高中数学三角函数导学案,解三角形导学案

第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

课前双基巩固

-纵连诙识蒲岛亩套薪一

知识聚焦:

1.角的概念的推广

(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成

的图形.

(2)分类:按旋转方向分为、和零角；按终边位置分为和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角。终边相同的角，连同角。在内，构成的角的集合是S—.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.

(2)公式：

角a的弧度数体

/。片(弧长用/表示)

绝对值

角度与弧度的换

①1。）rad,②1rad二（她）

算loU

弧长公式弧长1=

扇形面积公式

3.任意角的三角函数

(1)定义:设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸(司y),则sina=,cos

a,tana=­(x#0).

(2)几何表示(单位圆中的三角函数线)：图3-17T中的有向线段。区,附47分别称为角a

的__________

(/)(〃)

图3T7T

常用结论

象限角与轴线角

(1)象限角

第一象限角){a2fcr<a<2Jbt+-y,%wZ}

第二象限角)M2jbc+-y<a<2jbt+it,kel]

第三象限角)加2Jbt+x<a<2bc+等,kel]

笋四象限角){«汨+竽<a<2b+2GeZ)

(2)轴线角

终边落在x轴上网{a|但标JtvZ}

终边落在y轴jZi碉){a［g~1~+fat,*eZ}

终边落在坐标轴h的角)回皿寺内回

对点演练:

题组一常识题

1.［教材改编］终边落在第一象限角平分线上的角的集合是.

2」教材改编］(1)67°30'-rad;(2)E=°.

3.［教材改编］半径为120mm的圆上长为144nm的弧所对圆心角。的弧度数是.

4.［教材改编］若角a的终边经过点P(T,2),则sina-cosa+tana=..

题组二常错题

♦索弓I：对角的范围把握不准;不能据函数值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限

时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.

5.在△4和中，若sinA专则A=.

6.已知力为角£的终边上的一点,且sin8噂则正______.

7.当。为第二象限角时，厘一-a」的值是

sin|cosI------------------

8.若一扇形的圆心角为72。，半径为20cm,则扇形的面积为cm2.

课堂考点探究

一二施威赢豆.总结后荽型:'

。探究点一角的集合表示及象限角的判定

例1（1）［2018•长春一模］若角a的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上，终边在直

线尸rQx上，则角。的所有取值的集合是（）

A.IaIa=2kKkezl

B.{|=2it+^~>@z}

c.{|=n-T>ez）

D.{|=崂，ez}

⑵集合{|<n+f,CZ}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）

［总结反思］（1）角。（0・。<2口）与角2在加+。（幺62）的终边相同；

（2）要求角尸所在的象限，只需将角力表示成2An+a（AGZ,0Wa<2n）的形式，则角。所

在的象限即为角J3所在的象限.

变式题（1）设集合桃={|=--180°+45°,ez},.At{|=T-1800+

45°,GZ},那么（）

A.M=NB..ICN

C.ACMD.MCA5

⑵若角。的终边在x轴的上方，则,是第象限角.

。探究点二扇形的弧长、面积公式

例2（1）若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数

是.

（2）己知扇形的圆心角为60°,其弧长为“，则此扇形的面积为.

［总结反思］应用弧度制解决问题的策略：（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角

的单位必须是弧度；（2）涉及求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题，利用

配方法使问题得到解决；（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的

三角形.

变式题（1）将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（）

（2）若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是.

。探究点三三角函数的定义

角度1三角函数定义的应用

例3（1）［2018•济南二模］已知角。的终边经过点。（加,-2加，其中加W0,则sina4osa

等于（）

A.B.理

55

C.'D.±2

55

（2）［2018•北京通州区三模］在平面直角坐标系宜/中，角。以Ox为始边，终边位于第四象

限，且与单位圆交于点），则sina=.

［总结反思］三角函数的定义主要应用于两方面：

(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点。到原点的距离,然后用三角函数定义求解

三角函数值.特别地，若角。的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.

(2)已知角。的某个三角函数值，可依据三角函数值设出角。终边上某一符合条件的点的坐

标来解决相关问题.

