初二【数学(人教版)】平方差公式 教学设计

课程基本信息

课例编号学科数学年级八年级学期秋季

课题平方差公式

书名：义务教育教科书数学八年级上册

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月

教学人员

姓名单位

授课教师

指导教师

教学目标

教学目标：1.理解平方差公式，能利用公式进行计算；

2.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式

的过程中，感知数形结合思想.

教学重点：平方差公式

教学难点：平方差公式结构的认识与平方差公式的变式运用

教学过程

时间教学环节主要师生活动

一.新力1引入

阅读〃、故事，并回答问题

小明利】小兰分别负责两块区域的彳直日工作.小明负责一期2边长为。

米的正方「形空地，小兰则负责一块I£方形空地，长为正方形空地边长

力口5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对〃、兰说:“咱

们换一T，值日的区域吧，反正这两土夬地大小都一样."你戈?得小明说

的对吗？为什么？

3min新知引入

・1

ClyT-35)米

不妨我。］来算一下：S正二。•Q=/,S长=(a+5)(a-5)

这是多功1式乘以多项式，应如何计£良呢？前面我们已经学过法则：

SR=(a-■5)(。—5)=cr-5ci+5ci—25=/_25

小明说白/J不对，长方形面积比正方方方面积少了25平方米.

【设计意图】：一方面通过小故事激发学生的学习兴趣，让学生真正动手计算得

到结论.另一方面引出本节课的要学习的公式，为后续公式的代数推导和几何推

导做铺垫.

二.探究新知

1.自主探究

计算下面多项式的积，你发现什么规律？

(l)(x+l)(x-l)=1

8min探究新知+2)(相-2)=」-4

(3)(2x+1)(2%-1)=4/T

问题1：根据以上算式的结构和所得结果，你能发现什么规律吗？

(等式的左边是两个多项式相乘，这两个多项式分别是两个数

的和与这两个数的差；等式的右边是这两个数的平方之差)

问题2：你能否用含字母的式子来表示你所发现的一般规律呢？

(不妨设这两个数分别为包则一般形式可以表示为：

(a+b)(a-b)=a2-b2这种形式)

【设计意图】：通过计算得出结果后，进一步分析所给这3个式子的结构，通过

比较可以总结出等式两边的特点.学生根据所观察到的特点，表达成一般形式，

自然而然的引出新知，衔接紧凑，过程流畅.

2.归纳新知

由上面的几个例子不难发现，都是形如的多项式和的多

项式相乘，运用多项式乘以多项式的运算法则，可以得到：

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,

乘完后是四项，而化简之后仅剩两项。

所以，这类式子是多项式乘法中比较特殊的一类，在遇到具有与

此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即：

(a+b)(a-h)=a2-b2

让我们的计算更加的快速和准确。

对于这个公式，它有自身的结构特点，用语言来描述，就是“两

个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”。

所以我们称这个公式为乘法的平方差公式。

问题3：观察上述公式，其结构上有什么特征？

我们不难发现，等号左边的两个多项式中，“第一个数”。符号相

同，“第二个数”。符号相反，等号右边是符号相同项a的平方减去符

号相反项人的平方.所以，我们若想利用平方差公式进行计算，可以先

观察多项式中是否有符号相同项，相反项，若满足公式结构，便可以

直接使用公式计算，而无需再运用多项式乘以多项式的法则.

2

3深入探索

大家想一下，我们除了可以从多项式乘法的法则角度来说明平方

差公式，还能从什么角度说明呢？还记得引例中的面积问题吗？我们

可以尝试利用长方形面积，从几何角度说明平方差公式.

如图1,是一个长(。+力为宽为3-勿的长方形，其面积是

(a+b)(,a-b),而这块面积可以分割成两长方形，将其中长为(。-切，

宽为6的长方形剪下，拼到如图2的位置，在剪切的过程中，总面积

不变。我们发现在图2中的面积是边长为“的大正方形面积，减去空

白部分，即边长为人的小正方形面积.利用面积的方法，我们再次从几

何的角度证明了平方差公式(a+份(。-份=/一〃

【设计意图】：从几何角度再次证明平方差公式，有利于让学生认识平方差公式

的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想.

三.例题讲解

例1.运用平方差公式计算

(1)(%+-)(%--)(2)(3x+2)(3x-2)

22

(3)(—x+2y)(—x—2y)(4)(3-2«)(-3-2«)

例题讲解

lOmin【分析工能否利用平方差公式进行计算，我们需要观察所给式子是

否满足平方差公式的结构.也就是说我们需要找到公式中的相同项。，

相反项b,所得结果应为相同项的a的平方减去相反项b的平方.

