高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优2

高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数

运算与指数函数培优专练2

第I卷（选择题）

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一、单选题

1.己知函数/（》）=§*（04x41）,函数g（x）=（〃Ll）x（14x42）.若任意的玉

存在We[l,2],使得/（xj=g（x2）,则实数机的取值范围为（）

A.[1,—B.[2,31C.2,—D.—

（3」L1[2」[32」

2.定义在R上的函数满足〃x+l）=2〃x）+l,当xe[0,l）时，

/（x）=（2^-l）（2'-2）,若/（x）在5〃+1）上的最小值为23,则〃=

A.4B.5C.6D.7

3.设/（x）=|2，-2|,a,beR+,且标b,则下列关系式中不可能成立的是（）

A.以瓢）＞f（"）B./（名）力竽）于商）

2a+ba+b2

c./（名问（而）＞/（竽）D.f（箍）＞以”）＞以粤）

a+b2a+b2

4.已知函数/（x）=4'Z・2'+匕2T+4、若对于任意的王、12、&£卜1』，以"X）、

/（%）、/（毛）为长度的线段都可以围成三角形，则攵的取值范围为（）

11D.已，+8）

A.-,4-00B.一,+8C.—,4-00

236

f(x),f(x)„k

5.对于给定的正数3定义函数£。）=若对于函数f{x）=2匚屋/的

k,于(x)>k

定义域内的任意实数x,恒有£（x）=/（x）,则

A.k的最大值为2近B.我的最小值为2式

C.%的最大值为1D.左的最小值为1

6.已知m6,c>0且2=1°§!(-)*=log,/?,(l)c=log,c,则

3252

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

二、多选题

7.下列函数f(x)对任意的正数X1,x2,与满足f(X|+工2+*3)4/(占)+/。2)+/(王)的

有

A./(x)=4+2sinxB.f(x)=4xC./(x)=/D./(x)=ln(x+l)

8.设a>0,函数y=*'+时的图象可能是()

第II卷(非选择题)

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三、填空题

x2+4、c

-----x22

9.已知函数/(x)=,x-，若对任意的％e［2,+oo),都存在唯一的々€(T»,2),

x<2

满足/(/)=/(与)，则实数。的取值范围是.

10.设函数y=f(x)和y=/(-x),若两函数在区间［〃?,〃］上的单调性相同，则把区间

加,〃］叫做y=/(x)的“稳定区间”.已知区间［1,2019］为函数”出+«的“稳定区间”，则

实数。的取值范围是

11.已知函数/(X)=*T,gM=-x+e,/i(x)=max{/(x),g(x)},其中max{a,用表示中

“力最大的数，若〃(x)>e对xwR恒成立，则实数f的取值范围是.

12.对于函数中的任意再,为(为工々)有如下结论：

①〃%+9)=/(%>/(々)；②/(%•9)=/(4)+/(&)；

试卷第2页，共4页

③"％)T<O(x尸0)；④/(西)-./(々)>0；

X]X,-x2

⑤d空卜/叫〃々);⑥，(-%)=志

\J2J\Ai/

当〃力=(;)'时，上述结论正确的是-

四、解答题

13.设aeR,函数/(力=与士.

2-a

(1)若。=1,求证:函数y=.f(x)是奇函数；

(2)若”0,判断并证明函数y=/(x)的单调性；

(3)设awo,k<(),若存在实数相，n(，”<"),使得函数y=/(x)在区间际网上

的取值范围是已，目，求&的取值范围.

22」a

14.已知/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且

/(x)+g(x)=a，(a>O,awl).

(1)求〃x),g(x)的解析式；

(2)若4=3时，对一切log,(>/2-1),log,>使得

"-2)/(x)+mg(2x)-4机>0恒成立，求实数，”的取值范围.

15.设函数〃力=矿呼？1)(。>0,且是定义域为R的奇函数.

