第05讲圆周角（5类题型）

第05讲圆周角（5类题型）课程标准学习目标1.圆周角的概念；2.圆周角定理；3.90°的圆周角所对的弦；1.掌握圆周角的概念；2.掌握圆周角定理；3.掌握90°的圆周角所对的弦；知识点01：圆周角1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．【即学即练1】1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，内接于，连接、，若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，可得是等边三角形，，求得，根据三角形内角和求得的度数，再根据圆周角定理求解即可．【详解】解：连接，∵，∴是等边三角形，，∵，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【即学即练2】2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在上，，B是弧的中点，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：连接，如图所示，∵B是弧的中点，即，∴，∵和都对，∴．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．题型01圆周角的概念辨析1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，故选C．【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝【答案】54°【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解．【详解】解：∵CD是⊙O的直径，∴OD=OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∵AB=OD，∴AB=OB，∴∠AOB=∠A，∵∠A＝18°，∴∠AOB=18°，∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，∴∠BOE=108°，∴∠EOD=180°∠BOE∠AOB=54°．故答案为：54°【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.【答案】【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．【详解】连接OD，∵CD=OA=OD,，∴∠ODE=2，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=，∴∠EOB=∠C+∠E=.【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.题型02圆周角定理1．（2023春·安徽宿州·九年级校考期中）如图，点D是半圆O上的三等分点，且，点C是上任意一点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据圆心角、弧、弦的关系求得的度数，再利用圆周角定理即可求得答案【详解】解：如图，连接，∵点D是半圆O上的三等分点，∴，∴，∴，故选∶B．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键2、（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则．【答案】20【分析】连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由结合等腰三角形的性质即可得到答案．【详解】解：连接，如图，，，，，，，，，，，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，是解题的关键．3．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图的弦的延长线相交于点E，，弧为．求的度数．【答案】，【分析】根据圆周角定理直接求得，弧的度数等于圆心角的度数求得，根据圆周角定理求得，根据三角形的外角性质进而可得的度数．【详解】解：如图，连接，，，弧为，，，是的一个外角，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，掌握圆周角定理是解题的关键．题型03同弧或等弧所对的圆周角相等1．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到，，然后根据三角形内角和计算的度数．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．2．（2023春·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为．【答案】【分析】连接，根据弧相等，得到，设出，根据外角的性质得出，进而利用三角形的内角和求出即可解答．【详解】解：连接，弧、、的长相等，，设，，，，在中，，解得，，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知：的两条弦，相交于点M，且．(1)如图1，连接.求证：．(2)如图2.若．在上取一点E，使，交于点F，连接、．判断与是否相等，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)与相等．理由见解析【分析】（1）根据得，即，，得，即可得；（2）连接，根据得，根据得，即，根据，即可得．【详解】（1）证明：，即，，，．（2）与相等．理由如下：解：连接，如图，，，，，，，．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，垂经定理，角、弧、弦的关系．题型04直径所对的圆周角是直角1．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发，沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第12秒时，点E在量角器上对应的读数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据旋转求出，根据圆周角定理求出，即可．【详解】解：如图，连接，∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，∴第12秒时，，∵，∴点C在以为直径的圆上，即点C在上，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，旋转的性质，解题的关键是根据，得出点C在以为直径的圆上，熟记圆周角定理．2．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，．则的度数等于度．【答案】23【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出，，再根据圆周角定理得到，则利用互余可计算出，然后计算即可．【详解】解：，，，，为直径，，，．故答案为：23．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．(1)连接，求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）利用圆周角定理即可证明结论；（2）利用圆周角定理得到，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵点D在上且平分，∴，∴，∴平分；（2）解：∵是直径，∴，∵点D在上且平分，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．题型0590°的圆周角所对的弦是直径1（2023·安徽合肥·合肥38中校考二模）已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小，再由勾股定理求出的长，即可求解．【详解】解：∵，即，∴点G在以为直径的圆上，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小，∵，∴，∵，∴，∴，即的最小值为．故选：C【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，根据题意得到点G在以为直径的圆上是解题的关键．2．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是．