CD.由此可知：ZAGM=ZGMN,

Z.CHM=ZHMN,故ZAGM+NCHM=NGMN+ZHMN=ZM；

(2)由(1)可知NAGW+NC〃A/=/A/.再由NC〃Af=NG〃M,ZAGlf=Z//GG,可知：

NM=NHGQ+NGHM,利用三角形内角和是180°,可得NGQ"=180。-.

【详解】(D

解：如图：过点M作MV〃AB,

：.MN//AB//CD,

：.ZAGM=ZGMN,4cHM=NHMN,

■：NM=ZGMN+4HMN,

ZM^ZAGM+ZCHM.

(2)解：NGQ”=180。—NM,理由如下:

如图：过点M作脑V〃AB,

由(1)知NM=NAGM+NCEW,

■:HM平分NGHC,

,NCHM=NGHM,

,：NAGM=NHGQ,

：.NM=NHGQ+NGHM,

■:ZHGQ+NGHM+NGQH=180°,

，NGQH=18Q°—NM.

【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时

这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用.

7.（2023春•全国•七年级专题练习）阅读下面内容，并解答问题.

己知：如图1,ABCD,直线EF分别交A8,CD于点、E,F.ZBEF的平分线与/£）庄的平分线交于点

（2）填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择—题.

①在图1的基础上，分别作NBEG的平分线与/D尸G的平分线交于点〃，得到图2,则ZE/W尸的度数

为—.

②如图3,ABCD,直线EF分别交AB,C£＞于点E,尸.点。在直线AB,C£＞之间，且在直线EF右

侧，/8EO的平分线与/。尸。的平分线交于点尸，则NEOb与NEP尸满足的数量关系为一.

【答案】（1）见解析

⑵①45°；②结论：ZEOF=2NEPF

【分析】(1)利用平行线的性质解决问题即可；

(2)①利用基本结论=+求解即可：②利用基本结论=,

ZEPF=ZBEP+ZDFP,求解即可.

【详解】(1)证明：如图，过G作G”AB,

ABCD,

ABGHCD,

/BEG=NEGH,NDFG=NFGH,

:.ZBEF+ZDFE=\80°,

,EG平分ZfiEF,FG平分NDFE,

NGEB=-NBEF,NGFD=-ZDFE,

22

NGEB+NGFD=-NBEF+-ZDFE=-(ZBEF+ZDFE)=90°,

222

在AEFG中，NGEF+NGFE+NG=180°,

/.ZEGF=NGEB+Z.GFD=90°,

:.EG±FG；

(2)解：①如图2中，由题意，NBEG+NDFG=90。,

EM平分NBEG,MF平■分/DFG,

NBEM+NMFD=；(NBEG+ZDFG)=45°,

NEMF=NBEM+ZLMFD=45°,

故答案为:45°；

②结论：NEOF=2NEPF.

理由：如图3中，由题意，ZEOF=ZBEO+ZDFO,ZEPF=ZBEP+^DFP,

平分NBEO,PF平分ZDFO,

:.ZBEO=2ZBEP,ZDFO=2ZDFP,

:.ZEOF=2NEPF,

故答案为：NEOF=2NEPF.

【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性

质.

8.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图1,AB//CD,ZPAB=]3O°,ZPCD=120°,求/APC的度数.小

明的思路是：如图2,过P作PE//AB,通过平行线性质可求NAPC的度数.

（1）请你按小明的思路，写出NAPC度数的求解过程;

（2）如图3,AB〃C£＞，点?在直线8。上运动，记=NPCD=".

①当点尸在线段8。上运动时，则/APC与/a、4之间有何数量关系？请说明理由;

②若点P不在线段8。上运动时，请直接写出/APC与/a、4之间的数量关系.

【答案】（1）见解析；（2）①4PC=Na+N尸，见解析；0ZAPC=|Za-Z/?|

【分析】（1）过户作PE〃A8,利用平行线的性质即可得出答案；

（2）①过户作刊再利用平行线的性质即可得出答案；②分尸在BZ5延长线上和P在D8延长线上两

种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案

【详解】解：（1）如图2,过户作

图2

QAB//CD,

PE//AB//CD,

：.APAB+ZAPE=18O°,

ZPCD+ZCPE=18O°,

■.ZPAB=\3O0,ZPCD=\20°,

:.ZAPE=5O°,ZCPE=60°,

ZAPC=ZAPE+NCPE=110。.