角度2三角函数值的符号判定

例4⑴若sin0,cos6<0,上匚和,则角，是()

sin

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)若。为第二象限角，则cos2a,COST，-9,一匚中，其值必为正的有()

2sin2cosy

A.0个B.1个C.2个D.3个

［总结反思］判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值

在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情

况.

角度3三角函数线的应用

例5［2018•嘉兴模拟］已知amina,"cosa,c=tana,那么a,“c的大

小关系是()

A.a>b>cB.

C.a>c>bD.c>a>b

［总结反思］利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说

sinx^b,cos*2a,只需作直线y=8,x=a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在

的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围.

变式题函数f{x)=Vl-2cos-+ln(sin的定义域为.

第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

考试说明1.任意角、弧度制

(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.

(2)能进行弧度与角度的互化.

2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.(1)端点(2)正角负角象限角(3){£/£=。4・360°,MZ}

2.(1)半径长⑵/a/r

3.(Dyx(2)余弦线正弦线正切线

对点演练

1.{。/。4・360。掰5。，AGZ}［解析］终边落在第一象限角平分线上的最小正角为45。,

所以与其终边相同的角的集合为{。=4•360°M5°,AGZ}.

2.(1)豹(2)15［解析］⑴67。30y7.5X高吟(rad);(2)看书X(.)。=15。.

3.1.2［解析］根据圆心角弧度数的计算公式得，。嗡口.2.

4.*7。［解析］尸J(-1)2+22班,所以sincosa=~^=~,tan0年二-2,所

5XV55V55T

卜.入

以।sino-coso¥tana=3"V5~-10.

5

5.；或,［解析］因为0水口且sin{岑所以•或咛n.

6.1［解析］因为rq/3+2,所以由三角函数的定义可得否飞耳，解得

7.2［解析］:。为第二象限角，.：sin«A),cosa<0,

二^--^=1-(-1)^.

sinIcos1

2

8.80”［解析］72°/rad,.：S1s昌在X2()2=80贞(cm).

0225

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］(1)先求出直线y=r后x的倾斜角，再根据终边相同的角的要求得出角a

的取值集合；(2)对4分奇数和偶数两种情况分析角。所表示的范围.

(1)D(2)C［解析］⑴因为直线片r/Ir的倾斜角是?所以终边落在直线片《x上的角

a的取值集合为(/a=4n寸,衣6}.故选D.

(2)当公2〃(〃WZ)时,2〃“—WJ此时a表示的范围与a表示的范围一

4242

样；当k=2n+\(n^Z)时，2〃元+兀金&o兀+式斗,止匕时。表示的范围与a表示

4242

的范围一样.故选C.

变式题(1)B(2)一或三［解析］⑴M

中，万方・180°掰5°^■•90°倒5°N5°•(2"1),%CZ,24+1是奇数;N

中，•180°掰5°=k♦45°掰5°N5°•(4+1),kjk+\是整数.综上可知，必有四N.

4

(2):•角a的终边在x轴的上方，

.：A«360°<a<180°+k•360°,AeZ,.\k*1800<y<90°+k•180°,AeZ.

当ktn(nGT)时，

有〃•360°勺<90。%•360°,可知万为第一象限角;

当A=2〃+1(〃GZ)时,

有"・360°+180°勺＜270°切•360°,可知了为第三象限角.

例2［思路点拨］(1)找出弧长与半径,用弧度制公式求解；(2)设扇形的半径为r,根据弧长

公式可求出r的值，再由扇形的面积公式即可得出结论.

⑴2+20⑵%［解析］⑴设圆的半径为r,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r,一

条直角边长为遮r,所以周长为2r+2五r,所以圆弧所对圆心角的弧度数是乙及一之+2夜.

(2)设扇形的半径为r,

:'扇形的圆心角为60°,它的弧长为“，

•:喂,解得片3,

loU

•:S.聘gxn

变式题(DC(2)2［解析］⑴将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故选项A,B

不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的即为Tx2n=《.

