《汽车振动学》全册配套完整教学课件2

《汽车振动学》全册配套完整教学课件2汽车振动学（上篇）课程简介振动问题一个古老的问题，但一直到现在还在不停的进行研究，而且越来越显得重要。课程简介课程简介课程简介NoiseVibrationHarshness声振粗糙度——振动与噪声的品质。它是描述人体对噪声的主观感觉，不能直接用客观方法来度量。由于声振粗糙度是描述的使人不舒服的感觉，因此也称为不平顺性。课程简介课程简介汽车振动简介振动基础知识随机振动主要内容4.汽车发动机的振动5.汽车传动系的扭转振动6.减振器和减振措施制动时汽车的振动前轮及前桥的振动汽车悬架系统的振动振动的数值分析方法汽车振动测试技术参考书籍1、何渝生等编著，汽车振动学，人民交通出版社，19902、小林明（日）著，汽车振动学，机械工业出版社，19813、靳晓雄等编著，汽车振动分析，同济大学出版社，20024、李晓雷等编著，机械振动基础，北京理工大学出版社，2005第一章汽车振动简介振动振动是指物体在平衡位置附近所作的具有周期性的往复运动。有害有利第一章汽车振动简介动力及传动系统行驶系统车身及附属部件转向系统制动系统汽车行驶过程中各部件的运动第一章汽车振动简介路面不平车速改变齿轮的冲击运动方向变化发动机的振动汽车振动技术状况的变化第一章汽车振动简介动力性经济性平顺性通过性操纵稳定性汽车振动使用寿命具体原因？货物的完整性第一章汽车振动简介系统（汽车）汽车振动输入激励输出响应第一章汽车振动简介振动分析——已知输入以及系统的特性，求系统的响应。振动环境预测——在系统特性以及系统响应已知的情况下，反推系统的输入。系统识别——在输入与响应已知的条件下，确定系统的特性。第一章汽车振动简介根据系统的输入类型分类自由振动——系统受初始干扰后，在没有外界激励作用时所产生的振动。强迫振动——系统在外界激励作用下产生的振动。自激振动——系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有能源补充时产生的振动。参数振动——通过周期地或随机地改变系统那个的特性参数而实现的振动。第一章汽车振动简介根据系统输出的振动规律分类简谐振动——振动量是时间的正弦函数或余弦函数。周期振动——振动量是时间的周期函数。瞬态振动——振动量是在一定时间内存在的，并为非周期的时间函数。随机振动——振动量不是时间的确定函数，这种振动只能通过概率统计的方法来研究。第一章汽车振动简介根据描述系统的微分方程分类线性振动——用常系数线性微分方程式描述的系统所产生的振动。非线性振动——用非线性微分方程式描述的系统所产生的振动。第一章汽车振动简介根据系统的自由度分类单自由度系统的振动——用一个独立坐标就能确定位置的系统的振动。多自由度系统的振动——用多个独立坐标才能确定位置的系统的振动。无限多自由度系统的振动——要用无限多个独立坐标才能去定位置的系统的振动，又称为弹性体的振动。第一章汽车振动简介系统的自由度——指确定系统位置的独立坐标数目。独立坐标——又称为广义坐标，是确定系统位置的独立参数。xxθ00第一章汽车振动简介θxyl第一章汽车振动简介0mxθ第一章汽车振动简介第一章汽车振动简介z1z2zcθ第二章振动基础知识一、单自由度系统的自由振动二、有阻尼的自由振动三、单自由度系统的强迫振动四、二自由度系统的自由振动五、二自由度系统的强迫振动六、多自由度系统的自由振动七、多自由度系统的强迫振动八、拉格朗日方程在振动中的应用第二章振动基础知识一、单自由度系统的自由振动mgλs0kλsxk(λs+x)mgx第二章振动基础知识二阶常系数齐次微分方程第二章振动基础知识建立系统微分方程基本步骤：取定一个坐标系以描述系统的运动，原点为静平衡时质量所在位置；设质量沿坐标正向有一个微小移动，考察质量的受力情况，画出隔离体图；按照牛顿第二运动定律写出运动微分方程；确定系统初始的运动状态，即初始条件。第二章振动基础知识数学基础知识微分方程的解

