4.5相似三角形判定定理的证明（培优版）（含答案）-北师大版数学九年级上册

4.5相似三角形判定定理的证明（培优版）夯实基夯实基础黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。一、选择题1．如图是一张矩形纸片ABCD，点E是AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A、B的对应点分别为A'、B'，A'E与BC相交于点G，B'A．22 B．4105 C．22．如图，在矩形ABCD中，点G是边BC的三等分点(BG<GC)，点H是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F.设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①FH：AF=1：2；②BE：A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论，其中正确的有（）个.

（1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S△EFC＝35；（4）CF＝12A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且AB=3BE．过点B作BF⊥AE，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则DH：A．10：3 B．3：1 C．8：3 D．5：35．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则ABEFA．453 B．3 C．136．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：①DE=CN；②BHBD=13；③SΔDECA．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若AB=AE，则FG的长是（）A．3 B．83 C．21538．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且GCBG=12，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若A．22 B．553 C．99．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点G作GD的垂线交AB于点I，若GI=43GDA．15 B．27 C．5510．如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=6，点D在AB上，过点D作DE//BC交AC于点E，现将△ADE沿着DE所在的直线折叠，使得点A落在点A'处，A'D，A'E分别交BC于点F、GA．33+6 B．43+8 C．巩固积巩固积厚宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。二、填空题11．如图，面积为4的正方形ABCD中，EFGH分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是.12．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E是边AB上一动点(不与点A、B重合)，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，AE的长为.13．如图，四边形ABCD是正方形，AB=6，E是BC的中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于点M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于点F，则AF的长为．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，点E为AC中点．点D在AC右侧，DE⊥AC，且∠DAE=∠BAC，射线BE交AD于点F，若△DEF为等腰三角形，则线段EF的长为．15．图1是某个零件横截面的示意图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，为了求出BC的长度，小艺将一根直尺按图2，图3，图4的三种方式摆放，所测得的具体数据（单位：cm）如图所示，则直尺宽为cm，BC为cm．优尖拔优尖拔高书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三、解答题16．如图（图形不全），等边三角形ABC中，AB=3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD=∠CBE，当BD=1时，求AE的长．几位同学通过探究得出结论：此题有多种结果．有同学已经得出两个符合题意结论：①当点D在边BC上、点E在边AC上时，AE=2；②当点D在边BC上、点E在AC的延长线上时，AE=9要求：请针对其它情况，继续求出AE的长，并写出总的正确结论．17．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1．求DF的长度．18．如图，在ΔABC中，AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2=BD•CE.求证：ΔABD19．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得APPD的值为解决问题：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC=1：2．求APPD应用：若CD=2，AC=6，则BP=．20．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