(1)求，的值；

(2)若/(】)>0,求使不等式/(丘-x2)+/(x-i)<。对一切XCR恒成立的实数G的取

值范围；

(3)若函数f(x)的图象过点”,|,是否存在正数〃？(〃-1),使函数

g(x)=log“,［f+a3-时(x)］在［LlogzR上的最大值为0,若存在，求出〃?的值；若

不存在，请说明理由.

16.已知函数"x)=，0?-2ax+l的定义域为R,其中〃为实数.

(I)求。的取值范围;

（II）当a=l时，是否存在实数m满足对任意办e[-1,1],都存在&eR,使得

9、，+9』+神（3*-35）-12/（王）成立？若存在，求实数机的取值范围；若不存在，请

说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.D

【分析】

问题转化为函数/(X)的值域是g(x)值域的子集，分别求出/(X)和g(x)的值域，得到关于m

的不等式组，解出即可.

【详解】

对任意的玉存在赴«1,2］,使得/(X|)=g(w),

即f(x)在［0,1］上的值域是g(x)在［1,2］上的值域的子集,

2'+m2'+1+机一1im-\

fM=----------------=1+--------

2V+12A+12A+1

当〃z<1时，•*-m—1<0,

加+1加+2

“X)在［0,1］上单调递增,・•・/(X)的值域为

~2~,3

又•.•g(x)=(ni-l)x在［1,2］上单调递减，，g(x)的值域为：［2m-2,m-l］,

/n+1"1+2

C[2/T?-2,/77-1],

2'3

三2时2

2

,方程无解

m+2.

-------<777-1

3

m+2"?+1

当机＞1时，”X)在［0』上单调递减，.•"(X)的值域为

3'2

g（元）的值域为：何-1,2加-2］,J.丝9,c［/n-1,2/?7-2］

"7+1」c八

------<2m-2

2

/驾+2.

------->m-i

3

当m=l时，/(x)=l,g(x)=0,显然不满足题意.

综上，实数〃，的取值范围为

故选：D.

【点睛】

关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数/(x)的值域是g(x)值域的子集.

2.B

【分析】

答案第1页，共17页

根据Xe[0,1]时，f(X)=(2:1)(2*-2)=2*-3.2,+2=(2*-一；，研究其最小值，再考虑当方©口，

2]、[2,3]时，相应函数的最小值，总结规律即可得到结论.

【详解】

①当xe[0,1)时，/(x)=(2、-l)(2*-2)

=22V-3,2*+2=(2*-$2一]，

,.,Q,,x<l,「.L,2v<2,

33cl

当2"=/,X=log2]时，fU),„m=--；

②当〃=I,即xe[l,2]时，有x-lw[0,1],/(x-l)=(2x-'-1)2-^

f(x)=2/(x-I)+1=2(2"告+g,

••・0M-11,1碗i2,当2T=g,x=log]3时，f=1,

3i

③当"=2,即xe[2,3],有x-2e[0,1],/(x-2)=(2x-2-^)2--,

f(,x-1)=2/(x—2)+1—2(2*——1)-+万，

fM=27(x-l)+l=4(2-一乎+2,

则2-=不，即x=log26时，f(x)取得最小值2；

同理可得当〃=3,即xe[3,4],f(x)的最小值为2x2+1=5,

当〃=4,即xe[4,5],7(x)的最小值为2x5+1=11,

当〃=5,即xe[5,6],f(x)的最小值为2x11+1=23.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的性质，考查学生分析解决问题

的能力，有一定的难度.

3.D

【分析】

由条件a,6eR+,且偿b分析出冬，而，丝的大小关系，再讨论函数Ax)的单调性即

2a+b

可逐一判断作答

【详解】

答案第2页，共17页

因9eR-,且〃b,则有甲,而且高<氏=怒〈而，于是得

2—2xx<1

函数/（幻=（…",,贝l」/（X）在（0,1］上递减，在［1,+OO）上递增，

当当21时，有/（粤）"（而）"（学）成立，A选项可能成立；

a+h2a+b

当0<W±41时，有/（当）"（掠）>/（字）成立，C选项可能成立；

2a+b2

由0<2*-2<1知l<x<log,3,即空取（1,log,3）某个数，存在

2a+h

使得人当）3（小讨（痴）成立，如图，即B选项可能成立；

空.疝I"+

a+b2

对于D,由/（而）于当）成立知，必有而>1,由于面）>f（学）成立知，必有点<1,

即出现矛盾，D选项不可能成立，

所以不可能成立的是D.