663

⑵设扇形的半径为r,弧长为，，则"2E8,即/=18-2r,所以扇形面积

Sg八rg(18-2r)•r7为r,当档时,S取得最大值，此时7=18-2—,所以圆心角的弧度数

是一专之.

2

例3［思路点拨］利用任意角的三角函数的定义求解.

(1)B⑵［［解析］⑴：•角。的终边经过点P(%,-2勿)，其中得

0,2+(-2)2^/5~工=4^•//»/.

当mX)时，sin。炭一二9，cos。市一寸・：sinosa=~\

当勿＜0时，sina-2cosa^-=-=~,Zsina-/cosa史.

—v5V5-v5V55

.•,_/V5

..sin。允oso=±-.

5

(2);角a以公为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点6，),.:尸-小-(1=¥

•.•si.no=■-=V-=—V3.

12

例4［思路点拨］(1)根据条件确定sin夕，cos。的符号,再确定。所在的象限；(2)根据

Q为第二象限角，分别确定2。，了的终边所在的象限，再根据象限确定对应函数值的符号.

(1)D(2)A［解析］⑴由型一X),得」一为,所以cos〃为.又sin0-cos。。所以sin

sincos

«<0,所以o为第四象限角，故选D.

(2)由题意知，24na+n(AGZ),则4后+"<2。<4k^+2”(A6Z),

所以2a的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上,所以sin2"e,cos2a可正可负也

可为零.因为M彳勺々加吟(4WZ),所以三的终边在第一或第三象限，所以cos7可正可负.

故选A.

例5［思路点拨］作出位于区间(］,牛)上的角。的三角函数线，利用三角函数线比较大

小.

A［解析］方法一:如图，作出位于区间(：，芍)上的角a的三角函数线，则角a的正弦线、

余弦线、正切线分别为好；〃加力刀显然有sin。尢osa)tan〃，即

方法二:此题也可采用特值法.：七《(；，?)，.：可取此时arina专,b9s

a=3,eFana即a>b>c,故选A.

变式题(12An号Wx<2后书A—［解析］由题意得，自变量x应满足

l-2cos>0,cos

即.则如图中阴影部分所示，不等式组的解集为1x12%n

sin>0、

2sin

x<2kw吟,k《Z

4

勰篦柳樗本栏目为教师专用'

【备选理由】例1考查判断弧度制下的角所在的象限问题;例2考查弧长公式与等差数列的

综合问题;例3强化对三角函数定义的理解与应用，并给出了方法二,即利用同角三角函数的

基本关系也可求解;例4考查三角函数线的基本应用.

例1［配合例1使用］若角a=M，则。的终边在()

A第一象限

B.第二象限

C第三象限

D.第四象限

［解析］B因为苫所以依据负角的定义可知a的终边在第二象限.故选B.

例2［配合例2使用］如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:△/比是边长为1的正三

角形，曲线44,4A分别是以A,B,C为圆心，以AC,%仅为半径画的弧，曲线0MMi称

为螺旋线旋转一圈，然后又以4为圆心,44为半径画弧……这样画到第〃圈，则所得整条螺旋

线的长度1„=.(用n表示即可)

［答案］〃(3"1)JT

［解析］设第n段弧的弧长为由弧长公式可得国音,a?当X2,as言X3,…，

所以数列｛a,,｝是以年为首项，m为公差的等差数列.画到第〃圈，有3〃段弧,故所得整条螺旋

线的长度/>=团+。2抬y”+2+34”+3〃)=〃(3〃+1)”.

例3［配合例3使用］若点。⑶力是角。终边上的一点,且满足cos。W，则tana=

5

()

A.'B.-

44

C.；D.4

33

［解析］D方法一：由题意知,r432+2,所以cos。卞三日解得片Y或尸4(舍)，所

V3+23

以tana

方法二:因为点〃(3,。是角t终边上的一点，且满足y<0,cos

所以sin0=-71-cos2-

5

所以tana厘一二g故选D.

cos3

例4［配合例5使用］［2018•北京首师大附中月考］已知cos。则角a的取值范围

为.

