2024中考数学全国真题分类卷 第二十一讲 与圆有关的计算 强化训练(含答案)

2024中考数学全国真题分类卷第二十一讲与圆有关的计算强化训练命题点1扇形的相关计算类型一弧长的计算1.(2023甘肃省卷)如图，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路()的长度为()第1题图A.20πmB.30πmC.40πmD.50πm2.(2023黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为()第2题图A.πB.eq\f(4,3)πC.eq\f(5,3)πD.2π3.(2023丽水)某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2eq\r(3)m，则改建后门洞的圆弧长是()第3题图A.eq\f(5π,3)mB.eq\f(8π,3)mC.eq\f(10π,3)mD.(eq\f(5π,3)＋2)m4.(2023攀枝花)如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE.若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为________(结果保留π).第4题图5.(新趋势)·跨学科知识(2023衡阳)如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了________cm.(结果保留π)第5题图6.(2023宜昌)如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到△AB′C′，则点B运动的路径的长为________．第6题图7.(2023福建)如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.(1)求证：AC＝AF；(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长(结果保留π).第7题图类型二扇形面积的计算8.(2023凉山州)家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为()A.eq\f(1,2)π米2B.eq\f(1,4)π米2C.eq\f(1,8)π米2D.eq\f(1,16)π米2第8题图9.(2023台州)一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为()A.(840＋6π)m2B.(840＋9π)m2C.840m2D.876m210.(2023玉林)数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计)，则所得扇形DAB的面积是________．第10题图11.(2023盐城)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B′处，线段AB扫过的面积为________.第11题图命题点2与扇形有关的阴影部分面积计算类型一直接和差法12.(2023兰州)如图①是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为()第12题图A.4.25πm2B.3.25πm2C.3πm2D.2.25πm213.(2023泰安)如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为()第13题图A.6π－9eq\r(3)B.12π－9eq\r(3)C.6π－eq\f(9\r(3),2)D.12π－eq\f(9\r(3),2)14.(2023山西)如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为()第14题图A.3π－3eq\r(3)B.3π－eq\f(9\r(3),2)C.2π－3eq\r(3)D.6π－eq\f(9\r(3),2)15.(2023重庆A卷)如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F.若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为________．(结果不取近似值)第15题图类型二构造和差法16.(2023赤峰)如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为()第16题图A.2πB.2eq\r(2)C.2π－4D.2π－2eq\r(2)17.(2022资阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝eq\r(3)cm，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为________cm2.第17题图18.(2023河南)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为__________．第18题图19.(2023梧州)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形．分别以点A，O为圆心，取大于eq\f(1,2)OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F.若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为________．第19题图类型三等积转化法20.(2023遵义)如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N.若AB＝1，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(π,8)－eq\f(1,8)B.eq\f(π,8)－eq\f(1,4)C.eq\f(π,2)－eq\f(1,8)D.eq\f(π,2)－eq\f(1,4)第20题图21.(2022泰安)若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．第21题图22.(2023广元)如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2eq\r(3)，则阴影部分的面积为________.第22题图类型四容斥原理法23.