湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一数学上学期12月月考试题含解析

Page17湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一数学上学期12月月考试题一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求集合，再求集合交集与并集即可得答案.【详解】解：因为，所以，，故选：A.【点睛】本题考查指数不等式，集合交并集运算，是基础题.2.设甲：，乙：已知函数在上单调递增，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据二次函数的性质求乙中参数a的范围，再依据充分、必要性的定义推断甲乙的关系.【详解】∵在上单调递增，由的对称轴为，开口向上，∴，即，故甲是乙的充分不必要条件.故选：A.3.将化成的形式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据弧度制和角度制的转化关系转化即可.【详解】.故选：D.4.下列函数与函数是同一个函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据定义域和对应关系推断即可.【详解】的定义域为，而的定义域为，故A错误；的定义域为，故D错误；，与对应关系不一样，故C错误；，定义域为，与对应关系一样，B正确.故选：B.5.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据指数函数性质可推断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案.【详解】因为，所以,故选：B.6.函数的零点肯定位于区间（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】解：，又因为函数在区间上都是增函数，所以在区间上为增函数，所以其零点肯定位于区间.故选：C.7.为了给地球减负，提高资源利用率，2024年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2024年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金起先超过1亿元的年份是（参考数据：，）（）A.2030年 B.2029年 C.2028年 D.2027年【答案】B【解析】【分析】设经过年之后，投入资金为万元，依据题意列出与的关系式；令，结合参考数据即可求出的范围，从而推断出选项.【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则，由题意可得：，即，所以，即，又因为，∴，即从2029年起先该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选：B．8.已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据给定条件，分析函数的性质，结合函数的图象确定方程根的状况，再利用已知及二次函数零点分布列式作答.【详解】当时，函数上单调递增，，当时，函数，当且仅当时取等号，函数的大致图象，如图，令，视察图象知，当时，方程有一个根，当时，方程有两个不等根，函数有三个零点，等价于函数有两个零点，并满意，而函数对称轴为，于是得，解得，所以的取值范围为.故选：D二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.角为第一象限或第三象限角的充要条件是B.终边在轴上的角的集合为C.若是第三象限角，则是其次象限或第三象限角D.用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关【答案】AB【解析】【分析】对于A，依据充要条件的概念说明角为第一象限或第三象限角与可以相互推出即可推断；对于B，写出终边在轴上的角的集合，化简可得，即可推断；对于C，依据是第三象限角，可推出，探讨k的奇偶性，即可推断；对于D，依据角度值和弧度制的概念即可推断.【详解】对于，当角为第一象限角时，，则；当角为第三象限角时，，则，所以若角为第一象限或第三象限角，则.因为，即且，或且，当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，所以若，则角为第一或第三象限角,所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；对于B,终边在轴上的角的集合为,即，即，正确；对于，若是第三象限角，即，则，当为偶数时，为其次象限角；当为奇数时，为第四象限角，则是其次象限或第四象限角，故C错误；对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，故选：10.下列各式正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由指数式和对数式运算规则，逐个推断选项.【详解】，故选项正确；，故B选项错误；，故C选项正确；对于，故D选项错误.故选：AC.11.“双11”购物节中，某团购平台对顾客实行购物实惠活动，规定一次购物付款总额满肯定额度，可以赐予实惠：①若购物总额不超过50元，则不赐予实惠；②若购物总额超过50元但不超过100元，则可以运用一张15元实惠券；③若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价赐予8折实惠，④若购物总额超过300元，其中300元内的按第③条赐予实惠，超过300元的部分赐予7折实惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）A.若购物总额为66元，则应付款为51元B.若应付款为208元，则购物总额为260元C.若购物总额为360元，则应付款为252元D.若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元【答案】ABD【解析】【分析】依据实惠方式结合选项逐一分析运算即可.【详解】对于A，若购物总额为66元，满意购物总额超过50元但不超过100元，可以运用一张15元实惠券，则应付款51元，故A正确；对于B，若应付款为208元，则购物总额超过100元但不超过300元，所以购物总额为元，故B正确；对于C，若购物总额为360元，购物总额超过300元，则应付款为元，故C错误；对于D，若购物时一次性全部付款380元，说明购物总额超过300元，设购物总额为元，则，解得元，故D正确.故选：ABD.12.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依据给定条件，构造函数并作出函数图象，求出a与b的关系式，再逐项分析推断作答.【详解】因，即，则分别为函数与图象交点的横坐标，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出的图象，如图，由图知，点与关于直线对称，于是得，，A正确；，则，B正确；，C错误；，D正确.故选：ABD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，则___________.