《计算机在材料科学与工程中的应用》全册配套完整教学课件2

《计算机在材料科学与工程中的应用》全册配套完整教学课件2计算机在材料科学与工程中的应用重庆大学材料学院王柯课程基本情况教学目的教学内容及安排教学参考资料说明教学目的要求介绍计算机技术在材料科学与工程领域应用基本概况；学习将计算机技术用于解决材料科学中实际问题的思路、方法与手段；重点学习计算机数值模拟技术在材料加工过程中的应用，使同学们初步掌握计算机技术在专业领域应用的基本知识、相关数学方法以及有关软件的基本使用方法；开拓同学们的思路和视野，培养同学们的创新能力课程教学内容及安排(24+16=40)1周1章绪论（1）1周2章材料科学与工程研究中的数据处理（3）建模基础2周3章材料科学与工程研究中的数学模型与数值计算（4）建模方法步骤

3周4章材料科学与工程中典型物理场的数值模拟（4）典型模型的建立4周5章相图计算（4）5周6章人工神经网络与专家系统及在材料科学与工程中的应用（4）预测模型建立

6周材料成形过程中的计算机模拟Deform软件应用上机实验内容及安排3周实验1数据处理应用实践1——Excel的应用3周实验2数据处理应用实践2——Origin的应用4周实验3常用数学分析方法应用实践4周实验4温度场的模拟计算实践5周实验5浓度场的模拟计算实践5周实验6相图计算软件的应用实践6周实验7物相分析软件应用实践6周实验8人工神经网络应用实践教学参考资料教材：计算机在材料工程中的应用，汤爱涛等主编，重大出版社，2008主要教学参考资料：计算机在材料热加工领域中的应用，李英民等主编，机械工业出版社，2001计算机在材料科学与工程中的应用，曾令可等主编，武汉理工大学出版社，2004有关事宜说明一、任课教师信息主讲教师：王柯；电话E-mail：study_ke@辅导教师：吴明玉（研究生）；电话E-mail：mingyu.wu@二、教学相关安排：实验课时间：3-6周；周二、四：9-10节地点：A区综合大楼324室答疑安排：待定(协商)三、成绩评定方法：课程成绩由平时成绩30%和考试成绩70%组成；平时成绩(平时作业、实验报告、学习态度、表现、能力)。计算机在材料科学与工程中的应用第一章绪论材料是用以制造有用物件的物质材料是人类社会发展的里程碑，是人类生产和生活水平提高的物质基础，是现代文明进步的重要标志和发展高新技术的基础和先导。石器时代铜器时代铁器时代当代文明三大支柱（20世纪60年代说法）：材料、能源和信息新技术革命主要标志（20世纪70年代说法）：新材料、信息技术和生物技术1.1.1材料的作用与分类1.1材料科学与工程（MSE）第一章绪论材料的分类金属材料无机非金属材料有机高分子材料复合材料结构材料功能材料建筑材料能源材料电子材料耐火材料医用材料耐火材料[英]马克·米奥多尼克著；赖盈满译1.1材料科学与工程（MSE）—材料的作用与分类——研究材料组成、结构、性能、制备工艺和使用性能以及它们之间相互关系的科学。1.1材料科学与工程（MSE）—MSE的研究内容1.1.2MSE的研究内容Source:MaterialsScienceandEngineeringforthe1990s,NRC,1989成分工艺组织结构材料性能.使用性能四个要素

MSE特点：一门发展不成熟的学科，它的研究很大程度依赖于实验和经验的积累，系统的研究材料还有一个很长的过程。多学科交叉的新兴科学。它与许多基础学科有着不可分割的联系，如固体物理学、电子学、光学、声学、量子化学、数学与计算机等。1.1材料科学与工程（MSE）—MSE的研究内容计算机硬件条件的飞速发展为计算机在材料科学中的广泛应用提供了有力保证。Moore’sLaw(1965)：计算机的CPU速度每1.5年增加一倍。图中电脑处理器中晶体管数目的增长曲线符合摩尔定律1.2计算机在MSE中的应用第一章绪论计算机在MSE的应用非常广泛:材料科学是研究材料的组成与结构、合成与制备、性能与应用以及它们之间相互关系的一门科学,在所有的这些方面,计算机都发挥了非常重要的作用。1.2.1材料科学研究中的计算机模拟计算机模拟是一种根据实际体系在计算机上进行的模拟实验。计算机模拟技术的应用：应力应变微观组织变化与描述（分子、原子、电子）温度场浓度场（组织场）应力场流场磁场等相图计算1.2计算机在MSE中的应用数学模型建立是一种具有创新性的科学方法,它将现实问题简化,抽象为一个数学问题或数学模型,再采用适当的数学方法求解,进而对现实问题进行定量的分析和研究,最终达到解决实际问题的目的。

网格划分有限元模拟人脚走路受力情况有限元方法1.2计算机在MSE中的应用——计算机模拟图中是一个大型钢锭的充型过程模拟，其中用到专业模拟软件viewcast，从动画中可以清楚的看到整个铸件充型过程。1.2计算机在MSE中的应用—计算机模拟铸造模拟图中显示了计算机模拟的不同时刻的凝固枝晶形貌图，不同的颜色代表不同的浓度分布。这样显微组织形核、生长等过程也将实现“可视化”！1.2计算机在MSE中的应用—计算机模拟锻造模拟锻造加工的悠久历史