(2)①、ZAPC=Za+^j3,

理由：如图3,过P忤PEHAB,

QAB//CD,

.-.AB//PE//CD,

:.Za^ZAPE,N/3=ZCPE,

ZAPC=ZAPE+NCPE=Na+；

②、ZAPC=|Za-Z>3|.

如备用图1,当户在80延长线上时，NAPC=Na-N〃；

备用图1备用图2

理由：如备用图1,过户作PG〃48,

QAB//CD,

:.AB//PG//CD,

:.Za=ZAPG,“=NCPG,

：.ZAPC=AAPG—ZCPG=-乙p；

如备用图2所示，当尸在03延长线上时，AAPC^Ap-Aa.

理由：如备用图2,过户作PG〃46,

QAB//CD,

：.AB//PG//CD,

:.Za=ZAPG,"=NCPG,

ZAPC=NCPG-ZAPG=-Na；

综上所述，ZAPC=|Za-Z/7|.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过。作PE//AB.

9.(2023春•七年级课时练习)请在横线上填上合适的内容.

(1)如图(1)已知则ZB+ZD=N8£D.

解：过点E作直线E尸//A8.

:.NFEB=().()

VAB//CD,EF//AB,

：.()//().(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行)

:.NFED=().().

:.ZB+ZD=ZBEF+AFED.

：.ZB+ZD=ZBED.

(2)如图②，如果A8〃CD,则N8+NBE£>+N£>=()

【答案】(1)/氏两直线平行，内错角相等，EF,CD,/〃，两直线平行，内错角相等；

(2)360°

【分析】(1)过点£作直线必〃4?,则继而由EF〃CD可得NFEFND.所以NB+Nk/BER/FED,

即N班/庐NW；

(2)过点£作直线跖〃四，则/用好/后180°,继而由。〃⑺可得仄180°.所以

N阶NA/BEF+NFEA360。,即N8+N应介360°.

【详解】解：(1)解：过点£作直线"〃力氏

：.ZFEB=ZB.(两直线平行，内错角相等)

•：AB//CD,EF//AB,

：."〃缪(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行).

.•./曲/〃(两直线平行，内错角相等).

：.4吩/k/BERNFED.

：.4班/D=2BED.

故答案为：NB,两直线平行，内错角相等，EF,CD,ZD,两直线平行，内错角相等;

(2)解：过点£作直线小〃4?,如图.

.../R卧/庐180°.两直线平行，内错角相等).

'：AB//CD,EF//AB,

"〃①(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行).

二/曲/分180°(两直线平行，内错角相等).

：.N济NANBEF+NFED=360°.

：./侨NBEm4A360°.

故答案为：360°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键.

10.(2023春•七年级课时练习)如图1,AB//CD,E是48,切之间的一点.

图1图2图3

(1)判定/胡凡应与/力劭之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2,若NBAE,好的角平分线交于点尸，直接写出/力切与N4E9之间的数量关系；

⑶将图2中的射线小沿庞翻折交4少于点G得图3,若/力3的余角等于2/£1的补角，求/力£的大小.

【答案】(D=

(2)ZAFD=-ZAED-

2

(3)ZfiAE=6O°

【分析】(1)作小〃4?,如图1,则必〃敛利用平行线的性质得N1=N胡反N2=4CDE,从而得到

ZBAE+ZCDE=AAED

(2)如图2,由(1)的结论得/胡£,4CD2三"DE,则/加明子(4BAE+ZCDE),加上(1)

的结论得到/力/沙力微

(3)由⑴的结论得乙伤庐/掰切G,利用折叠性质得/5R4N口见再利用等量代换得到

3

NAGD=2/AED~G』BAE,加上90°-N/1跺180°-2ZAED,从而计算出N物？的度数.