第二章振动基础知识

第二章振动基础知识

第二章振动基础知识欧拉公式第二章振动基础知识振幅相位简谐振动第二章振动基础知识第二章振动基础知识圆频率：频率：周期：第二章振动基础知识特点：

物体作自由振动时，其无位置随时间按正弦规律变化，称为简谐振动。简谐振动的振幅与初相位与振动的初始条件有关。振动的周期或频率与初始条件无关，而与系统的固有特性有关，故为固有周期或固有频率。第二章振动基础知识旋转矢量来描述简谐振动：

φAω第二章振动基础知识φAω第二章振动基础知识复数来描述简谐振动：

第二章振动基础知识

第二章振动基础知识φAωReImZ=Aej(ωt+φ)Acos(ωt+φ)Asin(ωt+φ)第二章振动基础知识φ0lφ扭摆的自由振动d扭摆由弹性杆以及刚性圆盘组成。第二章振动基础知识φ0ld第二章振动基础知识amgθ复摆的自由振动复摆是在重力作用下能绕某一轴作微摆动的刚体。当刚体偏离垂直平衡位置时，在重力作用下产生恢复力矩能绕某一轴作微摆动。第二章振动基础知识amgθ第二章振动基础知识圆频率：频率：周期：第二章振动基础知识复摆自由振动的应用利用复摆自由振动的周期T可以得到刚体的转动惯量。1、测量周期大小2、计算转动惯量3、得到转动惯量关系？？？第二章振动基础知识应用（1）——连杆转动惯量的测量mga0θ第二章振动基础知识0C’CaHh应用（2）——汽车转动惯量的测量希望得到汽车绕中心的转动惯量Jc以及高度h。第二章振动基础知识0C’CaHh1）试验台绕O点的转动惯量以及中心高度a；2）汽车绕O点的转动惯量；3）汽车的恢复力矩。第二章振动基础知识0C’CaHh第二章振动基础知识振动微分方程建立的方法——能量法在无能量耗散的情况下系统在自由振动时动能T与势能U之和保持为常数，即能量守恒。第二章振动基础知识ORrθ(R-r)cosθ半径为r，质量为m的圆柱体在半径为R的圆柱面上滚动（无滑动），试找到圆柱体作微小振动的固有频率。m第二章振动基础知识ORθ(R-r)cosθmr因为作纯滚动（无滑动），故小球重心的速度与振动的角度有关。第二章振动基础知识ORθ(R-r)cosθmr因为作纯滚动（无滑动），故小球重心的速度与振动的角度有关。第二章振动基础知识xu0ldum应用（3）——等效质量的计算1）考虑弹簧的质量系统的频率？2）弹簧的质量如何计算？第二章振动基础知识xu0ldum当物体离开平衡位置x时，离弹簧上端距离为u的截面位移为(u/l)*x。则微段du的动能为第二章振动基础知识xu0ldum如何得弹簧的质量？第二章振动基础知识特点：

对于一些复杂的振动系统简化为较简单的单自由度的弹簧-质量系统，但简化后的为原来的等效刚度和等效质量，即可在简单的问题下研究复杂的问题。第二章振动基础知识应用（4）——气门机构的等效质量mAabθAmsmvJ第二章振动基础知识在A处的等效质量可通过系统的动能进行计算：mAabθAmsmvJx第二章振动基础知识FkFmFmk2mk1多个弹性元件组成的等效弹簧第二章振动基础知识例1：一摆振系统如图所示，杆重不计，球的质量为m，摆对轴O的转动惯量为J，弹簧的刚性系数为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。试求此系统微小振动的运动微分方程及固有频率。第二章振动基础知识解：1）摆在水平位置平衡时，弹簧已有压缩量δst，由平衡方程第二章振动基础知识2）以平衡位置为原点，摆在任一微小角度φ处，弹簧的压缩量为δst+φd。根据摆绕O轴的定轴转动微分方程第二章振动基础知识二、有阻尼的自由振动1）实际的振动中没有持续一直振动下去的，原因是什么？2）振动的能量问题？第二章振动基础知识无阻尼自由振动为简谐运动，其振幅及周期是恒定的，运动将一直持续下去。但实际上由于存在阻力而不断地消耗系统的能量，使自由振动随时间逐渐衰减直至完全停息。