锻造=打铁？？如何加工大型巨轮中的大型曲轴曲拐呢？1.2计算机在MSE中的应用—计算机模拟曲拐加工的工厂试制和计算机模拟

1.2计算机在MSE中的应用——计算机模拟其它加工过程的模拟钻孔横楔轧晶粒演化

齿轮架感应加热连杆

1.2计算机在MSE中的应用—计算机模拟1.2.2材料与工艺过程的优化及自动控制材料加工技术的发展主要体现在控制技术的飞速发展,微机和可编程控制器在材料加工过程中的应用正体现了这种发展和趋势。在材料加工过程中利用计算机技术不仅能减轻劳动强度,更能改善产品的质量和精度,提高产量。在材料的制备中,可以对过程进行精确的控制,例如材料表面处理热处理中的炉温控制等。计算机技术和微电子技术、自动控制技术相结合,使工艺设备、检测手段的准确性和精确度等大大提高。1.2计算机在MSE中的应用—计算机控制技术日照钢铁轧制车间1.2计算机在MSE中的应用—计算机控制技术1.2.3

计算机用于数据和图像处理材料科学研究在实验中可以获得大量的实验数据,借助计算机的存储设备,可以大量保存数据,并对这些数据进行处理计算、绘图,拟合分析和快速查询等。利用计算机的图像处理和分析功能就可以研究材料的结构,从图像中获取有用的结构信息,如晶体的大小,分布,聚集方式等,并将这些信息和材料性能建立相应的联系,用来指导结构的研究。1.2计算机在MSE中的应用—数据和图像处理1.2.4相图计算及其软件相图是描述相平衡系统的重要几何图形,通过相图可以获得某些热力学资料。反之,由热力学数据建立一定的模型也可计算和绘制相图。用计算机来计算和绘制相图有了广泛的应用。

Thermo-Calc包括物质和溶液数据库、热力学计算系统和热力学评估系统1.2计算机在MSE中的应用—相图计算材料性能的测定大多使用专门的测试设备和仪表。如果使用计算机来控制整个系统，使其协调运行，进行数据采集和数据处理，通常使整个系统的功能得到飞跃性增强。计算机化得材料性能测试系统(CAT系统)是提高材料研究水平的重要手段。由于计算机灵活的编程方式、强大的数据处理能力和很高的运算速度，使得CAT系统可以实现手动方式不能完成的许多测试工作，提高了材料试验研究的水平和测试精度。1.2.5计算机技术用于材料性能表征与检测1.2计算机在MSE中的应用—材料表征电子显微镜1.2计算机在MSE中的应用—材料表征金相显微镜1.2计算机在MSE中的应用—材料表征X射线衍射仪1.2计算机在MSE中的应用—材料表征1.3主要使用的商业软件第一章绪论通用类专业类一、通用软件1、办公类Office2、数据处理类

Origin3、计算模拟类Matlab有限元分析软件（ANSYS、MARC，国产有限元软件FEPG等135个有限元分析软件）Flow3D4、辅助设计测试AutoCAD1.3主要使用的商业软件二、专业类1.计算模拟类热力学、相图计算类软件第一原理计算类组织模拟类材料加工类——Deform2.辅助设计测试分析类辅助设计辅助测试——相分析软件Jade1.3主要使用的商业软件计算机在材料科学与工程中的应用第二章材料科学与工过程中的数据处理GH4169高温合金固溶处理后微观组织的SEM照片:(a)1233K,30min;(b)1253K,30min;(c)1273K,30min;(d)1293K,30min;(e)1233K,60min;(f)1273K,60min.γ晶粒尺寸与固溶温度和固溶时间之间的数学关系？？？引言K.Wang,M.Q.Li,C.Li,δandaustenitephasesevolutionandmodelinsolutiontreatmentofsuperalloyGH4169,MaterSciTech,29(2013)346-350.GH4169高温合金固溶处理过程中δ和γ相的演变和模型研究引言纳米铝片CNTs/Al复合粉末冷压/烧结球形铝粉仿生CNTs/Al热挤压高强、高韧高效、宏量制备仿生“叠层”Al基复合材料制备新技术仿生叠层组织性能加工成形热处理引言烧结态CNTs/Al-4Cu热变形行为——流变应力-应变曲线相同应变速率不同变形温度下的应力-应变曲线流变应力与变形工艺参数之间的数学关系？？？引言数据特点量大主要内容：2.1数据处理基本理论

最小二乘法

回归分析方法2.2Excel和Origin软件的应用整理、归纳计算、绘图、回归分析规律性数学关系2.1数据处理的基本理论—2.1.1、回归分析与最小二乘法分类：按照回归模型中变量个数分（一元回归，多元回归）。按照回归曲线的形态分（线性回归，非线性回归）。回归分析回归分析（regressionanalysis)：是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。即：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型y=f(x)，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法。2.1数据处理的基本理论—2.1.1、回归分析与最小二乘法最小二乘法原理图寻求规律：其中f(x)是多项式，计算多项式系数，使得残差平方和Q最小试验数据实测值与模型计算值之差为残差最小二乘法残差平方和：已知试验数据对2.1数据处理的基本理论—2.1.1、回归分析与最小二乘法求解

系数的理论基础一元线性回归的一般步骤：将n个观察单位的变量对(x，y)在直角坐标系中绘制散点图，若呈直线趋势，则可拟合直线回归方程。求回归方程的回归系数和截矩。（1）写出回归方程:，其中a,b称为回归系数；（2）画出回归直线；（3）对回归方程进行假设检验（相关分析）。一元线性回归尽管较为简单，但非常重要，是回归分析的基础。2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归其中：回归系数的求解计算残差平方和根据最小二乘原理和极值原理有：2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归(1)回归平方和计算最小二乘法的原则是使回归值与测量值的残差平方和最小，但它不能肯定所得到的回归方程是否能够反映实际情况，是否具有实用价值。为了解决这些问题，尚需进行统计检验。2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归回归分析的显著性检验残余平方和Q：表示回归方程的拟合误差由试验误差及其它因素引起自由度：fQ=n-m-1=n-2回归平方和U：表示自变量x1,x2,……,xn变化所引起的y的波动自由度fU=m(m为自变量个数)=1离差平方和（总平方和）S：表示实验范围内，yi值总波动变化大小自由度f=fQ+fU=n-1当全部实验点落在回归线之上时，