1．答案:C解析：解：过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD为矩形，答案与解析答案与解析∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，∴AB=EH，ED=CH，∵BFGC∴令BF=x，CG=2x，FG=y，则CF=2x+y，B'∵E为AD的中点，∴AE=DE=1由对折可得：∠AEF=∠A'EF∴∠AEF=∠CFE，∴∠A∴GE=GF=y，∴A'由题意，得∠CA又∠GCA∴△CGA∴CGCF则2x2x+y整理，得2x解得x=−y（舍去），y=2x，∴AD=BC=3x+y=5x，EG=y=2x，HG=BG−AE=1在Rt△EGH中E则EH解得EH=15∴AB=15∴ADAB故答案为：C.分析：过点E作EH⊥BC于点H，根据矩形的性质可得∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，则四边形ABHE、CDEH为矩形，得到AB=EH，ED=CH，设BF=x，CG=2x，FG=y，则CF=2x+y，B′F=BF=x，由中点的概念可得AE=DE=12(3x+y)，由对折可得∠AEF=∠A′EF，由平行线的性质可得∠AEF=∠CFE，推出GE=GF=y，则A′G=12(3x-y)，证明△CGA′∽△CFB′，由相似三角形的性质可得y=2x，则AD=BC=5x，EG=2x，HG=2．答案:D解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD//BC，AB=CD，∴ΔABF∽ΔDHF，ΔADE∽ΔGEB，∵点G是边BC的三等分点，点H是边CD的中点，∴DFBF=FH设BE=m，则DE=3m，BD=4m，DF=43m，BF=∴FH：AF=1：∵ΔADE∽ΔGEB，∴S1同理可得：S3∵BE：EF：FD=3：设S1=3n，则S4=9n，S∴S3=6n，∴S1+S故答案为：D.分析：根据矩形的性质得AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ABF∽△DHF，△ADE∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例得DFBF=FHAF=12，BEDE=BGAD=GEAE=13，设BE=m，则DE=3m，BD=4m，DF=43m，BF=83．答案:C解析：解：如图所示：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD＝3，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折叠可知：AF＝AD＝3，∠AFE＝∠D＝90°，DE＝EF＝1，则CE＝2，∴AB＝AF＝3，AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG＝FG，设CG＝x，则BG＝FG＝3-x，∴EG＝4-x，EC＝2，根据勾股定理，得在Rt△EGC中，（4-x）2＝x2+4，解得x＝32，则3-x＝3∴CG＝FG，所以（1）正确；（2）由（1）中Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠FAG，又∠DAE＝∠FAE，∴∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE＝90°，∴∠EAG＝45°，所以（2）正确；（3）过点F作FH⊥CE于点H，∴FH∥BC，∴FHCG即1：（32+1）＝FH：（3∴FH＝35∴S△EFC＝12×2×35＝所以（3）正确；（4）∵GF＝32点F不是EG的中点，CF≠12所以（4）错误.所以（1）、（2）、（3）正确.故答案为：C.分析：利用正方形的性质可证得AD＝AB＝BC＝CD＝3，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，利用折叠的性质可得到∠AFE＝∠D＝90°，AF的长，同时可求出CE的长，利用HL可证得Rt△ABG≌Rt△AFG，利用全等三角形的性质可得到BG=FG；设CG＝x，可表示出FG，BG，EG，在Rt△EGC中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可推出CG=FG，可对（1）作出判断；利用全等三角形的性质可证得∠BAG＝∠FAG，再根据∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE＝90°，可得到∠EAG的度数，可对（2）作出判断；过点F作FH⊥CE于点H，由FH∥BC，可证得FHCG4．答案:B解析：解：如图所示，连接AH，CH，设AE与BF交于M，∵BF⊥AE，∴∠AMB=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE=CF，∴BF=DF，∵CG=CF，∠DCG=∠BCF，DC=BC，∴△BCF≌△DCG（SAS），∴∠CBF=∠CDG，又∵∠BHG=∠DHF，∴△BHG≌△DHF（AAS），∴HG=HF，又∵HC=HC，CG=CF，∴△HCG≌△HCF（SSS），∴∠HCG=∠HCF=45°，∴A、H、C三点共线，∵AD//∴△ADH∽△CGH，∴DHHG故答案为：B．

分析：连接AH，CH，设AE与BF交于点M，先证得A、H、C三点共线，由AD∥BC，可得△ADH∽△CGH，利用相似三角形对应边成比例即得结论.5．答案:C解析：解：如图，过点P作PM⊥BE于点M，