【详解】(1)NBAE+4CDE=NAED

理由如下：

作EF//AB,如图1

'：AB//CD

：.EF//CD

：.Zl=ZBAE,N2=4CDE

：.ABAE+ACDE=AAED

(2)如图2,由(1)的结论得

NAF-BAFr/CDF

,:NBAE、/吸的两条平分线交于点尸

:./BA六;NBAE,4CDF吟NCDE

：./AF*QBAE+/CDE)

,：ZBAE+ACDB-AAED

:.NAF吟NAED

(3)由(1)的结论得掰

而射线DC沿〃£,翻折交4尸于点G

：.4CDG=44CDF

：・/AGA4BAF+4/CDI*/BAE+2/CD*/BAE+2(/AED~/BAE)=2AAED--ABAE

V90°-ZAGD=180°-2AAED

3

・・・90°-2N力协•一/9后180°-2/AED

2

・・・N物后60°

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行,

内错角相等.

11.(2023春•七年级课时练习)己知ABIICD.

(1)如图1,E为AB,5之间一点，连接BE,DE,得到/戚.求证：/戚=/研/〃；

(2)如图，连接仍BC,BF平分NABC,DF平分4ADC,且BF,如所在的直线交于点凡

①如图2,当点8在点/的左侧时，若NABC=5Q°,NADC=6Q°,求/用力的度数.

②如图3,当点8在点A的右侧时，设N4仁a,£ADC=3,请你求出/跖9的度数.(用含有a,B的

式子表示)

图3

【分析】(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可;

(2)①如图2,过点F作/话//AB,当点8在点A的左侧时，根据NABC=50。，NADC=60。，根据平行

线的性质及角平分线的定义即可求N8FD的度数;

②如图3,过点尸作砂〃A8,当点B在点A的右侧时，ZABC=a,AADC=p,根据平行线的性质及角

平分线的定义即可求出NBFD的度数.

【详解】解：(1)如图1，过点E作瓦V/AB,

AB

E-

C'D

图1

则有N8£F=ZB,

AB//CD,

:.EF//CD,

:2FED=/D,

:.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD；

(2)①如图2,过点尸作庄//AB,

BA

E

DC

图2

有以FE=/FBA.

AB//CD,

:.EF//CD.

:"EFD=NFDC.

:./BFE+/EFD=NFBA+/FDC.

即ZBFD=4FBA+ZFDC,

BF平分/ABC,OF平分NADC,

/.ZFBA=-ZABC=25°ZFDC=-ZADC=30°

2f2f

ZBFD=NFBA+ZFDC=55。.

答：ZBFD的度数为55。；

②如图3,过点尸作EE//AB,

有NBFE+NFR4=180。.

:.ZBFE=}S(f-ZFBAf

AB//CD,

:.EF//CD.

ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180。-NFBA+NFDC.

即4BFD=180°-4FBA+ZFDC,

8户平分NA5。，。尸平分ZADC,

.\ZFBA=^ZABC=^a,ZFDC=^ZADC=^J3,

/BFD=180°-ZFBA+ZFDC=180°--«+-^.

22

答：N3ED的度数为180。-；&+；夕.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

12.(2023春•七年级课时练习)已知，AB//CD.点M在AB上，点N在CD上.

(1)如图1中，NBME、/£、的数量关系为：；(不需要证明)

如图2中，NBMF、乙F、的数量关系为：；(不需要证明)

(2)如图3中，修平分/月叨…监平分NA幽且2N£+N£=180°,求N/1E1的度数；

(3)如图4中，N8如=60°,EF平分匕MEN,NP平分4END,豆EQ〃NP,则N,说的大小是否发生变化,

若变化，请说明理由，若不变化，求出/侬的度数.

【答案】(1)4BME=4MEN-4END；ABMF=AMFN+Z.FND-,(2)120°；(3)不变，30°

【分析】(1)过£作EH//AB,易得EH//AB//CD,根据平行线的性质可求解；过尸作FH//AB,易得FH//AB//CD,

根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2JB附/END)+/阴仞=180°,可求解/刚片60°,

进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知/包03/8仍，进而可求解.

