高一数学寒假作业

第一章集合

一、基础知识：

1、一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的

全体构成的(或)。构成集合的每个对象叫做这个集合的(或—)0

2、若a是集合的A的元素，就说，记作；若。不是集合的A的元

素，就说，记作

3、把叫做空集，记作

4、集合元素的特征：(1)(2)(3)

5、根据集合含有元素的个数，可分为两类：(1)(2)

6、常用数集符号：自然数集；正整数集；整数集；有理数

集;实数集;第2课时集合的表示方法

7、由1,3,5,7,10构成的集合，可以表示为,这种表示集合的方法叫做

法。

8、a与他}的区别是：_____________________________

9、集合A形式为时，用的表示方法为法，它表示集合A是由—

中具有性质所有元素构成的。

10、一般地，如果，那么集合A叫做集合B的子

集，记做

11、一般地，如果，那么集合A叫做集合B的真

子集，记做。

12、一般地，如果,那么集合A等于集合B,记

做-

13、一般地，对于两个给定的集合A、B,由构成

的集合，叫做A、B的交集，记做,读做。

14、一般地，对于两个给定的集合A、B,由构成

的集合，叫做A、B的并集，记做,读做。

15、如果给定集合A是全集U的一个子集，由构成

的集合，叫做A在U中的的补集，记做,读做。

二、练习题

1.已知集合A={-1,1},B={x|〃n:=l},且A73=A,则机的值为

()

A.1B.—1C.1或一1D.1或一1或0

2.设集合M=*|-l<xv2},N={j]x-k<0},若MN=M,则k的取值范围

()

(A)(―1,2)(B)[2,+oo)(C)(2,+oo)(D)[—1,2]

3.如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分

所表示的集合是(

A、(MP)SB、(MP)S

C、(MP)C“SD、(MP)CUS

4.设A=卜1212—px+夕=o},3=口6工2+(p+2)x+5+q=()},若Ad3=

则AU3=()*

5.设集合尸={m|—l<m<O},Q={mwH|mf+4mx—4<0对任意实数x恒成

立},则下列关系中成立的是

A、PuQB、QuPC>P=QD、PcQ=«I>

6、符合条件{a}uP={a,b,c}的集合P的个数有()

A,2B、3C、4D、5

7.设若C,A={—1},贝Ua=。

8.8.知士今一-二厂-।二।那二工二二B=

9.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做

的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有人.

10.已知集合人={乂34丫47},B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集R.

(1)求AUB,(CRA)CB；(2)如果ACCW4),求a的取值范围。

11.已知方程V+px+qn。的两个不相等实根为名尸。集合A={a,月},

B=[2,4,5,6},C={1,2,3,4},ADC=A,AAB=。，求的值？

答案

(1)——(5)DBCDA(6)B

(7)2(8){(1,1),(2,4)}(9)25

(10)解：(l)VA={x|3<x<7}>B={x|2<x<10},.1,AUB={x|2<x<10};

(2)；A={x|34x<7},...CRAEXIx<3或x27}

(GA)nB={x|x<3或x》7}Dft|2<x<10}={x|2<x<3或7Wx<10}

(3)如图，|-----

3a7x

.•.当a>3时，ADCH6

(11).解：由八(~^=八知八三(3。又4={。,，},则aeC,0wC.而ACB=。，

故尸e8。显然即属于C又不属于B的元素只有1和3.不仿设a=l,

夕=3.对于方程F+px+quO的两根名£应用韦达定理可得〃=T,q=3.

函数的概念

一、基础知识：:

1、函数的定义：设集合A是一个,对A中的任意实数x,按照,

都有与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数，记做,

其中_叫做自变量，叫做这个函数的定义域，

如果自变量取值a,则称为函数在a处的函数值，记做.

