2024中考数学全国真题分类卷 第十七讲 平行四边形与多变形(含答案)

2024中考数学全国真题分类卷第十七讲平行四边形与多变形命题点1平行四边形的判定1.(2023河北)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是()2.(2023达州)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是()第2题图A.∠B＝∠FB.DE＝EFC.AC＝CFD.AD＝CF3.(新趋势)·注重学习过程(2023永州)如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F.(1)请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E(要求保留作图痕迹，不写作法)；第3题图(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠________(两直线平行，内错角相等).又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，∴∠EDB＝eq\f(1,2)∠ADB，∠DBF＝eq\f(1,2)∠DBC，∴∠EDB＝∠DBF.∴DE∥__________(______________________)(填推理的依据).又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥DF.∴四边形DEBF为平行四边形(________________________)(填推理的依据).4.(2023贺州)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝eq\f(3,4)，求四边形AFCE的面积．第4题图5.(2023毕节)如图①，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)如图②，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．第5题图命题点2平行四边形性质的相关证明与计算6.(2023广东省卷)如图，在▱ABCD中，一定正确的是()第6题图A.AD＝CDB.AC＝BDC.AB＝CDD.CD＝BC7.(2023湘潭)如图，在▱ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝()第7题图A.80°B.100°C.120°D.140°8.(2023内江)如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为()第8题图A.2B.4C.6D.89.(2023赤峰)如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是()第9题图A.四边形ABCD周长不变B.AD＝CDC.四边形ABCD面积不变D.AD＝BC源自人教八下P43第2题10.(2023无锡)如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则eq\f(ED,CD)的值是()第10题图A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)11.(2023泰安)如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为________.第11题图12.(2023邵阳)如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1＝40°，则∠2＝________．第12题图13.(2022青海省卷)如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm,BC＝4cm.则AD与BC之间的距离为________.第13题图14.(2022嘉兴)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2eq\r(3)，则AH的长为________．第14题图15.(2022哈尔滨)四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为________．16.(2023烟台)如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数．第16题图17.(2023扬州)如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积．第17题图18.(挑战题)(2023包头)如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G.(1)如图①，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N.①若AE＝eq\f(3,2)，求AG的长；②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；(2)如图②，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠EHG＝∠EFG＋∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长．第18题图命题点3多边形及其性质类型一多边形的计算19.(2023柳州)如图，四边形ABCD的内角和等于()第19题图A.180°B.270°C.360°D.540°20.(2022扬州)如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝()第20题图A.220°B.240°C.260°D.280°21.(2023河北)如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，，则正确的是()第21题图A.α－β＝0B.α－β＜0C.α－β＞0D.无法比较α与β的大小22.(2023眉山)一个多边形外角和是内角和的eq\f(2,9)，则这个多边形的边数为______．类型二正多边形的性质及计算23.(2023烟台)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是()A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十边形24.(2023甘肃省卷)大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图②，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为()第24题图A.2mmB.2eq\r(2)mmC.2eq\r(3)mmD.4mm25.