【答案】【分析】连接，根据圆周角定理，由为直径得到，接着由得到点E在以为直径的圆O上，于是当点O、E、C共线时，最小，在中利用勾股定理计算出，从而得到的最小值．【详解】解：连接，如图，∵为直径，∴，∴，∴点E在以为直径的圆O上，∵∴圆O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，最小，在中，∵，∴，∴，即线段长度的最小值为．故答案为：．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示的是一块打碎的圆镜的一部分，已知弧上有三点，，(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图中圆镜的圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)已知，且，求圆镜的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作的垂直平分线交于点，则点即为所求；（2）连接，根据直角所对的弦是直径，根据勾股定理求得，进而即可求解．【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；（2）如图所示，连接，∵，∴是的直径，在中，，∴，∴圆镜的半径【点睛】本题考查了确定圆心，作垂直平分线，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．A夯实基础1．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，已知，，是的半径，连接，交于点D，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据圆中半径相等，得到角相等，再把α，β，γ转化到中，根据内角和定理解答即可．【详解】解：，，是的半径，，，，，中，，即，故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的半径相等，熟练掌握将三个角转化到同一个三角形中是解题关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接和，证明为等边三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出．【详解】解：连接和，∵半径为，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，已知均为上一点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆周角定理即可得到答案．【详解】解：∵均为上一点，，∴，故选：D【点睛】此题考查了圆周角定理，熟知“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”是解题的关键．4．（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，在中，弦相交于点P，若，，则的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形外角的性质得到的大小即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：A【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等和三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．5．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，连接，则的度数为．【答案】/60度【分析】直接根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解答的关键．6．（2023春·九年级课时练习）如图，是的直径，点C为上一点，若，则为度．【答案】67【分析】根据直径所对的圆周角是直角计算即可．【详解】解：∵是的直径∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角；解题的关键是见直径想直角．7．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，，经过点、点，且交边BC于点，点在上，则度．【答案】140【分析】连接、、、，利用圆的性质和多边形内角和的性质即可求解．【详解】解：连接、、、，∵，∴，，∵两个三角形、内角和为∴即，∵在中，，∴∴故答案为：140【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是熟练运用数形结合的思想列出角的关系式．8．（2023·浙江舟山·统考三模）如图，A、B、C为上三点，若，则度数为°．【答案】【分析】由等边对等角得到，由三角形内角和定理求出，由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：∵，,∴,∴，∴，故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟知圆周角定理是解题的关键．9．（2023春·湖北·九年级专题练习）已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E．(1)求证：．(2)若，求圆弧所对的圆心角的度数．【答案】(1)证明见解析(2)分别为40°、40°、100°【分析】（1）连接BE，AD，利用AB是圆的直径，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）根据是圆的直径可知，从而求出，再根据圆周角定理求解即可；【详解】（1）解：连接，∵是圆的直径，∴，∴是的高，∵，∴．（2）解：∵是圆的直径，∴，∴，∵，∴，∴由圆周角定理得：所对的圆心角的度数是，所对的圆心角的度数是，所对的圆心角的度数是【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，掌握直径所对的圆周角是、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．10．（2023春·湖北·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半径的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半径是．【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．B能力提升1．（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若所对应圆心角的度数为，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据垂径定理可得，进而得到，结合圆周角定理即可求得答案．【详解】如图所示，连接．∵半径，∴．∴．又，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角和圆心角的性质，牢记圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键．2．（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）如图，为的直径，点、、在上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，，由是圆的直径，则，由圆周角定理知，，即可求，从而得出的度数．【详解】解：连接，，∵是圆的直径，∴，∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了直径对的圆周角定理是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形是圆内接四边形，连接、，，，则（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质即可作答．【详解】∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及平行线的性质等知识，掌握圆周角定理，是解答本题的关键．