2025版高考数学一轮总复习专题检测11.1随机事件古典概型与几何概型

.1随机事务、古典概型与几何概型一、选择题1.(2024届江苏百校联考,6)一次劳动实践活动中,某同学不慎将两件次品混入三件正品中,它们形态、大小完全相同,该同学采纳技术手段进行检测,恰好三次检测出两件次品的概率为()A.15B.14C.25答案D恰好三次检测出两件次品可分为前三次检测的均为正品,和前两次恰有一次检测出了一件次品,第三次检测出了一件次品两种状况.前三次检测的均为正品的概率为A33A53,前两次恰有一次检测出了一件次品,第三次检测出了一件次品的概率为C21C21C2.(2024届武汉月考,5)下列命题中正确的是()A.事务A发生的概率P(A)等于事务A发生的频率fn(A)B.掷一枚质地匀称的骰子一次,得到3点的概率是16,说明掷6次这枚骰子肯定会出现一次3C.掷两枚质地匀称的硬币,事务A为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,事务B为“两枚都是正面朝上”,则P(A)=2P(B)D.对于两个事务A、B,若P(A∪B)=P(A)+P(B),则事务A与事务B互斥答案C频率与试验次数有关,总在概率旁边摇摆,故选项A错误;概率是指这件事发生的可能性,故选项B错误;P(A)=24=12,P(B)=14,所以P(A)=2P(B),故选项C正确;因为P(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(A∩B)=0,若是在同一试验下,说明事务A与事务B肯定是互斥事务,但若在不同试验下,事务A和B不肯定互斥,故选项3.(2024届河南安阳模拟,6)已知圆O:x2+y2=16,直线l:4x+3y-25=0,在圆O上任取一点A,则点A到直线l的距离大于3的概率为()A.23B.13C.16答案A圆心O(0,0)到直线l的距离d=|-25|32+42=5>4,则直线l与圆O相离.如图,设l1∥l,且l1交圆O于C,B,过O作OH⊥l于H,交l1于D,且满意|DH|=3,则|OD|=2,故∠COB=23π.则点A在优弧CB上(不含点B,C)运动时,满意点A到直线l的距离大于3,故所求的概率P=2π4.(2024届广东省级联测,6)十进制的算筹计数法是中国数学史上一个宏大的创建,算筹事实上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”,现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数,算筹不能剩余,则这个三位数能被3整除的概率为()A.14B.16C.512答案A用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数有123,132,231,213,312,321,127,172,217,271,712,721,163,136,316,361,613,631,167,176,617,671,716,761,其中能被3整除的有123,132,231,213,312,321,故所求概率为624=14.故选5.(2024届江西月考,5)在区间[-2,3]上随机取一个数t,使-t2+t+2>0的概率为()A.15B.25C.35答案C由-t2+t+2>0,得t2-t-2<0,解得-1<t<2,所以所求的概率P=2-(-1)3-(-2)=35,故选6.(2024届河南信阳月考,8)已知直线y=x+1与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,则在圆O中任取一点,该点取自△ABO内的概率为()A.12B.14C.12π答案C联立y=x+1,x2+y2=1,解得x=0,y=1或x=-1,y=0,则△ABO的面积S=12×1×1=127.(2024届郑州模拟,6)一个陶瓷圆盘的半径为10cm,中间有一个边长为4cm的正方形花纹,向盘中投入1000粒米后,发觉落在正方形花纹上的米共有51粒,据此估计圆周率π的值为(精确到0.001)()A.3.132B.3.137C.3.142D.3.147答案B由几何概型概率公式可得S正S圆=42π·102≈518.(2024湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学探讨成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为()A.79B.29C.49答案A设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事务A,所以P(A)=C52C102=29,因此P(A)=1-P(A)=1-29.(2024河南焦作模拟,6)在区间(-10,10)内任取一数x,则满意log2x<2的概率为()A.110B.15C.25答案B∵log2x<2,∴0<x<4,∴在区间(-10,10)内任取一数x,则满意log2x<2的概率为4-010-(-10)=15,故选10.(2024届西南八省名校联考,7数学成就与古典概型)哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题之一,自1742年提出至今,已经困扰数学界近三个世纪.哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”,如14=3+11.依据哥德巴赫猜想,拆分22的全部质数记为集合A,从A中随机选取两个不同的数,其差大于8的概率为()A.15B.25C.35答案B因为22=3+19=5+17=11+11,所以A={3,5,11,17,19},所以从A中任取两个不同的数,基本领件有{3,5},{3,11},{3,17},{3,19},{5,11},{5,17},{5,19},{11,17},{11,19},{17,19},共10个,满意两数之差大于8的基本领件为{3,17},{3,19},{5,17},{5,19},共4个,所以P=410=25.故选11.(2024届黑龙江大庆模拟,8)如图,每个小正方形的边长为1,小正方形的顶点称为“格点”,假如一个多边形的每一个顶点都在格点上,则称该多边形为“格点多边形”.1899年奥地利数学家匹克(Pick)对格点多边形面积的计算提出匹克定理:设格点多边形内部含有N个格点,边界上含有L个格点,则该格点多边形的面积S=N+L2-1.在矩形ABCD内随机取一点,此点取自格点多边形MNPQR内的概率为(A.12B.1120C.35答案DS矩形ABCD=5×4=20,∵格点多边形MNPQR内部含10个格点,边界上含有5个格点,∴S多边形MNPQR=10+52-1=232,由几何概型概率公式得,在矩形ABCD内随机取一点,此点取自格点多边形MNPQR内的概率为S多边形MNPQRS矩形ABCD=12.(2024届安徽蚌埠质检,8数学成就与几何概型)莱洛三角形是一种特别三角形,指分别以正三角形的三个顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.莱洛三角形的特点是:在任何方向上都有相同的宽度,即能在距离等于其圆弧半径(等于正三角形的边长)的两条平行线间自由转动,并且始终保持与两直线都接触.机械加工业上利用这特性质,把钻头的横截面做成莱洛三角形的形态,就能在零件上钻出正方形的孔来.如图,在莱洛三角形ABC内随机选取一点,则该点位于正三角形ABC内的概率为()A.32(π-3)B.332π答案A由题意可得莱洛三角形ABC的面积S=S扇形ABC+2(S扇形ABC-S△ABC)=2π3×3-2×34×22=2π-23,S△ABC=34×22=3,所以由几何概型概率公式可得,所求概率=S△ABCS二、填空题13.(2024届河北邢台入学考试,14)小华、小明、小李、小章去A,B,C三个工厂参与社会实践,要求每个工厂都有人去,且这四人都在这三个工厂实践,则小华和小李都没去B工厂的概率是.

