2024中考数学全国真题分类卷 模型十 主从联动 强化训练(含答案)

2024中考数学全国真题分类卷模型十主从联动强化训练1.如图，等腰△ABC的面积为2eq\r(3)，AB＝AC，BC＝2.作AE∥BC，且AE＝eq\f(1,2)BC.点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为()第1题图A.eq\r(3)B.3C.2eq\r(3)D.42.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5eq\r(3)，点P在线段BC上运动(含B，C两点)，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为()第2题图A.eq\f(5,2)B.5eq\r(2)C.eq\f(5\r(3),3)D.33.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是________．第3题图4.如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm.当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为________cm.第4题图5.如图，正比例函数y＝－3x的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＜0)的图象交于A，B两点，点P是以C(3，0)为圆心，2为半径的⊙C上一点，连接AP，点Q是AP的中点，若OQ长的最大值为eq\f(5,2)，则k的值为_______________________．第5题图6.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S(平方单位)，点P运动时间为t(秒).(1)当点M与点B重合时，求t的值；(2)当t为何值时，△APQ与△BMF全等；(3)求S与t的函数关系式；(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．第6题图7.【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图①所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3.【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．(1)如图②，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长；(2)若点C，E，D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离；第7题图(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置(图①)，旋转到点C，B，D首次在同一条直线上(如图③)，求点G所经过的路径长；(4)如图④，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是________．第7题图参考答案与解析1.B【解析】如解图，过点A作AD⊥BC，连接BE，CE，过点E作EF′⊥BE，交BF的延长线于点F′，取EC的中点M1，EF′的中点M2，连接M1M2，∵AB＝AC，BC＝2，AD⊥BC，∴BD＝CD＝1，∵AE＝eq\f(1,2)BC，∴CD＝AE＝1，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AD⊥BC，∴平行四边形ADCE为矩形，∵等腰△ABC的面积为2eq\r(3)，∴AD＝EC＝2eq\r(3).当点P在A处时，M在EC的中点M1处，∵EC＝2eq\r(3)，∴EM1＝eq\r(3).当点P在B处时，M在EF′的中点M2处，易证△BCE∽△EM1M2，∴eq\f(BC,EM1)＝eq\f(EC,M2M1)，即eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),M2M1)，解得M1M2＝3，∴点M的运动路径长为3.第1题解图2.A【解析】如解图，连接PQ，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE，交QE延长线于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAE＝90°.∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝FA,∠BAP＝∠FAQ,PA＝QA))，∴△BAP≌△FAQ(SAS)，∴∠ABP＝∠AFQ＝90°.∵∠FAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEF＝90°－30°＝60°.∵AB＝AF＝5，在Rt△AFE中，AE＝eq\f(AF,cos30°)＝eq\f(10\r(3),3)，∴点Q在射线FE上运动．∵AD＝BC＝5eq\r(3)，∴DE＝AD－AE＝eq\f(5\r(3),3).∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE·sin60°＝eq\f(5\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5,2).根据垂线段最短可知，当点Q与点H重合时，DQ的值最小，最小值为eq\f(5,2).第2题解图3.eq\f(7,2)≤m≤eq\f(13,2)【解析】如解图，取AB中点M，连接CM，QM.∵AP＝3，∴P在以点A为圆心，3为半径的圆上运动，∵Q为BP中点，∴点Q在以点M为圆心，MQ为半径的圆上运动，MQ＝eq\f(1,2)AP＝eq\f(3,2).在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10.∵M是Rt△ABC斜边AB上的中点，∴CM＝eq\f(1,2)AB＝5，∴在△CMQ中，5－eq\f(3,2)≤CQ≤eq\f(3,2)＋5，即eq\f(7,2)≤m≤eq\f(13,2).第3题解图4.24－12eq\r(2)【解析】∵DE＝12cm，∠DCE＝45°，∴DC＝AC＝6eq\r(2)cm.