4.4探索三角形相似的条件（培优版）（含答案）-北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件（培优版）夯实基夯实基础黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。一、选择题1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上.以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC=3OFC．AB：AD=4：3 D．GE=6DF2．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)3．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A． B． C．22 D．14．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似5．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）A．AF B．DF C．AE D．DE6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△AOD一定相似的是（）A．△BOC B．△AOB C．△DOC D．△ABC7．如图，在△ABC中，点Р在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP⋅AB；④AB⋅CP=AP⋅CB，能满足△APCA．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③8．如图，点P在△ABC的边AC上，添加如下一个条件后，仍不能得到△ABP∽△ACB的是（）A．ABBP=ACCB B．∠APB=∠ABC C．9．如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③10．已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4，A． B．C． D．巩固积巩固积厚宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。二、填空题11．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）12．如图，要使△PQR∽△PNM，则需添加一个适当的条件是（添一个即可）．13．若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为．14．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若BCnAC=nACAB＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若BC2AC=2AC15．如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，ABAD=CEDE，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC优尖拔优尖拔高书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三、解答题16．如图，在△ABC中，BC=8，AC=4，D是BC边上一点，CD=2.求证17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．18．如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．19．在四边形ABCD中，AC为对角线，AC=AB=BC，BE⊥AC于点E，CD=BE=3，AD=1（1）如图1，求证：∠ADC=90°；（2）如图2，延长BE，交AD边的延长线于点F，交CD边于点G，连接CF，DE，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与20．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．

答案与解析答案与解析1．答案:D解析：解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，

∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，

由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，

由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，

∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，

在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，

∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，

解得b=2a，

∴AB=2b=22a；

∴ABAD=21，故C选项不符合题意；

在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=22a-x，

∵∠D=∠GOF=90°，

∴x2+（2a）2=22a−x2，

解得x=22a，

∴6DF=6x=6×22a=3a，

2．答案:C解析：解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），

∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，

A.当E（6，5）时，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，

∴ABED=BCDC，∠ABC=∠EDC，

∴△ABC∽△EDC，

B.当E（6，0）时，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，

∴ABCD=BCDE，∠ABC=∠CDE，

∴△ABC∽△CDE，

C.当E（6，4）时，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，

∴ABED≠BCDC，∠ABC=∠EDC，

∴△ABC与△EDC不相似，

D.当E（4，2）时，

∵D（6，1），C（4，1），

∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，3．答案:D解析：解：设正方形ABCD边长为a，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠EAB=90°，

∵点E为AD中点，

∴AE=a2，

在Rt△EAB中，

∴BE=AE2+AB2=52a，

∵EF=BE，

∴EF=52a，

∴AF=EF-AE=52a-12a=5−12a，

∴正方形AFGH边长为5−12a，

∴S1=S正AFGH=（5−12a）2=3−52a2，

∵AH=5−12a，AB=a，

∴BH=AB-AH=a-5−1分析：设正方形ABCD边长为a，在Rt△EAB中，根据勾股定理得BE=52a，结合已知条件得正方形AFGH边长为5−12a，根据正方形面积公式得S1=3−52a2，再由矩形面积公式得，S2=3−524．答案:C解析：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；

B、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误；

C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；

D、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误．

故选：C．【点评】考查相似三角形的判定定理：

（1）两角对应相等的两个三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）三边对应成比例的两个三角形相似；

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．答案:A解析：解：根据作图可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=1设DB=DF=a，则AB=2a，∴根据勾股定理可得：AD=A∴AF=AD−DF=5∴AFAB∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，故A正确.故答案为：A.分析：根据作图可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，设DB=EF=a，则AB=2a，AD=5a，AF=AD-DF=5a-a，则AF6．答案:A解析：解：∵AD∥BC，∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，∵∠AOD=∠BOC，∴△BOC∽△DOA，故答案为：A.分析：根据平行线的性质可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.7．答案:D解析：解：A、∵∠ACP=∠B，∠APC=∠ACB，∴△APC∽△ACB，∴ACAB∴AB⋅CP=AC⋅CB≠AP⋅CB，不符合题意；B、∵AC∴ACAB∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴∠ACP=∠B，∴ACAB∴AB⋅CP=AC⋅CB≠AP⋅CB，不符合题意；C、∵AC∴ACAB∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴∠APC=∠ACB，∴ACAB∴AB⋅CP=AC⋅CB≠AP⋅CB，不符合题意；D、∵∠ACP=∠B，∠APC=∠ACB，∴△APC∽△ACB，∴ACAB∴AC故答案为：D．