工程中常见的阻尼有各种不同的形式，如物体在介质（空气、水、油等）中运动时的粘滞阻尼、物体沿接触面滑动时的干摩擦阻尼、物体内部摩擦产生的结构阻尼及高速运动物体所受到的非线性阻尼等。由实验得知，当物体以低速在阻尼介质中运动时，介质给予物体的阻力近似地与物体速度的一次方成正比，而方向与速度方向相反。第二章振动基础知识mx0kλsxk(λs+x)mgxcx’mgkc描述阻尼特性第二章振动基础知识mkcn为衰减系数p为固有频率0x第二章振动基础知识什么样的曲线？系统的特性是？第二章振动基础知识①（小阻尼情况）第二章振动基础知识（小阻尼情况）具有往复性质振幅在衰减振动频率第二章振动基础知识1）为何会收敛？2）意义？第二章振动基础知识阻尼的作用1）阻尼使系统的周期略有增大无阻尼时系统的周期相对阻尼系数（无量纲）第二章振动基础知识2）阻尼使系统的振幅按几何级数衰减减幅系数对数减幅系数第二章振动基础知识②（强阻尼情况）解的两个指数均为负数，因此所描述的不再是振动，而是按指数规律衰减的非周期蠕动。第二章振动基础知识1）为何会收敛？2）意义？第二章振动基础知识应用——消除振动工程上在一些电工仪表中，为了消除指针在游丝上的振动，常使n>p，使指针能迅速稳定在所指的准确读数上。汽车上的应用？第二章振动基础知识③（临界阻尼情况）描述的非周期运动但它为区分系统振动或者不振动的界限。因此可以用来衡量阻尼基准的大小。第二章振动基础知识衰减系数：临界阻尼系数：相对阻尼系数：阻尼比n=p时的阻尼系数第二章振动基础知识阻尼比ξ的意义1）

ξ<1作小阻尼的衰减振动；2）ξ>1作大阻尼的非周期运动；3）ξ=1

是引起运动性质突变的临界情况。第二章振动基础知识例1：质量为2450kg的汽车用四个悬挂弹簧支持在四个车轮上，四个弹簧由汽车重量引起的静压缩量均为15cm。为了能迅速地减少汽车上下振动，早四个支承处，均安装了减振器。由试验测得两次振动后振幅减小到0.1倍，即A1/A3=10。试求：1）振动的减幅系数η和对数减幅系数δ；2）阻尼系数

n和衰减振动的周期T1；3）如果要求汽车不振动时，减振器应具有多大的临界阻尼？并求出临界阻尼系数。第二章振动基础知识解：1）求η和δ0）系统的基本参数第二章振动基础知识2）求n和T13）求cc第二章振动基础知识例2：如图所示是测量液体阻力系数装置的简图，质量为m的重物挂在弹簧上，在空气中测得振动的频率为f1，放于液体中测得的频率为f2，试求此液体的粘滞阻尼系数。第二章振动基础知识解：1）将重物在空气中的振动近似的视为无阻尼的自由振动，其振动频率为

2）将重物在液体中的振动的振动频率为

第二章振动基础知识三、单自由度系统的强迫振动1）实际的振动系统中存在阻尼作用，但还能持续一振动下去的，原因是什么？（如发动机等）2）振动的能量问题？第二章振动基础知识m0xkxFxcx’Fkc第二章振动基础知识mFkc①正弦力②周期力③一般力强迫振动激励力的类型第二章振动基础知识mF(t)=F0sinωtkc①正弦激励力0x第二章振动基础知识通解特解将特解代入微分方程，通过系数相等而得到。第二章振动基础知识1）第一部分与系统有关，是一个衰减的振动，称为瞬态振动。2）第二部分与正弦激励有关，是一个持续的振动，不会因阻尼而衰减，称为稳态振动。第二章振动基础知识稳态振动的振幅频率比阻尼比第二章振动基础知识零频率的挠度放大因子——强迫振动的振幅与零频率的挠度之比第二章振动基础知识ξ从0.15到1.0λβ第二章振动基础知识强迫振动的特点1）