【详解】解：(1)过£作分/〃/8,如图1,

图1

NBME=AMEH,

'：AB//CD,

：.HE//CD,

：.AEND=ZHEN,

：.4MEN=ZMEH+AHEN=ABME+AEND,

即N8监'=/也讣AEND.

如图2,这F作FH"AB,

：.^BMF=ZMFK,

'：AB//CD,

：.FH//CD,

:"FNA匕KFN,

:./MFN=/MFK-NKFN=NBMF-4FND,

即：NBMF=4MFN+NFND.

图2

故答案为NBME=AMEN-/END；/BMF=ZMFN+ZFND.

(2)由(1)得2BME=NMEN-ZEND；ABMF^AMFN+ZFND.

：.A/平分/在物，*平分/£阳

,ZFME=ZBME+NBMF,4FND=AFNE+ZEND,

•：24MEN+/MFN=180°,

，2(NBME+AEND}+ABMF-NFND=180°,

：.2/BME+2ZEND+/BMF-4FNg\80°,

於2NBMF+NFND+NBMF-ZFND=\80°,

解得/1=60°,

:"FME=2NBMF=12Q°；

(3)/在0的大小没发生变化，/碇=30°.

由(1)知：4MEN=4BME+4END,

,：3平分匕MEN,NP平■'分4END,

：.ZFEN=yZ.MEN=yQBME+ZEND),4ENP=』ZEND,

'：EQ//NP,

：.4NEQ=Z.ENP,

，NFEQ=AFEN-4NEQ=y(NBME+AEND)-|ZEND=yABME,

♦：/BME=60°,

X60°=30°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

13.（2023春•七年级课时练习）如图1,点A、B分别在直线G4、MN上,NGAC=NNBD,NC=ND.

（1）求证：GHUMN；（提示：可延长AC交MN于点尸进行证明）

（2）如图2,AE^ZGAC,DE平分NBDC,若NAED=NG4C,求NGAC与NACD之间的数量关系;

（3）在（2）的条件下，如图3,即平分"8W,点K在射线8F上，ZKAG=^ZGAC,若ZAKB=ZACD,

直接写出NGAC的度数.

【答案】（1）见解析；（2）ZACD=3ZGAC,见解析；（3）（符）或（署）.

【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；

（2）根据三角形的内角和为180。和平角定义得到ZAQD=NE+NE4。，结合平行线的性质得到

NBDQ=NE+NEAQ,再根据角平分线的定义证得NCD8=2/E+NG4C,结合已知即可得出结论；

（3）分当K在直线GH下方和当K在直线GH上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分

线定义求解即可.

【详解】解：（1）如图1，延长4c交MN于•点P,

■:ZACD=ZC,

：.AP//BD,

二NNBD=ZNPA,

■:4GAC=ANBD,

:.ZGAC=ZNPA,

：.GH//MN；

♦.♦NE+NE4Q+N4QE=180。，NAQE+NAQD=180。，

，ZAQD=NE+NEAQ,

AP//BD,

：.ZAQD=/BDQ,

N3OQ=NE+NE4Q,

TAE平分NGAC,DE平分NBDC,

：.ZGAC=2ZEAQ,ZCDB=2ZBDQ,

.・・ZCDB=2ZE+ZGAC,

♦:ZAED=NGAC,ZACD=/CDB,

：.ZACD=2ZGAC+ZGAC=3ZGAC；

(3)当K在直线G"下方时，如图，设射线M交G”于/,

图3

■:GHHMN,

：.ZAIB=NFBM,

•/BF平分ZMBD,

・・.ZDBF=ZFBM=-(180°-ZDBN),

2

:.ZAIB=/DBF,

VZAIB+ZKAG=ZAKB,ZAXB=ZACD,

:.ZACD=/DBF+ZKAG,

•；NKAG=-ZGAC,ZGAC=ZNBD,

3

Z.-ZGAC+-(180°-2DBN)=ZACD=3NGAC,

32

即|ZGAC+90°-1Z.GAC=3ZGAC,

解得：NG4C=(需).

