工程力学习题答案豆照良等编

第1章静力学基础

思索题

1-1说明下面两个式子的意义。

(1)FI=F2(2)F1=F2

解：

(1)式中尸表示力矢量；因此片=用表示力片和用的大

小相等，方向相同。

(2)式中少表示力的大小；因此尸i=用表示力用和用的

大小相等。

1-2能否说合力肯定比分力大，为什么？

解：

不肯定。

例如，大小相等、方向相反，且作用在同始终线上的两个力

的合力为零。

1-3二力平衡原理与作用和反作用定律有何异同?

解:

二力平衡原理是指：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平

衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在

同始终线上。

作用和反作用定律是指：任何两个物体间的作用，总是大小

相等、方向相反、沿同一作用线分别作用在两个物体上。

可以看出，二力平衡原理描述的是，两个不同的力作用在同

一个物体上的状况；作用和反作用定律描述的是两个不同物体

之间相互作用的状况。但它们有一个相同点，即上述两种状况

下的一对力均满意大小相等、方向相反。

1-4约束反力的方向和主动力的方向有无关系？

解：

约束反力的方向总是与约束限制物体位移的方向相反。

对于有些约束类型，如具有光滑接触表面的约束，其约束反

力必定作用在接触点处，作用线沿着接触面的公法线方向，且

指向被约束物体。又如绳索类柔性约束，其约束反力只能是沿

柔性体的轴线而背离被约束物体的拉力。

而对于圆柱较链约束等，其约束反力的作用点位置（即接触

点位置）、方向和大小由构件所受主动力确定。因此，约束反力

的方向是否和主动力的方向有关，取决于约束类型。

1-5什么叫二力构件？分析二力构件受力时与构件的形态

有无关系？

解：

所谓二力构件，是指只有两点受力而处于平衡状态的构件，

如下图所示。

二力构件受力时，二力大小相等、方向相反，且都沿两作用

点的连线方向；与构件的形态无关。

1-6图1-18所示物体的受力图是否正确？如有错误如何

改正?

c.Fc

"加/YP

(a)(b)

图1-18

解:

图1-18(b)所示受力图错误，正确的受力图所图1-18(c)

所示。

1-18(c)

练习题

题1-1画出图1-19中各物体的受力图。假定全部接触均

为光滑接触，且除有特别说明外物体的重力忽视不计。

(h)

图1-19

e)

(f)

题1-2改正图1-2。各受力图中的错误。

(c)

图1-20

解:

(b)

(c)

第2章平面基本力系

思索题

2-1已知尸1、月、氏、居的作用线汇交于一点，其力多边

形如图2-15所示，试问这两种力多边形的意义有何不同?

4

(a)(b)

图2-15

解：

图2-15(a)中，力多边形自行闭合，合力为零。

图2-15(b)所示的力多边形中，尸一殳月的合力居；

因此该力多边形中，尸1、且、月、房的合力为2居。

2-2用解析法求平面汇交力系的合力时，若取不同的直角

坐标轴，所求得的合力是否相同？

解：

用解析法求平面汇交力系的合力时，选取不同的直角坐标

轴，只会影响各力在两坐标轴上的投影，不会影响最终计算结

果，即所求得的合力是相同的。

2-3力的分力与投影这两个概念之间有什么区分和联系？

试结合图2-16说明之。

图2-16

解:

分力仍旧是一个力，是矢量；力在某轴上的投影是标量。如

图2-16(a)所示，力尸沿x、y轴的分力分别为

、V31

,=可尼耳=56

力尸在X、y轴上的投影分别为

=-

2'2

图2-16(b)中，力尸沿x、y轴的分力分别为

工=Fi,Fy=Fj

力尸在x、y轴上的投影分别为

F、=gF,F,=；F

因此，力在两正交轴上的分力的大小，分别等于力在对应轴

上的投影。

2-4比较力矩和力偶矩的异同。

解：

力矩是力使物体产生转动效应的度量，其大小与矩心位置有

关；而力偶矩是力偶使物体产生转动效应的度量，其大小与矩

心位置无关。

力矩和力偶矩都是代数量，其符号“土”表示转向，力(或

力偶)使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负；力矩

和力偶矩的单位都是N・m或KN・m0

练习题

题2-1如图2-17(a)所示，等边三角形的边长为1,现

在其三顶点沿三边作用大小相等的三个力F,试求此力系向B

点简化的结果。

(a)(b)

