2021年人教A版（2019）复习《集合与常用逻辑用语》

2021年人教A版(2019)专题复习《集合与常用逻辑用语》

一.选择题(共15小题)

1.(2021•江西模拟)已知集合A={x|/+2x+l=0,a€R}只有一个元素，则a的取值集合

为()

A.{/}B.{0}C.{0,-1,1}D.{0,1}

2.(2021•武昌区校级模拟)已知M,N为R的两个不相等的非空子集，若(CRN)£(CR/W),

则下列结论中正确的是()

A.VxGN,XEMB.BXEM,工任NC.3xgN,xEMD.VxGM,X《CRN

3.(2021•全国模拟)Z(A/)”心表示集合例中整数元素的最大值.己知集合4={x|(2x+l)

(3x-13)W0},则Z(A)()

A.0B.5C.卫D.4

3

4.(2021•舒城县校级模拟)已知4={#rVa},4={x|lVxV4},若AUCRB,则实数a的取

值范围为()

A.{a|a<l}B.{a|aW4}C.{a|aWl}D.{a\a^\}

5.(2021•开封三模)设小人€R,A={1,a},B={-1,-分，若AUB,则a-6=()

A.-1B.-2C.2D.0

6.(2021•肥城市模拟)已知集合A={x|-2<x<3},B={加2-x-2>0},则AUB=()

A.RB.{x|-l<x<2}C.{x|-2<x<-1}D.0

7.(2021•南海区校级模拟)已知U=R,函数y=/〃(1-x)的定义域为M,集合N={H2x

-/>0},则MA(CuN)=()

A.(一8,o]B.(0,1)C.[1,2)D.[2,+8)

8.(2021•淄博三模)已知全集U=R,集合A={xB={x|k|Wl},则如图阴影

部分表示的集合是()

A.[-1,0)B.[-1,0)U[l,2)C.(1,2)D.(0,

1)

9.(2021•下城区校级模拟)设人={6,y)|y=kx],B={(x,y)|y=\/2x-l)>则”-1W

kC是“AC8#0”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2021•六合区校级四模）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必

要不充分条件，那么甲是丁的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分又不必要

11.（2021•上饶三模）设x€R,则“-2<xV2"是u\<x<2''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.（2020秋•新蔡县月考）若命题“ACR,使得37+23+1<0”是假命题，则实数。的取

值范围是（）

A.〈虫B.a<-«,或a>«C.

D.a<-V3.或a〉«

13.（2020秋•舒城县校级期末）已知命题“Vx€R,«?+4x-1<0”是假命题，则实数a的

取值范围是（）

A.（-8,-4）B.（-8,4）C.[-4,+8）D.[4,+00）

14.（2020秋•青岛期末）命题“对Vx€R,都有sinxWl”的否定为（）

A.对VxeR,都有sinx>lB.对VxCR,都有siarW-1

C.3AOGR,使得sinxo>lD.3XOGR（使得sinxWl

15.（2020秋•晋安区期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A.VxGR,x1+2x+l>0

B.所有菱形的4条边都相等

C.若2x为偶数，则x€N

D.it是无理数

填空题（共7小题）

16.（2020秋•嘉定区期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为.

17.（2021•西宁模拟）函数,f（x）的定义域为[-1,1],图象如图1所示，函数g（x）的定

义域为[-1，2],图象如图2所示.若集合A={x，（g（x））=0},8={xk（/（x））—

0）,则AA8中有个元素.

图1图2

2

18.（2021•上城区校级模拟）定义集合人=0自&）=7?”},B={X|X-2X-3<0}'

则AnB=；AUCRB=.

19.（2021春•忻府区校级月考）已知条件p：（x+1）2>生条件q：x>a,且一'2是一的

充分不必要条件，则a的取值范围是.

20.（2021•南通模拟）《墨子•经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然.体也，若

有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么

文中的“小故”指的是逻辑中的.（选“充分条件”必要条件”“充要条件”既

不充分也不必要条件”之一填空）

21.（2021•未央区校级二模）给出下列命题：

①命题“若/=1,则x=\"的否命题为“若/=1,则xW1”；

②“x=-1”是“7-5x-6=0”的必要不充分条件;

③命题“3r€R,使得f+x-1<0”的否定是：“Vx€R,均有7+x-1>0”；

④命题“若x=y,则siru=siny”的逆否命题为真命题.