如y与x之间不存在线性关系，则由此可见，的大小反映了自变量x与因变量y之间的相关程度。2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归回归分析的显著性检验(2)F检验这是两个方差之比，它服从自有度为m及n-m-1的F分布，即：要检验y与x是否存在线性关系，就是要检验假设当假设成立时，则y与x无线性关系，否则认为线性关系显著。检验假设H0应用统计量具体如下：当时，回归方程是高度显著的；当时，所建立的回归方程是显著的；2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归用此统计量F可检验回归的总体效果当时，则在显著性水平

下，所建立的回归方程是显著的。回归分析的显著性检验(2)F检验由于其他因素和实验误差的影响，回归系数a与常数b的波动，各实验点不一定都落在回归线上，围绕回归线有一定的离散，其离散性的大小可用残差平方和Qe与残余方差Se2或残余标准偏差Se来表示，即:

在某个给定的x所对应回归值y的100（1－α）％置信区间为：2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归回归方程的精度与置信区间置信区间估计(例题分析)【例】求出工业总产值的点估计为100亿元时，工业总产值95%置信水平下的置信区间.已知n=16

,se=2.457

解：t

(16-2)=2.1448(查表获得)

置信区间为当工业总产值的点估计为100亿元时，工业总产值的平均值在97.9167亿元到102.0833亿元之间。2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归利用回归直线进行预报2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归

例:

下表是轴承钢经过真空处理前后钢液中锰的含量。现在我们来研究真空处理后成品轴承钢中锰含量(y)与真空处理前钢液中锰含量(x)的相关关系。绘制实验数据散点图，初步判断有关线性关系,可以初步判断x与y之间存在着线性趋势。2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归由此得回归方程：y=0.085934+0.70869x

2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归应用直线回归的注意事项：①作回归分析要有实际意义，不能把毫无关联的两种现象，随意进行回归分析，忽视事物现象间的内在联系和规律；如对儿童身高与小树的生长数据进行回归分析既无道理也无用途。另外，即使两个变量间存在回归关系时，也不一定是因果关系，必须结合专业知识作出合理解释和结论。②直线回归分析的资料，一般要求应变量Y是来自正态总体的随机变量，自变量X可以是正态随机变量，也可以是精确测量和严密控制的值。若稍偏离要求时，一般对回归方程中参数的估计影响不大，但可能影响到标准差的估计，也会影响假设检验时P值的真实性。③进行回归分析时，应先绘制散点图(scatterplot)。若提示有直线趋势存在时，可作直线回归分析；若提示无明显线性趋势，则应根据散点分布类型，选择合适的曲线模型(curvilinearmodal)，经数据变换后，化为线性回归来解决。一般说，不满足线性条件的情形下去计算回归方程会毫无意义，最好采用非线性回归方程的方法进行分析。④绘制散点图后，若出现一些特大特小的离群值（异常点），则应及时复核检查，对由于测定、记录或计算机录入的错误数据，应予以修正和剔除。否则，异常点的存在会对回归方程中的系数a、b的估计产生较大影响。⑤回归直线不要外延。直线回归的适用范围一般以自变量取值范围为限，在此范围内求出的估计值称为内插（interpolation）；超过自变量取值范围所计算的称为外延（extrapolation）。若无充足理由证明，超出自变量取值范围后直线回归关系仍成立时，应该避免随意外延。2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归

幂函数指数函数1指数函数2对数函数双曲线函数S形曲线函数转换为一元线性关系2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归可转化为一元线性回归的其它一元非线性回归eg.:指数函数(exponentialfunction)对式两边取对数，得lny=lna+bxb>0时，y随x增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。更一般的指数函数，k为一常量，往往未知,应用时可试用不同的值。lna和b分别为截距和斜率※

可线性化的曲线回归模型,也称为本质线性回归模型2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归例在阴极溅射中，正离子轰击阴极时，使阴极的物质以微粒或碎片形式脱离阴极向四方飞散，轰击阴极的正离子质量越大，阴极溅射越厉害。从直观上看,在离子能量不大溅射率不高的情况下，离子能量较小的变化就可以引起溅射率的较大变化，在溅射率较大的情况下，则相反。在表中只列出惰性气体对铜的溅射实验所得数据以及描点曲线，缺少定量关系，因此有必要从数据处理上得到惰性气体对铜的溅射率与离子能量的关系，在没有物理推导公式的情况下，这种统计公式也能反映其关系。离子能量（kev）102030405060708090溅射率（%）8.115.017.019.219.519.820.020.020.12.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归根据实验数据，在直角坐标系上标出个实验数据点，得出曲线如下图,在坐标图中可以得到溅射率和离子能量之间的大致趋势。可以看出当离子能量开始增加时，溅射率增长较快，到一定时间就基本稳定在一个值上。方程组解得a=0.0357，b=0.8190还原为双曲线形式1/y=0.0357+0.8190/x，也即y=x/（0.0357x+0.8190）方程组解得lna=2.8840,即a=17.8857，b=-1.4851,所以所得的指数曲线方程为。2.1数据处理的基本理论—2.1.2、一元线性回归2.1.3多元线性拟合当影响依变量的自变量不止一个，而是多个，比如绵羊的产毛量这一变量同时受到绵羊体重、胸围、体长等多个变量的影响，因此需要进行一个依变量与多个自变量间的回归分析，即多元回归分析，而其中最为简单、常用并且具有基础性质的是多元线性回归分析，许多非线性回归和多项式回归都可以化为多元线性回归来解决。(1)2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归假设随机变量y与p个自变量之间存在着线性相关关系，实际样本量为n,其第i次观测值为则其n次观测值可写为如下形式：其中