_____________________________________叫做这个函数的值域.

2、函数的两个要素是

3、满足的全体实数x的集合,叫做闭区间,记做

满足的全体实数x的集合,叫做开区间，记做

满足的全体实数x的集合,叫做半开半闭区间,记做

分别满足xNa,x>a,x<a,xVa的全体实数x的集合，分别记做

4、函数的表示方法有

5、在函数的定义域内，对于自变量x的,有着不同的

这样的函数叫做分段函数。

二、练习

1、已知函数/(x)=」一,则/1/(切的定义域为()

X+1

A、{x|xw—2}B、[x\x^—l}C、{x|xw—IJLxw-2}D、{X|xw—1}

2、函数f(x)=x?-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为()

A、{-1,0,3}B、{0,1,2,3}C、[-1,3]D、[0,3]

3、函数小)=捻弓，则黑=

3

A.1B.-1C.一

55

4、在给定的映射f：(x,y)f(2x+y,xy)(x,yeR)的条件下的原象是

66

x-1(x>0)

5、已知/1(无)=<0(x=O)贝,"(；)]等于()

x+1(x<0)

A.-B、-工33

C>-D.--

2222

6、已知正方形的周长为X,它的外接圆半径为y,则关于的解析式是()

V2C旦D,

A、y=­XB、y=—X

24816

7、已知f(x-2)=3x-5,则f(x)=o

4-1X<0

8、已知/1(无)=荀3)=10，则”

-2xx>0---------

9、如果函娜A->B,其中A={-3,-2,-1,1,234},4,B分别为定义域和值

域，对任勤eA,在6中和它对应的元素为a|,则8中的元素个数为

10.函数在闭区间［-1,2］上的图象如右图所示,

则求此函数的解析式.

11.某人开汽车以60k〃//i的速度从A地到150bn远处的8地，在8地停留16

后，再以50加?/〃的速度返回A地，把汽车离开A地的路程x(Arn)表示为时间

r(/i)(从A地出发是开始)的函数，并画出函数的图象；再把车速丫切?/〃表示

为时间《力)的函数，并画出函数的图象.

练习题答案：

AABBCC7、3x+l

0。迅1懿0<8。2、5

-18、-39、4

画光干柳flJ2»甘<3、5V=F02、5人3、5

150-^0?-3百046、50<环手23、5〈fW6、5

函数的基本性质

一、基本知识

1单调函数的定义：一般的设函数y=/(x)的定义域为A,区间MQA,

2如果取区间M中的任意两个值Xi,%，改变量Ar=，当Ay=时,

就称函数y=/(X)在区间M上是增函数，

当Ay=时，就称函数y=/(x)在区间M上是减函数。如果函数y=f(x)

在区间M上是就说函数y=f(x)

在区间M上具有单调性(区间M称为).

3偶函数的定义：

如果函数y=/(x)的定义域对于内的,都有,那么称函数y=/(%)

是偶函数.

4奇函数的定义：

如果对于函数y=/(x)的定义域内的,都有,那么称函数

y=/(x)是奇函数.

5函数y=/(x)是,我们就说函数y=/(x)具有奇偶性；

根据奇偶性可将函数分为四类：_________________________________________

奇函数的图像关于对称，偶函数的图像关于对称；

奇、偶函数的定义域关于对称.

二、练习

1、若函数/(x)在区间(a,b)上为增函数，在区间(b,c)上也是增函数，则函数/(尤)

在区间(a,c)±()

(A)必是增函数(B)必是减函数

(C)是增函数或是减函数(D)无法确定增减性

2、函数/(%)的定义域为①/),且对其内任意实数均有：

(%—%2)[/(百)—/(±)]<0，则/(x)在(。/)上是()

(A)增函数(B)减函数

(C)奇函数(D)偶函数

3、若函数/(x)(/(x)NO)为奇函数，则必有()

(A)/(x)./(-x)>0(B)

(C)/(x)</(-x)(D)f(x)>f(-x)

4、设偶函数/(x)的定义域为R,当xw[0,+8)时/(x)是增函数，则/(一2),/(万),/(—3)

的大小关系是()

(A)/(^-)>/(-3)>/(-2)(B)/U)>/(-2)>/(-3)

(C)/(^-)</(-3)</(-2)(D)/(^)</(-2)</(-3)

5、函数/(x)是定义在(—3,3)上的奇函数，当0<x<3时，/(x)得图像如图所示，那

么不等式/(%)<0的解集是()

(A)(1,3)U(-1,0)(B)(-1,0)U(0,1)

(0(1,3)U(-3,-l)(D)(-3,-1)U(0,1)

6、函数/(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)=-f(x),则的值为()

A.-1B.0C.1D.2

7、已知/(》)=/+口丁+法—8且/(_2)=10,那么/(2)=.

