专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

2/2专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 2【考点突破】 6【考点1】同角三角函数基本关系式的应用 6【考点2】诱导公式的应用 9【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用 14【分层检测】 17【基础篇】 17【能力篇】 25【培优篇】 27考试要求：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用单位圆中的对称性推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀奇变偶不变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．4．（2021·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．三、解答题6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.参考答案：1．B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.3．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．4．D【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.5．2【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.6．(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【详解】（1）由余弦定理可得：，则，，.（2）由三角形面积公式可得，则.考点突破考点突破【考点1】同角三角函数基本关系式的应用一、单选题1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（

）A． B．C． D．4．（2024·全国·模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的TheMathematicalUniverse一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2024·陕西商洛·模拟预测）若，则.6．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则．参考答案：1．A【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】因为，所以，有，所以.故选；A.2．A【分析】由倍角公式可得，根据题意结合齐次式问题分析求解.【详解】由题意可得：.故选：A.3．BD【分析】先根据三角函数的定义求出的三角函数值，再结合二倍角的余弦公式和两角和的正切公式逐一计算即可.【详解】因为角的终边过点，所以，所以，，，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：BD．4．ACD【分析】利用图形结合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面积公式求解判断各个选项.【详解】如图，对于A，在中，，，又，则，，在中，可求得，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，在中，因为，，则，故C正确；对于D，，，所以，故D正确.故选：ACD.5．【分析】利用平方关系求出，又，利用两角差的余弦公式求解.【详解】，则，，因此.故答案为：.6．【分析】利用复数的实部为0，求出，再利用二倍角公式得出结论．【详解】复数的实部为0，．．故答案为：．反思提升：1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【考点2】诱导公式的应用一、单选题1．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（

）A．3 B． C． D．22．（16-17高三上·广西梧州·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）下列选项中，与的值相等的是（

）A． B．C． D．4．（2024·海南海口·二模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（

）A．B．的图象关于点中心对称C．D．在上的值域为三、填空题5．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则，．

6．（2024·湖南长沙·一模）已知O为坐标原点，过作x轴的垂线交直线于点B，C满足，过B作x轴的平行线交E：于点P（P在B的右侧），若，则.参考答案：1．A【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得，然后利用诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，故.故选：A2．D【分析】由诱导公式可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.【详解】由，得，则.故选：D.3．ABD【分析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用二倍角的正切求值判断D.【详解】因为，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，可得，故D正确.故选：ABD.4．AC【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域.【详解】A选项，设的最小正周期为，则，故，因为，所以，A正确；B选项，由图象可知，，，将代入解析式得，故，故，因为，所以，故，，故的图象不关于点中心对称，B错误；C选项，，C正确；D选项，，，故，D错误.故选：AC5．0/0.0625【分析】由正五角星的性质，求得，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和正五边形的内角和；每个角为，三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为，三角形内角和为，那么三角形顶角，即五角星尖角，即.;因为,所以.故答案为：；.6．/【分析】由条件求出点的坐标，证明，，由此可得，列方程求，由此可求，再求.【详解】依题意不妨设，则，，因为，所以，所以，又，所以，，所以，即，设，则，，所以，所以，，即，所以，由得，解得，所以，所以，在中，所以.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是结合三角函数，平面几何相关结论找到角，之间的关系.反思提升：(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用一、单选题1．（2024·福建南平·二模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·福建厦门·三模）已知，，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）下列等式正确的有（

）A． B．C． D．4．（2023·黑龙江·模拟预测）关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（

）A．是函数的一条对称轴B．是函数的一个对称中心C．将曲线向左平移个单位可得到曲线D．函数在的值域为三、填空题5．（2024·福建厦门·一模）若，则．6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，则.参考答案：1．A【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为，所以，解得：，.故选：A.2．C【分析】由可得，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.【详解】由，则，则，，则，由，故.故选：C.3．ABD【分析】利用诱导公式和三角恒等变换等知识求得正确答案.【详解】对A，，A选项正确；对B，，B选项正确；对C，，C选项错误；对D，，所以D选项正确.故选：ABD4．ABD【分析】化简函数解析式，整体代入法或验证法求函数对称轴和对称中心判断选项AB，利用图象平移的规则判断选项C，结合函数解析式求解区间内函数的值域判断选项D.【详解】依题意，因为令，，当时，，所以是函数的一条对称轴，所以选项正确；（另解：因为，即当时，函数取得最大值，所以是函数的一条对称轴）；令，，当，所以是函数的一个对称中心，所以选项正确；（另解：因为，即是函数的零点，所以是函数的一个对称中心）．因为，又将曲线向左平移个单位可得到曲线，所以选项不正确；因为，当，有，则，得函数的值域为，所以选项正确.故选：ABD5．/【分析】应用诱导公式有，即可求值.【详解】.故答案为：6．【分析】应用和角余弦公式得，利用诱导公式、倍角余弦公式得，即可得答案.【详解】，所以，则.故答案为：反思提升：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq\f(π,6)－θ与eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知正方体的外接球的球心为，则（