λ<<1，放大因子不比1大多少；2）λ>>1，放大因子趋近于0，强迫振动的振幅非常小；3）λ=1

，即ω=p时，放大因子非常大，特别是当阻尼比很小时，放大因子将达到无穷大，即产生共振；4）随着阻尼的增加，共振频率逐渐向低频方向移动，最大振幅将迅速减小，而当时，振幅将不再有最大值，共振现象也就不存在了。第二章振动基础知识品质因子系统的带宽第二章振动基础知识λβω1ω2半功率点第二章振动基础知识系统的带宽系统的带宽与阻尼系数的关系？第二章振动基础知识可以确定λ与ξ的关系第二章振动基础知识系统的带宽与阻尼系数的关系1）阻尼大，则系统的带宽也大。在共振区内振幅较小也平缓；2）阻尼小，带宽窄。在共振区内振幅较大且变化较陡；3）品质因子反映了阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度；4）可以利用试验的方法进行阻尼大小的估算。第二章振动基础知识λβω1ω2半功率点第二章振动基础知识相位差相位差的意义？第二章振动基础知识ξ从0.15到1.0λψξ=0ξ=∞共振时相位滞后π/2第二章振动基础知识强迫振动的复数求解激励力用复数描述系统微分方程第二章振动基础知识复频率响应第二章振动基础知识H(ω)复频率响应输入激励输出响应第二章振动基础知识应用（1）——偏心质量引起的强迫振动F0ωm1m2m1F0kcm20xωe第二章振动基础知识m1F0kcm20xωe偏心质量引起的离心力的大小离心力在垂直方向的分量第二章振动基础知识系统的微分方程特解（稳态振动）稳态振动的振幅（与偏心质量、偏心距以及转速有关）第二章振动基础知识振幅比较固定的正弦激励变化的正弦激励频率为0的振幅？第二章振动基础知识ξ从0.15到1.0λm1B/m2eξ从0.15到1.0λψ第二章振动基础知识偏心质量引起的强迫振动的特点1）

λ<<1，m1B/m2e趋近于0，即振幅接近于0；2）λ

>>1，m1B/m2e接近于1，即；B=m2e/m1；3）λ

=1

，即ω=p时，产生共振。第二章振动基础知识临界转速转轴在某些转速或其附近运转时，将引起剧烈的横向弯曲振动，甚至会造成转轴和轴承的破坏，而当转速在这些转速的一定范围之外时，运转趋于平稳，这些引起剧烈振动的特定转速称为该轴的临界转速。这种现象是由于共振的结果，在轴的设计中对于高速轴应进行这项验算。第二章振动基础知识例：为了尽量简化问题，研究一具有单偏心圆盘的铅直轴，如图所示。设圆盘的质量为m，偏心距O1C=e，不考虑轴的质量和阻尼的影响，当圆盘连同转轴以角速度ω运转时，由于质量偏心将使转轴产生弯曲变形，如图所示。轴心O1与质心Ｃ的相对位置如图所示。第二章振动基础知识解：1）设轴心O1处的弯曲变形为x，y，则轴的弹性力式中k为转轴的相当刚性系数，取决于轴的尺寸、荷载位置、材料及两端的支承情况。对于两端简支的等截面轴，如圆盘在中央，则由材料力学得

第二章振动基础知识2）由质心运动定理得第二章振动基础知识第二章振动基础知识表明轴心O1点的轨迹为一圆，其半径即强迫振动的振幅B。第二章振动基础知识λB/e当轴的转速非常高时，其振幅大小接近为e。共振处为临界的转速第二章振动基础知识λB/e共振处为临界的转速3）临界转速与偏心距e无关第二章振动基础知识m0xk(x-xs)xc(x’-xs’)mkcxs=asinωt应用（2）——支承引起的强迫振动第二章振动基础知识m0xkcxs=asinωt第二章振动基础知识