8、已知/(x)为偶函数，-14x<0时，/(x)=x+l,那么当0<x41时，

/(幻=__________-

9、若函数/。)=伏-2)/+/一1)》+3是偶函数，则/(x)的递减区间为

10、将函数y=—3——6x+l配方，确定其对称轴和顶点坐标

(1)求出它的单调区间

(2)求在[-3,0]上的最大、最小值

11、定义在(-1,1)上的奇函数/(x)是减函数且/(I一。)+/(1-42)<0,求实数。

的取值围.

答案

1.D2.B3.B4.A5.D6.B

7.-268.-x+19.[0,+oo)

10.y=-3(X+1)2+4

对称轴x=-l,顶点坐标(―1,4)单调增区间(—8,—1],单调减区间[—1,+8)

最大值4,最小值-8

一1<1一。<1

11.•••/(x)在(-1,1)上为奇函数且为减函数，则a€(o,l)

l-a>a2-1

一次函数与二次函数

基础知识：

1.叫做一次函数，其定义域是值域是

，单调性是奇偶性是,

图像是，与坐标轴的交点是.

2.二次函数的解析式有(_般式),(顶

点式),(交点式)，其定义域是，值域是

，单调性是,

奇偶性是，图像是.

3.研究二次函数的主要方法是，求函数解析式的常

用方法有.

—.攻固练习：

1.一次函数y=(m—2)x+n?—3m—2,它的图像在y轴上的截距为一4,则实数

m的值是()

A.2或1B.2C.1D.-2或1

2.函数y=kx+l?—k过点(0,2),且是减函数，则k=()

A.-2B.-1C.-1,2D.1,-2

2

3.已知A(x”3)和B(x2,3)是二次函数f(x)=ax+bx+5上的两点

(xiWx2),则f(x|+x2)=()

A.-----1~5B.5C.3D.2

4a

4.函数y=x2—3x—4的定义域为[0,m],值域为[--，-4],则m的取值

4

范围是()

333

A.(0,4]B.[—,4]C.[—,3]D.[—,+oo)

222

5.若抛物线y=x2—6x+c的顶点在x轴上，则c的值为()

A.9B.19C.3D.0

6.函数f(x)=2x2—mx+3,当x£[—2,+°°)时是增函数,当x£(—8,—2]

时是减函数，则f(1)=()

A.-3B.13C.7D.由m而定的其他常数

7.函数y=3x+12的图像不经过象限，若|y|V6,则x的取值范围

8.函数y=7-2X2+12X-18的定义域为.

9.若函数y=x?+(a+2)x+3,xw［a,b］的图像关于直线x=1对称，则b为

10.若二次函数/(%)=以2+区的图像与x轴有两个不同的交点A(%,0)、

26

3(9,0)，且为2+々2=—,试问该二次函数的图像由〃力=一3(冗一1)9-的图像向

9

上平移几个单位得到？

11.已知函数/(x)=4f-4ar+a2-2a+2在区间［0,2］上的最小值为3,求〃的值.

【答案】

基础知识：

1.函数y=kx+b(kWO)；R；R；k>0时是增函数，kVO时是减函数；b=0

时是奇函数,b#0时是非奇非偶函数；一条直线；(-2,0),(0,b).