故选：D

4.C

【分析】

设/=2，+2-飞2,|,可得〃x）=*+2-2,设硝=产+h-2,由凤。>0对任意的

te2,|求得%>-1,进而可求得函数y=〃（/）在区间2,|的值域，由题意可得出关于k的

不等式，由此可解得实数A的取值范围.

【详解】

令》=2，+2-=2'+3，则2%；,2,

令〃?=2%1,2，由双勾函数的单调性可知，函数g（，"）=M7+5在区间上单调递减，

在区间（1,2］上单调递增，

答案第3页，共17页

所以,当相1,2时,g⑹=〃,+/2,|,则止2,|

产=（2*+27）2=4"+4一*+2,贝1」4，+4T=/一2,：.f^x）=t2+kt-2,

52

构造函数〃(7)=/+"—2’其中/£2,-,由〃(/)=〃+々一2>。，可得攵>：一/,

2「5一

由于函数丁=-T在区间2,-上单调递减，则%ax=T,可得4>T.

tL2」

ki

二次函数/!(£)=»+公一2的对称轴为直线

则函数人。)=产+&-2在区间2,|上单调递增,

当fe2,|时,力⑵4/7（心.|）,即2Z+2K〃⑺Kg%17

+T

由于以/(X)、/(w)、/($)为长度的线段都可以围成三角形,

所以，2(2k+2)>5,+号17，解得1

因此，实数4的取值范围是(，，+8).

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域,

属于难题.

5.B

【分析】

先根据人(x)=/(x)得到a与/(x)最值的关系，然后利用换元法求解函数“X)的值域，即

可确定左的取值范围，则上的最值可确定.

【详解】

因为£(X)=因玉,所以由定义知生J(X)max，

因为_d+x+2N0,所以xe[-l,2],则函数〃x)的定义域为11,2],

r3]

令t=y/-x2+x+2<则tw0.-，所以/(x)皿=2四，因此k..242.

故选B.

【点睛】

指数型函数/(》)=屋3值域的求解方法：利用换元法令f=g(x),求解出g(x)的值域即为f

答案第4页，共17页

的取值范围，根据指数函数y="的单调性即可求解出f（x）的值域.

6.C

【解析】

【分析】

先确定a,b,c范围，再将a,b转化为函数产2匕产分别与产“gt的图象对应交点

的横坐标，结合图象确定选项.

【点睛】

本题考查判断大小关系、指对数函数图象，考查数形结合思想解决数学问题的能力.

7.ABD

【分析】

根据四个选项中的函数证明不等式/3+々+与）4/（占）+/5）+/（天）成立或举反例说明

不成立(举反例时中让X=%=九3).

【详解】

A./(%1+x2+£)=4+2sin(斗+x2+x3)<6,

/(%)+/(%2)+/(工3)=4+2sinX]+4+2sinx24-4+2sinx3>6,A正确;

答案第5页，共17页

B.(y/x^++yfx^)2=玉+/+"+2,占马+2J%,+2J1%>芯+%+毛，

.・.Jx+/+为〈募+&+嘉,B正确；

C.X1=x?=w=1时，e*E*-=/>e+e+e,C错；

D.(%+1)(%,+1)(W+1)=X^X2Xy+XfX2+X2Xy+%,%,+x,+x,+%,+1>%,+x2+x3+1,

/.ln［(Xj+1)(*2+1)(玉+1)］=ln(X1+1)+ln(x2+l)+ln(x3+1)>In^+x2+x3+l),D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查正弦函数、幕函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质

/(%,+x2+x3)</(x,)+f(x2)+f(x3),正确的需进行证明，错误的可举一反例说明.

8.BD

【分析】

令8(力=以2+》+1,。>0,得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为x=-［,再根据

△=06<0和A>o三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.

【详解】

由题意，函数>=**-"］，令8(X)=加+3+1,。>0,

可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为x=-二<0,

2a

当△=l-4a=0时，即“=:时，可得g(x)=；d+x+l*O,

此时函数y=|g(x)|在(7,-5］单调递减，在［-(,+℃)上单调递增，且g(-2)=0

可得y=在递减，在上递增，且/<-2>=1：

J2a2a

当△=1一4〃<0时，即“时，可得g(x)>0,

此时函数y=|g(x)|在(7,-1】单调递减，在-［，+°°)上单调递增，

由复合函数的单调性，可得丫=*'+同在(7，-4］递减，在［-1，+8)上递增，且)>1,

J2a2a

此时选项B符合题意；

当当△=1一4a>0时，即0<。<；时，止匕时函数8(工)="2+x+l有两个零点，

答案第6页，共17页

不妨设另个零点分别为X”与且芭<-1<々，

此时函数y=|g（x）|在]单调递减，在[-鼠,+℃）上单调递增，

可得y=g（x）在（-°°,玉]」--^-，可递减，在[网,-[],[%,+°°）上递增，且ga）=g（x2）=o,

2a2a

则尸+训在（-*xj,[--L,3]递减，在[Xp-3MXz,+O上递增，且e"=*川=1,

2a2a

此时选项D符合题意.

综上可得，函数的图象可能是选项BD.

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幕的运算性质，二

次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题

和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.

9.0<a<4

【分析】

由题意可得函数/（X）在[2,+8）时的值域包含于函数/（X）在（-00,2）时的值域，利用

基本不等式先求出函数/（x）在xW[2,+oo）时的值域，当xG（-00,2）时，对。分情况

讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出”的取值范围.

【详解】

解：设函数8（力=可芋，xN2的值域为A,函数妆同=产4,x<2的值域为B,

因为对任意的％e[2,+oo）,都存在唯一的马e（-00,2）,满足f（W）=f（不）,

则A±B,且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.

当Xiw[2,+oo）时，g（x）=%+4=x+3,

xx

因为1+24之2I人4二=4,当且仅当工=4一，即x=2时，等号成立，

xVxx

所以A=[4,+8）,

当,W（YO,2）时,/I（X）=2M,X<2

①当a22时，〃（力=2"、x<2,此时^二修巳”），

答案第7页，共17页

:.2a~2<4.解得24a<4,

2r

②当a<2时，〃(x)=

2x~a,a<x<2

此时〃(X)在(-00,4)上是减函数，取值范围是

力⑴在&2)上是增函数，取值范围是［1,2*),

22-a<4)解得0Va<2,

综合得04a<4.

故答案为：04a<4

【点睛】

关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关

系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.

「c11

10.-2,--

_2_

【分析】

题目等价于函数y=(；)+。与函数y=,+。|在区间［12)19］上同增或者同减，分别讨论两个

函数同增或同减的情况列出不等式可求解.

【详解】

函数y=在R上单调递减，函数y=2*在R上单调递增，

若区间［1,2019］为函数y=(£|+。的“稳定区间”，

则函数丫=0+。与函数y=|2'+a|在区间［1,2019］上同增或者同减，

①若两函数在区间II，2019］上单调递增，

flY+fl<0L-W'

则(2)~在区间［12019［上恒成立，即-12),

2x+a>0a>-2'

所以-24a4-1；

2

②若两函数在区间U2019］上单调递减，

答案第8页，共17页

则入句+“2。在区间［1,2019］上恒成立，即，一⑸,不等式无解；

2x+a<0a<-22019

综上所述：«e-2,-；，

故答案为：-2，-g.