利用复数进行求解响应的复数描述位移、速度、加速度第二章振动基础知识

响应的振幅放大因子第二章振动基础知识ξ从0.15到1.0λβξ从0.15到1.0λψ第二章振动基础知识支承位移引起的强迫振动的特点1）

λ<<1，？？？；2）λ

>>1，？？？；3）λ

=1，？？？。第二章振动基础知识振幅比较固定的正弦激励变化的正弦激励位移的正弦激励第二章振动基础知识位移的正弦激励速度的正弦激励？加速度的正弦激励？第二章振动基础知识例：kcy=4sin(2πx/10)m质量为490kg的小车以36km/h的水平速度在具有正弦波形y的路面上作等速直线行驶。在研究小车的垂直振动时，可将它简化为用弹簧支承在轮子上的物体。假设弹簧系数为500N/cm。不计阻尼以及车轮的变形等情况下，求车身迟滞振动的振幅。0y第二章振动基础知识kcy=4sin(2πx/10)m解：0）支承位移引起的振幅为1）小车的基本参数

0y第二章振动基础知识kcy=4sin(2πx/10)m2）小车的振幅

0y第二章振动基础知识应用（3）——减振与隔振减振是工程上防止振动危害的主要手段。减振可分为主动减振和被动减振。主动减振是在设计时就考虑消除振源或减小振源的能量或频率，在精密仪器、航空航天设备、大型汽轮发电机组及高速旋转机械中应用较多，但费用昂贵，普通工程机械中应用较少。被动减振有隔振和吸振等。隔振又可分为主动隔振和被动隔振。第二章振动基础知识这是一项积极的治本措施。如果振动的原因是由于转动部件的偏心所引起的，可以用提高动平衡精度的办法来减小不平衡的离心惯性力。对往复式机械如空气压缩机等也需要注意惯性力的平衡。1）减弱或消除振源（主动减振）第二章振动基础知识这是一种消极的防护措施。如精密仪器或设备要尽可能远离具有大型动力机械、压力加工机械及振动机械的工厂或车间，以及运输繁忙的铁路、公路等。2）远离振源（被动隔振）第二章振动基础知识衡量机器结构抗振能力的常用指标是动刚度，动刚度在数值上等于机器结构产生单位振幅所需的动态力。动刚度越大，则机器结构在动态力作用下的振动量越小。3）提高机器本身的抗振能力（主动减振）第二章振动基础知识根据实际情况尽可能改变系统的固有频率（主动减振）或改变机器的工作转速（被动减振），使机器不在共振区内工作。4）避开共振区第二章振动基础知识阻尼吸收系统振动的能量，使自由振动的振幅迅速衰减，对于强迫振动的振幅有抑制作用，尤其在共振区内甚为显著。5）适当增加阻尼（阻尼吸振）第二章振动基础知识对某些设备上的测量或监控仪表，采用在仪表下安装动力吸振器的方法可稳定仪表的指针，提高测量精度。6）动力吸振（被动吸振）第二章振动基础知识用具有弹性的隔振器，将振动的机器（振源）与地基隔离，以便减少振源通过地基影响周围的设备，这就是主动隔振或积极隔振；或将需要保护的精密设备与振动的地基隔离，使不受周围振源的影响，这就是被动隔振。7）采取隔振措施第二章振动基础知识隔振原理第二章振动基础知识ξ从0.15到1.0λβξ从0.15到1.0λψ第二章振动基础知识ξ从0.15到1.0λβ振幅比为1的位置，即引起的振幅大小与激励的振幅大小一致，无隔振效果。如果达到隔振效果，必需使得频率比满足一定的条件，即第二章振动基础知识ξ从0.15到1.0λβ(1)不论阻尼大小，欲得隔振效果，即β＜1，必须因此应采用刚性系数较低的隔振器或适当加大机器底座的质量。λ的值越大，隔振效果越好，在实际应用中常取λ=2.5~5。第二章振动基础知识ξ从0.15到1.0λβ(2)增大阻尼可减小机器经过共振区时的最大振幅，但在时却使β增大，即隔振效果降低。