其中所有正确命题的序号是.

22.（2021・4月份模拟）若2W〃2+〃-4042W2”（«eN*）,集合A={1,2,3,…，n},集

合且BW0,现将满足条件的每一个集合3中的最小元素取出，然后将取出的所有

元素相加，相加的结果记为S,那么〃=,S=.

三.解答题（共8小题）

23.（2020秋•台州期末）设数集A由实数构成，且满足：若且x¥0）,则工£

1-x

（1）若2GA,试证明A中还有另外两个元素；

（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由：

（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为四，且A中有一个元素的平方等于

3

所有元素的积，求集合4

24.（2020秋•赤峰期末）已知集合。nqeRlox2-3x-4=0}.

（1）若A中有两个元素，求实数〃的取值范围；

（2）若A中至多有一个元素，求实数。的取值范围.

25.（2020秋•临沂期末）已知集合2={靖。>8},B={4?+x-2<0},再从条件①、条

件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求实数”的取值范围.

条件①：An8=0；条件②：AUB=A；条件③：AUCRB.

26.（2021春•沙坪坝区校级期中）集合人=七|得"<1,x€R）18={x||x-a|<2,xGR}.

（1）若a=2,求AU8；

（2）若X€CRA是的充分不必要条件，求4的范围.

27.（2021春•射洪市校级月考）设p：x>a,q：x>3.

（1）若p是q的必要不充分条件，求〃的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.

28.（2018秋•怀仁市校级期末）写出下列命题的否定，并判断其真假：

（Dp：V/nGR,方程f+x-俄=0必有实根；

（2）q：SAGR,使得7+x+lWO.

29.（2015春•奉贤区校级月考）判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是

特称命题.

（1）任何一个实数除以1,仍等于这个数；

（2）三角函数都是周期函数吗？

（3）有一个实数x,x不能取倒数；

（4）有的三角形内角和不等于180°.

30.（2021•黄浦区三模）集合S={m，及；…斯}（a,GN*,z=l,2,....〃），集合T={瓦帆

=卬+华若集合T中元素个数为n（njl）,且所有元素从小到大排列后是

等差数列，则称集合5为“好集合

（1）判断集合51={1,2,3}、S2={1,2,3,4}是否为“好集合”；

（2）若集合S3={1,3,5,m］（机>5）是“好集合”，求，〃的值；

（3）“好集合”S的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明

理由.

集合与常用逻辑用语

参考答案与试题解析

选择题（共15小题）

1.（2021•江西模拟）已知集合A={x|a/+2x+l=0,”eR}只有一个元素，则a的取值集合

为（）

A.{/}B.{0}C.{0,-1,1}D.{0,1}

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算.

【分析】根据题意可知方程以只有一解，a=0显然可以，aWO时，△=4-

4a=0,解出a=l,这样即可得出a的取值集合.

【解答】解：：A只有一个元素，

方程a?+2x+l=0只有一个解，

①a=0时满足题意；

②aWO时，△=4-4a=0,解得a=l,

的取值集合为{0,1}.

故选：D.

【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次方程只有一解时，△=（）,

考查了计算能力，属于基础题.

2.（2021•武昌区校级模拟）已知M,N为R的两个不相等的非空子集，若（CRN）£（CRM）,

则下列结论中正确的是（）

A.xEMB.Bx&M,x任NC.N,x&MD.VxGM,x收RN

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；逻辑推理.

【分析】根据M,N为R的两个不相等的非空子集，且CRNUCRM，知MUN,再判断选

项中的命题是否正确.

【解答】解：•.,CRNUCRM，

VAGM,XGN,V.rGM.XCCRM

故选：D.

【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，属于基础题.

3.(2021•全国模拟)Z(M)”如表示集合M中整数元素的最大值.已知集合人=国(2%+1)

(3x-13)W0},则Z(A),皿=()

A.0B.5C.HD.4

3

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】集合：数学运算.

【分析】解一元二次不等式求出x的范围，得到集合A,然后列举出集合A的元素，找

出最大值，从而得出Z(A)的最大值.