［解析］如图所示，作出直线产方交单位圆于&〃两点,连接OC,0D,则勿与勿围成的区域

(图中阴影部分)即为角a终边的范围，故满足条件的角a的取值范围为1a124贝彳“W。

W2"n小"ezL

第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

课前双基巩固

・二以瀛藏点“至而亩套藏二”

知识聚焦:

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系:.

(2)商数关系:.

2.诱导公式

公式公式公式公式公式公式

四五六

a包k

n

n

—a2十a

角n+a-aJI-a22

(kG

Z)

正sin———sincosCOS

弦aaaa

常用结论

1.sin(An+a)=(T)*sina.

2.在△力戊、中：

(1)sin(力坳rin工cos(力坳=-cosCftan--tanC\

(2)sin+一气os—,cos十=sin—.

22'22

对点演练:

题组一常识题

1」教材改编］已知cos。彩，且。是第四象限角，则Sina的值为

2」教材改编］已知J":广=七,那么tan。的值为.

3.［教材改编］己知sin则cos(§L+.

4.［教材改编］求值:sin(T200°)•cos1290°-.

题组二常错题

♦索引：平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思

想;An壬。的形式没有把/按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.

5.已知△/况■中，咨-=T，则cosA等于

sin5------------------

6.已知cosQn+&)=T,且a是第四象限角，贝I」cos(-3冗+a)=______.

ND

7.已知石，则sir?。一sinacosa二.

3cos-sin------------------

8.已知,广，"+)心("+'Jez),则A的值构成的集合是

smcos------------------

课堂考点探究

i二施施赢忌总豆后荽型;"

。探究点一三角函数的诱导公式

例1(1)［2018•遵义联考］若sin(：+)=/,则cos(2n-a)=()

.33

A-lBn-5

C,-D.g

55

(2)［2018•桂林模拟］已知f(a)-sin(二(竺(2J，，则《若)的值为()

A.；B.-

22

C.'D.—

22

［总结反思］(D已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的

三角函数值求解.转化过程中注意口诀"奇变偶不变,符号看象限”的应用.

(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的

关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名

出错.

变式题(DE2018•广东名校联考］若cos(a号)与则sin(寸)=()

A，B1

55

c.fD.-

(2)［2018•江西六校联考］若点(a,32)在函数片2'的图像上，则tan.的值为()

A.V3B.斗

C.KD.~

。探究点二同角三角函数的基本关系

微课11•方法

微点1切弦互化

例2(DE2018.南充模拟］已知tanaA则肝胃的值为()

A.-3B.3C.1D，4

(2)[2018•贵阳模拟]已知sin("-。)=。且。0),则tan(2n-a)=()

3'

A#B.竿

5

C.yD.

［总结反思］(1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角

函数值,主要利用商数关系包」Tan"和平方关系Irin，a^cos2a;(2)在弦切互化时,要注

COS

意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号.

微点2“1”的变换

例3(1)［2018•广东六校三联］已知sin(:+*3cos(冗-《)壬行(-。)，则sin0cos

0A:os20=()

.12

A.-Bn,-

55

C.1D.Y

(2)[2018•武汉调研]已知sinacos。磊，则tana=.

［总结反思］对于含有sin2%,cos'x,sinxcosx的三角函数求值问题,一般可以考虑添加分母

1,再将1用“sin、丸os'x”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为

关于tana的式子,从而求解.

微点3和积转换

例4［2018•潍坊模拟］若<?G(0,31),sin(JT-a)11cosa当,贝(jsina-cosa的值为

()

［总结反思］对于sina-/cosa,sina-cosa,sinacosa这三个式子，利用(sin。土cos

a)*l±2sinacos。可以达到转换、知一求二的目的.

应用演练

1•【微点1][2018•南昌模拟]己知sin页),则tan0=()

A.-2B.-y[2

C罟口.子

2.【微点1】已矢口tanx=谭,x0(F，兀)，贝ljcos'—才，'=()

、

A«.一5rB.一5

1313

C12J2

L-13UD-13

3.【微点2】［2018•遵义模拟］若点(2,tan〃)在直线yqxT上，则斗()

A.2B.3

C.4D.6

4.【微点3］若sin夕，cos。是方程4*+2加Y力FO的两根，则力的值为.