因此阻尼的选择应权衡这两方面的得失。工程中ζ值一般选用0.02~0.1范围。第二章振动基础知识隔振材料与减振器凡能支承运转设备动力荷载，又能产生弹性变形，并在卸载后能立即恢复原状的材料或元件均可作为隔振材料或减振器。第二章振动基础知识1）钢弹簧钢弹簧的应用最为广泛，常见的有螺旋弹簧、锥形弹簧、圈弹簧、板片弹簧等。尤以螺旋弹簧在机器减振中多见。由于钢弹簧的静态压缩量可以任意选择，系统共振频率可控制在很低的范围内，其缺点是阻尼特性差，容易传递高频振动，并在运转启动时转速通过共振频率会产生共振。为此，在应用中应附加阻尼措施。第二章振动基础知识2）钢丝绳减振器该类减振器能适应现代化产业对振动冲击和噪声控制技术的严格要求，是一种具有优良的振动和冲击性能的新型产品，可有效地降低结构噪声。具有多向弹性变形、非线性软化型刚度、使用与存储方便、重量轻等优点。第二章振动基础知识3）橡胶类减振器和隔振垫橡胶是一种较理想的弹性材料，以天然橡胶、丁氰或氯丁橡胶等尤好。板状或块条状实心橡胶受压变形量很小，必须经过加工成图所示的肋状钻孔或凸台等方可增加受力时的变形量。若需更大的变形量，则可变更橡胶的受力方式。第二章振动基础知识4）玻璃纤维板用酚醛树脂或聚醋酸乙烯胶合的玻璃纤维板（俗称冷藏板）也是一种隔振材料，可应用于负载不大的设备减振。其特点是隔振效果良好，有防火、防腐、施工方便、价格低廉的优点，材料来源广泛。另外，当材料受潮后，隔振效果稍受影响。第二章振动基础知识5）其它材料软木、毛毡、泡沫塑料、塑料气垫纸、矿渣棉毡、废橡胶、废金属丝等也可以作为隔振材料使用。但塑料制品易老化，性能随环境变化较大，除了作小型设备、仪器等临时性的隔振措施外，工程中应用不多。第二章振动基础知识应用（4）——阻尼减振现代车辆、船舶、飞机等交通工具的壳体，机器的护壁、风机的壳体以及使用金属板料制造的隔声罩、声屏障、通风管道等，为了减轻结构的重量都日趋轻薄，薄板受外力作用时将发生振动而辐射噪声。为了有效地抑制振动噪声，需要在薄板表面紧贴或喷涂一层或几层内摩擦大的材料，如沥青、软橡胶或其它高分子材料，这一措施称为阻尼减振，这类材料称为阻尼材料。第二章振动基础知识1）基本原理阻尼材料所以能减弱振动，降低噪声的辐射，主要原因是它减弱了金属板中传播的弯曲波。即当机器或薄板发生弯曲振动时，振动能量迅速传递给紧贴在薄板上内摩擦耗损大的阻尼材料，于是引起薄板和阻尼层之间相互摩擦和错动，阻尼材料忽而受拉伸，忽而受压缩，将振动能量转化为热能被消耗。因此，在薄板上涂贴阻尼材料，不仅可以减弱共振时产生的强烈振动，还可以减低机器振动或撞击而产生的噪声。第二章振动基础知识2）阻尼材料的使用有的阻尼材料已预制成薄层，可直接用胶结剂贴在金属板上，另外还有将阻尼材料浆喷涂在金属板面上的。阻尼层与金属板的结合方式大体分两种，一种是将阻尼材料粘合或喷涂在金属板的表面，称为自由阻尼层，自由阻尼层又分为单面和双面自由阻尼层。另一种是将阻尼材料粘合在两层金属板的中间，称为约束阻尼层。当板面发生弯曲振动时，约束阻尼层受到交变的剪切应力，使振动能量转化为内摩擦的热能而消耗，从而使振动受到抑制，可减弱噪声的辐射，故又称为剪切型阻尼层。约束阻尼层随较自由阻尼层稍为复杂，但效果较好。在要求不太高的场合，通常采用自由阻尼层形式。第二章振动基础知识第二章振动基础知识②周期激励力能否举例？第二章振动基础知识周期激励力转换工具？正弦激励力在正弦激励力作用下的单自由度系统的特性是已知的。第二章振动基础知识

