专题29 平面向量基本定理及坐标表示-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

2/2专题29平面向量基本定理及坐标表示（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 5【考点1】平面向量基本定理的应用 5【考点2】平面向量的坐标运算 11【考点3】平面向量共线的坐标表示 16【分层检测】 19【基础篇】 19【能力篇】 26【培优篇】 30考试要求：1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理知识梳理1.平面向量的基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．52．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．64．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．参考答案：1．B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.2．D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．3．C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C4．D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D5．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．6．【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．考点突破考点突破【考点1】平面向量基本定理的应用一、单选题1．（21-22高一下·重庆北碚·阶段练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广西·二模）已知内角的对边分别为为的重心，，则（

）A． B．C．的面积的最大值为 D．的最小值为4．（2022·广东惠州·一模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（

）A．与能构成一组基底 B．C． D．三、填空题5．（2024·天津红桥·二模）太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆上，点P是大圆上一动点，令，，若，则；的最小值为．6．（2024·天津·二模）在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为，若，,则面积的最大值为．参考答案：1．C【分析】根据基底的知识确定正确答案.【详解】依题意，不共线，A选项，不存在使，所以和可以组成基底.B选项，不存在使，所以和可以组成基底.C选项，，所以和不能构成基底.D选项，不存在使，所以和可以组成基底.故选：C2．D【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.【详解】由已知有，，，所以．已知是AC的中点，则，，所以，则．故选：D．3．BC【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD．【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，，A错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，，，C正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．故选：BC．

4．BC【分析】对A，由正八边形性质可证与平行，即可由基底定义判断；对B，由正八边形性质可证，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断；对C，由，利用平行四边形法则即可计算；对D，由，即可根据向量数量积定义计算【详解】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；，所以，所以，B项正确；因为，由平行四边形法则可知，，C项正确；正八边形的每一个内角为，，所以，D项错误（或者从正八边形的性质可知与的夹角为锐角，则有可判断D错误）.故选：BC5．/0【分析】第一空结合图形由向量的线性运算可得；第二空先由向量的线性运算得到，再当取得最大值时计算可得.【详解】由圆的对称性可得为的中点，所以，；，因为，所以，所以当取得最大值2时，的最小值为0,；故答案为：；0.6．，【分析】根据几何关系，表示向量；设，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根据，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解.【详解】由点是的中点，则；设，，则，，，，所以，得,,所以，即，因为，所以，，即，即，当时，即时等号成立，所以面积的最大值为.

故答案为：；.反思提升：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【考点2】平面向量的坐标运算一、单选题1．（12-13高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，若，则（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2024·湖南邵阳·一模）如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·湖北十堰·模拟预测）已知向量，则下列结论正确的是（

）A．当时，B．当时，向量与向量的夹角为锐角C．存在，使得D．若，则4．（2023·全国·模拟预测）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．D．设Z为线段AK上任意一点，则的取值范围是三、填空题5．（2022·湖南岳阳·三模）设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧上运动(包含B，C两个端点)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范围为．6．（2020·山西·三模）如图，在△中，，点是线段上的一个动点.，则，满足的等式是.参考答案：1．C【分析】根据平面向量坐标的线性运算即可求解.【详解】因为，所以，又，，所以，解得.故选：C.2．D【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值.【详解】，所以，所以，所以，.故选：D.3．AD【分析】对A，将1代入公式计算即可，对B，利用求向量夹角公式可知要判断夹角性质只需要验证结果，对C，利用共线向量性质可得，对D，由向量垂直可得.【详解】当时，，所以，故A项正确；，当时，，但当时，向量与向量同向，夹角为，故B项错误；若，则，故C项错误；若，则，即，解得，故D项正确．故选：AD．4．AD【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的条件及向量相等的条件，结合向量的坐标运算及二次函数的性质即可求解.【详解】以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.A选项：易知，，，，所以，，则，所以，所以A正确.B选项：易知，，，，，，所以，，，所以，得，解得，，所以，所以B错误.C选项：由选项A，B知，则，，，所以C错误.D选项：易知，，设，则，，所以.因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值40.所以的取值范围是，所以D正确.故选：AD.5．[1，2]【分析】建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标公式，结合辅助角公式和正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，，设，所以，因此有，因为，，所以有，于是有，因为，所以，所以，即，故答案为：【点睛】关键点睛：建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示公式是题的关键.6．【分析】由可得，结合条件知，又B、P、D三点共线即可得，的等量关系【详解】∵，有又，即∵B、P、D三点共线∴，即故答案为：【点睛】本题考查了向量的几何应用，结合定比分点--三点共线求参数的等量关系，属于简单题反思提升：平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【考点3】平面向量共线的坐标表示一、单选题1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件二、多选题3．（2024·山东聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量为，则（