第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考试说明L理解同角三角函数的基本关系式:sin/代os、=l,S-tanx.

cos

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出］土。，“土a的正弦、余弦、正切的诱导公式.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.(l)sin'aAJOS2a=1(2)^^—fana,a¥4“

cos2

2.-sina-sina-ncosa-xosa-sinQtana-tanQ

对点演练

L*［解析］由于。是第四象限角，故sina-Wl-cos2-

2.-［解析］由刊:r=T，知cos。¥0,等式左边分子分母同时除以cosa,可得

163sin+5cos

tan-223

--5,得tana7?

3tan+5

3.Y［解析］cos(F+)wos(n+—+)=-cos(；+)=sina号.

45［解析］原式=Fin(1200+3X36。。)cos(2100+3X36。。)^in12。°•cos

210°=-sin(180°-60°)•cos(180°+30°)fin60°•cos30°岑乂弓号

5.~［解析］:您J=T，-sin/l=~cosA,:力为的内角，.：sinAX),ZcosA<0.

13sin512

又sin2/4^cos27l-l,Zcos力二噌•

6.--［解析］cosQJi+a)=sina=±且a是第四象限角，所以cos”,所以

5255

cos(-3冗+a)--cosa

5

［解析］由；in+3c。/石，知COSaW0,等式左边分子分母同时除以cosa,得詈一U巧,

53cos-sin3-tan

_gir12-sincos,an?-tan

得tanQN,所以sin2a-sinacos

sin2+cos2tan2+151

8.{2,-2}［解析］当X为偶数时,4--产之；当上为奇数时,4-5i=2.

sincossincos

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］（1）利用诱导公式进行计算；（2）根据诱导公式整理函数/X。），再将

a=当代入求值.

(1)A(2)B［解析］⑴：飞曲(，+)mosaZcos(2JI-iz)^cos°=总故选A.

⑵由题可知，/•(。)下"g二Fina,

-cos

则4号)Fin(-务in卜in(2"+务呜气呜*

变式题(1)D(2)C［解析］(1)：cos(+f)4

•:sin(-加n［(+3T1os(+高=得故选D.

(2):,点(a,32)在函数片2'的图像上,.：32之"，.：。=5,

则tan—7-=tan^7-=tan^2n-；)=-tan；=S,

故选C.

例2［思路点拨］(1)利用氾L=tana直接将待求式转化成只含tan。的式子,再求值；(2)

COS

由题设条件可得sin。，再根据同角三角函数基本关系式可得cos。，tan*然后根据诱导

公式化简即可得解.

(DA(2)A［解析］⑴：'tan。=2,.：cosaW0,.："上—==-3.故选A.

sin-3costan-3-1

⑵：,sin(兀一。)・：sina三，

又：・0£(一g,0),.：coso^Vl-sin2-¥，则tana

\2/3cos5

:'tan(2"一a)=-tana,・：tan(2n一。)故选A.

5

例3［思路点拨］(1)根据诱导公式及已知等式得出tan〃，将待求式添加分母1(利用

Irin'。也os?。)，转化为含tan。的式子，代入求值；(2)sinacosa可变形为\"-；三一,

利用1-sin%化os?。，从而把己知等式化为关于tan〃的等式，解出tan〃即可.

(DC(2)3或"［解析］(1)由sin(；+)+3cos(兀一夕)=sin(一夕)，得cos。一3cos

0--sin夕，所以tan夕=2,

所以sinHeosiNos?,—in：os+呼小：+1自故选c.

(2)由题可知，sinacosasinc',s~解得tana=3或tan

siM4-cos^tanz+1103

例4［思路点拨］根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，得2sinacos

a=T<0,进而求得(sina-cosa尸邛，从而得解.

yy

C［解析］由诱导公式得sin(兀-。)mos。rina-/cos两边平方得(sina-^cos

o)2=］+2sincos贝lj2sinacos。=，<0,

99

所以(sino-cos<z)2-l-2sin0cos。芈.

