常微分方程完整教学课件

常微分方程完整教学课件解一、问题的提出解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需微分方程:含有未知函数及其导数方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.一阶微分方程(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程的形式是或常微分方程偏微分方程(本章内容)分类1：分类2:线性与非线性微分方程.分类3:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:

积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解所求特解为微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;四、小结思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.练习题练习题答案一、可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程.解法分离变量法①形如则有②当G(y)与F(x)可微且

G

(y)

g(y)

0时,

的隐函数

y＝

(x)是①的解.

-----称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当

F

(x)=f(x)≠0

时,由②确定的隐函数

x＝

(y)也是①的解.

说明由②确定①②例1.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)解由题设条件衰变规律例3.英国人口学家马尔萨斯(Malthas,1766-1834)根据百余年的统计资料，于1798年提出了闻名于世的所谓马尔萨斯人口模型，若时刻t

时的人口人数为N(t)，初始时刻(t=0)的人口为，假设人口增长率为常数r（即单位时间内人口的增长量与当时的人口量成正比）。根据马尔萨斯理论，从时刻t到时刻t+Δt的人口增长量是求解该微分方程得到：分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.二、小结思考题求解微分方程思考题解答为所求解.练习:解法1

分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:积分练习题练习题答案一、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义例1

求解微分方程微分方程的解为解例2

求解微分方程解微分方程的解为由光的反射定律:可得

OMA=OAM=

例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由解:将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线从而AO=OMxOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成,

按聚光性而AO于是得微分方程:经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L

的方程.积分得故有得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

顶到底的距离为

h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得二、可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.（可分离变量的微分方程）（可分离变量的微分方程）可分离变量.解代入原方程得分离变量法得得原方程的通解方程变为利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为通解为解例7.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(

C为任意常数)所求通解:三、小结齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程思考题方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.练习题练习题答案一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1例2

如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:

需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式解例3例4

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解1.一阶线性方程方法1

先解齐次方程,再用常数变易法.方法2

用通解公式三、小结化为线性方程求解.2.伯努利方程思考题求微分方程的通解.思考题解答1.判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程思考与练习2.

求一连续可导函数使其满足下列方程:令提示:则有线性方程利用公式可求出3.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解初值问题利用通解公式,得利用得故有2)再解初值问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为练习题练习题答案一、全微分方程及其求法1.定义:则若有全微分形式例如称为全微分方程或恰当方程是全微分方程.全微分方程的通解即为其通解为2.解法:

应用曲线积分与路径无关.

用直接凑全微分的方法.是全微分方程

先利用再由（不定积分法)（曲线积分法)（凑微分法)解是全微分方程,原方程的通解为例1解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例2二、积分因子法定义:问题:如何求方程的积分因子?1.公式法:求解不容易特殊地:2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式可选用的积分因子有解例3则原方程为原方程的通解为解将方程左端重新组合,有例4求微分方程原方程的通解为解将方程左端重新组合,有原方程的通解为例5求微分方程解1整理得A常数变易法:B公式法:例6解2整理得A用曲线积分法:B凑微分法:C不定积分法:原方程的通解为三、一阶微分方程小结练习题练习题答案

可降阶高阶微分方程

第六节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程

例1.

解:

型的微分方程

设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、例2.

求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为解代入原方程解线性方程,得两端积分,得原方程通解为例3三、型的微分方程

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解例4.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:例5.

求解解:代入方程得两端积分得由得从而即变量分离并积分令由得故所求特解为可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分小结1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.思考与练习练习题练习题答案一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t

物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.

建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:例如线性无关线性相关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数线性无关例如推论.

是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为若2.二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.

定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例2.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)三、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法代入(1)式,得则有=0解得刘维尔公式齐次方程通解为的一阶方程（可分离变量）2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为令(4)由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:(5)(4),(5)联立方程组=0=0积分可得非齐次方程通解为解对应齐方一特解为由刘维尔公式对应齐方通解为例3设原方程的通解为解得原方程的通解为四、小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；补充内容可观察出一个特解练习.

已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三练习题练习题答案一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根

有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为特征方程当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解代入方程得:是特征方程的重根因此原方程的通解为

有两个相等的实根(u(x)待定)取

u=x,则得特征方程当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:

利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为

有一对共轭复根欧拉公式定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解