2024中考数学全国真题分类卷 第十九讲 圆的基本性质 (含答案)

2024中考数学全国真题分类卷第十九讲圆的基本性质命题点1圆周角定理及其推论有关的计算1.(2023铜仁)如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为()第1题图A.30°B.40°C.50°D.60°2.(2023滨州)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为()第2题图A.32°B.42°C.52°D.62°3.(2023陕西)如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝()第3题图A.44°B.45°C.54°D.67°4.(2023山西)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是()第4题图A.60°B.65°C.70°D.75°源自北师九下P84第2题5.(2023包头)如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点．连接BC，DE.若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为()第5题图A.22°B.32°C.34°D.44°6.(2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为()第6题图A.2eq\r(3)B.3eq\r(2)C.2eq\r(5)D.eq\r(5)7.(2022武汉)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E.若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是()第7题图A.21.9°＜α＜22.3°B.22.3°＜α＜22.7°C.22.7°＜α＜23.1°D.23.1°＜α＜23.5°8.(2023常州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝eq\r(2)，则⊙O的半径是________．第8题图9.(2023凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．第9题图10.(2023济宁)如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°.若CD＝a，tan∠CBD＝eq\f(1,3)，则AD的长是________．第10题图命题点2垂径定理及其推论[2023版课标探索并证明垂径定理调整为要求内容]类型一垂径定理及其推论有关的计算11.(2023云南)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为()第11题图A.eq\f(7,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(7,12)D.eq\f(13,12)12.(2023南充)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为()第12题图A.70°B.65°C.50°D.45°13.(2023安徽)已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝()A.eq\r(14)B.4C.eq\r(23)D.514.(2023邵阳)如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是()A.eq\f(3,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)D.eq\f(5,2)第14题图15.(2023泸州)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC＝4eq\r(2)，DE＝4，则BC的长是()第15题图A.1B.eq\r(2)C.2D.416.(2023湖州)如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D.若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是________．第16题图类型二垂径定理的实际应用17.(新趋势)·真实问题情境(2023鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图①所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图①所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图②是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为()A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm第17题图18.(2023青海省卷)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为________m.第18题图源自人教九上P90第8题19.(新趋势)·跨学科背景(2023遵义)数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；(参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为________千米．第19题图命题点3圆内接四边形20.(2022吉林省卷)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为()第20题图A.30°B.45°C.50°D.65°21.(2023自贡)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是()第21题图A.90°B.100°C.110°D.120°22.(2022泰安)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为()A.2eq\r(3)－2B.3－eq\r(3)C.4－eq\r(3)D.2第22题图23.(2023雅安)如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为________．第23题图命题点4圆的基本性质综合题更多试题见P81题型四类型一24.(2023湘潭)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．第24题图25.(2022上海)已知：在⊙O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M、N分别是CB和AD的中点，连接MN，OG.(1)求证：OG⊥MN；(2)连接AC、AM、CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．第25题图26.(2023武汉)如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD.(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝10，BE＝2eq\r(10)，求BC的长．第26题图27.(2023成都)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使＝，连接DE，作射线CE交AB边于点F.(1)求证：∠A＝∠ACF；(2)若AC＝8，cos∠ACF＝eq\f(4,5)，求BF及DE的长．第27题图参考答案与解析1.B2.A【解析】∵∠APD是△ACP的外角，∴∠A＋∠C＝∠APD.∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝∠APD－∠A＝80°－48°＝32°，∴∠B＝∠C＝32°.3.A【解析】如解图，连接OB，∵△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，∴∠AOB＝2∠C＝92°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝eq\f(180°－∠AOB,2)＝eq\f(180°－92°,2)＝44°.第3题解图4.C【解析】如解图，连接CD，即∠ADC＝∠B＝20°.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝180°－90°－20°＝70°.第4题解图5.C【解析】如解图，连接OE，∵∠ABC＝22°，∴∠AOC＝44°，∴∠BOC＝136°，∵E为劣弧的中点，∴∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC＝68°，∴∠CDE＝34°.第5题解图6.D【解析】如解图，连接BC，∵∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD.∵AD＝2，∴BC＝AD＝2.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝4，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴⊙O的半径为eq\r(5).第6题解图7.B【解析】如解图，连接AC，CD，DE.∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵＝，∴BE＝DE，∴AC＝CD＝DE＝BE，∴∠EDB＝∠ABC＝α，∴∠DCE＝∠CED＝2∠ABC＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠ABC＋∠DCE＝3α，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ABC＝90°，即3α＋α＝90°，解得α＝22.5°，∴22.3°＜α＜22.7°.第7题解图8.1【解析】如解图，连接OA，OC，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∴△AOC为等腰直角三角形，∵AC＝eq\r(2)，∴OA＝OC＝1.第8题解图9.eq\f(2\r(13),13)【解析】如解图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，∴cos∠ADB＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(4,2\r(13))＝eq\f(2\r(13),13)，∵∠ACB＝∠ADB，∴cos∠ACB的值是eq\f(2\r(13),13).第9题解图10.2eq\r(2)a【解析】如解图，连接AB，过点C作CE⊥AD于点E，∵∠ACB＝90°，BC＝AC，∴AB是⊙O的直径，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CAD＋∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周相等可得，∠BCD＝∠BAD，∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＋∠BCD＝45°，∴∠CDB＝180°－(∠CBD＋∠BCD)＝135°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDE＝∠CDB－∠ADB＝45°.又∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CD＝a，∴CE＝DE＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(\r(2),2)a.∵tan∠CBD＝eq\f(1,3)，∴tan∠CAD＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(\f(\r(2),2)a,AE)＝eq\f(1,3)，解得AE＝eq\f(3\r(2),2)a，∴AD＝AE＋DE＝2eq\r(2)a.第10题解图11.B【解析】由垂径定理得，CE＝DE＝12，∵AB＝26，∴OC＝13，在Rt△OCE中，cos∠OCE＝eq\f(CE,OC)＝eq\f(12,13).12.C【解析】如解图，连接BD，∵弦CD垂直于直径AB，∴＝，∴∠ABC＝∠ABD，∵OF⊥BC，∴∠OFB＝90°，∴∠ABC＝∠ABD＝90°－∠BOF＝90°－65°＝25°，∴∠AOD＝2∠ABD＝2×25°＝50°.第12题解图13.D【解析】如解图①，过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接OA，OP，则AM＝eq\f(4＋6,2)＝5，∵OA＝7，∴根据勾股定理得，OM＝eq\r(72－52)＝2eq\r(6)，∵PM＝AM－PA＝1，∴OP＝eq\r(（2\r(6)）2＋12)＝5.第13题解图①第13题解图②【一题多解】如解图②，过点P作⊙O的直径CD，连接BC，AD.∵∠C＝∠A，∠B＝∠D，∴△PBC∽△PDA，∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)，设OP＝a，∵OC＝OD＝7，则eq\f(6,7－a)＝eq\f(7＋a,4)，解得a＝5(负值已舍去)，∴OP＝5.14.C【解析】如解图，连接OB，过点O作OD⊥AB于点D，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝3，∴AD＝BD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3,2)，∠ABO＝30°，∴BO＝eq\f(BD,cos∠ABO)＝eq\f(\f(3,2),cos30°)＝eq\r(3)，即⊙O的半径是eq\r(3).第14题解图15.C【解析】∵OD⊥AC，∴AD＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，设OD＝x，则OE＝OA＝4－x，在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，∴(4－x)2＝x2＋(2eq\r(2))2，∴x＝1，∴OD＝1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC.∵O为AB的中点，∴BC＝2OD＝2.16.30°【解析】∵OC⊥AB，OA＝OB，∴OC平分∠AOB.∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴∠APD＝eq\f(1,2)∠AOD＝30°.17.C【解析】如解图，连接OE交AB于点F，连接OA，设OA＝R，∵AC＝BD＝4cm，∴OF＝R－4，又∵AB＝CD＝16cm，∴AF＝8cm，在Rt△OAF中，R2＝(R－4)2＋82，解得R＝10cm，即直径为20cm.第17题解图18.eq\f(10,3)【解析】如解图，连接OA，设此圆的半径为rm，则OA＝OD＝rm，∵AB＝4m，CD＝6m，CD⊥AB，CD经过圆心，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×4＝2(m)，OC＝CD－OD＝(6－r)m，在Rt△AOC中，OA2＝OC2＋AC2，即r2＝(6－r)2＋22，解得r＝eq\f(10,3)，即⊙O的半径长为eq\f(10,3)m.第18题解图19.33792【解析】如解图，过点O作OD⊥BC于点D，根据题意得OB＝OA＝6400，∵BC∥OA，∴∠B＝∠BOA＝28°，∵在Rt△BOD中，∠B＝28°，∴BD＝OB·cos28°，∵OD⊥BC，∴由垂径定理可知BD＝DC＝eq\f(1,2)BC，∴以BC为直径的圆的周长为2π×BD≈2×3×6400×0.88＝33792.第19题解图20.D【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝120°，∴∠CDA＝180°－∠B＝180°－120°＝60°，∵∠APC＝∠CDA＋∠DCP，∴∠APC>∠CDA，∴∠APC>60°，∴∠APC的度数可能为65°.21.C【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°－20°＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD＋∠A＝180°，∴∠BCD＝110°.22.C【解析】如解图，延长AB、DC交于点E，∵∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，∠CBE＝90°，∠ECB＝60°，∴∠E＝30°，设CE＝2x，则BE＝eq\r(3)x.∵AB＝2，CD＝1，∴cosE＝eq\f(ED,AE)＝eq\f(BE,EC)，即eq\f(1＋2x,2＋\r(3)x)＝eq\f(\r(3)x,2x)，解得x＝2eq\r(3)－2，∴AD＝eq\f(AE,2)＝eq\f(\r(3)（2\r(3)－2）＋2,2)＝4－eq\r(3).第22题解图23.144°【解析】∵∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，∠DCE＝72°，∴∠A＝∠DCE＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.24.(1)证明：∵∠C和∠B都是所对的圆周角，∴∠C＝∠B，∵∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；(2)解：∵∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2AD＝6，∴OA＝3，即⊙O的半径为3.【一题多解】如解图，连接OD，∵∠C＝30°，∴∠AOD＝2∠C＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴OA＝AD＝3，即⊙O的半径为3.第24题解图25.证明：(1)如解图，连接OM，ON，∵在⊙O中，AD＝BC，M、N分别是BC和AD的中点，∴OM＝ON，OM⊥BC，ON⊥AD，∵OG＝OG，∴Rt△MOG≌Rt△NOG，∴GM＝GN，∴点O和点G都在线段MN的垂直平分线上，∴OG⊥MN；(2)∵AD＝BC，M、N分别是BC和AD的中点，∴AN＝CM，∵GM＝GN，∴AG＝CG，∠GMN＝∠GNM，∵CN∥OG，OG⊥MN，∴CN⊥MN，∵∠GMN＋∠MCN＝90°，∠GNM＋∠CNG＝90°，∴∠MCN＝∠CNG，∴GN＝CG，∴GM＝GN＝CG＝AG，∴四边形ACNM为矩形．第25题解图26.解：(1)△BDE为等腰直角三角形．证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.∵∠BED＝