【解答】解：由(2x+l)(3x73)W0得-工

23

.•.A={x|-L《x<迫}，，A中的整数有0，1,2,3,4

23

；.ZG4)的最大值为4,

故选：D.

【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的运算，理解Z(A)最大值的定义.

4.(2021•舒城县校级模拟)已知A={x|xVa},4={x[l<xV4},若AUCRB,则实数。的取

值范围为()

A.{a|«<I}B.{a|aW4}C.{业,Wl}D.{a\a^I)

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算.

【分析】求出CRB,然后根据AUCRB建立条件关系，求出“的值.

【解答】解：•.•B={x[l<x<4},

：.CRB={X\X^\或X24},

,.•A={4r〈a},AUCRB,

：.a^l.故实数”的取值范围为{a|“Wl}.

故选：C.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

5.(2021•开封三模)设a,〃GR,A={1,a},8={-1,-6},若AUB,贝!Ia-Z?=()

A.-1B.-2C.2D.0

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算.

【分析】利用集合的包含关系，求解。力，即可得到结果.

【解答】解：a,b&R,A={1,a},B={-1,-b),AUB,

考试a=-l,6=-1,所以“-b=0,

故选：D.

【点评】本题考查集合的包含关系的应用，是基础题.

6.(2021•肥城市模拟)已知集合A={x|-2<x<3},B={x|x2-x-2>0},则AUB=()

A.RB.{x\-l<x<2}C.{x|-2<x<-1}D.0

【考点】并集及其运算.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算.

【分析】可求出集合B,然后进行并集的运算即可.

【解答】解：：A={x|-2<x<3},8={小<-1或x>2},

：.AUB=R.

故选：A.

【点评】本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考

查了计算能力，属于基础题.

7.(2021•南海区校级模拟)已知U=R,函数(1-%)的定义域为M,集合N={x|2x

-?>0),贝IJMA(CuN)=()

A.(-8,0]B.(0,1)C.[1,2)D.[2,+8)

【考点】交、并、补集的混合运算.

【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据对数函数的图象和性质求出集合求出N的补集，找出M与N补集的交

集即可.

【解答】解：由1-x>0,解得：x<l,

故函数y=/〃(1-x)的定义域为M=(-8,1),

集合N={x\2x-?>0}={x|0<x<2},

故CuN={x|xW0或x22},

MH(CuN)=(-8,o].

故选：A.

【点评】本题考查对数函数的定义域，突出集合中交、补集的混合运算，属于基础题.

8.（2021•淄博三模）已知全集U=R,集合A={x|卜2<0},B={x|RWl},则如图阴影

部分表示的集合是（）

A.[-1,0）B.[-1,0）U[l,2）C.（1,2）D.（0,

1）

【考点】Venn图表达集合的关系及运算.

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；集合；数学运算.

【分析】由图可知所求集合为ACB在A中补集，运算即可.

【解答】解：由图可知所求集合为AAB在A中补集，AC8=（0,1],...阴影部分表示

的集合是（1,2）.

故选：C.

【点评】本题考查集合运算，考查数学运算能力，属于基础题.

9.（2021•下城区校级模拟）设人={（*,y）|y=kx},B={（x,y）ly^x-ll-则“-1W

ZW1”是“APB#。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】计算题；函数思想；数形结合法；简易逻辑；数学运算.

【分析】先画出两个函数的图象，求出切点的坐标，进而求出的上最大值，又由图象得到

心0,即得到0W&W1,再利用子集即可判断.

【解答】解：若AC8W0,则尸依与y=-2x-l（x2上）的图象有交点，

2

如图，

若相切时，设切点为（见〃）,

y'=21

则*j{2m-lk

Ikm=V2m-l

由图知Z2O,...OWZ;W1,

V[O,l]c[-1,1],

-l&k〈l是4CB#0的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，画出函数的图象，利用数形结合是

关键，属于中档题.

10.（2021•六合区校级四模）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必

要不充分条件，那么甲是丁的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分又不必要

【考点】充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理.

【分析】先由已知条件，转化为相互间的推出关系，利用充要条件的定义，判断出结论.

【解答】解：•••乙的充分不必要条件是甲，，甲=乙，

；乙是丙的充要条件，，乙=丙，

•••丁是丙的必要不充分条件，，丙=丁，

...甲=丁

二甲是丁的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中根据充要条

件的传递性，结合已知得到甲=丁，是解答本题的关键.