11.t<-l

【分析】

在同一坐标系中作出.f(x)和g(x)图象，h(x)的图象是由f(x)和g(x)图象中较大部分构成，

当x<0时，g(x)=-x+e>e,而当xNO时，g(x)4e,故只需/(x)>e即可，利用数形结合

即可得出结果.

【详解】

当x<0时,g(x)=-x+e>e,所以由/z(x)=max{/(x),g(x)}>e成立；

当xNO时，g(x)4e,所以只要〃x)>e即可，

如图将、=加的图象向左平移1个单位(如图①)，得到函数y=*+"的图象，此时有

若图象再向左平移(如图②)则满足>e(x>0,-/>1),所以，<一1.

、\4/抬尸片"［危尸

''、小、g(x)=-x+e\/2卜g(x)=

-x+e

.・।I.1一」一

-3-2-1(71123x-3-2-l(9l123*

①②

故答案为：r<—1

【点睛】

本题主要考查利用数形结合处理恒成立问题，属于中档题

12.①③⑤⑥

【分析】

由函数解析式代入各个结论检验.①②直接代入变形判断,③分类讨论，按士的正负分类,

答案第9页，共17页

④中々=0时，左边的式子就是③中的式子，由③可得，⑤中作差比较，⑥由负指数累的定

义可得.

【详解】

由于=

所以,/(%,+x2)=(g户伙=(g)w•(g户=/(再)/(%2),①正确；

“王•当)=《严*(》*+?)*=/(玉)+/优)，②错误；

当王>0时，/(%,)<1,当占<0时，/(%,)>1,③正确,

x\

_/(x)-/(x)f(x.)-1c

在④中若令占=0,则।八92j八”<0,④错误，

%-x2X]

因为百。无2，

一+工

/(百)+/(%)_f卢+占)1+Jp12

=-2-(-)2]

2222

,(J*1+g产一2.(；户.(；)句=；[(产一(；)如>0,⑤正确,

〃-%)=(；)』=-/-1

f(x).⑥正确,

9"t

故答案为：①③⑤⑥

【点睛】

本题考查指数函数的性质，考查基的运算法则.问题不难只是内容较多.⑤反映了指数函数

的凹凸性，说明指数函数是下凸的函数(凹下去的).

13.

(1)证明见详解；

(2)定义域上单调递增，证明见详解；

(3)(0,3-2V2)o{-l)

【分析】

(1)”=1代入解析式，根据函数式知定义域为XH0且f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数;

答案第10页，共17页

2a(2X2-2X,)

(2)利用单调性定义令判断/(%)-、的符号，即可知

一c,八，一CI)

“Xj"(X2)大小关系，从而可得结论.

(3)因为％<0,分。>0,。<0两种情况讨论函数八x)在区间[〃?，n](In<n)上的取值范

围是伙GR),进而得出结论.

(1)

21+1

。=1时，有/(x)=r—且定义域为XHO,

2'x+11+2*

f(-)=--------=--------=-/(x),

'x2-x-1]一2*

综上有：的定义域关于原点对称且f(-x)=-/(%),即f(x)为奇函数;

(2)

a<0时，有即f(x)定义域为R,结论为：Ax)在R上单调递增.

设对任意两个实数：芭<当，则

而寸⑷=上_拉=⑵+4)(2“-幻-⑵+©⑵-。)2a(2X2-2x')

1224—a2X2-a(2*_〃)(2电—a)(2—)(2通—a)

2%—2演>0,2演一。>0,2"2<0,

•••含方。,即/(%)</区)得证.