9

又因为a£(0,JI),sinacos。。所以sina-cos。>0,所以sina^cos。鼻故选C.

应用演练

2

LD［解析］:'sin*,。n),」cos^-Wl-sin-=~fROtan二二二？

3

故选D.

2.D［解析］：,tanx=~,JI\Zsin・：cos(-+9)=_sinx=~

5\2/13\2/Jo

3.B［解析］由题意知，tan。乂TW,.：［"冷刀"詈《an。=3,故选B.

1-sin4cos4

4.1W5［解析］由题意知sin0-/cos^-―sin0cos。=,又(sin。枪os^)2=1^2sin

24

2厂一^L

Jcos。，所以7=1T，解得m=l土乖.又4=4而一16加20,所以〃忘0或加24,所以m=\

教师备用例题本栏目为教师专用＜

JIAOSHIBEIYONGLITI

【备选理由】例1进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2考查弦切互化,是平方关

系及商数关系的综合应用;例3结合导数的几何意义得出tan。，再巧妙使用

sin?。丸os?。=1代换求值;例4考查sin。化os。与sina^cos。之间的转换，对于sin

。依os%sinacosa,sino-coso这三个式子，利用(sin。土cos。厂=1±2sinacos

a可以知一求二.

例1［配合例1使用］已知cosaW，则上‘，)的值为

［答案］—

4

「初1匚1_4，匚［“sin(-n)-2cos(y-)=sin-2sin_-3sin_3_15

［解析］因为COS4(所lit—：~：-----「~----------------------

5sin(-)•cos(n-)sm,cossmcoscos4

例2［配合例2使用］［2018•黄山一模］已知a£R,sin。+2cos。贝Utan

a-.

［答案］3或一

［解析］:'sina+2cosasin2aYeos2a=\,

Z(sin。攵cosa)2=sin2aMsin^cos。掰cos2。§

・・l+3cos。掰sin0cos°q,艮|J3cos4Msin°cosa••--------------------+，

22slM+cos22

•:号%5解得tana%或T

tanz+l23

例3［配合例3使用］［2018•重庆调研］若曲线f(x)=lnx，在点(I,f(D)处的切线的倾

斜角为。，则-----!----L.

sincos-cos乙--------

［答案］5

［解析］因为Hx)=lnx」,

所以f'(x)所以F'(l)Y,则tana=2f

所以一sin24-cos2Jan2+1f+1节

-cos2sinCOS-COS2tan-12-I*

例4［配合例4使用］［2018•衡水武邑中学月考］已知6,sin。化os。三则

25

]

,的值为（)

cos2-sin2

A*B-7

「724

C・。D.云

［解析］B因为<0,所以cos。>0,sina<0,

所以cosa-sintX).

因为（sina九osaTNcosa-sin<z)2=2,

所以（cosa-sina)2?-(sin。mos。产力!噂,

2525

所以cosa-sinq4,所以cos2a-sin2a

bbozb

所以~二的值为,故选b

第19讲三角函数的图像与性质

课前双基巩固

一须嬴蔽口识蓼百亩套血一

。知识聚焦,

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质（下表中AGZ）

周期性2n2元JT

奇偶性________________奇函数

［

2kM-y,2kK+［2AJt,2k”+TI］

~,ksiJ上

单调性5］上为增函上为减函数;_

为增函数

上为增函数

数;__________

上为减函数

对称

,kn丹0)J。)

—

中心2

x=k^,

对称轴—无

常用结论

1.函数片Xsin(3x+@)和y，fcos(ox+0)的最小正周期7*土,函数y=tan(3x+@)的最小

正周期T*.

2,正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中

心与对称轴之间的距离是:周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.

3.三角函数中奇函数一般可化为片东in3/或片&an的形式，偶函数一般可化为

y=Acos的形式.

对点演练】

题组一常识题

1.［教材改编］函数产2sin(2xT)的最小正周期是.

2.［教材改编］若函数y^sinx/l(4为)的最大值是3,则它的最小值是.