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，内接于，连接、，若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，可得是等边三角形，，求得，根据三角形内角和求得的度数，再根据圆周角定理求解即可．【详解】解：连接，∵，∴是等边三角形，，∵，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，四边形，则．【答案】/100度【分析】根据可知三点在以点A为圆心，以为半径的圆上，然后根据“同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍”即可求解．【详解】解：∵，∴三点在以点A为圆心，以为半径的圆上，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了同弧上的圆心角与圆周角之间的关系，解题的关键是理解“三点在以点A为圆心，以为半径的圆上”．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，是的内接三角形．若，则的直径．【答案】【分析】连接，根据圆周角定理，弦，弧，角之间的关系，得到为等腰直角三角形，即可得解．【详解】解：如图，连接．∵，∴，∴，∵是的直径，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键．7．（2023秋·九年级课时练习）如图，B，D，E为上的三个点，，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为．【答案】/度【分析】连接，利用切线的性质可得，从而可求出，根据垂直定义可得，从而求出，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．【详解】解：连接，与相切于点，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理．8．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图，等边内接于，D是上的一点，，则的度数是．【答案】/度【分析】根据等边三角形的性质可得，结合已知条件，可得，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴.∴．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2023秋·九年级课时练习）若点是的外心，试探索与之间的数量关系．【答案】或【分析】利用分类讨论思想，分①当为锐角时；②当为直角时；当为钝角时，三种情况进行讨论．【详解】解：①当为锐角时，如图1，作直径，∵，∴，，则，，∵，∴；

图1

图2

图3②当为直角时，如图2，∵是的外接圆，∴，∴点是斜边的中点此时，，∴；③当为钝角时，如图3，作直径，∵，∴，，则，，∵，∴，即．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，同圆中同弧所对应的圆心角等于圆周角的两倍．10．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，四边形内接于，．求证：(1)；(2)是的直径．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到；（2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径．【详解】（1）证明：连接，如图，，而，，，，；（2），，，为的直径．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．C综合素养1．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，是半圆O的直径，点C、D、E是半圆弧上的点，且弦，弦，则直径的长是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，过点C作于点H，由等弦所对的圆心角相等可得，，从而可得，再由圆周角定理可得，，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即，再利用勾股定理求得，，即可求解．【详解】解：连接，过点C作于点H，∵，,∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，在中，，∴，∴，在中，，∴，在中，，即，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理证明是解题的关键．2．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，是等边的外接圆，的半径为4，则的长等于（）A． B． C． D．8【答案】A【分析】连接，过点B作于点D，根据等边三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得，从而求得，再根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，再根据垂径定理即可求解．【详解】解：连接，过点B作于点D，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，，在中，，∴，故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的性质、圆周角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的两条直径，点是弧的中点，连接，若，则的度数（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，根据圆周角定理可得，结合点是弧的中点，可得，再结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．【详解】解：连接，如图所示，∵，∴，∵点是弧的中点，∴，∵，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，作于点，连接．则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据等角的余角相等得出，则在同一个圆上，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解．【详解】解：连接，∵，∴∴∴在同一个圆上，∴故选：C．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等角的余角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023春·上海·八年级上外附中校考期末）在圆中，，则弦所对的圆周角的大小为．【答案】或【分析】分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．【详解】解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角是；当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角是．弦所对的圆周角是或．故答案为：或．【点睛】本题考查了圆周角定理，注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，．（1）若，则的度数是；（2）若，则；（3）若为的中点，则（填“>”“<”或“=”）．【答案】/50度2<【分析】（1）根据得出，再利用三角形内角和定理求解即可；（2）根据得出；（3）为的中点，得出，进而得出，根据三角形的三边关系即可解答．【详解】解：（1），，，．故答案为：；（2），，，．故答案为：2；（3）如图：为的中点，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．7．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知点A是以为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是半径上的点、若的半径为1，则的最小值为．【答案】【分析】本题是要在上找一点P，使的值最小，设是A关于的对称点，连接，与的交点即为点P．此时是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果．【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，则最小，连