答案7解析由题意可知总的安排状况有C42A33=6×6=36种,其中满意条件的状况有C21C31A14.(2024届河北邢台9月联考,16)从3名男生、2名女生中选出2人参与数学竞赛,则选出的这2人性别不一样的概率为.

答案3解析记3名男生分别为a,b,c,2名女生分别为x,y,基本领件共10个,分别为(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(b,c),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(x,y),选出的2人性别不同的基本领件共6个,分别为(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),故选出的这2人性别不一样的概率为610=315.(2024陕西宝鸡一模,14)一只蚂蚁在最小边长大于4,且面积为24的三角形内自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的随意一个顶点的距离不超过2的概率为.

答案π解析在三角形内,蚂蚁到三角形的随意一个顶点的距离不超过2的点形成的区域如阴影部分所示(含边界),因为三个阴影部分对应的圆心角的和为π,故阴影部分的面积为12×π×4=2π,故所求的概率为2π24=16.(2024届广东茂名五校联考,16)田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》.齐王,田忌分别有上、中、下等马各一匹.赛马规则:一场竞赛须要竞赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局.最终以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,A3和B1,B2,B3.每局竞赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用PAiBj(i,j∈{1,2,3})表示马匹Ai与Bj竞赛时齐王获胜的概率,若PA1B1=0.8,PA1B2=0.9,PA1B3=0.95,PA2B1=0.1,PA2B2=0.6,P答案6;0.819解析全部的竞赛方案有6种,即(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2),其中采纳方案(A1B3,A2B1,A3B2),田忌获胜的概率最大,记田忌三局全胜和恰胜两局的概率分别为P1,P2,P1=0.05×0.9×0.9=0.0405,P2=0.05×0.9×0.1×2+0.95×0.9×0.9=0.7785,所以所求概率为P1+P2=0.819.17.(2024届宁夏顶级名校月考,16)袋子中有四个小球,分别写有“和、平、世、界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都被取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下24个随机数组:232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为.

答案1解析由题意可知,满意条件的随机数组中,前两次抽取的数中必需包含0或1,且0与1不能同时出现,第三次必需出现前面两次数字中没有出现的1或0,可得符合条件的数组只有3组:021,130,031,故所求概率P=324=1三、解答题18.(2024届河南尖子生二诊,18)一个不透亮的布袋中有编号为2,3的两个红球,编号为2,3,4的三个黑球,这五个球的质地和大小完全相同,现从中随意取出两个球.(1)求取出的两个球颜色不同的概率;(2)求取出的两个球的编号之和不为6的概率.解析从五个球中任取两个球的基本领件有:红2红3,黑2黑3,黑3黑4,黑2黑4,红2黑2,红2黑3,红2黑4,红3黑2,红3黑3,红3黑4,共10个.(1)记“取出的两个球颜色不同”为事务A,结果有:红2黑2,红2黑3,红2黑4,红3黑2,红3黑3,红3黑4,共6种,∴P(A)=610=3(2)记“取出的两个球的编号之和为6”为事务B,结果有:黑2黑4,红2黑4,红3黑3,∴P(B)=310记“取出的两个球的编号之和不为6”为事务C,则事务B与事务C互为对立事务,∴P(C)=1-P(B)=1-310=719.(2024届清华高校中学生标准学术实力测试(11月),17)近年来,人们的支付方式发生了巨大转变,运用移动支付购买商品已成为部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A,B两种支付方式的运用状况,随机抽取了600名男员工、400名女员工,统计了他们的消费习惯,获得数据如下表:男员工女员工常常运用间或运用从不运用常常运用间或运用从不运用方式A200名300名100名300名100名0方式B350名150名100名150名150名100名(1)分别估算该企业男、女员工从不运用方式B的概率;(2)从该企业全体男员工中随机抽取2人,全体女员工中随机抽取1人,估算这3人中恰有2人常常运用方式A的概率.解析(1)该企业男员工从不运用方式B的概率为100600=1该企业女员工从不运用方式B的概率为100400=1(2)该企业男员工常常运用方式A的概率为200600=1该企业女员工常常运用方式A的概率为300