是未知参数，是p个可以精确测量并可控制的一般变量,是随机误差,(2)(3)假定是相互独立且服从同一正态分布N(0,)的随机变量。2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归若将方程组(3)用矩阵表示，则有(4)式中:建立多元线性回归方程(5)2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归来描述多元线性模型(6)(7)(8)2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归与一元线性回归分析相同，其基本思想是根据最小二乘原理，求解

使全部观测值

与回归值由于残差平方和的残差平方和达到最小值。(9)是

的非负二次式，所以它的最小值一定存在。根据极值原理，当Q取得极值时，

应满足(10)2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归由（9）式，即满足(11)2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归上式(11)称为正规方程组。它可以化为以下形式

如果用A表示上述方程组的系数矩阵可以看出A是对称矩阵。则有(12)(13)2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归

式中X是多元线性回归模型中数据的结构矩阵，(13)式右端常数项也可用矩阵D来表示

是结构矩阵X的转置矩阵。即Ab=D或(14)(15)(17)如果A满秩（即A的行列式则由(13)式和(14)式得

的最小二乘估计为）那么A的逆矩阵A-1存在，(16)

b就是多元线性回归方程的回归系数。为了计算方便往往并不先求而是通过解线性方程组来求b，再求b，(14)是一个有p+1个未知量的线性方程组，它的第一个方程可化为2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归式中(18)将（17）式代入（12）式中的其余各方程，得(19)2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归其中(20)将方程组（19）式用矩阵表示，则有Lb=F其中

于是(21)(22)(23)2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归例：表观变形激活能计算高温塑性变形最显著的特点之一便是变形速度受热激活过程控制。表观变形激活能表示原子跃迁所需克服的能垒大小，是反映塑性变形难易程度的重要物理参量。变形温度、应变速率对流动应力的影响可用Arrhenius方程表示：为应变速率(s-1)；为表观变形激活能(kJ·mol-1)；为流动应力(MPa)；为绝对变形温度(K)；为普适气体常数(8.3145J·mol-1·K-1)；为应变速率敏感性指数。

2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归Ti-6Al-4V合金在不同温度下压缩变形时的应力-应变曲线2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归2.1数据处理的基本理论—2.1.3、多元线性回归用多元线性回归求解

利用多元线性回归一次性求解系数a、b1、b2即可得Q值！2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用Excel应用举例研究某种材料在某种腐蚀液中腐蚀时间与腐蚀量的关系，实验数据如下表所示：例2.1、一元(直线)回归分析应用实例方法一：1、在A,B列输入x，y值；2、用鼠标选中x，y数据区；3、用鼠标指到“图表向导”工具按钮,选择x，y散点图，单击下一步；4、在弹出的对话框中进行相应选择；5、在产生的散点图上单击鼠标右键,在弹出的菜单上选择“添加趋势线”，进行相应选择即可得到所需结果。2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用方法二（以2013版Office-Excel为例）1、在A,B列输入x,y值2、用鼠标点击文件-选项--加载项-3.再次用鼠标3、点击数据-数据分析-回归4.在“回归”分析对话框中进行相关选择后，即可得到所要结果。相关选择：输入区域选择y值区域,x值区域输出区域选择置信度选择95%2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用Multiple对应的数据是相关系数R。回归系数残差平方和Q回归平方和U总平方和S例2.2、多元回归分析应用实例2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用Origin软件简介及的应用Origin是美国OriginLab公司（其前身为Microcal公司）开发的图形可视化和数据分析软件，是科研人员和工程师常用的高级数据分析和制图工具。Origin自1992年问世以来，由于其操作简便，功能开放，很快就成为国际流行的分析软件之一，是公认的快速、灵活、易学的工程制图软件。它的最新的版本号是9.0。2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用基本功能(数据分析和绘图)函数拟合数据管理：常规处理和一般的统计分析数据分析：t-检验、快速傅里叶变换、回归分析等二维和三维绘图多层绘图2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用标题栏菜单栏菜单栏WorksheetGraph2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用例2.3、Origin绘制曲线2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用例2.4、一元线性回归2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用例2.5、多元线性回归2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用例2.6、热加工图-能量耗散率-3D图片用数据作图后，无法借助人的眼和脑判断数据之间的内在逻辑联系，往往还需要进一步对数据图形进行处理，提取有用的信息。这就涉及到谱线处理的一些内容。谱线和曲线的处理包括以下几个部分：数据曲线的平滑〔去噪声)、数据谱的微分和积分、谱的基线校正或去除数据背景、求回归函数与多函数拟合达到分解和分辨数据谱的目的。进行这些处理的命令，基本上都包括在Origin图形页的“Analysis”和“Tool”两个菜单中。材料科学与工程中的谱线处理2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用曲线平滑打开图形页中的“Analysis”菜单，其中的“Smoothing”-“Savitzky-Golay”或“AdiacentAveraging”或“FFTFilterSmoothing”命今分别是Savitzky-Golay方法、窗口平均法和快速傅里叶过滤器，选择其中之一。根据软件提供的平滑参数范围，选择适当参数后确认。统计