基频傅里叶级数第二章振动基础知识周期激励力正弦激励力傅里叶级数第二章振动基础知识①周期激励力频率比解、特解、通解?第二章振动基础知识②支承位移周期激励频率比解、特解、通解?第二章振动基础知识m1m2kc应用（1）——发动机引起的强迫振动单缸活塞发动机引起的周期强迫振动问题。假设连杆的质量分为两个部分，一部分集中在曲柄销上，另一部分集中在活塞上。发动机工作过程中运动部分的质量可以用曲柄销上的质量m1和活塞上的质量m2来描述。0x第二章振动基础知识kc质量m1绕曲柄销作等速圆周运动质量m2作上下往复运动0xωtm1m2第二章振动基础知识质量m1绕曲柄销作等速圆周运动，产生的惯性力为m1Rω2，则在垂直方向的分量为kc0xωtm1m2第二章振动基础知识质量m2作上下往复直线运动，根据曲柄连杆机构，以活塞上止点为起点，质量m2向下的位移xp近似为kc0xωtm1m2第二章振动基础知识kc0xωtm1m2质量m2运行的速度质量m2的惯性力。有一阶、二阶、。。。第二章振动基础知识kc0xωtm1m2第二章振动基础知识

第二章振动基础知识例：如左图所示的单缸发动机，基本参数为曲柄销处的集中质量m1=0.907kg，活塞处的集中质量m2=3.175kg，发动机总质量m=226.8kg，曲轴转速600r/min，曲柄半径20.32cm，连杆长度60.96cm，支承弹簧刚度20100N/cm。试计算发动机振动的最大位移。k0xωtm1m2第二章振动基础知识解：0）系统的基本参数k0xωtm1m2

一阶激振频率小于固有频率，二阶激振频率大于固有频率。第二章振动基础知识1）激振力幅值k0xωtm1m2

第二章振动基础知识2）发动机振动位移k0xωtm1m2

第二章振动基础知识k0xωtm1m2tx第二章振动基础知识应用（2）——惯性式测振仪原理惯性式测振仪通常是把由弹性元件支承的惯性质量装在适当的壳体内，限制质量沿一给定的轴运动。阻尼通常由壳体内的黏性液体提供。使用时将壳体与被测物体固定连接，用检测元件测量质量块与壳体之间的相对运动作为系统的输出。mk0x0yc第二章振动基础知识mk0x0yc第二章振动基础知识mk0x0yc第二章振动基础知识mk0x0yc第二章振动基础知识①λ<<1mk0x0yc激振频率远小于固有频率第二章振动基础知识λ<<1的应用mk0x0yc测振器壳体的加速度幅值大小与测振器的相对振幅大小成一定的比例关系，即可用来作加速度测量仪器。第二章振动基础知识②λ>>1mk0x0yc激振频率远大于固有频率第二章振动基础知识Λ>>1的应用mk0x0yc测振器的质量块几乎保持不变，与结构连接处的大小几乎一致，即仪器的相对振幅与激励幅值相等，故可以用来测量位移大小。第二章振动基础知识应用范围ξ从0.15到1.0λZ/A位移计工作范围加速度计工作范围第二章振动基础知识③任意激励力tF(t)0第二章振动基础知识1)卷积积分法（Duhamel积分）基本思想：

将任意激励分解为一系列的微冲量的连续作用，分别求系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，把它们叠加起来，即可得到系统对任意激励的响应。第二章振动基础知识δ函数tδ(t)0可以将δ(t)函数理解为一个在t=0位置的面积为1的矩形，当其宽度变为无限小的时候，其高度则为无穷大，即该函数。第二章振动基础知识tδ(t)0τ可以将δ(t-τ)函数理解为一个在t=τ位置的面积为1的矩形，当其宽度变为无限小的时候，其高度则为无穷大，即该函数。第二章振动基础知识δ函数的性质第二章振动基础知识在系统上作用一个单位脉冲函数δ(t)，所得到的系统的响应称为单位脉冲响应函数h(t)。初始条件：在脉冲函数δ(t)的时刻前，系统的速度以及位移为0，同时在作用后的时刻系统的振幅也为0，因为还没有开始振动。第二章振动基础知识脉冲函数δ(t)的作用仅使得系统产生一个初始的速度。第二章振动基础知识假设系统的解（小阻尼情况，n<p）单位脉冲响应函数第二章振动基础知识tF(t)0τdτF(τ)dτ