设BE=a，GH=b，

∵△AHD≌△BEA，

∴AH=BE=a，

∵四边形EFGH是正方形，

∴FG=GH=EH=EF=b，

∵∠AEB=∠PMB=90°，

∴PM∥AE，

∴BP∶AP=BM∶ME，

∵点P是AB的中点，

∴AP=BP，

∴BM=EM=12a，

∴PM是△ABE的中位线，

∴PM=12AE=12（a-b），

又∵点Q是GH的中点，

∴GQ=12GH=12b，

∵∠PMF=∠BFC=90°，

∴△PM∥FC，

∴∠MPF=∠GFQ，

∵∠PMF=∠FGQ=90°，

∴△PMF∽△FGQ，

∴PM∶FG=MF∶GQ，

∴PM×GQ=FG×MF，

∵MF=EM-EF=12a-b，

∴12（a-b）×12b=b（12a-b），

整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，

∵b≠0，

∴3b-a=0，

∴a=3b，

∴AE=AH-EH=a-b=2b，

∴AB=AE2+BE2=2b2+3b2=6．答案:D解析：解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∠DCE=∠CBN=90°，∵CG⊥DE于G，∴∠CGD=90°，∴∠CDE=∠BCN=90°−∠DCG，在△DCE和△CBN中，∠CDE=∠BCNCD=BC∴△DEC≌△CNB(SAS)，∴DE=CN，故①正确；∵E为BC的中点，BC=CD=AB，∴BN=CE=1∴BNCD∵AB∥CD，∴△BHN∽△DHC，∴BHDN=BN∵NHCH∴NHCN∴SΔBNH∴SΔDEC如图，作BT⊥DN于点T，BR⊥DE交DE的延长线于点R，则∠BTN=∠R=∠BTG=90°，∵CE=BN，CE=BE，∴BN=BE，∵∠BNT=∠CED，∠BER=∠CED，∴∠BNT=∠BER，在△BNT和△BER中，∠BTN=∠R∠BNT=∠BER∴△BNT≌△BER(AAS)，∴BT=BR，在Rt△BTG和Rt△BRG中，BG=BGBT=BR∴Rt△BTG≌Rt△BRG(HL)，∴∠BGN=∠BGR，∵∠RGN=90°，∴∠BGN=1∵TN=ER，GT=GR，∴GN+EG=GT+TN+EG=GT+ER+EG=GT+GR=2GT，∵∠TBG=∠BGN=45°，∴BT=GT，∴2GT∴2GT=BG∴2GT=2∴GN+EG=2综上，①②③④⑤均正确，故答案为：D.分析：①根据正方形的性质及同角的余角相等，利用SAS可证△NBC≌△ECD，根据全等三角形的性质得DE=CN，从而可以判断①正确；

②由平行三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似，证△NBH∽△CDH，根据相似三角形的对应边成比例，可以判断②正确；

③根据同高三角形的面积之比等于底之比，结合线段比例关系，得出面积比，进而结合，全等三角形的性质可以判断③正确；

④过点B作两条垂线，利用AAS证△BNT≌△BER，得BT=BR，进而根据HL证Rt△BTG≌Rt△BRG，得∠BGN=∠BGR，据此可以判断④正确；

⑤判断出等腰直角三角形，再结合勾股定理可以求出BG长，即可判断⑤正确．7．答案:B解析：解：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，∵AB=AE，∴BH=EH，∠ABE=∠AEB，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=AE=AD=BC=4，AB∥DC，∵E是BC的中点，∴BE=CE=2，∴BH=EH=1∵AB//∴∠B=∠MCE，∵∠AEB=∠MEC，∴∠MEC=∠MCE，∴AE=AB=EM=CM=4，∵FG//∴∠DAF=∠AFG，∵AF平分∠EAD，∴∠GAF=∠DAF，∴∠GAF=∠AFG，∴AG=GF，设GF=x，则AG=x，GE=4−x，MG=GE+EM=8−x，由GF//∴△MGF∽△MEC，∴ECFG∴2x解得x=8故答案为：B.分析：作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，利用等腰三角形的性质及平行线的性质可得BH=CH=12BE=1，AE=AB=EM=CM=4，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠GAF=∠AFG，可得AG=GF，设GF=x，则AG=x，GE=4−x，MG=GE+EM=8−x，根据平行线可证△MGF∽△MEC8．答案:D解析：解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，∴∠H=90°，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，∴∠2+∠3=90°，∠H=∠BCD，∵DE⊥DG，∴∠EDG=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，∴△DEH∽△DGC，∴EH∵GC∴设GC=x，则BG=2x，DC=BC=3x，∴EH∴DH=3EH，∵AC是正方形ABCD对角线，∴∠DAC=45°，∵∠EAH=∠DAC=45°，∴∠HEA=45°，∴EH=HA，∴EH∴EH=HA=5∴DH=3EH=15∴AD=DH−AH=52∴GC=1∴DG=C∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴CG∴DF=3GF，∴DF=3故答案为：D．分析：过点E作EH⊥AD，交延长线于H，由正方形的性质，推出∠H＝∠BCD，根据同角的余角相等，推出∠1＝∠3，证明△DEH∽△DGC，推出EHGC=DHDC，由正方形的性质得∠EAH=∠DAC=45°，求出9．答案:C解析：解：过点I作IM⊥BG于点M，

∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，

∴设AF=BG=CH=DE=a，BF=CG=DH=AE=b，

∴EH=HG=DE-DH=a-b，

∵DG⊥IG，

∴∠HGD+∠HGI=90°，

∵∠HGI+∠IGM=90°，

∴∠IGM=∠HGD，

∵∠IMG=∠DHG=90°，

∴△IMG∽△DHG，

∴IGDG=IMDH=GMGH

∵GI=43GD

∴IM=43DH=43b，GM=43GH=43a−b，

∴BM=BG−MG=a−43a−b=43b−13a，

∵IM∥AF，

∴△BMI∽△BFA，

∴IMAF=BMBF即4310．答案:C解析：解：∵DE∥BC，∴FG∥DE，∴△A'FG∽∴A∴A'∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠ADE=∠AED=30°，∵将△ADE沿着DE所在的直线折叠，使得点A落在点A'处，∴∠A'∴∠DFB=∠A'∴∠B=∠DFB，∴BD=FD，∴AD=A'∵AB=AC=6，∴BD=2，同理DG=2，过A作AM⊥BC于M，∴BM=3∴BC=63∴DE=2∴FG=1∴图中阴影部分的周长=DE+DF+FG+EG=6故答案为：C.分析：易证△A′FG∽△A′DE，根据相似三角形的性质可得A′F=DF，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=30°，则∠ADE=∠AED=30°，根据折叠的性质可得∠A′DE=∠ADE=30°，进而得到∠B=∠DFB，推出BD=FD，则AD=A′D=2BD，求出BD、DG的值，过A作AM⊥BC于M，求出BM、BC、DE、FG的值，然后根据周长的意义进行解答.11．答案:5解析：解：如图：∵正方形ABCD的面积为4∴正方形的边长为2，∵点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，∴DG=CG=CF=1，在△ADG与△DCF中AD=CD∠ADG=∠DCF=90°∴△ADG≌△DCF（SAS），∴∠DAG=∠CDF，∵∠DAG+∠DGA=90°，∴∠GDH+∠DGH=90°，∴∠DMG=90°，∵AG=AD2∴DM=AD⋅DGAG∴GM=5由题意可得：AG∥CE∴△DCK∽△DGM∴DG∴CK=同理可得：△BCG≌△CBE∴∠ECB=∠GBC∴BO=OG=OC=OK=OC−CK=∵AG∥CE△OKL∽△GML∴OL∴OL∴OL=故答案为：56分析：根据正方形ABCD的面积可得边长为2，利用SAS证明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，结合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面积法可得DM，然后求出GM，证明△DCK∽△DGM，根据相似三角形的性质可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，证明△OKL∽△GML，然后根据相似三角形的性质进行计算.12．答案:43或解析：解：连接BD交AC于点O，

当DF=AF时

∴∠DAO=∠ADF

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴AD=AB，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AD=4，∠DAC=∠ADF=∠FDO=12∠DAB=30°，

∴DO=2，

∴DF=2FO，

∴OF2+4=4OF2

解之：OF=233

∴AF=2×233=433，

∴AO=AD2−DO2=42−22=23，

AC=43

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴AFAC=AEAB

13．答案:2解析：解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，

∴BC=CD=AB=6，∠B=∠C=90°，

∵E是BC中点，

∴BE=CE=12BC=3，

设CN=x，则DN=6−x，

∵MN是线段DE的垂直平分线，

∴EN=DN=6−x，

在Rt△CEN中，CE2+CN2=EN2，

∴32+x2=（6−x）2，

解得：x=94，

∴CN=94，

∵EF⊥EN，

∴∠FEN＝90°，

∴∠BEF＋∠CEN＝90°，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴∠BEF＋∠BFE＝90°，