(2022荆门)如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为________．第23题图命题点3圆切线与求阴影部分面积结合24.(2023齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF.(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．第24题图25.(2023益阳)如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB.(1)求证：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；(3)在(2)的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).第25题图命题点4圆锥、圆柱的相关计算26.(2023无锡)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为()A.12πB.15πC.20πD.24π27.(2023赤峰)如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为()A.10cmB.20cmC.5cmD.24cm第27题图28.(2023云南)某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是________．29.(2022广西北部湾经济区)如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分).且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥．则圆锥的底面圆半径是________．第29题图命题点5圆与正多边形的相关计算30.(2022贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是()A.144°B.130°C.129°D.108°第30题图31.(2023雅安)如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为()第31题图A.3eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(3\r(3),2)D.332.(2022山西)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为()第32题图A.2πB.4πC.eq\f(\r(3),3)πD.eq\f(2\r(3),3)π33.(2022绥化)边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是________．参考答案与解析1.C【解析】根据弧长公式l＝eq\f(nπr,180)＝eq\f(80×π×90,180)＝40π.2.B【解析】如解图，连接CD，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝8，∴∠CAB＝60°，AC＝4.∵AC＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°.∴弧AD的长为eq\f(60π×4,180)＝eq\f(4,3)π.第2题解图3.C【解析】∵圆弧所在圆外接于矩形，且矩形四个角均为直角，∴直角所对的弦为直径，∴如解图，连接矩形对角线的交点O即为圆心，∵AB＝2，AD＝2eq\r(3)，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝4，∴∠ADB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OA＝OD＝OB＝OC＝2，∴∠AOB＝∠DOC＝60°，∴圆弧长为eq\f(300π×2,180)＝eq\f(10π,3).第3题解图4.eq\f(π,3)【解析】∵∠BAE＝65°，∴∠BOE＝2∠BAE＝130°，∵∠COD＝70°，∴∠BOC＋∠DOE＝∠BOE－∠COD＝130°－70°＝60°，∴与的长度之和为eq\f(60π×1,180)＝eq\f(π,3).5.4π【解析】由题意可知，重物上升的高度即为120°的圆心角所对应的弧长，∴重物上升的高度为eq\f(120π×6,180)＝4π.6.eq\f(5,2)π【解析】由题可得旋转角∠BAB′＝90°，AB＝AB′，∵在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∴路径的长为eq\f(90π×5,180)＝eq\f(5,2)π.7.(1)证明：∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴∠B＝∠D.又∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF；(2)解：如解图，连接AO，CO.由(1)得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴∠AFC＝eq\f(180°－30°,2)＝75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°.∴的长为eq\f(150π×3,180)＝eq\f(5,2)π.第7题解图8.C【解析】如解图，连接BC，OA.∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径．∵BC＝1米，∴OA＝OB＝eq\f(1,2)米，由题意可知AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝eq\f(\r(2),2)米，∴S扇形＝eq\f(90π×（\f(\r(2),2)）2,360)＝eq\f(1,8)π米2.第8题解图9.B【解析】如解图，该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2＋60×3×2＋32π＝(840＋9π)m2.第9题解图10.1【解析】∵正方形ABCD的边长为1，∴AB＝AD＝1，的长为2，∴S扇形DAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2×1＝1.11.eq\f(π,3)【解析】如解图，过点B′作B′H⊥AB于点H，∵B′H＝BC＝1，AB′＝AB＝2，∴∠B′AH＝30°，∴线段AB所扫过的面积为eq\f(30π×22,360)＝eq\f(π,3).