2025版新教材高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4诱导公式第1课时诱导公式①②③④课时作业新人教B版必修第三册

第1课时诱导公式①②③④必备学问基础练进阶训练第一层1．sin120°＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)2．sin600°＋tan(－300°)的值是()A．－eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)＋eq\r(3)D．eq\f(1,2)＋eq\r(3)3．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\f(4π,3)＋3sineq\f(2π,3)的值是()A．1B．eq\f(1,2)C．0D．－14．若sin(π－α)>0，tan(π＋α)<0，则角α的终边在()A.第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限5．设f(α)＝eq\f(2sin（2π－α）cos（2π＋α）－cos（－α）,1＋sin2α＋sin（2π＋α）－cos2（4π－α）)，则f(－eq\f(23,6)π)的值为()A．eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3)D．－eq\r(3)6．已知tan(eq\f(π,3)－α)＝eq\f(1,3)，则tan(eq\f(2π,3)＋α)＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(3),3)D．－eq\f(2\r(3),3)关键实力综合练进阶训练其次层7．已知角θ的终边过点A(4，a)，且sin(θ－π)＝eq\f(3,5)，则tanθ＝()A．－eq\f(4,5)B．eq\f(4,5)C．－eq\f(3,4)D．eq\f(3,4)8．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为eq\f(5,13)，若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则()A．sinβ＝eq\f(5,13)B．sinβ＝－eq\f(5,13)C．sinβ＝eq\f(12,13)D．sinβ＝－eq\f(12,13)9．(多选)定义：角θ与φ都是随意角，若满意θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是()A.sinβ＝eq\f(1,4)B．cos(π＋β)＝eq\f(\r(15),4)C．tanβ＝eq\r(15)D．cos(2π－β)＝－eq\f(\r(15),4)10．已知cos(π－α)＝eq\f(\r(3),2)(eq\f(π,2)<α<π)，则tan(π＋α)＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)D．－eq\f(\r(3),3)11．(多选)化简eq\r(1＋2sin（π－2）cos（π－2）)的结果是()A．sin2－cos2B．|cos2－sin2|C．±(cos2－sin2)D．cos2－sin212．已知f(α)＝eq\f(cos（π＋α）cosαtan（π－α）,tan（－α）cos（2π＋α）).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值；(2)若α∈(0，π)，且f(α)＋f(－α)＝－eq\f(1,5)，求sin2α－cosα的值．13．已知f(n)＝sineq\f(nπ,3)(n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)的值．14．已知sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，且sinαcosα<0，求eq\f(2sin（α－π）＋3tan（3π－α）,4cos（α－3π）)的值．核心素养升级练进阶训练第三层15.已知tanα，eq\f(1,tanα)是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π<α<eq\f(7π,2)，求cos(3π＋α)＋sin(π＋α)的值．第1课时诱导公式①②③④必备学问基础练1．答案：D解析：因为sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).故选D.2．答案：B解析：原式＝sin(720°－120°)＋tan(－360°＋60°)＝sin(－120°)＋tan60°＝－sin120°＋eq\r(3)＝－sin60°＋eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，故选B项．3．答案：C解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sin(π＋eq\f(π,3))＋3sin(π－eq\f(π,3))＝－sineq\f(π,3)－2sineq\f(π,3)＋3sineq\f(π,3)＝0，故选C.4．答案：B解析：由题设，sinα>0，tanα<0，所以角α的终边在其次象限．故选B.5．答案：D解析：∵f(α)＝eq\f(－2sinαcosα－cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(－cosα（2sinα＋1）,sinα（2sinα＋1）)＝－eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,6)π))＝－eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,6)π)))＝－eq\f(1,tan\f(π,6))＝－eq\r(3)，故选D项．6．答案：B解析：tan(eq\f(2π,3)＋α)＝tan(π－eq\f(π,3)＋α)＝tan(α－eq\f(π,3))＝－tan(eq\f(π,3)－α)＝－eq\f(1,3)，故选B项．关键实力综合练7．答案：C解析：因为sin(θ－π)＝－sinθ＝eq\f(3,5)⇒sinθ＝－eq\f(3,5)，由已知角θ的终边过点A(4，a)可得eq\f(a,\r(42＋a2))＝－eq\f(3,5)⇒a2＝9.∵eq\f(a,\r(42＋a2))＝－eq\f(3,5)<0，∴a<0，解得a＝－3所以tanθ＝eq\f(a,4)＝－eq\f(3,4).故选C.8．答案：C解析：明显cosα＝eq\f(5,13)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(12,13)，β的终边与角α的终边关于y轴对称，故β＝2kπ＋π－α，k∈Z，所以sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sinα＝eq\f(12,13)，所以C正确．故选C.9．答案：ABD解析：∵sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,4)，∴sinα＝eq\f(1,4)，若α＋β＝π，则β＝π－α.A中，sinβ＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,4)，故A符合条件；B中，cos(π＋β)＝cos(2π－α)＝cosα＝±eq\f(\r(15),4)，故B符合条件；C中，tanβ＝eq\r(15)，即sinβ＝eq\r(15)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(15),4)，即C不符合条件；D中，cos(2π－β)＝cos[2π－(π－α)]＝cos(π＋α)＝－cosα＝±eq\f(\r(15),4)，故D符合条件．故选ABD.10．答案：D解析：解法一：∵cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(\r(3),2)，∴cosα＝－eq\f(\r(3),2).∵eq\f(π,2)<α<π，∴sinα>0.∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)，∴tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(3),3).解法二：由cosα＝－eq\f(\r(3),2)，eq\f(π,2)<α<π，得α＝eq\f(5π,6)，∴tanα＝－eq\f(\r(3),3)，∴tan(π＋α)＝tanα＝－eq\f(\r(3),3).11．答案：AB解析：原式＝|sin(π－2)＋cos(π－2)|＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.12．解析：(1)f(α)＝eq\f(－cosα·cosα·（－tanα）,（－tanα）·cosα)＝－cosα，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(2)∵α∈(0，π)，且f(α)＋f(－α)＝－eq\f(1,5)，∴－cosα－cos(－α)＝－eq\f(1,5)，∴cosα＝eq\f(1,10).∵α∈(0，π)，且cosα＞0，∴α∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(3\r(11),10).则sin2α－cosα＝eq\f(99,100)－eq\f(1,10)＝eq\f(89,100).13．解析：∵f(1)＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，f(2)＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，f(3)＝sinπ＝0，f(4)＝sineq\f(4π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，f(5)＝sineq\f(5π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，f(6)＝sin2π＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋336×0＝0.14．解析：因为sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，所以sinα＝－eq\f(4,5)，又因为sinαcosα<0，所以cosα>0，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3).所以原式＝eq\f(－2sinα－3tanα,－4cosα)＝eq\f(2sinα＋3tanα,4cosα)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),4×\f(3,5))＝－eq\f(7,3).核心素养升级练15．解析：因为tanα，eq\f(1,tanα)是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，所以1＝tanα·eq\f(1,tanα)＝eq\f(1,3)(3k2－13)，所以k2＝eq\f(16,3)，此时，Δ＝9k2－4×3(3k2－13)>0.因为3π<α<eq\f(7π,2)，所以tanα>0，sinα<0，cosα<0.又tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(－3k,3)＝k，所以k>0，故取k＝eq\f(4\r(3),3).于是tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\