K

b4QC—~

2.y=ax2+bx+c(a0)；y=a(x+——)2+------(aW0)；y=a(x—x］)

2a4a

4ac~~b~4-uc~b~

(x—X2)(aW0)；R；a>0时［-----------,+°°),a<0H'1(-°°,------------］；a>0时在

4。4。

(—8,----)上单调递减，在(-----，+00)上单调递增，a<0时在(-8,-----)

2。2a2a

b

上单调递增，在(----,+8)上单调递减；b=0时是偶函数，bW0时是非奇非偶

2a

b4-cic—b2b

函数；一条抛物线，顶点(-=,),对称轴是直线x=-=.

2a4a2a

3,配方法；配凑法，换元法，待定系数法.

二.巩固练习：

1.C2.B3.C4.B5.A6.B7.第四，一6VxV-28.R9.6

10.解：由题意可设所求二次函数的解析式为/(8)=-3(8-1)2+左，展开得

3.k

卫攵*-3+,"+寸2,玷=亍'

.・.X；+/2=(玉+々)2—2玉%2=卷，即4一^^—―=-^,解得攵=：.

所以，该二次函数的图像是由/(*)=-3(》-1)2的图像向上平移方单位得到的，它

45

的解析式是/(x)=-3(x—iy9+§,即/(X)=-3X2+6X-1.

11.解：函数“X)的表达式可化为/(力=41司+(2—2a).

①当即时，/(x)有最小值2—2a,依题意应有2-2。=3,解得

a=-1,这个值与04aW4相矛盾.②当@<0,即。<0时:/(O)=/一2。+2是

最小值，依题意应有"一2。+2=3,解得。=1士夜，又；。<0,，a=l-0为所

求.③当£>2,即。>4时，/(2)=16-&z+d-2+：是最小值，依题意应有

16-8a+〃_2a+2=3,解得a=5±而，又：a〉4,.•.a=5+布为所求.

综上所述，a=1—后或a=5+J15.

指数与指数函数

一.基础知识：

1.根式的性质：⑴；⑵.

2.指数运算法则⑴⑵⑶.

3.叫做指数函数，其定义域是,值域是

，单调性是.图像的特征

二.巩固练习:

_______3

1.化简[正5）2]”的结果为（

)

A.5B.V5C.—A/5D.—5

2.下列命题中，正确命题的个数为（)

_________4___________

①-a②若则(/—〃+i)③④g=0(_5)2

A.0B.1C.2D.3

3x.-3JT

3.若磨=6—1,则「——［等于()

ax+a'

A.2V2—1B.2—2V2C.2V2+1D.V2+1

,则函数丁='+&的图象一定在（

4.若a>1,-1<£><0)

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限

5.下列函数中，值域是（0,+8）的共有（）

y=（g）x③）'=（一（；），£

①y=yj3x—1②④y=3；

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.在下列图象中，二次函数尸af+H与指数函数》=（与的图象只可能是

a

)

8.函数产人优-1的定义域是(-8,0],则。的取值范围是.

9.已知集合M={X|2M+*K(L『-2,xCR},则函数y=2*的值域是

X-\X+1X-X^

10.化简:~T1T-T-

X3+/+1/+1-1

12

11.设0WxW2,求函数-。・2'+£+1的最大值和最小值.

2

【答案】

一.基础知识：卜，当n为奇数时

1.(1)(布)"=a(n>1且nWN+)⑵厢=1

当n为偶数时

2.⑴。%夕=。。+夕⑵3。)夕=。必(3)(“份a=a"a"

3.一般地，函数y=/(〃>O,〃Wl,x£R)；R；(0,+°°)；〃>1时是增函数,

0<«<1时是减函数；函数图像在x轴上方且都通过点(0,1).

二.巩固练习：

In1

1.B2.B3.A4.A5.A6.A7.a6b68.0<«<l9.[一,2]

16

\_2i_」1J

10.解：原式=户_]+/_/+]_/(产+1)=-x^

11.解：设2、=f,：0WxW2,原式化为：产;(f-a)2+1

2o2

w,4Q3a

当aWl时，ymin=—+=万一4。+9；

5aL

当1V。W—时,ymin=l»>max=—一4。+9；

5a23

当5V〃V4时'ymin=l'ymax=-----〃+彳

乙乙乙

々2〃23

+

当a》4时，y^~~4a+9,ymM

对数与对数函数

基础知识：

1.对数的性质：⑴⑵⑶.