图2-17

(1)建立直角坐标系的

(2)分别求出，、B、。各点处受力在x、y轴上的分力

—F

2-2

(3)求出各分力在B点处的合力和合力偶

E%=工,+尸&+耳,=—g尸+尸—g尸=0

工4=以，+与产"，=一¥/+曰尸=°

IX=7・/=?/

因此，该力系的简化结果为一个力偶矩知=百&/2,逆时针

方向。

题2-2如图2-18(a)所示，在钢架的B点作用有水平力

F,钢架重力忽视不计。试求支座4。的约束反力。

(a)(b)

图2-18

解：

(1)以钢架为探讨对象。

(2)分析钢架受力状况。钢架受到力尸以与约束反力F.、

%和片的作用而处于平衡状态。由力偶系平衡条件知，约束

反力取与力尸构成一个力偶，FFF,且由此可以确定的方向

人为水平向左；约束反力%与凡构成一个力偶，FA”D,

假设方向如图2-18(b)所示。上述2个力偶应满意力偶系平

衡条件。

(3)依据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量

=0,-aF+2aFD=0

可解得死尸尸「=物。求得结果为正，说明％和片的方向与

假设方向相同。

题2-3如图2-19(a)所示，水平梁上作用有两个力偶，

M=60kN・m,跖=40kN・m,已知A5=3.5m,试求4、B

两处支座的约束反力。

1%

A_________________________B___________________

A蕊

.3.5m

(a)

产%

AB

F.--P_

(b)

图2-19

解：

(1)以梁48为探讨对象。

(2)分析梁受力状况。梁ZB受到两个力偶M和好,

以与两个约束反力居和外的作用而处于平衡状态。由力偶系平

衡条件知，支座4和石对梁AB的约束反力用和外应构成一

个力偶，且与原合力偶平衡，又因为弓的方位垂直于滚动支座

支承面，指向假设如图2-15(b)所示，从而可以确定熊的方

向。即有？!=&,且满意力偶系平衡条件。

(3)依据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量

陷+M-兀工=0

将题中条件代入后，可解得

心=七=_10kN

求得结果为负，说明用和居的方向与假设方向相反。

题2-4如图2-20(a)所示，已知M=2Fly其余尺寸如图,

试求4B两处支座的约束反力。

图2-20

解：

(1)以图示支架5C5为探讨对象。

(2)分析支架受力状况。支架受到力F、力偶M,以与3

个约束反力以、％和分的作用而处于平衡状态。由力偶系平

衡条件可知,尸与以应构成一个力偶跖，%的方向水平向右;

%和外应构成另一个力偶监，假设%和外的方向如下图

2-20(b)所示。上述力偶系应满意力偶系平衡条件。

(3)依据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量

F「F

pi

2〃=0,彳-M+%=0

可解得

3

FB=AF

3

FA，=FB=%F

2

结果为正,说明灰和居的实际方向与假设方向相同，如图2-20

(b)所示。

第3章平面随意力系

思索题

3-1什么叫力系的主矢？它与合力有什么区分和联系？

它与简化中心的位置有没有关系？

解：

平面随意力系中全部各力的矢量和，称为该力系的主矢；主

矢与简化中心的位置无关。

平面随意力系的合成结果为一个主矢和一个主矩；当主矩为

零时，平面随意力系的主矢就是合力。

3-2什么叫力系的主矩？它是否就是力偶系的合力偶

矩？它与简化中心的位置有没有关系？

解：

平面随意力系中全部各力对任选简化中心之矩的代数和，

称为该力系的主矩。主矩一般与简化中心有关。

合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。在平面力偶系中，各分

力偶的合力偶矩等于该力系的主矩。

3-3已知一平面随意力系可以简化为一个合力，问能否通

过选择适当的简化中心，把力系简化为一个合力偶？反之，假

如已知力系可以简化为一个合力偶，问能否通过选择适当的简

化中心，把力系简化为一个合力？为什么？

解：

当平面随意力系的简化结果为一个合力时，无法进一步把力

系简化为一个合力偶；反之亦然。因为，合力和合力偶都是平

面随意力系简化的最简结果。

3-4什么叫静不定问题？如何推断问题是静定还是静不

定？如图3-8所示（a）、（b）、（c）三图中哪些是静定问题？哪

些是静不定问题？

图3-8

解:

当整个物体系平衡时，物体系内各个刚体也处于平衡状态。

因此对每个受平面随意力系作用的刚体，都可以列出3个独立

的平衡方程。那么对由n个刚体组成的物体系来说，独立平衡

方程的数目为32假如物体系中未知量的总数等于或小于独立

平衡方程的数目时，则全部的未知量都可以由平衡方程求出，

这样的问题称为静定问题。假如物体系中未知量的总数大于独

立平衡方程的数目时，则未知量不能全部由平衡方程求出，而

只能求出其中的一部分未知量，这样的问题称为静不定问题。

图3-8(a)中刚体的数目为1个，可列出3个独立的平衡

方程，而4、B点处共有4个约束反力，无法完全求解，属于

静不定问题。

图3-8(b)中刚体的数目为2个，可列出6个独立的平衡

方程，而4、石与中间较接点处共有6个约束反力，可以完全

求解，属于静定问题。

图3-8(a)中刚体的数目为2个，可列出6个独立的平衡

方程，而力、石点处共有7个约束反力，无法完全求解，属于

静不定问题。

练习题

题3-1如图3-9所示，半径为r的圆盘上，以。为中心，

边长为r的正方形的四个顶点上分别作用着力耳、泾、豆、居。

已知四=用=用=居=凡该力系对。点的主矩为此=2「凡问该

力系对。’点的主矩M。,为何值？此与间有何关系？为

什么是这种关系？

图3-9

解：

该力系的主矢为

产二=6+6+8+总=0

因为主矢为零，力系简化为一个合力偶。这种状况下，力系

的主矩与简化中心的位置无关，因此

Ma=Mo=2rF

题3-2如图3-10(a)所示，已知刘、员、用分别作用

在点C、O、B点上，O4BC是一个正方形，边长为a(单位为

mm),Fi=2kN,用=4kN,7^=1OkN,方向如图所示。求力系

的最终简化结果。

图3-10

解:

(1)建立直角坐标系如图3-10(b)所示

(2)将题述力系向。点简化

3

F'Ry=Z%=g^—M=4kN

心〃（小+小—瓜刈tang=鲁=1=>8=45。

上Rx

Mo=耳a-g"+玛v。=4〃kN・mm

由于该力系的主矢、主矩都不等于零，即力系简化的结果为

一个力和一个力偶，依据力的平行定理的逆定理可知，主矢和

主矩可合成为一个合力。该合力外矢量等于主矢FK作用线

在。点右下方过。点的直线，且简化中心到合力作用线的距离

为

M。_母

d-——ci

时2

题3-3如图3-11（a）所示，平面随意力系中四=4。/N,

用=80N,凡=40N,属=110N,於2000N・mm,各力作用

线位置如图所示（图中单位为mm）。求力系向。点简化的结果。

y

(彳。)

w-b—(20,-30)

(a)

图3-11

解：

(1)力系向。点简化的主矢

Gv=ZFv=#6一6=°

『初j+(%)2=150N

主矢反方向沿x轴负方向。

(2)力系向。点简化的主矩

=306+50居—30居一M=—900N・mm，顺时针方向

力系向。点简化的结果如图3-11(b)所示。

题3-4无重水平梁的支承和载荷如图3-12(a)所示，已

知力R力偶矩”和强度为q的匀称载荷。求支座Z和B处的

约束反力。

.0—M

尸B

曷」具

(a)(b)

图3-12

解：

(1)以梁为探讨对象，受力状况如图3-12(b)所示

(2)建立直角坐标系，列出平面随意力系的平衡方程，并

求解未知量

%=0,加=0

YFy=Q,-FAy+FH-F=O

YMA(F)=O,-M+FB.2a-F,3a=0

可解得

心=0

FAy=^(aF+M)

2a

FB=^-(,3aF+M)

题3-5如图3-13(a)所示，起重机重尸i=10kN,可绕铅

直轴力B转动，起重机的吊钩上挂一重为g=40kN的重物，起

重机的重心。到转动轴的距离为1.5m,其他尺寸如图所示。

试求在止推轴承Z和轴承B处的约束反力。

图3-13

解:

(1)以起重机为探讨对象，受力状况如图3-13(b)所示

(2)建立直角坐标系，列出平面随意力系的平衡方程，并

求解未知量

E工=0,七+外=0

XK=03,T—6=O

工必①)=0,-%5m-6・1.5m-g・3.5m=0

可解得

鼠=3IkN,FAV=50kN,FB=-3IkN

/为负，说明假设方向与实际方向相反，即应水平向左。

第4章摩擦

思索题

4-1什么是静滑动摩擦力？其方向和大小是如何确定的？

有人说摩擦力的方向恒久与物体的运动方向相反，对吗？试举

例说明。

解：

两个表面粗糙且相互接触的物体之间，有相对滑动的趋势

时，在接触面上产生与相对滑动趋势相反的阻力，这种阻力称

为静摩擦阻力。摩擦力的方向与物体的相对运动或相对运动趋

势方向相反，而不是与物体的运动方向相反。

下图所示为一个传送机构，在图（a）所示上料过程中，物

块的运动方向与静摩擦力的方向均向上，二者方向相同；而在

图（b）所示的下料过程中，物块的运动方向沿传送带向下，静

摩擦力方向沿传送带向上，二者方向相反。因此，静摩擦力的

4-2什么是最大静滑动摩擦力？它与静滑动摩擦力有什么

区分和联系？

解：

最大静滑动摩擦力是静滑动摩擦力的一个临界值。超越该

临界值后，物体将发生相对滑动，此时静滑动摩擦力就被动滑

动摩擦力所取代。

4-3如图4-6所示，已知尸=100N,4500N,摩擦系数

4=0.3,求此时物体所受的摩擦力。

图4-6

解：

由题意，可首先计算出墙面能够供应应物块的最大静摩擦

力，

耳ax=£&=03x500N=150N

由于

PulOONvR=150N

因此，物体将处于静止状态，此时物体所受的摩擦力为铅直

向上的静摩擦力，且有

月=p=100N

4-4如图4-7所示，重为尸的物体置于斜面上，已知摩擦

系数为4,且有tana<4,问此物体能否下滑？假如增加物体

的重量或在物体上再加一重量为尸1的物体，问能否达到下滑的

目的？为什么？

(a)(b)

图4-7

解：

如图4-7所示，假设物体不下滑，则物体受到沿斜面对上的

静摩擦力工，由静力平衡方程可知，

Fs=Psina

而斜面能够供应应物体的最大静摩擦力K1ax的大小为

(ax=时§=Pcosa-fs>Pcosa•tana=Psina

由于斜面能够供应应物体的最大静摩擦力大于维持物体不

下滑所须要的摩擦力，因此物体不下滑。

同理可证，增加物体的重量或在物体上再加一重量为尸】的

物体，不能达到下滑的目的。

4-5何谓自锁现象？试举例说明。

解：

定义全约束反力与接触线法线的夹角为cp,其达到最大值

Of,称为摩擦角。假如作用在物体上的全部主动力的合力的作

用线在摩擦角0f之内，则无论这个力多么大，物体必定保持平

衡，这种现象称为自锁现象。其中，（Pf=arctan4o

在工程中，自锁现象有广泛的应用。例如，机床夹具、固

定或锁紧螺丝、压榨机、千斤顶等等，自锁现象可以使它们始

终保持在平衡状态下工作。

4-6如图4-8所示，重为尸的物体置于水平面上，力尸作

用在摩擦角之外，已知8=25°,摩擦角0=20°,F=P。问

物体能否被推动？为什么?

图4-8

解：

若要推动物体，力尸在水平方向上的分力工必需克服地面供

应应物体的最大静摩擦力Fmaxo

而本题中

工=/sin8=Rsin25°=0.4226F

=Ay；=(Feos25°+P).tan20°

由于F=P

耳11ax=F(cos25°+l).tan20°=0.6939/

因此小居皿，无法推动物体。

练习题

题4-1如图4-9所示，已知物体重科100N,与水平面

的静摩擦系数为4=0.3,动摩擦系数为u=0.28。试问下列三

种状况下，物体受到的摩擦力分别为多少？

(1)P=10N

(2)P=30N

(3)尸=50N

图4-9

解：

首先计算物体受到的最大静摩擦力

耳皿=/N=£W=0.3・100N=30N

(1)Q10N＜居1ax,物体静止，£=Q10N;

(2)P=30N=Fmax,物体处于临界状态，然=居1ax=30N;

3)P=50N>Fmax物体运动

耳1ax=〃N==0.28.100N=28N

题4-2推断图4-10中的物体能否静止？并求这两个物体

所受摩擦力的大小和方向。已知

(1)图(a)中，物体重仍1000N,拉力R200N,

4=0.3,〃=0.28;

(2)图(b)中，物体重仍200N,压力Q500N,£=0.3,

/j=0.28。

图4-10

解：

(1)图4-1。(a)中，

111ax=f、N=£W=0.3.1000N=300N

Q200N</ax,物体静止，&=Q200N;静摩擦力方向水

平向左。

(2)图4-1。(b)中，

%*="=83.500N=150N

仍2001^>居皿，物体运动，

5=〃V="=0.28x500N=140N,动摩擦力方向铅直向上。

题4-3如图4-11(a)所示，物块与传送带之间的静摩擦

系数£=0.5。试问传送带的最大倾角6为多大？

(a)(b)

图4-11

解：

以物体为探讨对象，受力状况如图4-11(b)所示，由平面

汇交力系的平衡方程，可知

Fs=PsinO

N=PcosO

由临界状态下的补充方程，可知

FxNfs

从而

4axPsin。

£==tan8=＞。=arctan£=arctan0.5=26.565°

N尸cos。

题4-4如图4-12(a)所示，圆柱重仍500N,直径

d=24cm,圆柱与V型槽间的摩擦系数£=0.2。试求转动圆柱

的最小力偶矩。

(a)

图4-12

解:

(1)以圆柱为探讨对象，并考虑临界状态，受力状况如图

4-12(b)所示

(2)建立图示直角坐标系，列出平面随意力系的平衡方程,

与临界状态下的补充方程

Z工=0,耳+品2-WCOS45O=0

ZK.=0,-6+%-心皿45。=0

工用。(尸)=0,6厂+6「一V=0

£=人

巴=典2

可解得

FN.=-^4WCOS45°=408N

FN,=-5—4WCOS45°=272N

1+/2

M=(6+K)r=f(FNl+=1632N・m

题4-5如图4-13(a)所示，两根相同的均质杆4s和

BC,在端点B用光滑较链连接，4。端放在不光滑的水平面

上，当成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状

态。求杆端与水平面间的摩擦系数。

B

(b)(c)

图4-13

解:

(1)先以ZB、8。杆整体为探讨对象，设杆重均为尸，杆

长均为4受力图如图4-13(b)所示。由对称性原理与平面随

意力系的平衡条件可知,

NA=NC=P

FA=FC

(2)以4s为探讨对象，受力图如图4-13(c)所示。由

平面随意力系的平衡条件，对于B点，有

£MB(F)=0,FA•与I+P；-N0

将用=多代入上式，可解得

f=4

6

第5章空间力系

思索题

5-1用矢量积尸计算力少对。点之矩，当力沿其作用

线移动，变更了力作用点的坐标x、y、z,其计算结果是否变更？

解：

如下图所示，力尸的作用线沿工石，。点为矩心，则力对该

点之矩，称为力矩矢，用(乃表示。力矩矢皿(为的模

(即大小)等于力尸与力臂d的乘积，方位垂直于力尸与矩心

。所确定的平面，指向可用右手法则来确定。即有

M(尸)|=匕＞川=&=24.

