第四章 相似三角形单元测试卷 2024-2025学年 九年级上册数学

第第页相似三角形单元测试一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（）第1题图第2题图第3题图A．3cmB．22cmC．2.5cmD．3.5cm2．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF=4a，则AB=（）．A．(5−1)aB．(25−2)aC．3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．ABAD=ACAE4．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（）第4题图第6题图A．56 B．1 C．54 5．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见．例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长10米，主持人从舞台一侧进人，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则x满足的方程是（）A．(10−x)2C．x(10−x)=102 6．如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，固定△ABC，将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中，△DEC与△ABC位似的位置有（）A．0个 B．1个C．2个 D．3个及3个以上7．在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=5，D为BC边一点且BD=4A．2条 B．3条 C．4条 D．5条8．已知ab=cd=A．12 B．15 C．16 D．19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则CG的长为（）第9题图第10题图A．65 B．75 C．9510．如图，点G是△ABC的重心，过点G作MN∥BC分别交AB，AC于点M，N，过点N作ND∥AB交BC于点D，则四边形BDNM与△ABC的面积之比是（）A．1：2B．2：3C．二、填空题填空题（每题4分，共24分）11．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为．第11题图第13题图12．已知a2=b3=13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若CO=3，CE=1，则BE的长为14．已知，如图，矩形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，AB=4，AD=8，CF=3，若△ABE与以E、C、F为顶点的三角形相似，则BE的长为.第14题图第15题图第16题图15．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，且D、E分别为BA、BC边上靠近点B的三等分点，则下列结论正确的是．①DE：AC=1：3；②OD：OC=116．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：①∠AED+∠EAC+∠EDB=90∘，②AP=FP，③AE=102AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形其中正确的结论有．三、解答题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若S△DFA=118．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠AEB=∠F．（1）求证：△ABE∼△ECF；（2）若AB=5，CE=6，BE=2，求FD的长．19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：AF=AB；（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AGFG20．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点（1）求AFFC（2）若AB：AC=3①求证：∠AEF＝∠ACB．②求证：DF2＝DG•DA．21．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：CG=AG；（2）求证：AB（3）若GE=3，GC=222．在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4.点Q在线段AC上运动，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当点P与点B重合时，求AQ的长；（3）若点Q从点A以每秒2个单位长的速度向点C运动，求点P与点B的距离不大于1的时长；（4）当△BPQ为等腰三角形时，直接写出AP的长．图1图2备用图

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】C11．【答案】4.512．【答案】2513．【答案】214．【答案】2或6或3215．【答案】①16．【答案】①②③⑤17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA∴(AE∴AEAD=3∴AE=3∴BE=A∴BE的长为2318．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠ECF，∵∠AEB=∠F，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴AB∴5∴CF=12∴DF=DC+CF=AB+CF=5+1219．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF=∠CED，∴△AEF≌△DEC(ASA)，∴AF=CD，∴AF=AB；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AGFG=∴DC=AB=AF=FG+GA=4k，DC∥FA，∴∠DCF=∠F，∠DCG=∠CGB，∵∠FCG=∠FCD，∴∠F=∠FCG，∴GC=GF=3k，∵∠DHC=∠AHG，∴△AGH∽△DCH，∴GH设HG=x，则CH=CG−GH=3k−x，可得方程x3k−x解得x=3∴FGGH20．【答案】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，又∵∠DFC＝∠AFE，∴△AFE∽△CFD，∴AFFC（2）解：①证明：∵AB：AC=3可设AC＝2a，则AB=3由（1）知：AFAC∴AF=1∴AFAB=1∴AFAB又∵∠BAC＝∠FAE，∴△FAE∽△BAC，∴∠AEF＝∠ACB；②证明：∵FG∥AB，∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠FAD＝∠GFD，又∵∠GDF＝∠FDA，∴△GDF∽△FDA，∴DGDF∴DF2＝DG•DA．21．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CDB=∠ADB=45°，DC=DA，在△CDG和△ADG中，DC=DA∠CDG=∠ADG∴△CDG≌△ADG(SAS)，∴CG=AG；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE=∠FDC=90°，CB=CD=AB，CB∥DF，∴∠BCE=∠DFC，∴△BCE∽△DFC，∴CBBE=FD∴AB（3）解：∵GE=3，GC=2∴CE=CG+GE=22∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，CD=AB，CB∥AD，∴BE∥CD，∴∠EBG=∠CDG，∠BEG=∠DCG，∴△BEG∽△DCG，∴BEDC∴BEDC∴BEDC设BE=6x，则∴AE=AB−BE=CD−BE=4x−6∵AF∥CB，∴∠FAE=∠CBE，∠AFE=∠BCE，∴△AFE∽△BCE，∴EFEC∴EF2∴EF=5∴EF的长为5322．【答案】（1）证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQP=90在△AQP与△ABC中，∵∠AQP=∠ABC，∠A=∠A，∴△AQP∽△ABC．（2