分析：利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。8．答案:A解析：解：根据题意得∶∠A=∠A，A、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、当APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意．故答案为：A．

分析：根据题意得∠A=∠A，可根据两角对应相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行逐一判断即可.9．答案:B解析：解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：2，2，10，②号三角形的三边长分别为：2，5，3，③号三角形的三边长分别为：2，22，2④号三角形的三边长分别为：2，3，17，∵2∴①与③相似，故B符合题意；其他选项不符合题意故答案为：B．分析：根据相似三角形的判定方法，计算求解即可。10．答案:B解析：解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，A不符合题意；B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，B符合题意；C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，C不符合题意；D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，D不符合题意；故答案为：B．

分析：利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。11．答案:AD解析：解：根据题意，添加条件ADAB∵∠A=∠A∴△ADE故答案为：ADAB

分析：利用相似三角形的判定方法求解即可。12．答案:∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）解析：解：由题意可得：∠MQN=∠RPQ，只需要再加上∠PMN=∠PRQ，即可得到△PQR∽△PNM，故答案为：∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）

分析：利用相似三角形的判定方法求解即可。13．答案:55解析：解：∵AB＝10，点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，

∴BC＝5−12AB＝5−12×10＝55-5.

14．答案:6解析：解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，BC6∴BC=6∵AB=BC+AC，∴AB=AC+6∵6AC∴6AC即：61+整理得：6k解得：k6=6经检验，k6=6∵k6∴k6故答案为：63

分析：由题意得BC6AC=6ACAB=k6，则BC=15．答案:2解析：解：BB'交AE于M，作EH'⊥AB'于H∵四边形ABCD为黄金矩形，∴AB＝5−1∴BC＝15−1×2＝∵四边形ABFG、GHED均为正方形，∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝5＋1−2＝5−1，在Rt△ADE中，AE＝(5−1)2∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'，∴C'B'＝CB＝5＋1，EC'＝EC＝3−5，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM，易得四边形B'C'EH'为矩形，则EH'＝C'B'＝∵12B'M×AE＝12AB'×E∴B'M＝2×(5∴BB'＝2B'M＝215故答案为：215分析：BB交：4E于M，作EH⊥AB于H'，连接BE，利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用正方形的性质得到AG、DE和DG长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE，然后利用折叠的性质得到CB'、C'E和AB'的长，BB'⊥AE，B'M=BM，则EH'=C'B'，然后利用面积法求出B'M，从而求出BB的长.16．答案:证明：∵BC=8，AC=4，∴ACCD∴BCAC∵∠C=∠C，∴△ABC∽DAC解析：根据已知条件可得BCAC17．答案:证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠D=∠C=90°，AD=CD=BC=4∵BP=3PC∴PC=∵Q是CD的中点∴DQ=CQ=∵ADCQ=∴AD∵∠D=∠C=90°∴△ADQ∽△QCP．解析：先证明ADCQ=DQPC，再结合18．答案:证明：∵AC，BD相交于的点O，∴∠AOB＝∠DOC，又∵∠ABO＝∠C，∴△AOB∽△DOC．解析：利用对顶角的性质可得∠AOB＝∠DOC，再结合∠ABO＝∠C，即可得到△AOB∽△DOC。19．答案:（1）证明：∵AC=AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∵BE⊥AC，∴BC=AC=2CE，∠BEC=90°，∴BE=B∵BE=3∴CE=1，∵AD=1，∴AD=CE，∵CD=BE，∴△BCE≌△CAD，∴∠ADC=∠BEC=90°；（2）解：由（1）得：BE平分∠ABC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ABE=∠CBE=30°，∵△BCE≌