∴∠BFE＝∠CEN，

∴△BFE∽△CEN，

∴BF∶BE＝CE∶CN，

∴BF=BE·CE14．答案:6或4解析：解：延长AD，BC交于点G，在△ACB和△ACG中

∠DAE=∠BACAC=AC∠ACB=∠ACG

∴△ACB≌△ACG（ASA），

∴AG=AB=12，2BC=2CG=BG，

∵点E为AC的中点，DE⊥AC，

∴DE∥CG，DG=AD=12AG=6，

∴DE是△ACG的中位线，

∴DE=12CG，

∴BG=4DE，

∴△DEF∽△GBF，

∴EFBF=EDBG=FDFG=14，

∴DG=3DF=6，

∴DF=2，

△DEF是等腰三角形，

当EF=DF=2时，EF是Rt△AED斜边上的中线，

∴EF=12AD=3，

∴EF≠DF；

当EF=ED时，过点E作EH⊥AD于点H，

∴DH=FH=12DF=1，

∵△EHD∽△ADE，

∴EDDH=ADED

∴ED2=1×6

解之：DE=EF=6；

当DF=DE=2时，

AE=EC=AD2−ED2=62−22=4215．答案:2；248解析：解：如图3所示，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，

∵DM＝10，DF＝8，

∴MF＝DM2−DF2＝6，

∵EF＝AD＝8，

∴EM＝EF-MF＝2，

∴直尺宽2cm，

如图1所示，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，在AB上截取AG＝8cm，过点G作GH⊥AB交BC于H，

则∠AEB＝∠DFC＝90°，DF＝8cm，

∵AB＝CD，∠B＝∠C，

∴△ABE≌△DCF（AAS），

∴AE＝DF＝8，BE＝CF，

∵∠BGH＝90°，

∴∠BGH＝∠AEB，

∵∠HBG＝∠ABE，

∴△BHG∽△BAE，

∴BG：GH＝BE：AE，

设BG＝xcm，则AB＝（x+8）cm，

∵GH＝2cm，

∴2BE＝8x，

∴BE＝4x，

在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，

∴（4x）2+82＝（x+8）2，

解得：x＝0（舍去）或x＝1615，

∴BE＝6415cm，

∴BC＝2BE+EF＝2×6415+8＝24815cm，

故答案为：2；24815．分析：如图3所示，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，利用勾股定理求出MF＝6，由AD＝EF＝8，即可得出直尺EM宽度；如图1所示，在AB上截取AG＝8cm，过点G作GH⊥AB交BC于H，先证明△BHG∽△BAE，BG：GH＝BE：AE，设BG＝xcm，则AB＝（x+8）cm，GH＝2cm，可求得BE＝4xcm，在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB16．答案:解：①当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，如下图中，∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠CBE，∴∠ABC=∠BCA=60°，∴∠ABD=∠BCE=120°，AB=BC，∴△ABD≌△BCE(ASA)，∴EC=BD=1，∴AE=AC+EC=4．②如下图中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时．作EF//AB交BC于F，∵△ABC是等边三角形，∴△EFC是等边三角形．设EC=EF=CF=x，∵∠BAD=∠CBE，∴∠ABD=∠BFE=120°，∴△ABD∽△BFE，∴BDEF∴1x=3∴AE=AC−EC=9综上所述，满足条件的AE的值为2或4或92或9解析：此题有四种情形题中给出了两种情形，因此还有两种情形①当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，通过已知条件可得出△ABD≌△BCE(ASA)对应边相等，等量代换可得AE=4．②当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时，作EF//AB交BC于F，可得△ABD∽△BFE，可得BDEF=ABBF，可得EF的长度，因为17．答案:解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3∴DC=AB=3，∠ADC=∠C=90°∵CE=1∴DE=∵AF⊥DE，∠ADC=90°∴∠ADF+∠DAF=90°，∠ADF+∠EDC=90°∴∠EDC=∠DAF在△EDC和△DAF中，∠EDC=∠DAF∴△EDC∼△DAF∴DEAD=解得DF=即DF的长度为105解析：根据矩形的性质求出DC的长以及∠ADC=∠C=90°，根据勾股定理求出DE的长，由垂直的定义即可得到∠AFD=∠C，根据同角的余角相等即可得到∠EDC=∠DAF，进而证明得到△EDC∽△DAF，由相似三角形的性质求出DF的长度即可。18．答案:证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB2=BD•CE，∴ABCE=BD∴△ABD∽△ECA．解析：【详解】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB2=BD•CE，∴ABCE=BD∴△ABD∽△ECA．分析：本题关键是找到对应边成比例，利用AB2=BD•CE，得到ABCE19．答案:解：发现：如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到APPD=AFBD=32．解决问题：如图2中，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，∠F=∠1∠2=∠3AE=CE，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴PA