高三数学寒假作业7

高三数学寒假作业7

一、选择题

1.已知集合用=国-2<x<l},N={x\x1<3,x€Z},则()

A.B.N7MC.MCN={-1,0)D.MUN=M

2.记cos(-80°)=k,那么tan100°=)

Vl-fc2

A.B

kk

3.放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实

线所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该烟花模型的体积为（）

40

C.D.14Tt

4.黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,

它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），例如，正五角星

由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，—=

1―,根据这些信息，可得sin234°=（

1+754+若

4~~8~

5.“（1。外2）+«0为2）・y2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（)

A.0<a<bB.\<a<bC.2<a<bD.\<b<a

6.已知函数/（x）=10sinx+*3在％=0处的切线与直线〃工-尸。平行，则二项式（1+3+/）

（1-x）〃展开式中）的系数为（）

A.120B.135C.140D.100

7.执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）

1

A.-B.-1C.2018D.2

2

8.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0,4）,C（0,-4）,顶点8在椭圆

x2y2.esi?i（4+C）、

—+——=1上，则-----：—=（）

925sinA+sinC

3545

A.-B•一C.一D.—

5354

9.在梯形ABCD中，AB//CD,ADLAB,AB=4,AD=CD=2,将梯形ABCD沿对角线

AC折叠成三棱锥D-ABC,当二面角D-AC-B是直二面角时，三棱锥D-ABC的外接

球的表面积为（）

A.4nB.8nC.12TTD.16n

10.已知函数=7+2x（x>0）,若力（x）=/（x）,fn+\（x）=/（坂（x））,〃6N*,则

力019（X）在［1,2］上的最大值是（）

A.4238-1B.42°19-1c.920l9-lD.322019-1

11.已知点C是抛物线y2=4x上的动点，以C为圆心的圆过抛物线的焦点F,且圆C与直

线了=一：相交于A,8两点，则|以|♦尸剧的取值范围是（）

A.[4,+8)B.[3,+8)C.[2,+8)D.[I,+8)

12.己知正实数n,设4=机+〃，b=Vm2+14mn+n2.若以a,〃为某个三角形的两边

长，设其第三条边长为C,且C满足02=&•如7,则实数上的取值范围为()

A.(I,6)B.(2,36)C.(4,20)D.(4,36)

二、填空题

13.若/(x)=x4+3/+x+l,用秦九韶算法计算八TT)时，需要乘法和加法的总次数为.

14.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,且(a+2b)fa-b)=-2,则向量a与b的夹角为.

15.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个

偶数2,4,6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻

近的7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28；再染此后最邻近的9个连续奇数29,

31,…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1,2,4,6,7,9,11,13,

15,16,…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2020个数是.

16.已知“，昵［0,1］,则S(a,b)=急+余+(1-a)(1-b)的最小值为.

三、解答题

17.把函数/(x)=2sinr的图象向左平移w(0<SV%)个单位，得到函数y=g(x)的图象，

函数尸g(x)的图象关于直线x=看对称，记函数人(x)=/(x)・g(x).

(1)求函数y=/?(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)画出函数y=〃(x)在区间［一・，刍上的大致图象.

18.为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文

明创建知识的网络问卷调查.每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加

问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数2515020025022510050

(I)由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(山210),口近

似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态

分布的知识求P(36VZW79.5)；

(II)在(I)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

(/)得分不低于H的可以获赠2次随机话费，得分低于H的可以获赠1次随机话费；

(ii)每次赠送的随机话费和对应的概率为

赠送的随机话费(单位：元)2040

概率31

44

现市民小王要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，

求X的分布列及数学期望.

附：vno«14.5,若X〜N3,则①p(-0<xWu+。)=0.6827；

②尸卬-2。<XWu+2。)=0.9544；③P(口-3。<XWR+3。)=0.9973.

%2y2

19.在平面直角坐标系中，点为、放分别为双曲线C—-77=l(a>0,b>0)的左、右

3

焦点，双曲线。的离心率为2,点(1,-)在双曲线。上.不在x轴上的动点尸与动点

Q关于原点0对称，且四边形PF\QFi的周长为4鱼.

(1)求动点尸的轨迹方程；

(2)在动点P的轨迹上有两个不同的点M(xi,yi)、N(X2,*),线段MN的中点为G,

已知点(xi,%2)在圆/+)2=2上，求|OG|・|M/V|的最大值，并判断此时△OMN的形状.

高三数学寒假作业7(答案解析)

一、选择题

1.已知集合M={x|-2<rVl},N={x|/V3,xGZ},则()

A.MCNB.NUMC.MAN={-1,0)D.MUN=M

【解答】解：/V={x|-V3<X<V3,XEZ]=[-If0,1},M={x|-2<X<1}；

・・・MGN={-1,0}.

故选：C.

2.记cos(-80°)=k,那么tan100°=()

Vi-fc2k

【解答】解：法一:sin800=V1-cos280°=yJ1—cos2(—80°)=V1—/c2,

2

所以tan】。。。=-tan8。。=一螳=一好♦

法二：cos(-80。)=18式80°)=k,tanlOO。=瑞篇=加温:二耦=4端

Jl-fc2

-k-

故选：B.

3.放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实

线所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该烟花模型的体积为()

40

C.-^71D.14n

【解答】解：由三视图可知几何体是半径为2,高为3的圆柱，与半径为1,高为1的圆

柱，以及底面半径为1,高为2的圆锥，组成的几何体.

几何体的体积为：22.兀.3+12.兀*1+1,12.兀.2=竽.

4.黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,

它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），例如，正五角星

BC

由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，-=

-^5^_1

根据这些信息，可得sin234°=)

A.——B•-争U一~4~D•-竿

4

【解答】解：由图可知，NAC8=72°,且cos72°=弊=与1

/1CT*

/.cos144°=2COS272°-1=—

则sin234°=sin(144°+90°)=cosl44°=

q

故选：c.

5.“（，oga2）y2+（/ogb2）-y2=i表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（）

A.0<a<bB.\<a<bC.2<a<bD.\<b<a

%2y2y2y2

【解答】解：椭圆的标准方程为「一+V—=1,即;——+T2—-=1,

；——-：——-log2alog2b

loga2logb2

若焦点在），轴，

贝ijlog2b>log2a>0,即b>a>\.

等价条件为6>a>l,

则对应的充分不必要条件可以为b>a>2,

故选：C.

6.已知函数/'（X）=10$山+:/在产。处的切线与直线心-尸。平行，则二项式（1+工+/）

（1-x）”展开式中）的系数为（）

A.120B.135C.140D.100

【解答】解：函数/（x）=10sinx+/x3在k。处的切线与直线〃工-尸0平行，则〃=/

（0）=10,

则二项式（l+x+/）（1-x）"=（1+x+x2）（1-x）=（1-x3）<1-x）、

V（1-x）9的展开式的通项公式为7ki=Cf（-x）,，

故分别令r=4,r=l,可得展开式中）的系数为或一（一=135,

故选：B.

7.执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（)

1

A.-B.-1C.2018D.2

2

【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知:

1

初始S=2,当2=0时,5o=-1,4=1时,Si=

同理S=2,53=-1,义=会…，

可见S〃的值周期为3.

:.当人=2007时,52007=So=-L

)1=2008,退出循环.输出S=-l.

故选：B.

8.在平面直角坐标系xQy中，已知△43C的顶点A(0,4),C(0,-4),顶点5在椭圆

X2V2sin(A+C)

—+—=1上，则-.....：—=()

925smA+sinC

3545

A.-B.-C.一D.-

5354

x2y2

【解答】解::△ABC的顶点A(0,4),C(0,-4),顶点B在椭圆3+*=

25

。=2,B|JAB+CB=2a,AC=2c

sinBAC2cc4sm(4+C)4

;由正弦定理矢口----------=--------=—=—=~,，贝!J-------------------------

sinA+sinCBC+AB2aa5sinA+sinC5

故选：C.

9.在梯形ABC。中，AB//CD,AD1AB,4B=4,AD=CD=2,将梯形ABC。沿对角线

AC折叠成三棱锥O-ABC,当二面角Q-AC-B是直二面角时，三棱锥C-ABC的外接

球的表面积为()

A.4irB.8nC.12irD.16n

【解答】解：如图：A8=4,AD=CD=2,

：.AC=2V2,BC=2V2,

取AC的中点E,4B的中点O,连结拉E,OE,

♦.•平面£>CA_L平面4CB,DE±AC

.•.QE_L平面ACB,

■:DE=立,OE=\［2,

：.OD=2,

：.OB=OA=OC=OD,

：.OB=2,即外接球的半径为2,

此时三棱锥外接球的表面积为4n«22=l6n.

10.已知函数/(x)—X2+2X(X>0),若fl(x)=f(x),fn+l(x)=f(fn(x)),〃eN*,则

力019(x)在［1,2］上的最大值是()

A.42018-1B.42019-1C.920l9-lD.322019-1

【解答】解：fQx）=）+2x在（0,+8）为增函数，且/（x）>0,

所以力（x）在［1,2］为增函数,

所以力（x）"3=8=3--1,且力（X）>0,

同理fl（X）max=f（fI（X）num）=3—1,且力（X）>0,

同理fi（X）max—f（fl（X）max）—32—1,且力（X）>0,

依此类推：

力019（X）max=f（72018（X）max）=322°19-1,

故选：D.

11.已知点C是抛物线）2=4x上的动点，以C为圆心的圆过抛物线的焦点尸，且圆C与直

线x=T相交于A,B两点，则伊川・|FB|的取值范围是（）

A.[4,+8)B.[3,+8)C.[2,+8)D.[1,+8)

【解答】解：抛物线V=4x的焦点为尸(1,0),

2

设圆C的方程为o)2+(y-y0)=(%o-I)?+城,

令x=—可得y2-2yoy+3xo—，=0,

则△=4y02_12x()+3=4xo+3>O恒成立，

设A(-2»yi)，B(-7，*)，则yi+”=2yo,y\*y2=3xo--^f

因为点C(xo,yo)在抛物线/=4x上，

故Vo2=4x0,

22222

所以照I・|FBI=Jyi+1-Jy2+|=J(yiy2)+1(yi+?2)+

22

=J(3XO-1)+1[4y0-2(3x0-1)]+ll=.而2+18a+9=3\x0+\\,

因为xo》O,所以|布|•旧B|23,

即|阿•田B|的取值范围是［3,+8）.

故选：B.

12.已知正实数机，n,设b=y/m2+14mn+n2.若以a,人为某个三角形的两边

长，设其第三条边长为c,且c满足,2=好如?，则实数k的取值范围为（）

A.(1,6)B.(2,36)C.(4,20)D.(4,36)

【解答】解法一：•••正实数〃?，n,

".a=m+n>27mn,b=Vmz+14mn+n2>4y/mn,

•.•其第三条边长为c,且c满足,2=如的?，

.*.c2=a2+/>2-2abcosC

24〃7〃+16"Z〃-16/nncosC,

丁-1WcosCW1,

二.4knmWc?W36mn,

・•・实数%的取值范围为（4,36）.

解法二：・・・〃，b,C是某个三角形的两边长,

a+b>c

a4-c>bf成立,

b+c>a

又b=y/m2+14mn4-n2>y/m24-2mn+n2=m+n=a,

:.b+c>a,成立,

a+h>c为m+n+\/m24-14mn4-n2>y/kmn,

.r-^_m+n+Jm2+14mn+n2

•Vnm，

m+n>27nm,\m24-n24-14mn>y/2mn4-14mn=4Vmn,

22

A/??+n+Vm4-14mn4-n>2y/mn+4yjmn=6y/mn9

m+n+y/m2+14mn+n2

>6,:,用<6,ZV36,

Vmn

对于a+c>b为/w+/7+Vfcmn>Vm2+14mn4-n2,

Jm2+14mn+n2—(m+n)

：

.Vk>Vmn

,.、2

7n2+储|14(m+n)

mnmn

，.、2

2(m+n)

—+14-

mn

^±^+14-*+九2

mnmn乙

.m2+n2

令------=t,

mn

仅2+*+]4_啜+2=E-际=、焉:由为减函数，

mn

/为2时，有最大值为2,

工瓜>2,・••攵>4,

综上，4<*<36.

・,・实数攵的取值范围为(4,36).

故选：D.

二、填空题

13.若/(x)=xW+x+l,用秦九韶算法计算了(Ji)时，需要乘法和加法的总次数为6.

【解答】解：由于函数/(x)=f+3/+x+l=(((x+3)x)x+l)x+1,

分别算出vo=l,VI=7I+3=3+TT,

v2=(3+n)K=3TT+IT2,

V3=(3n+ii2)TT+1=3II2+7I3+1,

V4=(3n24-n3+l)TU+1.

由上述可得出乘法3次，加法3次；

・•・乘法和加法的总次数6次

故答案为：6.

—TTTtT—>T—T冗

14.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,且(a+2b)(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为

【解答】解：•；(a+2h)«(a-b)=-2,：.a2+a-b-2b2=-2.：.a-b=2,

T1

・入、

・・cos<Ja，b>=--a--b-=亍1

\a\-\b\

TT71

向量a与b的夹角为？

n

故答案为：

15.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个

偶数2,4,6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻

近的7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28；再染此后最邻近的9个连续奇数29,

31,45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1,2,4,6,7,9,11,13,

15,16,则在这个红色子数列中，由1开始的第2020个数是3995.

【解答】解：设第"次染色的最后一个数字为a”，根据染色的最后一个数字，1,6,15,

28,.......,可得(2n-1),

因为前〃次染色数字的个数之和为1+3+5+…+(2n-1)=/，由/W2020W(〃+1)2,

可得"=44.

每一次染色的数组成公差为2的等差数列(除第一次外)，所以第45次染色的数字总共

有2X45-1=89个,

第2020个数是第45次染色的第2020-442=84个数，所以它为45X(2X45-1)-2

X5=3995

故答案为：3995.

16.已知a,bG.[Qj1]>则S(a,b)=1+—F(l-a)(l-Z?)的最小值为.

【解答】解：bE[O,1],

，S(小b)=击+用+(1”)(1-。)=1-(：+2(1}'

人ab(l-ab)

?—(l+a)(l+b)'X=y/ab,

而T_ab(l—ab)_ab(l—ab)ab(l-ab)_X2。-X2)_x2(1-X)

'(1+Q)(1+Z)1+a+b+abl+2\/ab+ab(1+X)21+X

令/(X)=笔/xe[O,1],

可得：f(X)=-2X(X2+91),XG[O,1],

(1+X)?

y/S—1

XG[O,工一)时，f(X)>0,

Vs—i

XE(三一，1]时，/(X)<0,

故当x=与石一工i时，/(X)取最大值sV一s-―n，

乙2

故S(a,b)=£+士+(1-a)(1-6)的最小值为1-婴1=1苧亏

13-5V5

故答案为:

2

三、解答题

17.把函数/(x)=2sinx的图象向左平移火Oqv刍个单位，得到函数)，=g(x)的图象,

函数尸gG)的图象关于直线”看对称，记函数/?(x)=f(x)-g(X).

(1)求函数y=/i(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)画出函数y=A(x)在区间[一,,刍上的大致图象.

【解答】解：⑴把函数/(x)=2siiu■的图象向左平移火0V0V今个单位,

得到函数g(x)=2sin(x+叩)的图象.

根据y—g(x)的图象关于直线x=1对称，得g+0=g+mTt(mGZ),

即0=§+根7r(巾£Z),又0V(pV与所以0则g(%)=2sin(%+9.

皿I"、一、,、力.•,4•J・工塔、

贝=/(x)•g[x)=4smx-sin{x+可)=4sinx(^smx4-cosx)

=2sin2x+2y/3sinxcosx=1—cos2x+V3sin2x=2sin(2x—看)+1,

则函数)，=/?(x)的最小正周期7=竽=兀，

令-5+2/C7TW2%—[4?+2/C7T(fcGZ),得-5+kjtWXW当+/C7T(fcGZ),

乙。4OJ

故函数产力(%)的单调增区间是[一看+而，J+fc7r](fceZ).

(2)在区间[一刍上，2%—软一普，yj

列表如下:

7157r

2尸三7n-IT710

“6~226

Xn57r717171n

~2~12~61232

h(x)21-1132

故产〃(%)在区间［一分夕上的大致图象是:

•II

UJ

二

二.--T-

LJ

I-IT-

18.为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文

明创建知识的网络问卷调查.每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加

问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40)140,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数2515020025022510050

(I)由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(臼210),口近

似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态

分布的知识求P(36VZW79.5)；

(II)在(I)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

(/)得分不低于R的可以获赠2次随机话费，得分低于n的可以获赠1次随机话费；

(/7)每次赠送的随机话费和对应的概率为

赠送的随机话费(单位：元)2040

概率31

44

现市民小王要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，

求X的分布列及数学期望.

附：V210«14.5,若X〜N(p,。2),则①「(­o<xWu+。)=0.6827；

@P(n-2o<X<n+2o)=0.9544；③？-3。<XWR+3o)=0.9973.

1

【解答】解：(1)(25X35+150X45+200X55+250X65+225X75+100X85+50

X95)=65,

VV210=14.5,

：.P(50.5<zW79.5)=0.6287,p(36VZW94)二0.9545.

.P(36<Z<94)-P(50.5<Z<79.5)……

：.p(36<ZW50.5)®—-------------=兮------------=0.1359,

综上，p(36VZ〈79.5)=p(36<ZW50.5)+p(50.5VZW79.5)心0.1359+