第11题解图12.D【解析】S阴影＝S扇形AOD－S扇形BOC＝eq\f(120π×32,360)－eq\f(120π×1.52,360)＝eq\f(1,3)×π×(9－2.25)＝2.25π(m2).13.B【解析】如解图，过点E作EG⊥CD于点G，∵∠A＝60°，AD⊥DE，∴∠AED＝30°.∵AB∥CD，∴∠EDF＝∠AED＝30°.又∵DE＝EF，∴∠DFE＝∠EDF＝30°，∴∠DEF＝180°－∠DFE－∠EDF＝120°.在Rt△DEG中，DE＝6，∠EDF＝30°，∴EG＝DE·sin∠EDF＝3，DG＝DE·cos∠EDF＝3eq\r(3)，∴DF＝2DG＝6eq\r(3)，∴S阴影＝S扇形DEF－S△DEF＝eq\f(120π×62,360)－eq\f(1,2)×6eq\r(3)×3＝12π－9eq\r(3).第13题解图14.B【解析】如解图，连接OC，∵扇形AOB沿着AB折叠，点O落在上的点C处，∴四边形OACB是菱形．又∵OA＝AC＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°.∵S菱形OACB＝2S△AOC，∴S阴影＝S扇形AOB－S菱形OACB＝eq\f(120π×32,360)－2×eq\f(\r(3),4)×32＝3π－eq\f(9\r(3),2).第14题解图15.2eq\r(3)－eq\f(2π,3)【解析】如解图，连接BD交AC于点M.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠AMD＝90°，∠DAM＝eq\f(1,2)∠BAD＝30°，AM＝eq\f(1,2)AC，DM＝eq\f(1,2)BD，∴在Rt△ADM中，DM＝eq\f(1,2)AD＝1，AM＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\r(3)，∴AC＝2AM＝2eq\r(3)，BD＝2DM＝2，∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3)，S扇形DAE＝S扇形BCF＝eq\f(30π×22,360)＝eq\f(π,3)，∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形DAE－S扇形BCF＝2eq\r(3)－eq\f(π,3)－eq\f(π,3)＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).第15题解图16.C【解析】如解图，连接OC，OE，过点O作ON⊥CE于点N，∵AC＝AD且∠A＝30°，∴∠ADC＝∠ACD＝75°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝45°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC＝45°，∴∠EOC＝90°，∵CE＝4，∴ON＝EN＝CN＝2，OE＝OC＝2eq\r(2)，∴S阴影＝S扇形COE－S△OEC＝eq\f(90π×（2\r(2)）2,360)－eq\f(1,2)×4×2＝2π－4.第16题解图17.eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3)【解析】如解图，连接BE，由题意得BE＝AB＝2cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，BC＝AD＝eq\r(3)cm，∴cos∠EBC＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝60°，CE＝1cm，∴S阴影＝S矩形ABCD－S扇形ABE－S△ECB＝2×eq\r(3)－eq\f(60π×22,360)－eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝(eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3))cm2.第17题解图18.eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)【解析】如解图，设O′A′与交于点C，连接OC，∵点O′是OB的中点，∴OO′＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)OA＝1，由平移可得∠CO′O＝90°，∴cos∠COO′＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，∴∠COO′＝60°，∴CO′＝eq\r(3)OO′＝eq\r(3)，∴S阴影＝S扇形A′O′B′＋S△COO′－S扇形COB＝eq\f(90π×22,360)＋eq\f(1,2)×eq\r(3)×1－eq\f(60π×22,360)＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2).第18题解图19.eq\f(π,12)－eq\f(2－\r(3),4)【解析】如解图，连接OE，OB，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，由尺规作图知MN垂直平分OA，∴AE＝OE，∵OA＝OE，∴△OAE是等边三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∠AOE＝60°，设MN与OA交于点G，则EG＝OE·sin∠AOE＝1×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴S阴影＝S扇形AOB－S△OAB－S弓形AE＝S扇形AOB－S△OAB－(S扇形AOE－S△OAE)＝eq\f(90π×12,360)－eq\f(1,2)×1×1－(eq\f(60π×12,360)－eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2))＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)－eq\f(π,6)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π,12)－eq\f(2－\r(3),4).