当K在直线GH上方时，如图，同理可证得NA/B=g(180°-NOBN)=NAK8+NK4G,

贝lj有3NGAC+g/GAC=g(180-ZGAC),

综上,故答案为用)或偿)•

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平

角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

14.(2023春•七年级课时练习)已知/6〃切，N4比•的角分线与应的角分线相交于点尸.

(1)如图1,若BM、〃“分别是//筋和/侬的角平分线，且/瓦沙=100°,求N4的度数；

(2)如图2,若NABM=；NABF,NCDM=gzCDF,ABED=a°,求乙"的度数；

(3)若NABM=LNABF,/曲仁^/物，请直接写出N"与/版之间的数量关系.

nn

36()。_

【答案】(1)65°(2)-~~--(3)2〃/加/曲=360°

6

【分析】(1)首先作用〃被FH//AB,利用平行线的性质可得N4质/迹260°,再利用角平分线的定义

得到分/加=130。，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求N"的度数；

(2)先由已知得到//够NCDB*>4CDM,由(1)得N仍於/夕辰360°-ABED,N护NAB枪NCDM,

等量代换即可求解；

(3)先由己知得到N4BF=〃ZABM,ZCDF=nZCDM,由(2)的方法可得到2〃/册/座加360°.

【详解】解：⑴如图1,作EG〃A3,FH//AB,

图1

♦；AB//CD,

：.EG//AB//FH//CD,

：.ZABF=ZBFH,NCDF=ADFH,ZABE+NBEG=180°,NGED+NCDE=180°,

ZABE+ZBEG+NGED+ZCDE=36()。，

■:ZBED=ZBEG+ZDEG=100°,

，ZABE+Z.CDE=260°,

•；ZABE的角平分线和NCDE的角平分线相交于F,

：.ZABF+ZCDF=\3O°,

：.ABFD=ZBFH+ZDFH=130°,

BM、DM分别是NAB尸和NCDF的角平分线，

:.NMBF=-ZABF,NMDF=-NCDF,

22

，NMBF+ZMDF=65°,

，ZB7WD=130O-65O=65°；

(2)如图2,VZABM=^ZABFf/CDM=；NCDF,

AZABF=3ZABM,/CDF=3NCDM,

•/NABE与NCOE两个角的角平分线相交于点F,

AZABE=6ZABM,/CDE=6/CDM,

：.6ZABM+6/CDM+ABED=360°,

*/NBMD=ZABM+NCDM,

・・・6NBMD+NBED=360°,

・・・/g幽士

6

(3)Y/ABM=、NABF,4CDM=L/CDF,

nn

：.ZABF=nZABM,NCDF=nZCDM,

•••一ABE与NCDE两个角的角平分线相交于点F,

二ZABE=InZABM,NCDE=2nNCDM,

InZABM+2nZCDM+NBED=360°,

ZM=ZABM+ZCDM,

二2nZM+ZBED=360°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角

相等，同旁内角互补的性质.

15.(2023春•七年级课时练习)已知直线做GV和点6在同一平面内，且4/〃。4ABLBC.

(1)如图1,求//和/C之间的数量关系；

(2)如图2,若阴，4%垂足为〃，求证：NABg/C；

(3)如图3,已知点D、E、产都在直线上，且N45A/A窈，BF平■分4DBC,BE平分4ABD."4FC皆/NCF

=180°,4BFC=34DBE,请直接写出的度数.

【答案】（1）ZA+Z（=WQ；（2）见解析；（3）NEB0105°.

【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解.

（2）画辅助平行线找角的联系.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解.