对数恒等式是.

2.对数运算法则⑴⑵⑶.

3.换底公式.

4.叫做对数函数，其定义域是,值域

是,单调性是，图像特征是

5.指数函数与对数函数的关系是，其图像特征

二.巩固练习：

1

-若^[log1(log2x)]=log3[logI(log3y)]=log5[log1(log5z)]=0,则x、y、z的

235

大小关系是()

A.z<x<yB.x<y<zC.y<z<xD.z<y<x

2.已知21g(x—2y)=lgx+lgy,则♦的值为)

y

A.1B.4C.1或4D.4或一1

3.函数产Jlog1(2x—1)的定义域为)

A.(；，+°°)1

B.L1,+°°)C.(y,1]D.(—8,I)

4.如图，曲线是对数函数y=log“x的图象，已知白的取值石,土之,」-,则相应于

3510

曲线6，。2，。3,

73^1

A.’3'5'10D.3'"'10'5

3

5.方程§x+log).

A.(3,4)B.(4,5)C.(5,6)D.(6,7)

6.已知函数/(x)=log“(x—6的图象过点(4,0),而且其反函数y=/T(x)的图

象过点(1,7),则/(x)是()

A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数

7.设。＞0且arl,则函数丁=优和y=(▲)'的图象关于

对称；函数

a

y=log“xVy=logix的图象关于.

.对称；函数y=优和y=logrtx的

图象关于对称.

8.计算：Iog2,s6.25+1g——FinVe+21+,OS23=__________________________

100

9.函数y=(log,x)2—log]X2+5在2WxW4时的值域为.

44

io.已知函数兀':尸怆[®:—i)f+(a+i)x+1],若的定义域为R,求实数”的取值范围.

11.已知函数/(x)=log“(a—/)且”>1,(1)求函数的定义域和值域；

(2)讨论_/U)在其定义域上的单调性；(3)证明函数图象关于产x对称.

【答案】

基础知识：

1.⑴0和负数没有对数，即N>0；(2)logal=0；(3)logd=1；a'w-N=N

M

s

2.(l)k>ga(MN)=logaM+logalU2)loga(R-)=logaM—k)gar'H3)logiMa=aloguM

logN

3.log/,N=——--4.一般地，函数y=log“x(a>0且aWl,x>0)；(0,+°0)；

log“匕

R；4>1时是增函数，0<。<1时是减函数；图像都在y轴右侧,都过(1,0).

5.互为反函数，关于直线y=x对称.

二.巩固练习：

1325

1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.y轴，x轴，y=x8.—9.—<y<8

24

10.解：依题意(42—1)»+(4+1)欠+1>0对一切xGR恒成立.当1H0时，其充要条

«2-1>05

件是:解得a<—1或a>—又a=-1,*x)=0满足

△=(a+l)2—4(/一1)<03

题意，a=\,不合题意.

11.解析：(1)定义域为(-8,1),值域为(一8,1)

(2)设1>X2>X|'：a>\,：.aX1>ax',于是4一优2<4—4为则1。&,(。一4，卢)〈

log„(t7-ax,)即/2)<五两)；.於)在定义域(一8,1)上是减函数

(3)证明：令产10氏(“一/)(x<l),则〃一/=",x=log“(a—a")

(x)=1og“(a—，)(x<l)故/(x)的反函数是其自身，

得函数/(x)=log“(a-a*)(x<l)图象关于尸x对称.

空间几何体特征与三视图

基础知识：

1、棱柱：两个互相平行，其余每两个相邻的平行.

2、棱锥：有一个是多边形，其余各都是有一个的,

3、棱台：被的平面所截，上底面与下底面之间的部分.