当力沿其作用线移动时，△的面积A.保持不变，力

矩矢的大小和方位保持不变，因此计算结果没有变更。

5-2力对轴之矩的意义是什么？如何计算？如何确定其正

负号？哪些状况下力对轴之矩等于零？

解：

力对轴之矩用于度量力对刚体绕定轴的转动效应。假如将力

尸对z轴之矩用此(乃表示，则有

M:(F)=Mo(F)=±F.d

其中，正负号用于表示转向。从z轴的正向看去，若力使物

体逆时针转动，取正号；反之，取负号。或用右手螺旋法则来

确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方向，若拇指的

指向与Z轴的正向相同，取正号；反之取负号。

当力与转轴平行时，此力在垂直于该轴平面上的分力为

零，此时力对该轴之矩为零。此外，当力与转轴相交时，力对

该轴之矩也为零。

5-3试依据空间随意力系的平衡方程，推导出各种特别力

系的平衡方程。

解：

空间随意力系简化的结果是一个主失和一个主矩，因此空

间力系平衡的充要条件为：各力在三个坐标轴上投影的代数和

分别等于零，且各力对此三轴之矩的代数和分别等于零。即

ZG=O，ZG=O，ZK=。[

Z”X（F）=O，Z%（F）=QZM（F）=°

依据空间随意力系的平衡方程，可以推导出前面几章中的

各种特别力系的平衡方程。

例如，对于平面汇交力系，由于各力在Z轴上的投影都等于

零，故有£户=0;而各力对三个坐标轴之矩也都等于零，故有

£皈⑸=0、2监（刃=0、£此（乃=0。因此，平面汇交力系的

平衡方程可以简化为

5-4对随意物体，假如它具有对称面，则该物体的重心是

否肯定在对称面上？为什么？

解：

对于均质物体来说，假如它具有对称面，则该物体的重心肯

定在对称面上。而对于非均质物体，则不肯定。

5-5均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形，

重心位置如何变更？

解：

均质等截面直杆的重心位于杆的中心处。若把它弯成半圆

形，重心位置变为王广2/7万，如下图所示。

5-6计算同一物体的重心，如选两个不同的坐标系，则对

于这两个坐标系计算出来的重心坐标是否相同？假如不相同,

这是否意味着物体的重心相对位置随坐标系的选择不同而变更

呢？

解：

计算同一物体的重心，如选两个不同的坐标系，则对于这两

个坐标系计算出来的重心坐标会有所不同，这说明物体重心的

坐标随坐标系的选择不同而变更，但物体的重心相对位置是不

变的。物体重心所在的位置，与该物体在空间的位置无关。

练习题

题5-1如图5-20所示空间力系，已知尸产100N,

用=300N,求力系对y轴之矩。

图5-20

解:

首先求出力用在右y轴上的分力，分别为

F,2。。一=笔=166.41N方向沿x轴负方向;

-V2002+3002V13

生/而鼻端"49.62N,方向沿y轴正方向。

由合力矩定理可得到力尸对y轴之矩

My(F)=-Fl.200mm-F2x»\00mm=-36.64N.m,沿y轴负向看

为顺时针方向。

题5-2求图5-21所示力T^IOOON对于z轴的力矩MzO

图5-21

解:

首先求出力尸在X、y轴上的分力，分别为

广乎=_,1。=f=169N

V1O2+3O2+5O2V1O2+3O2A/35

kV102+302303F

F,,，=—j==507N

V102+302+502V1O2+3O2V35

由合力矩定理可得到力尸对z轴之矩

M;(F)=-Fr.(100+50)mm-Fv.150mm=-101.4N.m

顺时针转向。

题5-3如图5-22所示，水平圆盘的半径为r,外缘。处

作用力尸。力尸位于铅垂面内，且与。处圆盘切线夹角为60°,

其他尺寸如图所示。求力尸对生不z轴之矩。

X

图5-22

解：

力尸在三个轴上的分力分别为

F=Fcos60°cos30°=—F

X4

F=Fcos60°sin30°=-F

了4

F=Fsin60°=—F

22

由合力矩定理可得到力尸对x、y、z轴之矩

Mx(F)=hFy-rF_cos30°=，(/z-3r)

Mv(F)^hFx+rF:sin30°=(/?+r)

M;(F)=-rFcos60°=-1Fr

题5-4如图5-23(a)所示，力尸作用在长方体上，力的

作用线位置如图所示。试计算：

(1)尸在y轴上的投影；

(2)尸在z轴上的投影；

(3)尸对4B轴之矩。

B

(a)

图5-23

解：

(i)设尸与水平面的夹角为e,力在水平面上的投影为

Fyz,库与y轴的夹角为尸，如图5-23(b)所示，由二次投

影定理

-aF

=-Fcoscosy?=

•Ja2+b2+c2

(2)力斤在z轴上的投影;

-bF

F.=一/7cosOsinp=耳+〃+，

(3)力尸对力B轴之矩

也产“=/J，"；，逆时针转向。

题5-5如图5-24所示，已知镣刀杆刀头上受切削力

居=500N,径向力&=150N,轴向力片=75N,刀尖位于。盯

平面内，其坐标为x=75mm,片200mm。试求被切削工件左

端。处的约束反力。

y

图5-24

解:

由空间随意力系的平衡方程

X工=。，-工+%=-150N+%=0

ZK=O，-q.+%=-75N+%=0

Z£=0，-£+%=-500N+%=0

Z匕(F)=O,MX-F：.200mm=Mv-500N.200mm=0

£M、(F)=0,M、.+£・75mm=M、+500N.75mm=0

ZM=(F)=Q,M:+工・200mm-居・75mm

=Mx+150N.200mm-75N.75mm=0

可解得

%=150N,%,=75N,%=500N;

M=100N.m,M=-37.5N.m,M.=-24.375N・m

•v'yz

题5-6如图5-25(a)所示，平面图形内每一方格的边长

为20mm,试求图示面积重心的位置。

(a)

(b)

图5-25

解：

本题可采纳负面积法求解。

图示平面可看成是大矩形去除2个小矩形以与1个

圆后剩余的部分，各部分的面积和重心坐标分别为

&=22400mm2,=80mm,y=70mm;

2

S2=-2400mm,X2=140mm,%=110mm;

2

S3=-1600mm,x3=40mm,y3=130mm;

2

S4=-400^mm,x4=40mm,y4=60mm;

剩余部分的重心为

xc=M=78.26mm,yc=%=59.63mm

2S,»

题5-7求图5-26所示工字钢截面的重心，尺寸如图所示。

图5-26

解:

本题可采纳分割法求解。

图示工字钢截面可看成是由3个小矩形组合而成的，各部分

的面积和重心坐标分别为

2

S]=4000mm,=-10mm,yt=0;

2

S2=4000mm,x2-100mm,y2=0;

2

S3=3000mm,x3=210mm,y3=0;

因此，截面重心为

工号吨.