(3)

〈awO,所以a>0或〃<(),

.,・当。<0时，由(2)知/")在R上单调递增，结合题意有，

C,、k2加+1_k

/⑴)=懑

―1-7V+1k

：,得，i■,即他，〃是户=工的两个不同的实根，

2〃+1_k2X-12X

/(〃)T2n-\"F

，令—,则产+(a-Q，+成=0,(。/<0)在经0上有两个不同实根,

a-k八

-------->0

2

故”\2.八，可得Ovk—<3-2立，

{{a-k7)一4成>0a

ak>0

当a>0时，/(%)=1+在(F,log?a),(log?〃,”)上都递减，

2—。

若卜%“仁(kga,+00),有/(x)>l,贝与％<0矛盾，舍去；

若口”]±(-oo,k>g2a),有即有

答案第11页，共17页

zZ

z口

/l=

\F=

F,,mm

Z,2(2+«)=jt(2-a)

^2R，所以《

zmn

/()=r2(2"+a)=k(2-a)

x2;F=F

两式相减得(a+现2"-2*)=0,又2小<2"，故2"-2"’>0,

从而4+女=0,-=-1

K

综上所述，加取值范围(0,3-2⑹口{-1}.

l/lz1\r/X优—ClX优+〃、/C、m>5+^^或加4一1.

14.(1)/(x)=---,g(x)=---;(2)

2

【分析】

(1)用-X替换X后，根据题中奇偶性,利用奇偶性性质得到方程组，即可解得答案;

(2)代入解析式化简后换元，将问题转化成恒成立问题，通过讨论对称轴和区间的关系研

究最值解决恒成立问题.

【详解】

解：(1),.•/(x)+g(x)=ax(D,f(-x)+g(-x)=a~x,

f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,

:,-f(x)+g(x)=a~'@,由①②可知/(x)=

⑵当"领'放)=

令寸W-2),

即/(x)=：,g(2x)=^^，­.-VxG(log(V2-1),log

22)),

(m2-2)/(x)+mg(2x)-4m>0恒成立,

mt2+(w2-2)/-6，">0在rw(1,2)恒成立

令/z(r)=mt2+(m2-2)t-6m

(i)当加=0时,一2f>0(舍);

(ii)法一：当时,

答案第12页，共17页

m>0m>0m>0

m2-2-尤工2

41或<1<----------<2或,_IX4

2m2m2m

/?(l)>0//(2)>0

解得加之心匡

2

m>0

-牛解得力2出且

法二：由于人(0)=-6m<0,所以或,

2m2

/?(1)>0

(iii)当，〃<0时，｛“ewe，解得加4—1

["(2)>0

综上，“2土叵或m4-L

2

【点睛】

解决恒成立问题的常用方法：

①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系;

③构造函数法：转化成函数最值(含参数)的范围.

15.(1)t=2,(2)-3<jt<l,(3)不存在，理由见解析

【分析】

(1)结合函数奇偶性，利用/(0)=0可求；

(2)根据/⑴>0可得结合奇偶性和单调性把所求解的不等式转化为二次不等式，

然后进行求解；

(3)根据函数图象过点可得a=2,利用换元法进行求解.

【详解】

Q)•.・“X)是定义域为R的奇函数，

.•./(o)=o,

：.t=2；经检验知符合题意.

(2)由⑴得〃x)=—

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得a——>0,又〃>0

・・,/(X)为奇函数，

.-./(Ax-x2)</(l-x),

Qa>1,.•J(x)="—Q为R上的增函数，

:.kx-^<l-x对一切xeR恒成立，即x2-(A+l)x+l>0对一切xeR恒成立,

故△=(%+1『-4<0解得

：.a-2,假设存在正数修，且加H1符合题意，

由a=2得

g(x)=log,”[22'+23-M2*-2-')],

设r=2,-2T则(2*-2T『-利(2'-2-*)+2=/_制+2,

-.-xe[l,log23],

38~

tG—,记/z(f)=/+2,

•/函数g(X)在[l,log23]上的最大值为0,

「38-

...⑴若0＜帆＜1时，则函数力。)=/-社+2在有最小值为1,

由于对称轴/=，

22

,/、17313丁人由*

•••/%,1)=■彳=7_彳川=1=＞机="，不合题意.

J4Zo

5)若心1时，则函数咐)=产-加+2＞0在上恒成立，且最大值为1,最小值大于

0,

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673

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