高中数学必修第一册课后限时训练58 三角恒等变换

高中数学必修第一册课后限时训练58三角恒等变换

题组1

1.已知sina—cos则sin2a=（）

_14_111114

AA.25BR・25rC・25nD・25

解析：因为sina—cos

所以（sina—cosa）2=||,

即sin2a+cos2a_2sinacos,

即1—sin2a二|1.所以sin2a=­

答案：B

2.函数外）=悭呜6呜+3。一的最小正周期为（）

A.］B.7tC.2nD.4花

解析：由题意可知/U）」2sin］（sin|+cos5）—1I=|sinx—cosx|=V2|sin^x—^|.

结合函数«x）二加卜in［一J］的图象，可得函数/（x）的最小正周期为兀，故选B.

答案：B

3.已知sin2a=|,则cos2（a+等于（）

1112

A-6B.§C.5D.-

解析：因为"+9=l+cos：（a+?=1+吗2。+?=匕警=另

\4/LLLZb

所以选A.

答案：A

4.函数y=cos2（x—^1）+sin2（久+工）-1是（）

A.周期为2兀的奇函数B.周期为兀的偶函数

C.周期为无的奇函数D.周期为2兀的偶函数

解析：：,尸cos2（x-工）+sii?（x+"—1

l+cos（2x一看）1—cosQx+9）

2+2T

cos（2x一看）—cos（2x+^）

2

cos2xcos5+sin2xsin5—cos2xcosj+sin2xsin5

2

sin2x

-2，

•:函数的周期为:二兀，且sin(—2x)=—sin2x.故选C.

答案：C

5.若函数於)二1coscox一争in①x(①>0)在区间［0,兀］内的值域为［-1,外则口的取值范围为()

A.［|，才B,(0,1C,(0)|］D.(0,1］

解析：由题意可知/(x)=|coscox—^sincox=cos^a)x+以，且①>0，

当xefO,兀］时，於)《［一1,1］,

故—1Wcos(3%+<p

可得兀Wcox+卷<拳

解得故口的取值范围为竹，［］.

答案：A

6.已知〃=^(sin160+cos16°),Z?=2cos214°—1,c=sin37°-sin67°+sin53°-sin23°,则a,6c的大

小关系为.

解析：：Z=cos45°sin160+sin45°cos16°=sin61°，b=cos28°=sin62°,c?=sin370cos230+cos

37°sin23°=sin60°,又函数产sinx在区间(0,内单调递增，

・：c<a<B.

答案：c<a<b

7sin250°=

1+sinlO0-----------•

铤析,sin250°_1-coslOO0_l-cos(90°+10°)_1+sinlO0_1

肿斫：1+sinlO0=2(l+sinl00)--2(l+sinl00)-=2(l+sinl0°)=2*

答案：百

8.已知函数火x)=acos(］—x)—cos2x,其中a>0,

(1)比较/)和熄)的大小;

(2)求函数於(在区间［一,，上的最小值.

解析：⑴因为詹)=］—g,

所以姆)-詹)=3+1)-倨-加+1

因为a>0,所以］+|>0,

所以庖啕•

(2)因为/(x)=Qsinx-cos2x=〃sinx—(1—2sin2x)=2sin2x+asinx~l,

设片sinx,xw［一］，外

所以尸2尸+。，-1,f£［—1,1］,其图象的对称轴为直线，二—%

当t=—%—1,即a>4时，在，=—1时函数y取得最小值1—a；

当f=一?》-1,即0<〃<4B寸，在/=一£时函数y取得最小值一j—1.

44o

综上可知，当a>4时，函数,/(x)在区间［一5，皆上的最小值为1一。；当0<aW4时，函数於)在区间［一微，

，上的最小值为—1.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，角a,少的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆。交于A,8两点.若a

G信，。，尸吟，且点A的坐标为(一1,m).

⑴若tan2a=-求实数”?的值；

⑵若tanZAOB=-求sin2a的值.

解析：(1)由题意可得tan2a=二^芈-=

1-tanza3

角牟得tana=一2或tana=2.