11.（2021•上饶三模）设xCR,则“-2<xV2”是ul<x<2>>的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】计算题；集合思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【分析】利用集合的包含关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：•••（1,2）5（-2,2）,

-2<x<2是\<x<2的必要不充分条件，

故选:B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，集合的包含关系是解决本题的关键,

属于基础题.

12.（2020秋•新蔡县月考）若命题使得37+2依+1<0”是假命题，则实数”的取

值范围是（）

A.bB.或a>«C.-

D.a《加，或a》加

【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用含有量词的命题的否定先将条件转化为真命题，再利用一元二次不等式恒

成立求解即可.

【解答】解:命题“IrWR,使得3*2+2办+1V0”是假命题，即“Vx€R,3?+2ax+l>0

成立”是真命题，

故△=4/-i2W0,解得一百

故选：C.

【点评】本题考查了命题真假的应用，主要考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否

定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题.

13.（2020秋•舒城县校级期末）已知命题“VxeR,小+以-1<0”是假命题，则实数。的

取值范围是（）

A.（-°°,-4）B.（-8,4）C.[-4,+8）D.[4,+00）

【考点】全称量词和全称命题；命题的真假判断与应用.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【分析】由命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求解即可.

【解答】解：命题"VxeR,ax2+4x-1<0"是假命题，

它的否定命题："M6R,a?+4x-1>0”是真命题；

当。=0时，不等式化为4x720,解得X2上，满足题意；

4

2

当aWO时，若/>0,则不等式化为。2_1一-2=（工一2）-4,

x2xx

所以-4,且a#0；

综上知，实数a的取值范围是［-4,+8）.

故选：C.

【点评】本题考查了命题与它的否定命题应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

14.（2020秋•青岛期末）命题“对Vx€R,都有siiuWl”的否定为（）

A.对都有sinx>lB.对Vx€R,都有siruW-1

C.3x（）eR,使得sinx（）>lD.3^（）eR,使得sinxWl

【考点】全称量词和全称命题；命题的否定.

【专题】规律型；简易逻辑.

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.

【解答】解：:•全称命题的否定是特称命题，

命题“对Vx€R,都有sinxWl”的否定为：3xoGR,使得siaro>l；

故选：C.

【点评】本题考查命题的否定，熟练掌握全称命题“Vx€M,p（x）”的否定为特称命题

'勺x（）eM,「p（x）”是解题的关键.

15.（2020秋•晋安区期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A.VxGR,/+2X+1>0

B.所有菱形的4条边都相等

C.若2x为偶数，则x€N

D.7T是无理数

【考点】全称量词和全称命题.

【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理.

【分析】直接利用全称命题求出结果.

【解答】解：对于A：VxGR,X^+2X+1=（x+1）2^0,故A错误；

对于B：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故5正确；

对于C：若2x为偶数，则X6N或“，故C错误；

对于O：n是无理数不是全称命题，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：全称命题的判定，命题真假的判定，主要考查学生对基

础知识的理解，属于基础题.

二.填空题(共7小题)

16.(2020秋•嘉定区期末)10的所有正因数组成的集合用列举法表示为11,2,5,101.

【考点】集合的表示法.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算.

【分析】先求出10的所有正因数，再利用列举法表示即可.

【解答】解：10的所有正因数组成的集合用列举法表示为{1,2,5,10).

故答案为：{1,2,5,10).

【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题.

17.(2021•西宁模拟)函数,f(x)的定义域为[-1,1],图象如图1所示，函数g(x)的定

义域为[-1,2],图象如图2所示.若集合A={W(g(x))=0},8={x|g(/(x))=

图1图2

【考点】交集及其运算.

【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算.

【分析】数形结合，求出集合4={-1,0,1,2),8={-1,0,1),进而求出AC8,

由此能求出4C18中元素的个数.

【解答】解：函数/G)的定义域为51,1],图象如图1所示，

函数g(x)的定义域为11,2],图象如图2所示.

图1图2

.,.集合4={4可G))=0}={-1,0,1,2),

B={x|g(f(x))=0}={-1,0,1},

；.An8={-1,0,1).