4、球：集合，

大圆：.

小圆：.

基础知识答案：

1、底面侧面交线

2、底面侧面公共顶点三角形

3、棱锥平行于底面

4、空间中到一个定点距离等于定长的点的

球面被经过球心的平面截得的圆.

球面被不经过球心的平面截得的圆.

一、选择题

1.过正三棱柱底面一边的截面是()

A.三角形B.三角形或梯形

C.不是梯形的四边形D.梯形

2.｛正棱用C｛长方帽=()

A.｛正棱根B.｛长方体｝C.｛正方体)D.不确定

3.地球上A,B两点都在北纬450圈上，A,B的球面距离为乙A,A在东经30°线上，则A,B

3

两点间的纬度圈上的圆弧长度为()

A.正成B.---TIRC.---7tRD.兀R

42

4.正四棱台的上、下底面边长为2和6,高为2,则侧棱长为（）

A.3B.2C.26D.V5

5.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥

的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）

A.B.C.D.

6.下列几种说法正确的个数是（）

①相等的角在直观图中对应的角仍然相等

②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等

③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行

④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

7.如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长

为5米的椭圆，则这个广告气球直径是米.

8.(1)三棱锥(2)四棱锥(3)五棱锥(4)六棱锥

若正三棱锥底面边长与侧棱长相等，则该正棱锥可以是以上哪几种。

9.直观图，如图，四边形O'A'B'C为菱形且边长为2金，则在xoy坐标中四边形/腼

为,面积为cm.

三、解答题：

10.有四个半径为1的小球，桌面上放三个球且两两相切，第四个小球放在三个小球的上

面，求此小球的最高点到桌面的距离。

答案：LB2A.3.B4.C.5.B6.B

5/?

7.-8.(1),(2),(3)9.矩形，8

2

10.四个小球球心连线构成一个棱长为2的正四面体，则最高点到桌面的距离为

/7

正四面体的高加小球直径，所以距离为2工+2。

3

空间几何体的表面积和体积

基础知识：

1、直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积，即.

正棱锥侧面积等于它的底面周长与斜高乘积的一半，即.

正棱台侧面积________________

球的表面积___________________

2.%=〜柱=

%锥=

唳I台=__________

腺二—

基础知识答案:

s侧=不劭

1,.

S侧=2（。+cM

S球=4旅之

2.监=S%崛柱=kh,

1

%=；S〃，V圆锥_兀/卜

__TITfl,

3

V台='〃（S+而＞+Sj,唳台+厂厂+厂2）,

3

43

%=］冰3

一、选择题

1.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（）

A.B.1C.2D.3

2.直三棱柱ABC—A'B'C'各侧棱和底面边长均为a,点D是CC'上任意一点，连结

A'B,BD,A'D,AD,则三棱锥A—A'BD的体积（）

A.q3B.先

c.4D.

23

A

12

3.棱长为1的正四面体的体积为（)

,V2V2

A.---RD.----C叵

4126。・辛

4.在正方体的八个顶点中,有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与此正四

面体的表面积的比值为（)

A.72B.V3c显

2

5.轴截面为正方形的圆柱侧面积为S,那么圆柱的体积为（)

SSC.-VsD.-4s

B

471-17144

6.正四棱柱底面积为P,过相对侧棱的截面面积为Q,则它的体积为（）

A.41PQB.乎。C./PQ与。

二、填空题：

7.球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的倍.

8.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍,则该圆锥的母线与高所成的角是.

9.有三个球,第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各棱相切，第三个

球过这个正方体的各个顶点,则这三个球的表面积之比为.

三、解答题

10.圆锥的底面半径为5cm,高为12cm,当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接

圆柱全面积有最大值？最大值是多少？

11.半径为R的球内切于圆台，母线与底面成C角，求圆台的侧面积和体积.

答案：l.D2.D3.B4.B5.A6.D

7.8,8.30°9.1:2:3

10.

做圆锥的轴截面，设圆柱的底面半径E0=x,母线DE=h,

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