如解图，当点D沿着DA方向向下滑时，得到△A′C′D′，过点C′作C′N⊥AD于点N，作C′M⊥AF于点M，∵∠D′C′A′＝90°，∴∠NC′D′＋∠D′C′M＝∠MC′A′＋∠D′C′M，∴∠NC′D′＝∠MC′A′，在Rt△C′ND′与Rt△C′MA′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C′ND′＝∠C′MA′,∠NC′D′＝∠MC′A′,C′D′＝C′A′))，∴Rt△C′ND′≌Rt△C′MA′(AAS)，∴C′N＝C′M，且C′N⊥AD，C′M⊥AF，∴AC′平分∠DAF，即点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上移动，∴当C′D′⊥AD时，CC′值最大，最大值为eq\r(2)C′D′－AC＝(12－6eq\r(2))cm，当点D从起始点D点滑动到A点时，点C运动的路径长为2CC′＝2×(12－6eq\r(2))cm＝(24－12eq\r(2))cm.第4题解图5.－eq\f(27,25)【解析】如解图，连接BP，由对称性得OA＝OB，∵Q是AP的中点，∴OQ＝eq\f(1,2)BP，∵OQ长的最大值为eq\f(5,2)，∴BP长的最大值为5，当BP过圆心C时，BP最长，过点B作BD⊥x轴于点D，∵CP＝2，∴BC＝3，∵点B在直线y＝－3x上，设B(t，－3t)，则CD＝3－t，BD＝3t，在Rt△BCD中，由勾股定理得BC2＝CD2＋BD2，∴32＝(3－t)2＋(3t)2，解得t＝0(舍去)或t＝eq\f(3,5)，∴B(eq\f(3,5)，－eq\f(9,5))，∵点B在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k<0)的图象上，∴k＝eq\f(3,5)×(－eq\f(9,5))＝－eq\f(27,25).第5题解图6.解：(1)当点M与点B重合时，如解图①，∵∠A＝60°，∴PA＝eq\f(1,2)AB＝2，∴t＝2；第6题解图①(2)①当0≤t≤2时，∵AP＝t，AM＝2t，∴BM＝4－2t，∵△APQ≌△BMF，∴AP＝BM，∴t＝4－2t，∴t＝eq\f(4,3)；②当2＜t≤4时，∵AP＝t，AM＝2t，∴BM＝2t－4.∵△APQ≌△BMF，∴AP＝BM，∴t＝2t－4，∴t＝4.综上所述，当t＝eq\f(4,3)或t＝4时，△APQ与△BMF全等；(3)①如解图②，当0≤t≤2时，第6题解图∵AP＝t，∴PQ＝eq\f(\r(3),2)t，∴MQ＝eq\f(3,2)t，∴S＝S△PQM＝eq\f(3\r(3),8)t2；②如解图③，当2＜t≤4时，易得AM＝2AP＝2t，BM＝2t－4，∴BF＝t－2，MF＝eq\r(3)(t－2)，∴S△BFM＝eq\f(\r(3),2)(t－2)2，∴S＝S△PQM－S△BFM＝－eq\f(\r(3),8)t2＋2eq\r(3)t－2eq\r(3).综上所述，S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),8)t2（0≤t≤2）,－\f(\r(3),8)t2＋2\r(3)t－2\r(3)（2＜t≤4）))；(4)如解图④，连接AE，∵△PQE为正三角形，∴PE＝eq\f(\r(3),2)t，在Rt△APE中，tan∠PAE＝eq\f(PE,PA)＝eq\f(\f(\r(3),2)t,t)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠PAE为定值，∴E的运动轨迹为直线，AE＝eq\r(AP2＋PE2)＝eq\f(\r(7),2)t，当t＝2时AE＝eq\r(7)，当t＝4时AE＝2eq\r(7)，∴E的运动路径长为2eq\r(7)－eq\r(7)＝eq\r(7).第6题解图④7.解：(1)由题意得，∠BEF＝∠BED＝90°，∵在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝3，cos∠ABC＝eq\f(BE,BF)，∴BF＝eq\f(BE,cos∠ABC)＝eq\f(3,cos30°)＝2eq\r(3)；(2)①当点E在BC上方时，如解图①，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，∴tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)，∴BC＝eq\f(AC,tan∠ABC)＝eq\f(3,tan30°)＝3eq\r(3).∵在△BDE中，∠DEB＝90°，∠DBE＝∠ABC＝30°，BE＝3，tan∠DBE＝eq\f(DE,BE)，∴DE＝BE·tan30°＝eq\r(3).∵点C，E，D在同一条直线上，且∠DEB＝90°，∴∠CEB＝180°－∠DEB＝90°.又∵在△CBE中，∠CEB＝90°，BC＝3eq\r(3)，BE＝3，∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝3eq\r(2)，∴CD＝CE＋DE＝3eq\r(2)＋eq\r(3).∵在△BCD中，S△BCD＝eq\f(1,2)CD·BE＝eq\f(1,2)BC·DH，∴DH＝eq\f(CD·BE,BC)＝eq\r(6)＋1；第7题解图①②当点E在BC下方时，如解图②，过点D作DM⊥BC，垂足为点M.在△BCE中，∵∠CEB＝90°，BE＝3，BC＝3eq\r(3)，∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝3eq\r(2)，∴CD＝CE－DE＝3eq\r(2)－eq\r(3).在△BDC中，S△BDC＝eq\f(1,2)BC·DM＝eq\f(1,2)CD·BE，∴DM＝eq\f(CD·BE,BC)＝eq\r(6)－1.综上所述，点D到直线BC的距离为eq\r(6)＋1或eq\r(6)－1；第7题解图②(3)如解图③，取BC的中点O，连接GO，则BD＝eq\f(EB,cos30°)＝2eq\r(3)，∴GO＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(3).∴点G在以O为圆心，eq\r(3)为半径的圆上．当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C，B，D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，圆弧长为eq\f(150π·\r(3),180)＝eq\f(5\r(3),6)π.∴点G所经过的路径长为eq\f(5\r(3),6)π；第7题解图③(4)eq\f(7