3.［教材改编］函数片2cosx在［-兀，0］上是函数，在［0,n］上是函数.

4.［教材改编］函数F(x)Ri高~互的定义域为.

题组二常错题

♦索引：忽视y引sinx(或y=/cosx)中/对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、

余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.

5.函数y-l-2cosx的单调递减区间是.

6.函数片cos<rtanx的值域是.

7.函数y--cos2jr+3cosx~\的最大值为.

8.函数尸tan(+亍)图像的对称中心是.

课堂考点探究

〜二施施赢豆总豆后荽型;"

。探究点一三角函数的定义域

例1(1)函数F(x)、/2Tog2-+tan(+：)的定义域为.

(2)函数y=ln(2cosx+1)Hsin-的定义域为.

［总结反思］求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组)，常借助三角函数

线或三角函数的图像来求解.

变式题(1)函数yMTii_-cos~的定义域为.

(2)函数f(x)t的定义域是

VV3+2sin---------------------------------

。探究点二三角函数的值域或最值

例2(1)函数yNcos2x~sin七1的最大值是.

(2)［2018•沧州质检］已知刀£卜彳，力，则函数F(x)2cosxsir)(xcos

x的最大值与最小值之和为.

［总结反思］求解三角函数的值域(最值)的几种方法：

①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数,化为片^sin("的形式，再求值域(最值)；

②形如y-^sin2^/?sinx+c的三角函数,可设Qsinx,化为关于t的二次函数求值域(最值)；

③形如y-asinxcosx班(sinx±cosx)+c的三角函数，可设f^sinx±cosx,化为关于t

的二次函数求值域(最值).

变式题(1)函数f(x)Fin(-f)-COS(的最大值为()

A.2B.V2

C.2近D.W

（2）函数片^osx-sinx网sinxcosx的值域是

0探究点三三角函数性质的有关问题微课12•思维

微点1三角函数的周期性

例3⑴在函数g=cos/2x/,②y=［cosx/,③r气os（2+£）,@=tan（2-；）中，最小正周

期为五的所有函数为()

A.①②③B.®（3）®

C.②④D.①③

⑵若函数F(x)="sin(aW)(a刈的最大值为3,则小)的最小正周期为.

［总结反思］⑴公式法：函数y-/4sin(3户》)或y-Acos(3x+e)的最小正周期

中/当tan(o"0)的最小正周期―；(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期.

IIII

微点2三角函数的对称性

例4(1)［2018•广西贺州联考］若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两

个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与/'(x)^V-x互为同轴函数的是()

A.g(x)fos(2xT)B.g(x)rinx

C.g(x)寸anxD.g(x)ADOSnx

(2)［2018•重庆合川区三模］函数F(x)=4sin(ox+0)(/PO,。刀，/。/弓)的图像关于直线

■对称,它的最小正周期为n,则函数f(x)的图像的一个对称中心是()

/。加仁。)

c.偌,0)D.(-^.O)

［总结反思］(D对于函数/tr)"sin其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点

或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x°或点(a0)是否是函数图像的

对称轴或对称中心时,可通过检验f(药)的值进行判断.

⑵函数图像的对称性与周期7之间有如下结论：(璐函数图像相邻的两条对称轴分别为广a

与x=b,则最小正周期T^/b-a/-,舞函数图像相邻的两个对称中心分别为(a,0),(6,0),则

最小正周期TCbah鳏函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与则最小正

周期T=Alb-al.

微点3三角函数的单调性

例5(1)［2018•乌鲁木齐栩已矢咛■为函数/"(入)不法(2"0)(0(。，)的一个零点，则函

数/"(X)的单调递增区间是()

A-［2"-腺2n+M%GZ)

B.12n+$2兀+号］(左WZ)

c-［"+♦—)

0.［n+E，n+也(AWZ)

(2)［2018•合肥一中月考］已知3并,函数F(X)YOS(3X?在0,以上单调递增，则3

的取值范围是()

A.(*)B.［鸿］

中耳D.(2,果

［总结反思］