=90mm,yc=0

第6章点的运动学和刚体基本运动

思索题

6-1什么叫点的运动方程？什么叫点的轨迹方程？二者有

什么区分和联系？能否由点的轨迹方程确定点的运动方程？

解：

点的运动方程，是描述动点坐标随时间变更的方程；点的轨

迹方程，是描述动点运动轨迹的空间曲线方程。

在点的运动方程中，消去参变量时间t,则可以得到点的轨

迹方程；但无法由点的轨迹方程确定点的运动方程。

6-2号和手，^和手有何异同？

drdrdrdr

解：

当用于描述点的速度矢量随时间的变更，即为点的加速度,

它是一个矢量；而平则用于描述点的速度大小随时间的变更，

dt

即点的切向加速度大小，它是一个标量。

手用于描述点的速度，包含大小和方向，是一个矢量；手是

drdr

指引的速度大小，是一个标量。

6-3若动点在某瞬时的加速度为零，是否此时动点的速度

也肯定为零？反之，若动点在某瞬时的速度为零，是否此时动

点的加速度也肯定为零？

解：

动点在某瞬时的加速度为零，说明在该瞬时动点的速度变更

为零，但此时动点的速度不肯定为零；反之，若动点在某瞬时

的速度为零，但其速度变更不肯定为零，即此时动点的加速度

也不肯定为零。

6-4如图6-14所示，点作曲线运动，点的加速度a为恒

矢量。问这种状况下点是否作匀变速运动？

图6-14

解：

匀变速运动的特征是动点的角加速度a为常数，在图示中

虽然点的加速度a为恒矢量，但其角加速度却a特别数，因此

这种状况下点并不作匀变速运动。

6-5点作曲线运动，推断下列说法是否正确？

(1)若切向加速度为正，则点作加速运动；

(2)若切向加速度和速度符号相同，则点作加速运动；

(3)若切向加速度为零，则速度为常矢量。

解：(1)错误；(2)正确；(3)错误。

6-6”各点都作圆周运动的刚体肯定是定轴转动这种说

法是否正确？

解：

上述说法不正确。

6-7刚体绕定轴转动时，刚体上各点的运动轨迹肯定是圆

周吗？

解：

不肯定。若转轴位于刚体内，则刚体中位于转轴上的各点位

置始终不变。

6-8手表的时针、分针和秒针的角速度各是多少？

解:

时针、分针和秒针的角速度分别为壬^；rad/s、-^J-rad/s

21oOO1oO(J

和'rad/s。

30

练习题

题6-1已知”点的运动方程

x=0.2-0.1r(m)

y=0.2r(m)

试求：点”的轨迹方程、速度与加速度。

解:

点的轨迹为

x=0.2-2.5/

点的速度为

..dx.dy.....,.

V=VJ+Vj=-i+-j-j=-0.2(ft-j)(m/s)

rdtat

点的加速度为

2

a=axi+ayj=需i+#j=-0.2i(m/s)

点的轨迹、速度和加速度如下图所示。

题6-2如图6-15(a)所示机构，已知014=4石

=r=0.2m,OXO2=AB,Q轮按规律0=15"1运动。试求才

=0.5s时，"点的速度和加速度。

图6-15

解：

由题意，。。2期是平行四边形，力右作半径为r的圆周运

动，杆作平动，依据平动特性，杆上各点的速度、加速度都

相同，因此求出了4点的速度和加速度，也就求出了〃点的速

度和加速度。

首先确定杆的位置。t=0.5s时,=15^-x0.5=7.5^-rado

该瞬时杆力B位于最下方，如图6-15(b)所示。

轮Q作定轴转动，其角速度为

a>=—=15乃rad/s

dr

故力点的速度为

vA=s=15;rxO.2=9.42m/s

由于角速度为常量，因此4点的切向加速度为零，只有法

向加速度，即

222

aA=®r=(15^-)x0.2=444m/s

进而可以求出力8杆上”点的速度和加速度分别为

VM=VA=9.42m/s,方向水平向右；

2

aM=aA=444m/s,方向竖直向上。

题6-3如图6-16(a)所示机构，其中刚体的速度和角加

速度分别为G和a。试求4M点的速度、切向与法向加速度

的大小和方向。

M

b

图6-16

解：

刚体作定轴转动，其上全部点均作以。为圆心的圆周运动,

故4、〃两点的速度、加速度的方向分别如图6-16(b)所示。

下面求4〃两点的速度、加速度的大小。

(1)对Z点：

vA-cor-coxOA=2aco

a\-o^r=co2xOA=2aa)2

a[=ar=axOA=2aa

(2)对”点:

12

vM=cor=coxOM=coyla+b

a'；=orr=<y2xOM=疗J/+。2

(b)

第7章点的合成运动

思索题

7-1试举几个工程实际中的合成运动的实例。

解：

如乘客在行进中的公交车上行走时，公交车相对于地面的运

动为牵引运动，乘客相对于公交车的运动为相对运动，而乘客

相对于地面的运动则为合成运动。

7-2什么叫牵引速度？有人说动坐标系的运动是牵引运

动，因此动坐标系的速度就是牵引速度，这种说法是否正确？

为什么？

解：

牵引速度，是指牵引点的速度，即某瞬时动系上与动点相重

合的点相对于定系的速度。一般来说，动点是对动参考系有相

对运动的点；牵连点是动参考系上的几何点，它们是两个不同

的点。但在运动的同一瞬时，它们是重合的。在不同瞬时，动

点与动坐标系上不同的点重合，就有不同的点成为新的牵连点。

因此，“动坐标系的速度就是牵引速度”的说法是不正确的。

7-3点的速度合成定理是什么？牵引运动为平动或转动时

有无区分？

解：

点的速度合成定理，指在任一瞬时，动点的肯定速度等于牵

连速度和相对速度的矢量和。牵引运动为平动或转动时，点的

速度合成定理的实质并无区分。

7-4总结利用点的速度合成定理求解问题的一般步骤。

解：

利用点的速度合成定理求解问题的一般步骤为：

(1)依据题意选取动点、动系和定系。其中，动点和动系

应分别选在两个不同的刚体上，这样才能分解点的运动。

(2)分析三种运动与其速度。由于肯定运动和相对运动是

点的运动，因此肯定运动量和相对运动量通常由运动轨迹来确

定；而牵连运动为刚体的运动，因此牵连运动量需通过对动系

所固连的刚体运动的分析，由定义中重合点的运动量确定。

(3)应用速度合成定理求解。列出矢量方程，利用矢量的

平行四边形法则或投影方程进行计算求解。

练习题

题7-1如图7-5(a)所示曲柄滑块机构，曲柄04绕。

轴转动，滑块/可在滑槽。E内滑动，并带动石。杆在水平方

向上往复运动。设曲柄以角速度/作匀速转动，OA=ro试求

杆的速度。

图7-5

解:

由于杆8。作平移，故杆以与滑槽。E上全部点的速度

相同。

选曲柄端/为动点，杆为动系。

动点工的肯定运动是以。点为中心的圆周运动，肯定速度

方向沿圆周的切线；4点的相对运动为沿滑槽。E的直线运动，

相对速度方向铅直向上；牵引运动为BC杆水平向右的直线运

动。

由速度合成定理，可作出速度平行四边形，如图7-5(b)

所示。由图中三角关系可求得杆的速度为

vBC=匕=匕sin(p-corsincp

题7-2如图7-6(a)所示，半径为R、偏心距为e的凸

轮，以匀角速度/绕。转动，杆45可在滑槽内上下移动，端

点，始终与凸轮接触，且。4右呈直线。求图示位置时杆43的

速度。

图7-6

解：

杆ZB作平移，杆上各点的速度相同。

选取杆力B的端点，为动点，动系随凸轮一起绕。轴转动。

力点的肯定运动为直线运动，肯定速度方向沿45直线；相

对运动是以凸轮中心。为圆心的圆周运动，相对速度方向沿凸

轮圆周的切线；牵引运动为凸轮绕。轴的转动，牵引速度为凸

轮上与杆端4点重合的点的速度，垂直于其大小为

ve=a•OAo

由速度合成定理，可作出速度平行四边形，如图7-6(b)

所示。由图中三角关系可求得杆的肯定速度为

e

va=ve/cot0=co*OA-^=coe

题7-3如图7-7(a)、(b)所示的两种机构中，已知

(91(92=a=200mm,a!=3rad/so求图示位置时杆的角速

(c)(d)

图7-7

解：

(1)对图7-7(a)所示机构，以