江苏省灌云某中学2021-2022学年高二12月阶段考试 数学

灌云中学高二阶段性测试数学试卷

满分：150分时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的•

1.数列一1,3,—5,7,—9,L,的一个通项公式为（）

n+l

A=2/7-1B.a“=(T)P-2")ca“=(T)"(2〃-l)Da„=(-l)(2n-l)

2.平行直线/i：3x-4y+6=0与/2：6x-8y+9=0之间的距离为()

3A3

A.5B.10C.3D.2

3.己知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是()

A(x+2)2+(y-l)2=lB(x+2)2+(y-l)2=4

C(x-2)2+(y+l)2=l口,(x-2)2+(y+l)2=4

---^-=1

4.“方程〃7Tm+2表示双曲线”的一个必要不充分条件为()

A/ne(-oo,-1)U(1,+oo)gme.(-co,-2)

Qme(-oo,-2)U(1,+oo)口e(1,4-co)

lim/(l+Ax)-/(l)=

5.己知函数/（x）=e-',则-2Ar)

A.eB.-eC.e2D.—e2

6.已知椭圆C亭N的右焦点为2为椭圆CL动点，定点42,4）,则依-g

的最小值为（）

A.1B.-1c.yfnD.-Vn

7.设函数/（X）在R上可导，其导函数为/'（X）,且函数y=（l-x）/'（x）

的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A.函数/（X）有极大值”2）和极小值/⑴

B.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值/⑴

C.函数f（X）有极大值八2）和极小值/（-2）

D.函数/（力有极大值〃一2）和极小值八2）

8.已知抛物线/=2℃（p>0）的焦点为凡点用（为，20）为抛物线上一点.以用为圆心

1

HB

的圆经过原点0,且与抛物线的准线相切，切点为H.线段HF交抛物线于点B,则^

（）

1旦妪

A.2B.2C.3D.娓

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项是符合要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.以下四个命题表述正确的有（）

A.经过点（1,1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y—2=0

B.直线（3+加x+y—3—m=0（m£R）与圆/+9=4一定相交

C.圆，+夕=4上存在2个点到直线/：“一>+应=°的距离都等于3

D.曲线C”/+）?=4与曲线C2：，+y2—6x—8y+〃?=0恰有三条公切线，则优=16

10.等差数列｛〃”｝的公差d#0,前〃项和为S”若S7=s⑵则下列结论中正确的是（）

A.4=9"B.519=0

C.|〃6|V|〃15|D.当d>0时，ae+ai5>0

—=1（6Z>0>/?>0）

11.过M（1,1）作斜率为2的直线与双曲线〃〜b相交于A、8两点，

若〃是45的中点，则下列表述正确的是（）

A.h<aB.离心率e=G

C.b>aD.渐近线方程为y=±2x

12.若过点P（a,0）可以作曲线>>=xc''的切线有且仅有两条，则实数。的值可以是（）

A.2B.-2

C.-4D.-6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知x=2是/。）=丁-3"+2的极小值点，那么函数/（X）的极大值为.

14.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式,

所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成

等差数列，如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4

为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后

一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,

则该数列的第20项为.

2

15.数列的通项公式为近=3",记数列｛的｝的前n项和为S,,,若三〃GN*使得

氐+小.3〃-6

121成立，则实数%的取值范围是.

16.已知"("'4)是抛物线C：*=2py(p>0)上一点，且位于第一象限，点用到抛物线c

的焦点F的距离为6,则用；若过点，卜"‘可向抛物线C作两条切线，切点分

别为A、B,则网忸1=.

3

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知直线4：奴+y+2=0(asR).

(1)若直线乙在x轴上的截距为一2,求实数”的值；

(2)若直线《与直线八2彳-'+1=°平行，求两平行直线乙与“之间的距离.

18.(本小题满分12分)

S=—a2+—a

设S是正项数列｛④｝的前〃项和，且"4"2"4.

(1)求41的值；

(2)求数列｛“”｝的通项公式.

19.(本小题满分12分)

已知点“5°),Ml，3),圆c：/+)'』，直线/过点M

(1)若直线/与圆C相切，求直线/的方程：

(2)若直线/与圆C交于不同的两点A,B,设直线MA,M3的斜率分别为由，k2,

证明：心+依为定值.

4

20.（本小题满分12分）

X2+y2=1

设椭圆c：2•一的焦点为F,过尸的直线/与C交于4、8两点，点M的坐标为（2，°）.

（1）当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

21.（本小题满分12分）

一根长为L的铁棒48欲水平通过如图所示的走廊（假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁,

如图），该走廊由宽度为1m的平行部分和一个半径为2m的四分之一圆弧转角部分（弧

CQ段，圆心为。）组成.

（1）设/TOS=。，试将L表示为。的函数；

（2）求心的最小值，并说明此最小值的实际意义.

22.（本小题满分12分）

已知函数A"）='"n（x+1）-sinx

兀71

（1）若y=/（x）在可上单调递减，求。的取值范围；

停，+8）

（2）证明：当4=1时，/（X）在\21上有且仅有一个零点.

5

灌云中学高二阶段性测试数学试卷参考答案

满分：150分时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的•

1.数列一1,3,—5,7,—9,L,的•一个通项公式为（）C

+|

A=2/7-1B.a“=(T)P-2")ca“=(T)"(2〃-l)Da„=(-1)"(2»-1)

2.平行直线A：3x-4y+6=0与/2：6x—8y+9=0之间的距离为()B

3A3

A.5B.10C.3D.2

3.己知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是()B

22

A(x+2)+(y-l)=lB(x+2)2+(y-l)2=4

C(x-2)2+(y+l)2=l口,(x-2)2+(y+l)2=4

---^-=1

4.“方程〃7Tm+2表示双曲线”的一个必要不充分条件为()A

A/ne(-oo,-1)U(1,+oo)gme.(-co,-2)

Qme(-oo,-2)U(1,+oo)口〃2£(l,+8)

则妈&嗤殁=（

5.己知函数/（x）=e-',)D

A.eB.-eC.e2D.—e2

2v2

6.已知椭圆的右焦点为2为椭圆CL动点，定点42,4）,则依-g

的最小值为（）A

A.1B.-1c.yfnD.-Vn

7.设函数/（X）在R上可导，其导函数为r（x）,且函数y=（l-x）/'（x）

的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）D

A.函数/（X）有极大值”2）和极小值/⑴

B.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值/⑴

C.函数f（X）有极大值八2）和极小值/（-2）

D.函数/（力有极大值〃一2）和极小值八2）

8.已知抛物线/=2℃（p>0）的焦点为凡点用（为，20）为抛物线上一点.以用为圆心

6

HB

的圆经过原点0,且与抛物线的准线相切，切点为H.线段HF交抛物线于点B,则^

（）B

1旦妪

A.2B.2C.3D.娓

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项是符合要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.以下四个命题表述正确的有（）BD

A.经过点（1,1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y—2=0

B.直线（3+机）x+y—3—，"=0（%GR）与圆/+）?=4一定相交

C.圆7+）2=4上存在2个点到直线/：x7+0=°的距离都等于3

D.曲线C”7+f=4与曲线C2：，+y2-6x-8），+〃?=0恰有三条公切线，则，"=16

10.等差数列｛念｝的公差dWO,前〃项和为S",若S7=Si2,则下列结论中正确的是（）

BCD

A.a'=9dB.Si9=0

C.I。61Vlai5|D.当d>0时，ae+ai5>0

----^-r-=1（6Z>0,/?>0）

11.过M（1,1）作斜率为2的直线与双曲线。〜力相交于A、B两点，

若M是48的中点，则下列表述正确的是（）BC

A.b<aB.离心率e=6

C.b>aD.渐近线方程为y=±2r

12.若过点0）可以作曲线的切线有且仅有两条，则实数〃的值可以是（）

AD

A.2B.-2

C.—4D.-6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知》=2是f（x）=/-3ar+2的极小值点，那么函数的极大值为.18

14.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式,

所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成

等差数列，如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4

为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后

一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,

则该数列的第20项为.193

7

15.数列的通项公式为近=3",记数列｛的｝的前n项和为S,,,若三〃GN*使得

卜“+弓)%..3〃-6-曰,+8)

121成立，则实数&的取值范围是.L3)

16.已知M("'4)是抛物线C：x2=2p)，(p>0)上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C

的焦点厂的距离为6,则斫__；若过点网36'勺向抛物线C作两条切线，切点分

别为A、B,则网忸|=,4夜49

8

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知直线4：奴+y+2=0(asR).

(1)若直线乙在x轴上的截距为一2,求实数”的值；

(2)若直线《与直线小2彳->+1=°平行，求两平行直线乙与“之间的距离.

_2=_2

解：(1)若直线口奴+丫+2=°,令y=o,求得人在*轴上的截距为。一，所以实数

。=1.

(2)若直线灯ax+y+2=0与直线《：2x-y+l=0平行，

fl_1,2

则2--1T,求得。=一2,故4：-2x+y+2=0,即2x-y-2=0,

|1+2|375

则两平行直线4与4之间的距离为5.

18.(本小题满分12分)

2

S=la+la-1

设S”是正项数列｛“”｝的前“项和，且"4"2"4.

(1)求m的值；

(2)求数列｛而｝的通项公式.

解：(1)当〃=1时，由条件可得由=S1=-解出41=3.

(2)又45"=。"~+2""一3①，可得4s“—1=W-1+2”"-3(〃22)②，

①一②4〃"=〃"2一磋_1+2an—2an-i,即W-a£i-2(an+an_x)=0,

所以：—Cln—1—2)=0,

因为I:••Cln—1=2(〃22),

所以：数列｛。〃｝是以3为首项，2为公差之等差数列，

所以：。〃=3+2(〃-1)=2〃+1.

19.(本小题满分12分)

已知点M(L0),N(L3),圆c：/+广=1,直线/过点N.

(1)若直线/与圆C相切，求直线/的方程；

(2)若直线/与圆C交于不同的两点A,B,设直线MA,MB的斜率分别为Ai，k2,

证明：h+后为定值.

解：(1)若直线/的斜率不存在，则/的方程为x=l,此时直线/与圆C相切，故x=l符合

条件；

若直线/的斜率存在，设斜率为3其方程为)，=以了-1)+3,即依-y-Z+3=0,

9

由直线/与圆C相切，圆心(°，°)到/的距离为1,则1；一+31=],解得左=弓，

4

所以直线/的方程为y=g(x—1)+3,即4x—3y+5=0,

综上所述，直线/的方程为％=1或4x—3y+5=。；

(2)证明：由(1)可知，/与圆C有两个交点时，斜率存在，此时设/的方程为

kx-y-k+3=0,

「fcr-y+3=0,,、,

联立22,,消去y可得(1+/)/-(2公-6幻x+〃-6k+8=0,

[x+y=1

PIU=(2k2-6k)2-4(1+k2)(k2-6^+8)=24fc-32>0,解得,

3

.।2.k~~6kk2-6k+8

设A(X1,%),B(X,y),贝n!|x,+々=—^~~—x,x=---；-----(*)

22K+112-k2+l

所以

k、+k,=-A_+-2L-="a7+3+“但-3)=2k+3+3=2k+3()+--2)

〜X,-1&-1X,-1x2-1X)-1x2-1^]X>-(%14-X2)+l

8

将(*)代入上式整理得k,+k2=2k+-^—=-|,故勺+k2为定值-|.

20.设椭圆C：亍■=的焦点为F,过尸的直线/与C交于A、B两点，点M的坐标为(2，°).

(1)当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

解：(1)由已知得尸(L°),/的方程为％=1.由已知可得，点A的坐标为或

y=_qX+6产事-0

所以AM的方程为2或2.

(2)当/与x轴重合时，/OM4=NOMB=0.

当/与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以N0MA=N0M8.

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y="(x-D,4百，%),8(々，%),

则为<也％2<0,直线M4、MB的斜率之和为镰X,-2+A-2_

_23工2一3攵(%-/2)+4攵

由y=伙玉—1),必=&(/T)得"八+(^-2)(%2-2).

将—1)代入下+y=1得(2k-+1*-4人+2公-2=0

10

4后22甘一2

X,+X2=,X|X2=

所以,2P7T2k2+\

4A3—4A—1243+843+44

则2fct%-32(%,+%)+4化==0.

i2公+1

从而故AM、M8的倾斜角互补，所以N0M4=/0MB.

综上，NOMA=NOMB.

11

21.（本小题满分12分）

一根长为L的铁棒AB欲水平通过如图所示的走廊（假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁,

如图），该走廊由宽度为1m的平行部分和一个半径为2m的四分之一圆弧转角部分（弧

C。段，圆心为。）组成.

（1）设/70S=e,试将L表示为