河南省大联考高三下学期4月第三次模拟考试数学（理）试题

河南省大联考2022届高三下学期4月第三次模拟考试数学（理科）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，若与的虚部相等，则（）A． B． C． D．2．已知a，b，c均为非零向量，且，，则（）A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向3．已知集合，，则（）A． B． C． D．4．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A．这五个社团的总人数为100B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%C．这五个社团总人数占该校学生人数的8%D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%5．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．6．在等比数列中，，，则（）A．80 B．242 C． D．2447．若，，，则（）A． B． C． D．8．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（）A．9 B．15 C．21 D．339．已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（）A． B．C． D．10．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A． B． C． D．11．在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④12．若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则下列结论中错误的是（）A． B．当时，的值不唯一C．可能等于 D．当时，的取值范围是第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若，，则______．14．抛物线的焦点为F，点为C上一点，若，则______．15．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物儿何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为______．16．设，若，则整数n的值为______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距200km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，飞机沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行km到达终点．（1）求A，C两地之间的距离；（2）求．18．（12分）某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A，B两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A，B两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后．无论结果如何，竞赛都结束．A，B两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金．已知甲同学成功晋级决赛．他对A，B两类知识的挑战成功率分别为，，且挑战是否成功与挑战次序无关．（1）若记X为甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出X的分布列；（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由．19．（12分）如图，点A，B，C分别为圆柱下底面圆周上的三个等分点，，，分别为圆柱的三条母线，点E，F分别为母线，上的点，且，点M是AE的中点．（1）证明：BM⊥平面AEF．（2）求平面AEF与平面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知函数．（1）讨论极值点的个数．（2）证明：．21．（12分）已知椭圆的上、下焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形．（1）求C的标准方程；（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中．曲线C的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若A是曲线C上一动点，B是线段上一动点，且直线AB与x轴垂直．求的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集．（2）证明：当时，．河南省大联考2022届高三下学期4月第三次模拟考试数学解析（理科）1．D【解析】依题意可得，则．2．C【解析】因为，，所以与同向，与反向，所以与反向．3．C【解析】因为，，所以．4．D【解析】这五个社团的总人数为，．A错误，C错误．因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为，B错误．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D正确．5．A【解析】依题意可得圆锥的体积，又（其中h为圆锥的高），则cm，则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．6．B【解析】因为等比数列的公比，所以，即．7．A【解析】由题意可知，，，，，则，所以．8．C【解析】当时，因为，所以，又在区间上不单调，所以，即．因为直线是曲线的一条对称轴，所以，即，故的最小值为21．9．D【解析】因为为定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，且，又，所以．依题意可得，当或时，．所以等价于或，解得或．10．B【解析】如图，连接，，则，A，C和，B，D都三点共线．设，则．由，得，又，则，，，因此，即，则，，，故．11．A【解析】易证AC⊥平面，平面，所以恒有AC⊥DE，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，所以平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．12．B【解析】不妨设切点为，因为，所以切线方程为，则，整理得．设函数，则，令，得．当或时，；当时，．因此当时，，B错误；当时，，则，，，A与C均正确；当时，的取值范围是，D正确．13． 【解析】 ．14．【解析】由抛物线的定义可知，即，则，解得．15．20410【解析】易知满足被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小的数为23，满足该条件的数从小到大构成以23为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，令，解得，则所有满足条件的数的和为．16．129【解析】因为，所以．17．解：（1）由余弦定理得，所以km．（2）（方法一）由正弦定理得，则，因为，所以A为锐角，所以故．（方法二）由余弦定理得,则，故．18．解：（1）由题意可知，X可取的值为2000，20000，70000，，，．故X的分布列为X20002000070000P0.40.360.24（2）记Y为甲同学优先挑战B类知识所获奖金的累计总额，甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额的期望为，优先挑战B类知识所获奖金的累计总额的期望为，由题意可知，Y可取的值为2000，50000，70000，，，．（元），（元），因为，所以为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战B类知识．19．（1）证明：如图1，记AB的中点为N，连接MN，CN．因为点M是AE的中点，所以，且，所以四边形CFMN为平行四边形，则．因为MN⊥平面ABC，所以MN⊥CN，又CN⊥AB，且，所以CN⊥平面ABE，CN⊥BM．即MF⊥BM，因为，所以BM⊥平面AEF．（2）解：如图2，记AC，的中点分别为D，，连接，BD，则，平面ABC，BD⊥AC，以D为原点，以的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示。不妨设，则，，，，．由（1）可知平面AEF的一个法向量为．设平面的法向量为，，，则令，则，所以，故平面AEF与平面所成锐二面角的余弦值为．20．（1）解：由题意可知，，对于二次函数，．当时，，恒成立，有0个极值点；当时，二次函数有2个大于零的零点，由数形结合可知，有2个极值点；当时，二次函数只有1个大于零的零点，由数形结合可知，有1个极值点．（2）证明：要证，即证．（方法一）设，则，在上为增函数，因为，，所以在上存在唯一的零点m，且，即，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以，从而原不等式得证．（方法二）不妨设，则，，当时，，当时，，因此，恒成立，则恒成立，则恒成立，即．又，所以等号不成立，即，从而不等式得证．21．解：（1）因为四边形为正方形，所以，又四边形的面积，所以，则，故C的标准方程为．（2）由（1）得，．设，由题意可知，，，设直线的斜率为k，则直线的方程为，直线