包括：平均值（Mean）、标准差（StandardDeviation，Std，SD）、标准误差(StandardErroroftheMean)、最小值（Minimum）、最大值（Maximum）、百分位数（Percentiles）、直方图（Histogram）、T检验（T-testforOneorTwoPopulations）、方差分析（One-wayANOVA）、线性、多项式和多元回归分析（Linear、PolynomialandMultipleRegressionAnalysis）。2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用(1)作原谱的微分谱选定作微分谱的数列，在图形页的“Analysis”莱单下，选择“Calculus”-“Differentiale”，微分谱显示在另一个“Deriv”窗口中。(2)求谱的积分在图形页的“Data”菜单中选定求积分的谱数据列，在图形页的“Analysis”菜单下，选择“Caculus”—“Intedrate”命令，曲线下方面积的积分结果显示在“ResultLog”中。谱的微分和积分:2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用作业：1.运用一元线性拟合进行数据处理的一般步骤。2.分别对常用的非线性函数：幂函数、指数函数1、指数函数2、对数函数、双曲线函数、S形曲线函数，进行线性化处理，并写出线性化后的函数关系式。（教材P19）2.2Excel和Origin软件在材料科学与工程中的数据处理应用实验：教材p39习题2.5(Excel)，2.6(Origin)计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料科学与工过程中的数学模型和数值分析引言陈文豪,周晚林,张付军.GH4169合金涡轮盘锻造成型的数值模拟和分析,计算机辅助工程,23(2014)68-72.大型复杂铝合金压铸件成形数值模拟及工艺优化-李世钊-硕士论文-华中科技大学引言引言数值模拟主要内容：3.1数学模型的基本知识3.2材料科学与工程研究中数学模型3.3常用的数值计算方法依赖于数学模型建模求解3.1数学模型的基本知识3.1数学模型的基本知识3.1数学模型的基本知识什么叫数学模型？数学模型（mathematicalmodel)：用数学语言描述的实际现象，用数学语言描述现象特征的数学关系式（包括完整的方程组及全部单值条件），是实际现象的数学简化。主要具有解释、判断、预见三大功能。3.1数学模型的基本知识—3.1.11.按照模型的应用领域(或所属学科)分如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等。范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等。2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等。数学模型分类3.1数学模型的基本知识—3.1.1数学模型分类3.按照模型的表现特性又有几种分法：确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响。近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型。静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化。线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的。离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的。3.1数学模型的基本知识—3.1.1数学模型分类4.按照建模目的分类有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等5.按照对现象的认识程度分类白箱模型：又称机理模型，是根据相关的基本原理直接建立的模型。（机理研究的目标）灰箱模型：以相关的定律为基础，同时包含一定的经验假设或参数的模型，又称半经验模型。黑箱模型：在分析一些复杂体系时，如果缺乏对过程性质和内部构造的了解，不了解过程的机理，则把过程体系看成一个黑箱，并设法用数学公式表述体系的输入输出参数之间的关系的数学模型。3.1数学模型的基本知识—3.1.2数学建模的过程数学建模的过程3.1数学模型的基本知识—3.1.2数学建模的过程1.模型准备（初步研究）了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，可能的建模方法等。2.模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设。3.模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构。3.1数学模型的基本知识—3.1.2数学建模的过程4.模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。5.模型分析对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。6.模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。7.模型应用应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的.3.1数学模型的基本知识—3.1.3数学模型的特点1）模型的逼真性和可行性（“费用”与“效益”）一方面希望模型尽可能逼近研究对象；另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使能数学上能处理，“费用”高2）模型的渐进性建模过程的反复迭代，由简到繁，删繁就简，以获得越来越满意的模型3）模型的强健性当观测数据（或其他信息）有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化。4）模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。数学模型的特点3.1数学模型的基本知识—3.1.3数学模型的特点5）模型的非预制性许多应用广泛的模型，但实际问题时各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供建模时使用。6）模型的条理性促使对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性。7）模型的技艺性经验、想象力、洞擦力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起较大作用比起一些具体的数学知识。8）模型的局限性模型是现实对象简化、理想化的产物人们的认识能力和科学技术，包括数学本身发展水平的限制有些领域的问题尚未能用建模方法寻求数量规律3.1数学模型的基本知识—3.1.41）理论分析法应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。2）模拟方法如果模型的系统，结构和性质相同，而且构造出来的模型也类似，就可把另一种模型看作是原来模型的模拟。3）类比分析法根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也有可能相似的一种方法。4）数据分析法当有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可以利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。数学模型的建立方法3.2材料科学与工程研究中数学模型3.2材料科学与工程研究中数学模型3.2材料科学与工程研究中数学模型—理论分析法

1理论分析法

理论分析法是指应用自然科学中的定理和定律,对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。理论分析这是人们在一切科学研究中广泛使用的方法。在工艺比较成熟、对机理比较了解时，可采用此法。根据问题的性质可直接建立模型。例.在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。甲醇加煤油渗碳气氛中，描述炉气碳势和CO2含量的关系的实际数据如下表：模型假设渗碳过程中的炉气化学反应：可求平衡常数，由上式可得：其中，P为总压，设P=1atm，、分别为CO、CO2气体的分压，分别为CO、CO2所占的体积百分数。K2为平衡常数，为碳的活度。则又其中，表示平衡碳浓度，即炉气碳势。表示加热到温度T时奥氏体中的饱和碳浓度。同样，可得：3.2材料科学与工程研究中数学模型—理论分析法对上式两边取对数，可得：由于在温度一定时，和