(2023舟山)正八边形一个内角的度数是________．26.(2023株洲)如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝________度．第26题图27.(2022上海)六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，中间正六边形的面积为________．第27题图28.(2023宿迁)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是________．第28题图类型三平面镶嵌29.(2023青岛)图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是________°.第29题图参考答案与解析1.D【解析】A选项只能得到上下一组对边平行，不能判定为平行四边形；B选项只能得到左右一组对边平行，不能判定为平行四边形；C选项只能得到左右一组对边相等，不能判定为平行四边形；D选项可以得到上下一组对边平行且相等，可以判定为平行四边形．2.B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE＝eq\f(1,2)AC.当∠B＝∠F时，不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项A不符合题意，当DE＝EF时，DF＝AC，∴四边形ADFC为平行四边形，故选项B符合题意；当AC＝CF时，不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项C不符合题意；根据AD＝CF，DF∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项D不符合题意．3.解：(1)如解图，DE即为所求作的角平分线；第3题解图(2)DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形．4.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AE∥FC.∵ED＝BF，∴AD－ED＝BC－BF，即AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；(2)解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF.∵AC平分∠FAE，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠ACF＝∠FAC，∴AF＝FC，由(1)知四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO＝eq\f(1,2)AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝eq\f(3,4)，∴EO＝3，∴S△AOE＝eq\f(1,2)AO·EO＝eq\f(1,2)×4×3＝6，∴S菱形AFCE＝4S△AOE＝24.5.(1)证明：在△AOD和△COB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAO＝∠BCO，,AO＝CO，,∠AOD＝∠COB，))∴△AOD≌△COB，∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形；(2)解：如解图，连接DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，AB＝DC.∵BD＝2AB，∴DO＝DC.∵E，F分别是BO，CO的中点，∴DF⊥OC，EFeq\f(1,2)BC，EFeq\f(1,2)AD，∴∠DFA＝90°.∵G是AD的中点，∴GF＝eq\f(1,2)AD＝EF＝GD，∴四边形EFDG是平行四边形，∴GE＝DF.∵AC＝16，∴AF＝12，∵BC＝15，∴EF＝GF＝7.5，∴在Rt△ADF中，DF＝eq\r(AD2－AF2)＝eq\r(152－122)＝9，∴△EFG的周长为EF＋GF＋GE＝7.5＋7.5＋9＝24.第5题解图6.C7.C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝40°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝80°＋40°＝120°.8.B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝12，AD＝BC＝8，∴∠CMB＝∠ABM，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CMB＝∠CBM，∴CM＝CB＝8，∴DM＝CD－CM＝12－8＝4.9.D【解析】∵两张纸条对边平行，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，但长度在改变，∴周长、面积都会改变．10.D【解析】如解图，过点B作BF⊥AD于点F，则∠BFD＝∠BFA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＋∠ADC＝180°，AB＝CD，∵∠ADC＝105°，∴∠A＝75°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝75°，∴∠ADB＝30°，设BF＝x，则BD＝2x，DF＝eq\r(3)x，∴AF＝AD－DF＝BD－DF＝2x－eq\r(3)x，∴AB＝eq\r(BF2＋AF2)＝eq\r(x2＋（2x－\r(3)x）2)＝(eq\r(6)－eq\r(2))x，即CD＝(eq\r(6)－eq\r(2))x，∵∠EBA＝60°，∠A＝75°，∴∠BEF＝45°，∴∠EBF＝90°－45°＝45°，∴∠BEF＝∠EBF，∴EF＝BF＝x，∴ED＝DF－EF＝eq\r(3)x－x＝(eq\r(3)－1)x，∴eq\f(ED,CD)＝eq\f(（\r(3)－1）x,（\r(6)－\r(2)）x)＝eq\f(\r(2),2).第10题解图11.(－2，－1)【解析】∵A(－1，2)，D(3，2)，∴AD∥x轴，AD＝4.