；.An8中有3个元素.

故答案为：3.

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能

力等数学核心素养，是基础题.

2

此(2021•上城区校级模拟)定义集合人=&在代)而”}，B={X|X-2X-3<0)-

贝|JAnB=U|-1<A<1|；AUCR8={xlxWl或X13}.

【考点】交、并、补集的混合运算.

【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算.

【分析】利用函数定义域的求法以及一元二次不等式的解法求出集合A,B,然后由集合

交集，补集的定义求解即可.

【解答】解:因为集合人=&.(x)Tl-x2)={xL1&W1},

集合8={4?-2^-3<0}={川-1<》<3},

所以CRB={4TW-1或x23},

故ACB={x|-IVxWl}；

AUCR8={X|XW1或x23}.

故答案为：{x|-l<xWl}；{x|xWl或x23}.

【点评】本题考查了集合交集与补集的运算，函数定义域的求法以及一元二次不等式的

解法，解题的关键是掌握集合交集与补集的定义，考查了运算能力，属于基础题.

19.(2021春•忻府区校级月考)已知条件p：(x+1)2>4；条件q：x>a,且「p是「4的

充分不必要条件，则a的取值范围是［1,+8).

【考点】充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】计算题；转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【分析】根据命题的等价关系，"=/>但pWq即可得到集合关系，由集合关系求得“的范

围.

【解答】解：由「P是「q的充分不必要条件，

可知-但「严

又一个命题与它的逆否命题等价，

可知q=p但pWq,

又p：x>I或x<-3,

可知｛木>“｝隼｛小>1或x<-3｝,

所以a2l.

故答案为：［1,+°°）.

【点评】本题考查了充要条件的判定及复合命题的真假规律，解答的关键是正确理解充

分而不必要条件的含义，属于基础题.

20.（2021•南通模拟）《墨子•经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然.体也，若

有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么

文中的“小故”指的是逻辑中的必要条件.（选“充分条件”必要条件”“充要条件”

既不充分也不必要条件”之一填空）

【考点】充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】应用题；演绎法；简易逻辑；逻辑推理.

【分析】读懂古文含义，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：由“小故，有之不必然，无之必不然”，

知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，

故“小故”是逻辑中的必要条件.

故答案为：必要条件.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，理解古文含义是解决本题的关键.

21.（2021•未央区校级二模）给出下列命题：

①命题“若/=1,则x=l”的否命题为“若，=1,则xWl”；

②-1”是-5x-6=0”的必要不充分条件；

③命题w3.rGR,使得/+x-1<0”的否定是：“MrCR,均有/+x-1>0”；

④命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.

其中所有正确命题的序号是⑷.

【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用.

【专题】探究型.

【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断.②利用充分条件和必要条件的

定义判断.③利用特称命题的否定判断.④利用逆否命题的等价性进行判断.

【解答】解：①根据否命题的定义可知命题“若/=1,则X=1”的否命题为“若

则xWl"，所以①错误.

②由7-5x-6=0得》=-1或x=6,所以②“x=-1”是-5x-6=0”的充分不必

要条件，所以②错误.

③根据特称命题的否定是全称命题得命题FxCR,使得f+x-1<0”的否定是：“VxCR,

均有7+x-l》O"，所以③错误.

④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x=y,则sinx=siny”

的逆否命题为真命题，所以④正确.

故答案为：④.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础.

22.（2021・4月份模拟）若2W"2+〃-4042W2"（〃eN*）,集合A=（1,2,3,…，〃},集

合8U4且BW0,现将满足条件的每一个集合8中的最小元素取出，然后将取出的所有

元素相加，相加的结果记为S,那么〃=64,S=265-66.

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；逻辑推理.

【分析】解不等式求出"值，利用组合数求出S=IX263+2X262+3X26工..+64X2°,再

利用错位相减法求出数列的和即可.

【解答】解：：2W〃2+"-4042W2"5CN*）,.•.♦=64,.4集合A={1,2,3,...64},

对于数1,A={2,3,...64}子集的个数为263,.•」作为最小元素被计算的次数为263,

总和为1X263,

同理对于数2作为最小元素被计算的次数为262,总和为2X262,

对于数3作为最小元素被计算的次数为261,总和为3X261,

则S=1X263+2X262+3X261+...+64X20©,

-ks=lX262+2X26I+3X26O...+64X1■②，

22

①-②得，JLS=263+262+26I+...+20-32=1^--32=2据-33,

21-2

.\S=265-66.