均为常数，上式右边前两项也应为常数。即，可设。而对于这两项，由于、与有关，且要建立和之间的数学模型，于是令设，可得：利用表中的实验数据进行回归，求得：于是即上式即为碳势控制的单参数数学模型。3.2材料科学与工程研究中数学模型—理论分析法

2模拟方法模型的结构及性质已经了解，但其数量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其相同、而且构造出的模型也类似，就可以把后一种模型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或实验并求得其结果。例如，研究钢铁材料小裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，可以通过弹塑性力学及断裂力学知识进行分析计算，但求解非常麻烦。此时可以借助实验光测力学的手段来完成分析。首先，根据—定比例，采用模具将环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料小裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹；随后，将环氧树脂模型放入恒温箱内，对环氧树脂模型在冻结温度下加载，并在载荷不变的条件下缓缓冷却到室温卸载；3.2材料科学与工程研究中数学模型—模拟方法将已冻结应力的环氧树脂模型在平面偏振光场或圆偏振光场下观察，环氧树脂模型中将出现一定分布的条纹，这些条纹反应了模型在受载时的应力、应变情况，用照相法将条纹记录下来并确定条纹级数、再根据条纹级数计算应力；最后，根据相似原理、材料等因素确定—定的比例系数，将计算出的应力换算成钢铁材料中的应力，从而获得了裂纹尖端的应力、应变分布。3.2材料科学与工程研究中数学模型—模拟方法3.2材料科学与工程研究中数学模型—模拟方法得：3.2材料科学与工程研究中数学模型—模拟方法3类比分析法若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分忻法是根据两个(或两类)系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的—种方法。在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度。现期望在理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）采用类比分析法。聚合物的结晶过程包括成核和晶体长大两个过程，这一下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波向外扩展的情形相类似，因此可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。3.2材料科学与工程研究中数学模型—类比分析法在水面上任选一参考点，根据概率分析，在时间0~t时刻范围内通过该点的水波数为m的概率P(m)为Poisson分布（假设落下的雨滴数大于m，从0到t时刻通过任意点P的水波数的平均值为E）则有把水波扩散模型作为结晶前期的模拟来讨论薄层熔体形成“二维球晶”的情况。雨滴接触水面相当于形成晶核，水波相当于二维球晶的生长表面，当m=0时，意味着所有的球晶面都不经过P点，即P点仍处于非晶态。根据式（3.41）可知其概率为（3.41）（3.42）（3.43）设此时球晶部分占有的体积分数为，则有3.2材料科学与工程研究中数学模型—类比分析法假定：从0到t时刻水波前进的距离为r。那么，以P点为中心，以r为半径的圆面内所有的雨滴所产生的水波都将通过P点。这个圆面积称为有效面积，通过P点的水波数就等于在这个有效面积内落入的雨滴数。图3.3有效面积示意图prdr3.2材料科学与工程研究中数学模型—类比分析法求平均值E，应为时间的函数。二维形核的两种情况（1）一次性同时成核的情况—所有水滴同时落入水面（2）晶核不断形核的情况—雨滴不断落入（1）一次性同时成核的情况—所有水滴同时落入水面设单位面积内的平均雨滴数为N，当时间由t增加到t+dt时，有效面积的增量即图中阴影部分的面积为2πrdr，平均值E的增量为（3.46）图3.3有效面积示意图prdr若水波前进速度即球晶径向生长速度为v，则r=vt，对式（3.46）作积分得平均值同t的关系为（3.47）代入式（3.45），得（3.48）该式表示晶核密度为N，一次性成核时体系中的非晶部分与时间的关系。3.2材料科学与工程研究中数学模型—类比分析法设单位时间内单位面积上平均产生的晶核数即晶核生成速度为I，到t时刻产生的晶核数（相当于生成的水波）则为It。时间增加dt，有效面积的增量仍为2πrdr，其中，只有满足t>r/v的条件下产生的水波才是有效的，因此有（3.49）积分得（3.50）代入可得同样的方法可用来处理三维晶球，这时把圆环确定的有效面积增量用球壳确定的有效体积增量来代替，对于同时成核体系（N为单位体积的晶核数），则（3.51）（3.52）3.2材料科学与工程研究中数学模型—类比分析法（2）晶核不断形核的情况—雨滴不断落入同时形核：同样的方法可用来处理三维晶球，这时把圆环确定的有效面积增量用球壳确定的有效体积增量来代替，对于同时成核体系（N为单位体积的晶核数），则（3.52）3.2材料科学与工程研究中数学模型—类比分析法三维形核不断成核体系：定义I为单位时间、单位体积中产生的晶核数，则将上述情况进行归纳，可用一通式：式中，k是同核密度及晶体一维生长速度有关的常数，称为结晶速度倍数；n是与成核方式及核结晶生长方式有关的常数。该式称为Avrami方程。（3.53）（3.54）

模型检验：图3.4为尼龙1010等温结晶体数据的Avrami处理结果，可见在结晶前期实验同理论相符，在结晶的最后部分同理论发生了偏离。

解释：因为生长着的球晶面相互接触后，接触区的增长即停止。在前期球晶尺寸较小，非晶部分多，球晶之间不致发生接触，随时间延长，球晶增长到满足相互接触的体积时，总体的结晶速度就要降低，Avrami方程将出现偏差。3.2材料科学与工程研究中数学模型—类比分析法3.2材料科学与工程研究中数学模型—数据分析法4数据分析法当系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统的规律，也不便于类比分析，但有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可利用时，就可以通过描述系统功能的数据分忻来连接系统的结构模型。回归分析是处理这类问题的有利工具。求一条通过或接近一组数据点的曲线，这一过程叫曲线拟合，而表示曲线的数学式(称为回归方程。求系统回归方程的一般方法如下：设有一未知系统，已测得该系统有n个输入、输出数据点为3.2材料科学与工程研究中数学模型—数据分析法