）A． B． C． D．2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知，则（

）A． B．0 C． D．3．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·山东聊城·三模）已知，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2022·重庆涪陵·模拟预测）已知向量，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C．的值为2 D．6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（

）A． B．C． D．7．（2020·全国·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题8．（2024·北京顺义·二模）在中，，，，则的面积为.9．（2024·河北承德·二模）已知，则.10．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则.四、解答题11．（21-22高二下·吉林·阶段练习）已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．12．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：参考答案：1．D【分析】根据正方体的体对角线以及面对角线长，即可利用余弦定理求解，由同角关系即可求解.【详解】设正方体的棱长为，则，易知正方体的外接球的球心为体对角线的中点，.在中，由余弦定理可得由于，，故选：D.2．C【分析】利用两角差的正切公式计算可得，结合切弦互化即可求解.【详解】由，得，解得，所以.故选：C3．D【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可．【详解】由已知得，，即，则，故选：D．4．A【分析】先利用整体思想结合诱导公式与二倍角余弦公式计算得，然后由及可得，即可求得.【详解】因为，所以，所以，则，即，由，则，由，得，故，所以，则，故.故选：A5．BD【分析】先根据向量加法，可直接求出.对选项，直接求出向量和的模，然后验证即可；对选项，直接求出余弦值；对选项，直接求出向量的模；对选项，直接求出正弦值.【详解】根据向量的加法可得：根据诱导公式及同角三角函数的关系，且，解得：.对选项，，则有：，故选项错误；对选项，则有：，故选项正确；对选项，，则有：故有：，故选项错误；对选项，则有：，故选项正确.故选：BD.6．ABC【分析】利用和角公式可求值验证A项，运用辅助角公式和诱导公式可得B项，运用两角和的正切公式可以验证C项，利用倍角公式和诱导公式可以判定D项.【详解】对于选项A，，故A项正确；对于选项B，，故B项正确；对于选项C，，故C项正确；对于选项D，，故D项错误．故选：ABC．7．BD【分析】令，利用换元法将函数转化为分式函数，即可根据函数单调性求得函数最值.【详解】设，由，得，则，又由，得，所以，又因为函数和在上单调递增，所以在上为增函数，，，故选：.【点睛】本题考查之间的关系，涉及利用函数单调性求最值，属综合基础题.8．【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，利用平方关系求出即可得解.【详解】由余弦定理得①，又，得②，联立①②解得，因为，，所以，所以.故答案为：9．/【分析】利用三角恒等变换化简算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得结果.【详解】，，所以，而，因此原式.故答案为：.10．3【分析】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案.【详解】由题意得，又，故，且，解得，故，当时，，即，，又，解得，故，所以.故答案为：311．(1)(2)(3)【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.【详解】（1）由于，所以，又得，解得或（舍去），故（2）（3）12．（1）；（2）2【分析】（1）根据三角函数的定义得到，利用诱导公式化简后，代入，求出答案；（2）利用对数运算法则计算出结果.【详解】（1）因为角终边上一点，所以，所以（2）.【能力篇】一、单选题1．（2024·湖南常德·一模）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·浙江温州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（

）A． B．C． D．角的终边在第一象限三、填空题3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知，是方程的两个根，则．四、解答题4．（2023·贵州·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，.(1)求；(2)若，，在上，且，求的长.参考答案：1．A【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.【详解】.故选：A.2．ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角的三角函数，结合诱导公式判断A的真假；利用二倍角公式，求出的三角函数值，结合三角函数的概念指出角的终边与单位圆的交点，由对称性确定角终边与单位圆交点，从而判断BCD的真假.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，所以：，所以，，所以，故A对；又，，所以的终边与单位圆的交点坐标为：，因为角的终边与角的终边关于直线对称，所以角的终边与单位圆的交点为，所以，且的终边在第一象限，故CD正确；又因为终边在直线的角为：，角的终边与角的终边关于对称，所以，故B错误.故选：ACD3．【分析】利用韦达定理可得，，再利用两角和差公式和三角函数的商数关系求解即可.【详解】因为，是方程的两个根，所以，，则，所以．故答案为：4．(1)(2)【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数关系化简已知条件即可求解；（2）根据同角三角函数关系得，由向量加法运算得，平方化简即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，由得，即，平方化简得，所以.（2）由题意，所以，即,