：%£信，IT),•*tana--

又角a的终边与圆O交于点A(—1,/w),

口门・

•.J.ana--m，即—m=-1.•/7/=-1.

—1—1/N

皿。-强)二

(2)S*tanZAO^=tan(a—y?)=tan(a一工)

cos(a-^)]

又sin2(a-匀+cos2(a—工)=1，

..(TT\3(11、4

cos^--)=-

51

•:讯2戊_2)=2sin(a-^)cos(a-，)=cos(2a-2)=2cos2(a-令)-1

.：sin2a=sin[(2a—+^j=sin(2a-cos2+cos^2a—防吗=7—；：".

题组2

1.在△"(?中，sinAsin^=cos2|,则下列等式一定成立的是()

A.A=BB.A=CC.B=CD.A=B=C

解析：：・C=7U—(A+B),

ZsinAsini?=cos2|-=1+^osC=，-|cos(A+B)=1—^(cosAcosB-sinAsinB).

・：；cosAcos8+gsinAsinB=g.

•：cos(A—8)=1.

:'OvAv兀,0<8<兀,・：—7U<4—8<兀

・：A—3=0.•:A=8.

答案：A

2.已知tanQ+6)=3,贝!Jsin20—2cos20=()

443

-c

A.B.5--5D.4-

解析「‘磷+9）=氏导，「曲弓.

sin20—2cos232sin6cos。-2cos2。2tan0—2__4

..sin2。-2cos2。=

1siMe+cos2。taMe+l5.

答案：B

3.已知函数/U）=3sincoxcos①式一4cos2o>x（①>0）的最小正周期为兀，且犬。）=^，则/（。一］）二（

13

D.~2

解析：由题意可得心)=3sincoxcoscox—4cos2cox

3

=-sin2a)x-2(1+cos2cox)

二|sin(2s—9)—2(其中tan(p=

故危)max=|-2=g,

SQ

於)min=-2-2=-2,

因为购耳，所以当时，函数於）取得最大值.

-9

即/

---

又因为函数的周期为兀，所以当x=e—1时，函数y（x）应取得最小值—A02

答案：B

4.己知tan（a一份=?’tanQ—£）=则tan（a—2）=

1717

c

A.-4B.-8-8D.4-

解析：："an®",tan偿一£)1

2

21

3.2.1

・：lan(a-=

加时…一停刊卜黑若申l+|xi8*

答案：C

cos2a券，则sinacosa=

5.若一

Siiln(a+?

解析.,・cos2a题.cos2a—sin2aV2

廨加.』仅+旷3•.75~3

-y(sina+cosa)

即(cosa-sina)(sina+cosa)V2

/2~3,

■y(sina+cosa)

Zcosa-sina=1.

•:两边平方,得1—2sinacosa=^,

4

即sinacosa=-.

答案：5

71,4.

6.已知aWO,sina+贝ijlana=

*(l4.

解析：因为0<tt<—,所以4<。+可V2,

又因为sin(a+：)=%

所以cosher+；3

所以tan(a+4

3,

4

所以tana=tan[(a+9T=吊

7

答案:I

7.已知函数於)=2cos?x+2百sinxcosx.

⑴求7U)的单调递增区间;

(2)若应r)在区间［-，上的值域为［0,3］,求机的取值范围.

解析：(1)/(x)=2cos2x+2V3sinxcosx

=cos2x+V3s:in2x+1=2sin(2x+卷)+1,

由2版TW2x+?W2E+?(keZ),

ZoZ

得hr—gWx<ht+］（kGZ）,所以火x）的单调递增区间是pnr—三，kn+^j（^GZ）.

⑵由⑴知於)=2sin(2x+看)+1.

由回一『m]>知2vqe卜於2m+3-

要使得危）在区间［一，向上的值域为［0,3］,即产sin（2%+习在区间［一,6］上的值域为卜：，1］.

故3W2〃2+?W?,即提WmWj

26662

8.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（A8C0的池底水平铺设污水净化管道（管道构成R3FHE,

，是直角顶点）来处理污水.管道越长，污水净化效果越好.设计