5利用计算机软件(Origin软件)建立数学模型例，在日常生活中时我们常要用热水，例如我们口渴了要喝开水，冬天洗澡要用热水，等等。热水的温度比周围环境的温度要高，因此热水和周围的环境存在热传递，其温度会逐渐地下降，直至与环境的温度一致。一杯热水在自然的条件下与周围的环境发生热传递，其温度的下降有什么规律？能用数学公式表达吗？（1）猜想与假设：由日常生活获得的经验：热水在冬天降温快，在夏天降温慢，因此降温速度跟热水与环境的温差有关；一杯水比一桶水降温快，因此速度与热水的体积有关，体积越小速度就越快。（2）制定计划：如图3-4所示,以不同体积的热水作为探究的对象。将体积分别为50mL、100mL和200mL的水加热至沸腾，然后利用实验室的MultilogPro数据采集器和温度探头（DT092）对其降温过程进行监测，记录其温度变化数据，以便利用计算机作进一步的分析处理。3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用OriginDT029是用感温半导体电阻制成的温度传感器，其外壳是导热性能极佳的金属，具有很强的抗化学腐蚀性能。工作原理：(p57)（3）实验步骤：1)用量筒量取50mL水并将其注入圆底烧瓶，将水加热至沸腾。2)将一个温度传感器（DT029）连接到MultilogPro的I/O1端口，用以采集热水的降温数据；另一个连接到I/O2端口，用以采集环境的温度数据。开启数据采集器，设置采样频率为1persec，采样总数为10000。3)将一个探头置于沸水中，另一个置于实验装置旁。约30sec后停止加热，同时开启按钮开始采集数据。4)重复上述步骤依次采集体积为100mL和200mL的热水的降温过程温度变化数据。图3-4实验装置图3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin5)利用Db-lab软件将实验数据从MultilogPro下载到计算机并完成降温曲线绘制，用科学计算绘图软件Origin对数据进行数学建模。（4）数据处理,实验结果如图3-5所示.图3-5热水降温曲线3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin从图3-5可以看出，降温的初期热水的温度高，与环境的温差大，曲线很陡，这说明温差越大降温速度就越快，与第一个猜想吻合；体积为50mL的热水的降温曲线最陡，100mL的次之，200mL的最平，这说明热水的体积越小降温越快，体积越大降温越慢。这与我们的第二个猜想吻合。表3.3是三个不同体积的水实验的特征数据。表3.3实验特征数据起始温度(℃)过程平均室温(℃)温差(℃)50mL100.0830.9169.17100mL100.3130.6869.63200mL100.2331.2668.973.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin（5）数学建模:3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin因此A就是热水与环境的最大温差。基于上面分析，可以将数据输入到科学计算绘图软件Origin（version7.0）中进行曲线拟合.如图3-6所示,拟合的过程如下：在Origin7.0中打开工作簿中的数据（扩展名为.xls，其创建的方法是：先由Db-lab输出一个.csv文件，此文件可以由MicrosoftExcel2000打开，再利用Excel将其保存为MicrocalOrigin7.0可以处理的.xls文件，或者直接将数据复制到Origin的工作簿中）；分别绘制三组数据的散点图得到三个曲线图Graph1、Graph2和Graph3，击活Graph1为当前工作窗口。在菜单中选择Analysis-->Non-linearCurveFit，打开NLSF的SelectFunction对话框，选择ExpDec1，单击StartFitting，此时分析系统会弹出对话框要求用户选择拟合的数据，用户只须单击activedataset，因为之前已将数据击活；3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin1）设定参数：从表3.3中将当前拟合的相应参数（y0为室温、A为温差）输入到文字框中，将y0、A后的Vary选项的√去掉，因为这两个参数已经经过分析确定，无须拟合。2）开始迭代：单击1Iter进行一次迭代，对应于当前参数的理论曲线将显示在Graph1窗口，多次单击10Iter，以使拟合的曲线与数据曲线最大程度地吻合，单击Done完成拟合。三组数据拟合的结果如图3-7到3-9所示：图3-6参数设置界面3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin图3-750mL热水降温拟合曲线图3-8100mL热水降温拟合曲线图3-9200mL热水降温拟合曲线三条降温曲线经过拟合，参数显示在图中，表3.4归纳了三条曲线的数学模型。如果忽略三组实验中由于仪器（DT092）误差而造成的细微差异，那么y0和A1这两个参数在三组实验中完全一致，可见在本实验所处的条件下，t是与热水的体积有关的一个参数，体积越大，t的值就越大。表3.4曲线的数学模型V/mLy0At5030.9169.171082.7410030.6869.631582.3920031.2668.972911.92假设t是体积v的函数，t=f(v)，用Origin对表3.4中V、t进行分析，发现t与v成线性关系，如图3-10所示。通过数学建模得出其关系为：t=417.98+12.35V3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin因此（3.62）式可表示为，用T、T0、t分别替换y、y0、x有：。其中T为热水的实时温度，T0为环境的温度，A是热水和环境的最大温差（开始温差），t为时间，V为热水的体积。图3-10t与v的线性关系3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin热水温度下降的速度跟热水与环境的温差有关，温差越大温度下降就越快，反之则越慢；热水温度下降的速度与热水的体积有关，体积越大温度下降就越慢，反之则越快；在本实验所处的条件下，热水降温过程可以用如下公式描述3.2材料科学与工程研究中数学模型—利用Origin3.3常用的数值计算方法3.3常用的数值计算方法在材料科学与工程中的许多工程分析问题，如弹性力学中的位移场和应力场分析、塑性力学中的位移速度场和应变速率场分析、电磁学中的电磁场分析、传热学中的温度场分析、流体力学中的速度场和压力场分析等，都可归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。