重积分完整教学课件

重积分完整教学课件柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出解法:

类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底:xOy

面上的闭区域D顶:连续曲面侧面:以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为曲顶柱体体积:平面薄板的质量:性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）解解解例4.设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有D解：因为原式二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结思考题

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.

定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答练习题练习题答案

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

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求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果积分区域为：［Y－型］

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解注：积分区域既是X-型也是Y-型，也可表示成先对x后对y次序的二次积分。解解解积分区域如图解原式例6.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为11二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］思考题思考题解答练习题练习题答案一、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）1)极点O在积分区域D的外部区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）2)极点O在积分区域D的边界上区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）3)极点O在积分区域D的内部区域特征如图解解的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.解解解解例7.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知注：形如积分二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结思考题思考题解答练习题练习题答案一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式,其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为１．设曲面的方程为：如图，二、曲面的面积曲面S的面积元素曲面面积公式为：３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法解四、平面薄片的转动惯量解解薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数五、平面薄片对质点的引力解由积分区域的对称性知所求引力为几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结思考题薄片关于轴对称思考题解答练习题练习题答案一、三重积分的定义直角坐标系中将三重积分化为三次积分．1.先单后重（先一后二）二、三重积分的计算如图，得注意其中

为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.面及平面解:(先单后重)1

·

·

·

·解D·

··解如图，解直角坐标系中将三重积分化为三次积分．2.先重后单（截面法或称先二后一）

·

·

·解·原式解如图,三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结思考题选择题:练习题练习题答案一、利用柱面坐标计算三重积分规定：

柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．如图，柱面坐标系中的体积元素为解知交线为解所围成的立体如图，所围成立体的投影区域如图:另解:最简单的解法:先重后单（先二后一）：二、利用球面坐标计算三重积分规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标与直角坐标的关系为如图，球面坐标系中的体积元素为如图，解补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标三、小结思考题练习题练习题答案

一、二重积分的换元法注：如果Jacobi行列式J(u,v)只在内个别点上或一条曲线上为零，而在其他点上不为零，则上述换元公式仍然成立。例1解例2.计算由所围成的闭区域D

的面积S.解:令则例3解

二、小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．思考题思考题解答练习题练习题答案三重积分换元法解：作变换一、立体体积二、物体的重心三、物体的转动惯量四、物体的引力机动目录上页下页返回结束三重积分的应用1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是

对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量

3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、

定出积分限、计算要简便

2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束例1.求半径为的球面与半顶角为

的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动目录上页下页返回结束二、物体的重心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的重心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则

公式,分别位于为为即:采用“分割,近似代替,求和,取极限”可导出其重心

机动目录上页下页返回结束将

分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束同理可得机动目录上页下页返回结束则得形心坐标：当薄片是均匀的，重心称为形心.对比例2.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为

h

的均质钢液,解:利用对称性可知重心在z

轴上，炉壁面方程为因此故自重,求它的重心.若炉不计炉体的其坐标为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.机动目录上页下页返回结束类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量机动目录上页下页返回结束对比解:

取球心为原点,z轴为l

轴,则球体的质量例3.求均匀球体对于过球心的一条轴

的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)机动目录上页下页返回结束

G

为引力常数四、物体的引力设物体占有空间区域

,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在

上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动目录上页下页返回结束对xoy

面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动目录上页下页返回结束例4.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:

利用对称性知引力分量点机动目录上页下页返回结束为球的质量机动目录上页下页返回结束(t

为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm

的雪堆全部融化需要多少小时?

机动目录上页下页返回结束练习题提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)机动目录上页下页返回结束由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动目录上页下页返回结束定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分一、主要内容1、二重积分的定义２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性