故答案为:64,265-66.

【点评】本题考查的知识要点：组合数的应用，数列求和的应用，主要考查学生的运算

能力和转换能力，属于中档题.

三.解答题（共8小题）

23.（2020秋•台州期末）设数集A由实数构成，且满足：若x€A（x#l且xWO）,则工£幺

1-x

（1）若2GA,试证明A中还有另外两个元素；

（2）集合4是否为双元素集合，并说明理由；

（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为」邑，且A中有一个元素的平方等于

3

所有元素的积，求集合A.

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合.

【分析】（1）由2CA,得到工=-16A,从而—I—=1C卜,由此能证明A中还有

1-21-（-1）2c

另外两个元素-1,工.

2

（2）由x&A,FA，6A'X#：—得到集合A

l-xX1-X1-XXX

中至少有3个元素，从而集合A不是双元素集合.

（3）A中所有元素积为1,从而求出》=工，进而求出相的值为-2、3、2,由此能求

223

出集合A.

【解答】证明：（1）:数集A由实数构成，且满足：若x6A（xWl且xWO）,则，

1-x

2EA,

--——-1eA,

1-2

1=1匚-

1-（-1）7^A，

」y-=2€A,

1--

2

中还有另外两个元素-1,1.

2

解：（2）"."x&A,..1_€A，工-I.£A，

1-xX

/11»X-l>x-1

X?=T:—'-：—7=---'x?=----，

1-x1-xxx

故集合A中至少有3个元素，

・•・集合A不是双元素集合.

（3）,,,数集4由实数构成，且满足：若那AGW1且xWO）,则，€A-

1-x

・,.xWA,--L-

1-xx

/11/X-l/X-l

XT~/，XT-，

1-x1-XXX

集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：x・一L•三工=1，

x-lx

：A中元素个数不超过8个，所有元素的和为」邑，

3

且4中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1,

Q2=l=x=4-，

X2

...1_11

2EA,：YA，•••.EA,

隰1-(-1)~2

2

设m=a同理得」wA,

l-mm

VA中元素个数不超过8个，所有元素的和为

3

・11m-l14Am-132

,•万+2-l+m+

l-mm323

A呜，2,-1，3，3,1}.

【点评】本题考查集合的求法，考查集合中元素的个数的求法及应用，考查集合定义等

基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

24.（2020秋•赤峰期末）2知集合0={xeRkz?-3x-4=0}.

（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；

（2）若A中至多有一个元素，求实数”的取值范围.

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】综合题.

【分析】（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根，

由此能求出实数a的取值范围.

（2）当〃=0时，方程为-3x-4=0,所以集合人=f一当aWO时，若关于x的方

131

程a?-3x-4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时a=W-;若关于x

16

2

的方程ar-3x-4=0没有实数根，则A没有元素，此时a<^-.由此能求出实数a

的取值范围.

【解答】解：（1）..乂中有两个元素，

二关于x的方程ox2-3x-4=0有两个不等的实数根，

."•△=9+16a>0,且“W0,即所求的范围是{a|a〉-A-，且“W0}；（6分）

16

（2）当a=0时，方程为-3x-4=0,

...集合A=

当“W0时，若关于X的方程/-3x-4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素,

此时=_J_；

16

若关于x的方程OX2-3x-4=0没有实数根，则A没有元素，此时

16

综合知此时所求的范围是{a|或。=0}.。2分）

【点评】本题考查实数。的取值范围的求法.解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐

含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用.

25.（2020秋•临沂期末）已知集合4={限厂。>8},8={疝4工-2<0},再从条件①、条

件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求实数”的取值范围.

条件①：An8=0；条件②：AUB=A；条件③：AUCRB.

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算.

【分析】由题意可得4={x|x>a+3},S={x|-2<x<l},

若选择条件①：由题意则。+321,解得〃2-2,从而得解；

若选择条件②：由题意可求a+3W-2,解得aW-5,从而得解；

若选择条件③：由题意可求“+321,解得“2-2,从而得解.