第19题解图20.B【解析】如解图，以点O为圆心，以OD为半径作，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴OB＝OD＝OC＝eq\f(\r(2),2)，∠DOC＝90°，∵∠EOB＝∠FOD，∴S扇形BOM＝S扇形DON，易知△BOE≌△DOF，∴S阴影＝S扇形COD－S△COD＝eq\f(90π×（\f(\r(2),2)）2,360)－eq\f(1,4)×1×1＝eq\f(π,8)－eq\f(1,4).第20题解图【一题多解】∵在正方形ABCD中，AB＝1，∴⊙O的半径为OB＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)，∵EF过点O，∴由中心对称可得四边形EBCF的面积等于正方形面积的一半，又∵S△OBC＝eq\f(1,4)S正方形ABCD，∴S阴影＝S半圆－eq\f(1,2)S正方形ABCD－(S扇形BOC－S△OBC)＝eq\f(1,2)π×(eq\f(\r(2),2))2－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(90π×（\f(\r(2),2)）2,360)＋eq\f(1,4)×1×1＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)－eq\f(π,8)＋eq\f(1,4)＝eq\f(π,8)－eq\f(1,4).21.4【解析】如解图，连接CD，则阴影部分面积为△ABC面积的一半，即eq\f(1,2)×4×4×eq\f(1,2)＝4.第21题解图22.eq\f(2π,3)【解析】如解图，过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，连接AO，AE，根据垂径定理得AD＝BD＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，∴OD＝DE＝eq\f(1,2)OA，∴∠OAD＝30°，∴∠OAE＝60°，∵OA＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠E＝60°，在Rt△AOD中，AO＝eq\f(AD,cos30°)＝eq\f(\f(\r(3),\r(3)),2)＝2，∵AD＝BD，∠ADE＝∠BDO＝90°，DE＝OD，∴△ADE≌BDO(SAS)，∴S阴影＝S扇形AEO＝eq\f(60π×22,360)＝eq\f(2π,3).第22题解图【一题多解】如解图，过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，连接AO，AE，∴AD＝BD＝eq\r(3)，∠ODB＝90°，由折叠可知，OD＝DE＝eq\f(1,2)OB，可得∠OBD＝30°，∠AOB＝120°，∴OB＝eq\f(BD,cos∠OBD)＝2，∴S扇形AOB＝eq\f(120π×22,360)＝eq\f(4π,3)，S△AOB＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3)，S扇形AOB－S△AOB＝eq\f(4π,3)－eq\r(3).OE左边阴影部分面积为eq\f(1,2)(S扇形AOB－S△AOB)＝eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2)，OE右边阴影部分面积为eq\f(1,2)S△AOB＝eq\f(\r(3),2)，整体阴影部分面积为两部分阴影面积之和即为eq\f(2π,3).23.2eq\r(3)－eq\f(2π,3)【解析】如解图，连接PB，PC，过点P作PF⊥BC于点F，∵PB＝BC＝PC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB·cos60°＝eq\f(1,2)PB＝1，PF＝PB·sin60°＝eq\r(3)，∴S阴影＝[S扇形ABP－(S扇形BPC－S△BPC)]×2＝[eq\f(30π×22,360)－(eq\f(60π×22,360)－eq\f(1,2)×2×eq\r(3))]×2＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).第23题解图24.(1)证明：如解图，连接BD，第24题解图∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵CF∥AB，∴∠FCB＝∠ABC，∠ABF＋∠F＝180°，∴∠FCB＝∠ACB，∵CF＝CD，BC＝BC，∴△BCF≌△BCD(SAS).∴∠F＝∠BDC＝90°，又∵∠ABF＋∠F＝180°，∴∠ABF＝90°，且AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接OE，与BD交于点M，∵∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，AD＝4，∴BD＝AD＝4，∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝4eq\r(2)，∴OB＝2eq\r(2)，∴OE＝OB＝2eq\r(2)，∴∠OEB＝∠ABC.∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠BOE＝∠BAC＝45°，∴OE∥AC，∴∠OMB＝∠ADB＝90°，∴BM＝OM＝2，∴S阴影＝S扇形BOE－S△OBE＝eq\f(45π×（2\r(2)）2,360)－eq\f(2×2\r(2),2)＝π－2eq\r(2).25.(1)证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CP为半圆O的切线，OC为半圆O的半径，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＋∠OCB＝∠OCB＋∠BCP，∴∠ACO＝∠BCP；(2)解：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠COB＝∠OAC＋∠OCA＝2∠ACO，∵∠ABC＝2∠BCP，∠ACO＝∠BCP，∴∠ABC＝∠COB，又∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠COB＝∠OCB＝60°，∴∠P＝90°－∠COB＝30°；(3)解：由(2)知∠OAC＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB，又∵AB＝4，∴BC＝2，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(