控制方程的求解有解析和数值两种方法。（1）解析方法。根据控制方程的类型，采用解析的方法求出问题的精确解。该方法只能求解方程性质比较简单，且边界条件比较规则的问题。（2）数值方法。采用数值计算的方法，利用计算机求出问题的数值解。该方法适用于各种方程类型和各种复杂的边界条件及非线性特征。通俗来讲：解析解：严格的公式，是一个求解公式，适用于所有这类方程的求解。数值解：是利用有限元法、数值逼近法、插值方法等的求解。数学模型的数值求解3.3常用的数值计算方法许多的力学问题和物理问题人们已经得到了它们应遵循的基本规律（微分方程）和相应的定解条件。但是只有少数性质比较简单、边界比较规整的问题能够通过精确的数学计算得出其解析解。大多数问题是很难得到解析解的。对于大多数工程技术问题，由于物体的几何形状比较复杂或者问题的某些特征是非线性的，解析解不易求出或根本求不出来，所以常常用数值方法求解。对工程问题要得到理想或满足工程要求的数值解，必须具备高性能的计算机（硬件条件）和合适的数值解法。3.3常用的数值计算方法数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三部分组成。（1）前处理。前处理主要完成下述功能：实体造型———将研究问题的几何形状输入到计算机中；物性赋值———将研究问题的各种物理参数（力学参数、热力学参数、流动参数、电磁参数等）输入到计算机中；定义单元类型———根据研究问题的特性将其定义为实体、梁、壳、板等单元类型；网格剖分———将连续的实体进行离散化，形成节点和单元。（2）数值计算。数值计算主要完成下述功能：施加载荷———定义边界条件、初始条件；设定时间步———对于瞬态问题要设定时间步；确定计算控制条件———对求解过程和计算方法进行选择；求解计算———软件按照选定的数值计算方法进行求解。（3）后处理。后处理主要完成下述功能：显示和分析计算结果———图形显示体系的应力场、温度场、速度场、位移场、应变场等，列表显示节点和单元的相关数据；分析计算误差；打印和保存计算结果。3.3常用的数值计算方法解决这类问题通常有两种途径：（1）对方程和边界条件进行简化，从而得到问题在简化条件下的解答；（2）采用数值解法。第一种方法只在少数情况下有效，因为过多的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的结论。目前，常用的数值解法大致可以分为两类：有限差分法和有限元法。应用有限差分法和有限元法求解数学模型最终归结到求解线性方程组。3.3常用的数值计算方法线性方程组计算机计算（迭代）在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为求解线性代数方程组.若其系数矩阵为非奇异阵，且aii≠0（i=1,2，…），将方程组（3.62）改写为3.623.3常用的数值计算方法—3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）通过简单迭代可得式（3.63）（3.63）简写为（3.64）对于式（3.63），式（3.64），给定一组初始值后，经反复迭代得到一向量系列：如果收敛于其中，是方程组（3.62）的解，式（3.64）被称为雅可比迭代格式。如果不收敛，则迭代失败。3.3常用的数值计算方法—3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）赛德尔迭代法：一般地，计算时，使用代替能使收敛快些。为确定计算是否终止，设为允许的绝对误差限，当满足时，停止计算。3.3常用的数值计算方法—3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）3.3常用的数值计算方法—3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）3.3常用的数值计算方法—3.3.1线性方程组计算机计算（迭代）有限差分法是数值求解微分问题的一种重要工具，很早就有人在这方面作了一些基础性的工作。到了1910年，L.F.Richardson在一篇论文中论述了Laplace方程、重调和方程等的迭代解法，为偏微分方程的数值分析奠定了基础。但是在电子计算机问世前，研究重点在于确定有限差分解的存在性和收敛性。这些工作成了后来实际应用有限差分法的指南。20世纪40年代后半期出现了电子计算机，有限差分法得到迅速的发展，在很多领域（如传热分析、流动分析、扩散分析等）取得了显著的成就，对国民经济及人类生活产生了重要影响，积极地推动了社会的进步。有限差分法初等模型--为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。微分方程模型--指的是在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系统的数学模型。3.3常用的数值计算方法—3.3.2有限差分法求解在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。3.3常用的数值计算方法—3.3.2有限差分法求解物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。3.3常用的数值计算方法—3.3.2有限差分法求解有限差分法在材料成形领域的应用较为普遍，与有限元法一起成为材料成形计算机模拟技术的主要两种数值分析方法。目前材料加工中的传热分析（如铸造成形过程的传热凝固、塑性成形中的传热、焊接成形中的热量传递等）、流动分析（如铸件充型过程，焊接熔池的产生、移动，激光熔覆中的动量传递等）都可以用有限差分方式进行模拟分析。特别是在流动场分析方面，与有限元相比，有限差分法有独特的优势，因此目前进行流体力学数值分析，绝大多数都是基于有限差分法。另外，一向被认为是有限差分法的弱项—应力分析，目前也取得了长足进步。一些基于差分法的材料加工领域的应力分析软件纷纷推出，从而使得流动、传热、应力统一于差分方式下。3.3常用的数值计算方法—3.3.2有限差分法求解有限差分法是数值计算中应用非常广泛的一种方法。有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一种数值计算法。其实质是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。3.3常用的数值计算方法—3.3.2有限差分法求解3.3常用的数值计算方法—3.3.2有限差分法求解3.3常用的数值计算方法—3.3.2有限差分法求解3.3常