【答案】##【解析】【分析】依据同角的三角函数关系式，即可求得答案.【详解】因为,所以，由，故，即，而，则，所以，故答案为：14.设，则___________.【答案】##【解析】【分析】依据，可得，即得，依据指数幂的运算即可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以,故答案为：.另解：由可得，所以，则,故答案为：.15.高斯是德国闻名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________.【答案】【解析】【分析】分别常数，求出函数的值域，再依据高斯函数的定义即可得出答案.【详解】解：，则，即，当时，；当时，；当时，；当时，，综上，函数的值域为.故答案为：.16.北京时间2024年9月24日晚，在2024年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥运冠军组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2024年世锦赛后为中国队实现该项目的胜利卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形态相像.依据相关探讨，竞赛成果t（单位：min）与奖手数量n（单位：个）间的关系为（为常数且）.已知在某次竞赛中单人艇2000的竞赛成果为7.21，由于竞赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67min的竞赛成果但不清晰属于哪一艇种，推断该竞赛成果所属的艇种最有可能是___________（从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可）；若已知竞赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同竞赛条件下该赛艇竞赛成果的理论估计值为___________（结果保留两位小数，参考数据：，，）.【答案】①.双人艇②.【解析】【分析】先由题给条件求得，再利用求得，再由即可求得【详解】由已知得，当时，，代入解得，当时，，故该竞赛成果所属的艇种最有可能是双人艇；当时，，故在相同竞赛条件下该赛艇竞赛成果的理论估计值为.故答案为：双人艇；四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.）17.已知集合.（1）求；（2）若且，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）分别求得集合，依据集合的交集运算即可求得答案.（2）依据，确定,进而列出相应的不等式，求得答案.【小问1详解】由题意，则，解得，所以，又，所以.【小问2详解】因为，，即，所以，所以，解得，即实数的取值范围时.18.已知函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（注：是自然对数的底数）（1）求该函数的解析式并推断其奇偶性；（2）若实数满意不等式，求实数的取值范围.【答案】（1），函数为偶函数.（2）.【解析】【分析】（1）依据函数满意的性质推断，从而求得参数，可得解析式，依据函数奇偶性的定义即可推断函数的奇偶性；（2）推断函数的单调状况，由此结合函数的奇偶性和单调性将转化为，即可求得答案.【小问1详解】由题意函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.，故在时，递增，又此时递减，故需满意，由知，，而无限接近直线但又不与该直线相交，则，又,解得，，因为的定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数.【小问2详解】当时，，设，则，因为，所以，则，所以，故函数在上单调递增.原不等式可化为，因为函数为偶函数，，则有，又函数在上单调递增，则有，两边平方，得，即，解得，即实数的取值范围为.19.已知，其中为奇函数，为偶函数.（1）求与的解析式；（2）推断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.【答案】（1），（2）函数在区间上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）依据奇偶性求解析式即可；（2）依据单调性的定义推断和证明的单调性即可.【小问1详解】由于函数为奇函数，为偶函数，可得，，因为，所以，即，解得，.【小问2详解】的定义域为，，且，则.所以，即，所以函数在区间上单调递增.20.已知函数（1）试探讨方程实数解的个数，其中；（2）若方程的实数解有3个，分别记为，其中，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数的解析式，画出函数的图像，设，方程有解的问题利用数形结合的方法进行求解；（2）数形结合，确定3个实数解满意的性质和范围，求的取值范围.【小问1详解】由基本不等式，时，，当，即时等号成立；时，，当，即时等号成立.令，则..画出的图像与直线，如图.由图像可知，当，即时，有1个解；当或，即时，有2个解；当，即时，有3个解.【小问2详解】由（1）知，当时，有3个解，依据图像以及3个解的大小关系，有，其中，对于，已知，解得，则，故，即的取值范围为.21.物体在常温下冷却的温度改变可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王运用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间改变为一次函数，且初始温度与室温一样），8分钟后水温达到100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.（1）求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；（2）若当日小王在1升水沸腾（100）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，起先加热至80后停止，加热速度与正常烧水一样，问养生壶（在保温状态下）多长时间后其次次起先加热？（结果保留整数）（参考数据：）【答案】（1）（2）27分钟后养生壸（在保温状态下）其次次起先加热【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）分从降温至，从加热至，从降温至，三步求时间即可.【小问1详解】当时，设，代入，，解得，则，由题意，代入，，，得，所以.【小问2详解】若从降温至，由题意有，代入，计算得分钟，故经过14分钟养生业（在保温状态下）起先第一次加热；从加热至须要分钟，从降温至，，代入，，，可得，计算得分钟，则共须要分钟，故27分钟后养生壸（在保温状态下）其次次起先加热.22.已知函数.（1）当时，写出的单调区间（不须要说明理由）；（2）当时，解不等式；（3）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.（2）.（3）或.【解析】【分析】（1）探讨x取值范围去掉肯定值符号，可得，由此可得其单调区间；（2）由，可令，推断其单调性以及奇偶性，进而将不等式转化