【详解】解：（1）如图1,

图1

9：AM//CN,

：.Z(=ZAOBf

*：AB工BC,

：.ZABC=90°,

・・・/1+/力娇90°,

ZJ+ZC^90°,

故答案为：ZJ+Z^90°；

(2)如图2,试点、B作.BG〃DM,

:・DBLBG,

:"DBGW,

:・/AB>/A除9y,

YABLBC,

:・/CBGQABG=9QQ,

・・・4AB2/CBG,

9

：AM//CNf

：.4人CBG,

:ZABA/G

：.CN//BG,

:ZCBG^/BCN,

■:BF平分4DBC,BE平分NABD,

：・4DBP=4CBF,4DBE=/ABE,

・.・2ABD-4NCB,

:./ABD-/CBG,

:./AB六NGBF,

'设/DBFa,ZABkB,

贝IJNZ陷〃，AABD-2a=ZCBGf

/GB2NAFFB,

4BFO34DB43a,

•:BG〃DM,

：・4DF%4GBXB,

：./AF8/BFC+/DFB-3。+£,

VZJ^ZAC7^180°,/此冰NM7Q80。，

：.ZFCS=ZAFC=3。+£,

△比尸中，由/例4/班介/比足480°得：

2。+£+3a+3。+£=180°,

YAB1.BC,

・・・£+£+2。=90°,

a=15°,

除15°,

:.NEBC=/ABE+NABC=15°+90°=105°.

【点睛】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本

题的关键.

16.（2021春•辽宁大连•七年级统考期中）如图，AB〃CD,点。在直线CD上，点P在直线A8和CD之

（2）过点。作OE//P。交尸B的延长线于点E,作-QEP的平分线E尸交PO于点F,请在备用图中补全图

形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；

（3）将（2）中的“作/£>EP的平分线E尸交尸。于点尸”改为“作射线E尸将一£>£尸分为1:3两个部分，

交叨于点尸”，其余条件不变，连接E。，若EQ恰好平分NPQ。，请直接写出NFEQ=（用

含a的式子表示）.

a3

【答案】（1）NBPD=2a；（2）画图见解析，EFYPD,证明见解析；（3）45。-工或45。-彳a

22

【分析】（1）根据平行线的传递性推出PG〃筋//CZ）,再利用平行线的性质进行求解；

（2）猜测麻，尸。，根据尸£>平分NBPQ,ZBPD=2a,推导出NBPD=ZDPQ=2a,再根据DEIIPQ、EF

平分NDEP,通过等量代换求解；

（3）分两种情况进行讨论，即当NPEF:ZDEF=1:3与NDEF:NPEF=1:3,充分利用平行线的性质、角平

分线的性质、等量代换的思想进行求解.

【详解】（1）过点P作PG〃4?,

AB//CD,PGIIAB,

:.PG//AB//CD,

/BPG=/ABP=a,Z.DPG=Z.PDQ=a,

/BPD=NBPG+ZDPG=2a.

(2)根据题意，补全图形如下：

猜测EF_LP。，

由（1）可知：乙BPD=2a,

P£＞平分NBPQ,/BPD=2a,

/.ZBPD=ZDPQ=2a9

DE//PQ,

/EDP=/DPQ=2a,

ZDEP=180°-/BPD-/EDP=180。—4a,

又EF平分ZDEP,

Z.PEF=-Z.DEP=90°-2a,

2

...ZEFD=180°-ZPEF-/BPD=90°，

:.EFLPD.

(3)①如图1,

图1

NPEF:NDEF=1:3,

由（2）可知：ZEPD=ZDPQ=ZEDP=2a,ZDEP=180°-4«,

/PEF"DEF=1:3,

Z.PEF=-ZDEP=45。-a,

4

3

NDEF=—NDEP=135。-3a,

4

DEUPQ,

NDEQ=NPQE,

NEOQ+NPQO=180。，

/EDP=2a,/PDQ=a,

NEDQ=NEDP+ZPDQ=3a,

ZPQD=180°-ZEDQ=180°-36z,

又E。平分NPQ。，

13

NPQE=Z.DQE=ZDEQ=-NPQD=90°-1a,

33

・•.ZFEQ=ZDEF-ZDEQ=1350-3a-（90o--a）=45°--a；

22

ZZ无尸=180。-4。，NPQD=180。-3a（同①）;

若NDEF:NPEF=1:3,

则有NOEF=LN£>EP=』x（180°-4a）=45°-a,

44

113

又NPQE=NOQE=不NPQO=2x（180。-3a）=90。-产

.DE//PQ,

NDEQ=NPQE=90°-|a,

NFEQ=ZDEQ-ZDEF=45。一ga,

3CL

综上所述：//£：。=45。-5。或45。-耳，

故答案是：45。-a]