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD，∴BC∥x轴，BC＝4，∵C(2，－1)，点C在点B右边，∴点B的坐标为(－2，－1).12.110°【解析】∵在等腰△ABC中，∠A＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵∠1＝40°，∴∠ABE＝70°，∵四边形ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴∠2＋∠ABE＝180°，∴∠2＝110°.13.6cm【解析】设AD与BC之间的距离为hcm，∵BD＝8cm，AE＝3cm，AE⊥BD，∴S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AE＝eq\f(1,2)×8×3＝12(cm2)，∴S▱ABCD＝2S△ABD＝24(cm2)，又∵S▱ABCD＝BC·h＝24，BC＝4cm，∴h＝eq\f(24,4)＝6(cm).14.eq\f(2\r(3),3)【解析】∵AB⊥AC，BC＝2eq\r(3)，AB＝2，∴在Rt△ABC中，AC＝eq\r(BC2－AB2)＝2eq\r(2)，∴在▱ABCD中，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).在Rt△ABO中，BO＝eq\r(AO2＋AB2)＝eq\r(6)，∵AB⊥AC，AH⊥BD，∴∠OAB＝∠AHB＝90°.又∵∠ABO＝∠HBA，∴△ABO∽△HBA，∴eq\f(AH,AO)＝eq\f(AB,BO)，即eq\f(AH,\r(2))＝eq\f(2,\r(6))，解得AH＝eq\f(2\r(3),3).15.20或28【解析】如解图①，当点E在线段BC上时，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝6，∵CE＝2，∴BC＝BE＋CE＝6＋2＝8，∴▱ABCD的周长为2×(6＋8)＝28；如解图②，当点E在线段BC延长线上时，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝6，∵CE＝2，∴BC＝BE－CE＝6－2＝4，∴▱ABCD的周长为2×(6＋4)＝20，∴▱ABCD的周长为20或28.第15题解图16.解：如解图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2.又∵DF平分∠ADC，第16题解图∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∵∠A＝40°，∴∠2＝∠3＝70°.又∵BE∥DF，∴∠ABE＝∠2＝70°.17.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，AD∥BC，∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，∴∠CBE＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ADG＝eq\f(1,2)∠ADC，∴∠CBE＝∠ADG，∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠BCE，∴△ADG≌△CBE，∴∠AGD＝∠BEC，BE＝DG，∴∠CGD＝∠AEB，∴BE∥DG；(2)解：如解图，过点E作EM⊥BC于点M，第17题解图∵▱ABCD的周长为56，∴AB＋BC＝28，∵BE为∠ABC的平分线，∴EF＝EM＝6，∴S△ABC＝S△ABE＋S△BCE＝eq\f(1,2)AB·EF＋eq\f(1,2)BC·EM＝eq\f(1,2)×6(AB＋BC)＝84.18.(1)①解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6，∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，∴△AGE∽△DCE，∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(AE,DE)，∴AG·DE＝DC·AE.∵AE＝eq\f(3,2)，∴DE＝AD－AE＝6－eq\f(3,2)＝eq\f(9,2)，∴eq\f(9,2)AG＝5×eq\f(3,2)，∴AG＝eq\f(5,3)；②证明：∵AD∥BC，∴∠EFN＝∠CMN，∵EN＝NC，∠ENF＝∠CNM，∴△ENF≌△CNM，∴EF＝CM，∵AE＝eq\f(3,2)，AE＝DF，∴EF＝AD－AE－DF＝3，∴CM＝3，∴BM＝BC－CM＝3，∴BM＝CM，∵AB＝AC，∴AM⊥BC；(2)解：如解图，连接CF，第18题解图∵AB＝AC，AB＝DC，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AE＝DF，∴△AEC≌△DFC，∴CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE.∵∠EHG＝∠EFG＋∠CEF，∴∠EHG＝∠EFG＋∠CFE＝∠CFG，∴EH∥CF，∴eq\f(GH,HF)＝eq\f(GE,EC)，∵HF＝2GH，∴eq\f(GE,EC)＝eq\f(1,2).由(1)①知△AGE∽△DCE，∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(GE,CE)＝eq\f(1,2)，∴DE＝2AE.∵AD＝6，∴AE＝2，∴DF＝2，∴EF＝AD－AE－DF＝2.19.C20.D【解析】如解图，连接BD，∵∠BCD＝100°，∴∠CBD＋∠CDB＝180°－100°＝80°，∴∠A＋∠ABC＋∠CDE＋∠E＝360°－(∠CBD＋∠CDB)＝360°－80°＝280°.第20题解图21.A【解析】任意多边形外角和度数均为360°，∴△ABC与四边形BCDE的外角和度数都为360°，∴α＝β＝360°，∴α－β＝0.22.11【解析】∵外角和等于内角和的eq\f(2,9)，多边形的外角和为360°，∴内角和等于360°÷eq\f(2,9)＝1620°，设多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝1620°，解得n＝11，故该多边形的边数是11.23.C【解析】∵该正多边形每个内角与它相邻的外角的度数比为3∶1，∴可设该正多边形每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x，x，∴x＋3x＝180°，解得x＝45°.∵正多边形的外角和为360°，∴该多边形的边数为360°÷45°＝8，∴这个正多边形是正八边形．24.D【解析】如解图，分别过点B，C作BM⊥AD，CN⊥AD于点M，N，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAM＝60°，∠ABM＝30°，∴AM＝eq\f(1,2)AB，同理DN＝eq\f(