）A． B．C． D．与的夹角为4．（2024·甘肃张掖·一模）下列命题错误的是（

）A．对空间任意一点与不共线的三点，若，其中，，且，则四点共面B．已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是C．若，共线，则D．若，共线，则一定存在实数使得三、填空题5．（22-23高三上·广西贵港·阶段练习）已知向量，，若A，B，C三点共线，则．6．（2024·江西鹰潭·模拟预测）的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，设向量，，若向量与向量共线，则角．参考答案：1．A【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量，再求与共线的向量即可.【详解】直线的斜率为，则直线的一个方向向量，对于A，因，即向量与共线，A是；对于B，因，即向量与不共线，B不是；对于C，因，即向量与不共线，C不是；对于D，因，即向量与不共线，D不是.故选：A.2．A【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出的值，判断得解.【详解】向量，，若与共线，则.解得或，所以“”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A.3．ACD【分析】根据投影向量的公式求出的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可.【详解】对于A，因为在上的投影向量为，即，所以，即，解得，故A正确；对于B，，所以，故B错误；对于C，，所以，故C正确；对于D，，所以与的夹角为，故D正确.故选：ACD.4．BCD【分析】根据空间向量基本定理判断A，根据数量积的坐标表示及平面向量共线的坐标表示判断B，利用特殊值判断C、D.【详解】对于A：因为，则，所以，即，所以，所以四点共面，故A正确；对于B：因为，，与的夹角为钝角，所以且与不共线反向，若，则，解得；若与共线，则，解得，综上可得或，故B错误；对于C：若、同向且，此时，即不成立，故C错误；对于D：若，，显然与共线，但是不存在使得，故D错误.故选：BCD5．5【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A，B，C三点共线知，则，解得．故答案为：5．6．【分析】由向量共线的坐标运算，得，利用余弦定理求出，可得角.【详解】因为向量，共线，所以，即，得，在中，由余弦定理得，，又，所以．故答案为：.反思提升：1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（

）．A． B． C． D．2．（2023·广东·模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（

）

A． B．C． D．3．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量，且，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江温州·三模）平面向量，若，则（

）A． B．1 C． D．2二、多选题5．（2021·全国·模拟预测）在中，，，分别是边，，的中点，，，交于点，则（

）A． B．C． D．6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（

）A． B． C． D．7．（2023·广东·二模）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则与同向的单位向量为C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D．若，则的最小值为三、填空题8．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知向量，，则，则实数.9．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若，则．10．（2023·河南·模拟预测）在平行四边形中，，，点为线段的中点，则.四、解答题11．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．(1)分别用向量，表示向量，；(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．12．（2023·湖南永州·二模）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.(1)求；(2)若的面积为，求的值.参考答案：1．C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】如图所示，由题意可得，而.故选：C．2．B【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量基本定理即得.【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

不妨设，则，，，，，故，，.设，则，解得，所以.故选：B.3．B【分析】利用垂直关系的向量表示，结合模的坐标表示求解即得.【详解】由，得，则，即，因此，所以.故选：B4．A【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.【详解】，由于，所以，解得，故选：A5．BCD【分析】由向量的数乘运算判断A；由平行四边形法则判断B；根据向量的加减法以及数乘运算判断C；由重心的性质结合数乘以及平行四边形法则判断D.【详解】因为，，分别是边，，的中点，所以，故A错误；由平行四边形法则可知，，故B正确；，故C正确；由题意知，点为的重心，所以，D正确.故选：BCD.6．ABC【解析】以向量、方向为x，y轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量，可计算取值范围，即得结果.【详解】依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，因为，，，，所以，故，，故，故可以是选项中的0，1，.故选：ABC.7．BD【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项.【详解】由，，A选项：，则，解得，则，，所以不存在，使，即，不共线，A选项错误；B选项：，则，解得，即，，，所以与同向的单位向量为，B选项正确；C选项：时，，又与的夹角为锐角，则，解得，且，即，C选项错误；D选项：由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，D选项正确；故选：BD.8．2【分析】根据向量坐标运算求，结合向量平行坐标表示求.【详解】因为，，所以，因为，所以，解得，故答案为：.9．【分析】根据向量共线的坐标表示求出和，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】，即，，，，，.故答案为：.10．【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求向量数量积.【详解】，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，则，有，，，，，.故答案为：11．(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可；（2）利用向量共线定理即可证明.【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，所以，则，.（2）因为，所以，则，所以，即，所以，又因为有公共点，所以，，三点共线.

12．(1)(2)【分析】（1）由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角；（2）由面积公式解出的值，再由余弦定理解得的值.【详解】（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.【能力篇】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知点，，，且，则（

）A． B． C． D．2二、多选题2．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（

）

A．1 B． C． D．3三、填空题3．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形中，点，，．若与的交点为，则的中点的坐标为,四、解答题4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在中，，满足.

(1)若，求的余弦值；(2)点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值.参考答案：1．D【分析】由知与的夹角为，所以，由平行向量的坐标表示求解即可.【详解】由得与的夹角为．，，由得，故．当时，，与的夹角为；当时，，与的夹角为，舍去．故选：D．2．AB【分析】建立平面直角坐标系，设，用坐标表示出，再根据列方程可得，然后可得.【详解】

如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则，则设，则∵，∴，∴整理得，因为，所以故选：AB.3．【分析】利用平行四边形法则表示出向量，利用坐标运算计算出向量的坐标，由为坐标原点，所以即可得的坐标【详解】在平行四边形中，因为与的交点为，且为的中点，所以，由为坐标原点，所以向量的坐标即为的坐标，故点的坐标为．故答案为：.4．(1)(2)【分析】（1）设，在和中利用正弦定理，建立等量关系求的余弦值；（2）利用C、M、D三点共线，求得，再根据三角形的面积求得，根据向量数量积求，展开后利用基本不等式求最小值.【详解】（1）由题意可设，在中①在中②由①②可得，解得，则，解得.故.（2），且C、M、D三点共线，所以，，故．，当且仅当时；所以.【培优篇】一、单选题1．（22-23高三上·贵州毕节·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（

）①；②若，则双曲线的离心率；③；④.A．①② B．①③ C．①