11、1、(1)观察可知，x为相同项，相当于公

(X+—)(x)=(x)"—(一)"1

jjjjJj2式中的a,；为相反项，相当于公式中

(a+b)(a-b)=af的江利用公式即为

4

(3X+2)(3X-2)=(3X)2-22(2)中3x为相同项，这个整体看成

lilt一、a,2为相反项，看成。.最后二应

(a+b)(a-b)-a~-b~为(3x>,是9/；82为名最终结

果为9万2-4

3

(3)中首先要进行观察，这里P是相同项，这个整体相当于a,而

2y相当于从最后化简完是/-4优

(4)中相同项为(-2a),相反项为3,所以最终结果为4a2一9

解：(1)*+：)(1_：)=炉_(；)2=炉_：

2224

(2)(3X+2)(3X-2)=(3X)2-22=9X2-4

(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2

(4)(3-2a)(-3-2a)=(-2a)2-32=4«2-9

练习：下列各式中，不能运用平方差公式的是()

A.(/〃—〃)(/〃+〃)B.，-)/)(/+口

例题讲解

C.(rm+n)(m—n)D.(2x—3)(2x+3)

【分析】：若能利用平方差公式，则需要在式子中找到相同项。，相反

项b,若两项均为相同项，或者均为相反项，则无法利用公式计算.通过

观察可知C项中-加和〃2,建和-〃都为相反项，不符合平方差公式的

结构特点，因此选择C.

【设计意图】：例1和练习可以帮助学生正向认识公式的结构，辨析使用公式所

需的条件，为下面应用公式计算打下基础.

例2：计算:

(l)(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5)

⑵102x98(3)(x"+4)(x"-4)

(4)(3«2+-b)(3a2--b)(9a4+-b2)

224

【分析工(1)中只有前半部分符合公式条件，可以利用平方差公式

简便运算，其余的运算仍按照乘法法则进行；(2)是两个数字相乘，

通过观察发现这两个数字很有特点，一个是102=100+2,98=100-2,可

以利用平方差公式进行简便运算；(3)中相同项为x",相反项为4,

最终结果为3')2-42；(4)需要先把前两项利用平方差公式计算出来，

然后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.

4

(1)(>+2)(y—2)—(y—l)(y+5)(2)102x98=(100+2)(100-2)

=/-22-(/+4y-5)=1002-22

=y2-4-y2-4y+5=10000-4

=-4y+l=9996

(3)(xH+4)(xn-4)

=(x")2-42

=”-16

(4)(3a2+-/?)(3a2--/?)(9a4+-/?2)

224

=[(3«2)2-(^)2](9«4+^2)

24

=(9a4--b2)(^a4+-b2)

归纳总结44

1.5min=81a16-—/74

16

练习:⑴(x+l)(x2+l)(x-l)(x4+l)

21

(2)20-xl9-

33

21

解:⑴(x+l)(x2+l)(x-l)(x4+l)(2)203X193

=(x+l)(x-l)(x2+l)(x4+1)=(20+|)x(20-|)

=(x2-l)(x2+l)(x4+l),2,4

=202-(-)2=400--

=，-1)(/+1)39

=xs-l=39噜

【设计意图】：这两道例题的选取目的是让学生理解公式的结构特征.公式中的

既可以表示具体的数字，也可以表示单项式，甚至可以表示多项式.只要符

合公式的结构，就可以利用它简便运算.例题从不同角度强化了公式的灵活运

2min用，让学生对公式中的字母含义有了更深刻的理解，同时培养学生利用类比迂

移解决问题.

例3：在括号中填入适当的整式

拓展提升(])(t>+a)()=a2-b2(2)(m-n)()=n2-m2

(3)(一>3x)()=1—9/⑷(/+〃)()=«4-/74

【分析工观察此题左右，可以利用平方差公式.根据给出化简后的结

果，及等号右边的式子，可从化简后的形如"一"结果入手，找出谁

5

相当于原公式的a,b.对应公式(a+b)(a-b)=1-b2,我们发现a是两

个多项式中相同的项，而匕和-人是多项式中相反的项，由此可推断出

括号中的多项式.

(1)中相同项为m相反项为近故括号里应该为他功)

(2)中结果为〃2一环，故相同项为n,相反项为m,故括号里应该

(3)中结果为1-9小，相同项为1,相反项为3x,故括号里应该为

(T+3x)

(4)中相同项为“2,相反项为。2,故括号里应该为(屋-从)

解：(1)S+a)(a-/?)=+'-/(2)(m-n)(-n-m)=n2-m2

0.5min

(3)(-l-3x)(-l+3x)=l-9x2(4)(a2+b2)(a2-bz)=a4-b4

【设计意图】：此题从反方向考察对平方差公式结构的理解和掌握，再次强化了

公式的结构。公式的反向运用本质为因式分解，所以此题也为后续利用平方差

公式因式分解做一个铺垫.

例4：已知X?-V=⑵％-y=2,则土=________

y

【分析工此题给出丁-：/和x—y的值，由(x+y)(x_y)=x2_y2,求

出x+y=6。已知了x-y=2,x+y=6,即得到一个方程组，可求得

课后作业

的值，从而上的值也可以求出.

y

解:由(x+y)(x—y)=尤2-丁，且-=12,%一了=2,

得.2(x+y)=12,所以x+y=6

又因为尸尸6,解得f=4,所以土=2

四.归纳总结

本节课我们学习了平方差公式，和公式推导.