【解答］解：A={x|2『a>8}={xW-a>3}={x仇>"+3},

B={x|?+x-2<0}=U|（x+2）（x-1）<0}={x|-2<x<l},

若选择条件①：ACB=0,则需a+321,即a2-2,

所求实数a的取值范围为［-2,+8）.

若选择条件②：AUB=A,即BUA,则需“+3W-2,即aW-5,

所求实数a的取值范围为（-8,-5J.

若选择条件③：AQQRB,

因为CR8=«XW-2或%21},

所以要使AUCRB,则需a+3》l,即a2-2,

所求实数。的取值范围为[-2,+8）.

【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题.

26.（2021春•沙坪坝区校级期中）集合庆=仅|嘎<1,x€R}-8={耶-。1<2,xCR}.

⑴若a=2,求AUB；

（2）若是XCB的充分不必要条件，求〃的范围.

【考点】并集及其运算；充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【分析】（1）先解不等式求出集合4,8,再利用集合并集的定义求解即可.

（2）先求出CRA=3-2WXW1},B={x\a-2<x<a+2},再根据题意得到CRAQB,列出

不等式组即可.

【解答】解：（1）由得上主<°,即（x-I）（x+2）>0,解得x<-2或x>l,

x+2x+2

所以A={x|x<-2或x>l},

当a=2时-，B={x\\x-2\<2,xGR},由|x-2|V2得-2<x-2V2,即0cx<4,

所以B={x[0<x<4},

所以AUB={x|xV-2或x>0}.

(2)CRA={X|-2WxWl},B^{x\\x-a\<2]={x\a-2<x<a+2],

是的充分不必要条，J.CRA^B,

'a+2>l

-l<a<0.

a-2<-2

的取值范围为（-I,0）.

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

27.（2021春•射洪市校级月考）设p：x>a,q：x>3.

（1）若p是q的必要不充分条件，求。的取值范围：

（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.

【考点】充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】计算题；集合思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【分析】设4=口仅>〃},fi=Wx>3},

(1)若P是4的必要不充分条件，则进而可得”的范围.

(2)若p是q的充分不必要条件，则A是8,进而可得a的范围.

【解答】解：设4={中>0,”{小>3},

(1)；p是q的必要不充分条件，基A,

：.a<3.

(2)是q的充分不必要条件，某8,

；.a>3.

【点评】本题考查了充分条件，必要条件的应用，考查计算能力和推理能力，属于基础

题.

28.(2018秋•怀仁市校级期末)写出下列命题的否定，并判断其真假：

(I)p：VmGR,方程/+x-机=0必有实根；

(2)q：3AGR,使得/+X+1W0.

【考点】全称量词和全称命题；存在量词和特称命题；命题的否定.

【专题】阅读型.

【分析】命题的否定即命题的对立面.可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”

正好构成了意义相反的表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都

是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”

的否定一定是"全称命题”.

【解答】解：(1)「p：3/nGR.方程/+x-，〃=0无实数根；

由于当m=-1时，方程7+x-机=0的根的判别式△<(),

方程?+x-m=0无实数根，故其是真命题.

(2)-'q：Vx€R,使得/+x+l>0；

由于/+3+1=(x+A)2+3>o,

24

故其是真命题.

【点评】本题考查了命题的否定的写法与判断.属于基础题.

29.(2015春•奉贤区校级月考)判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是

特称命题.

(1)任何一个实数除以1,仍等于这个数；

（2）三角函数都是周期函数吗？

（3）有一个实数x,x不能取倒数；

（4）有的三角形内角和不等于180°.

【考点】存在量词和特称命题.

【专题】简易逻辑.

【分析】根据命题的定义以及特称命题与全称命题的定义，对题目中的语句进行判断即

可.

【解答】解：对于（1）,任何一个实数除以1,仍等于这个数，是命题，且是全称命题；

对于（2）,三角函数都是周期函数吗？不是命题；

对于（3）,有一个实数x,x不能取倒数，是命题，是特称命题；

对于（4）,有的三角形内角和不等于180。，是命题，是特称命题.

【点评】本题考查了命题的概念以及特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目.

30.（2021•黄浦区三模）集合S={ai，及；…斯}z=l,2,....〃），集合7=