第二章振动基础知识第二章振动基础知识支承为任意位移的输入第二章振动基础知识支承为任意加速度的输入支承任意加速度输入第二章振动基础知识mk0xh0y例：质量为m的仪表由刚度为k的弹簧悬置在木箱内。预计在运输过程中木箱可能从高度为h落到坚硬的地面。试求传到仪器的最大力。第二章振动基础知识mk0xh0y解：0）利用x和y分别代表质量m和木箱的绝对位移，z=x-y代表m对于木箱的相对位移。在自由降落过程中，仪器的运动微分方程为第二章振动基础知识mk0xh0y1）初始条件第二章振动基础知识2）响应为第二章振动基础知识3）木箱着地需要的时间为t1，该时刻的状态为第二章振动基础知识4）木箱着地需要的时间为t1，该时刻的状态为第二章振动基础知识第二章振动基础知识2)傅里叶积分法（傅里叶变换）基本思想：

将任意激励看做是无限长周期的周期激励，因此将此周期激励按照前面的方法进行求解。傅立叶级数的实数形式第二章振动基础知识tx(t)ωnan2π/Tωnbn2π/T第二章振动基础知识例：第二章振动基础知识-1x(t)1tT/2-T/2T-T例：第二章振动基础知识第二章振动基础知识

周期函数的傅里叶级数（复数描述）非周期函数能否利用傅里叶级数描述？傅立叶级数的复数形式例：-τ/2x(t)Etτ/2-T/2T/2-T第二章振动基础知识解：第二章振动基础知识频谱分析就是分析各种频率谐波的振幅比，方法是作出频谱图。所谓频谱图就是以频率为横坐标，画出振幅随频率而变化的图形，用以分析各频率谐波分量的振幅比。第二章振动基础知识第二章振动基础知识

基频频率差n倍频率意义？？？第二章振动基础知识傅里叶变换傅里叶积分第二章振动基础知识？？？第二章振动基础知识例：-τ/2x(t)Etτ/2单个方脉冲第二章振动基础知识例：？？？第二章振动基础知识2π/τEτω04π/τ第二章振动基础知识傅里叶变化的实质第二章振动基础知识第二章振动基础知识第二章振动基础知识假设输入为上面的单个简谐输入。如系统的频率响应函数为H(ω)，则系统的响应为上式。第二章振动基础知识输入响应第二章振动基础知识频率响应函数以及脉冲响应函数都描述了系统的性能，它们之间是否存在一定的关系？第二章振动基础知识频率响应函数与脉冲响应函数之间为傅里叶变换与逆变换的关系第二章振动基础知识激励f(t)脉冲函数h(t)响应x(t)激励的傅里叶变换F(ω)频率响应函数H(ω)响应X(ω)几个常用函数的傅立叶变换第二章振动基础知识①δ函数的傅里叶变换f(t)t0F[δ(t)]ω01②常数1的傅里叶变换第二章振动基础知识f(t)t0F[f(t)]ω01③函数ejω0t的傅里叶变换第二章振动基础知识f(t)t0F[f(t)]ω0ω0④cosω0t的傅里叶变换第二章振动基础知识F[f(t)]ω0ω0-ω0F[f(t)]ω0ω0-ω0ReIm⑤sinω0t的傅里叶变换第二章振动基础知识F[f(t)]ω0ω0-ω0ImF[f(t)]ω0ω0-ω0Re⑥周期函数的傅里叶变换第二章振动基础知识？？？第二章振动基础知识例：利用傅里叶变换计算无阻尼单自由度系统在矩形脉冲激励下的响应。tF(t)T-TF00mF(t)kc0x第二章振动基础知识解：0）系统运动微分方程为mF(t)=F0ejωtkc0x第二章振动基础知识频率响应函数1）系统的频率响应函数为第二章振动基础知识2）系统输入的傅里叶变换tF(t)T-TF00第二章振动基础知识3）系统的响应第二章振动基础知识2)拉氏变换法基本思想：

第二章振动基础知识四、二自由度系统的自由振动m1x1k1k2k3m2x2m1x1m2x2k1x1k2(x2-x1)k3x2第二章振动基础知识m1m2x2k1x1k2(x2-x1)k3x2x1第二章振动基础知识

第二章振动基础知识静止的状态非零解的条件第二章振动基础知识响应的频率情况第二章振动基础知识振幅比一般情况下振幅的大小由振动的初始条件决定。但当系统按照某一固有频率振动时，振幅比却与固有频率一样，只取决于系统本身的物理性质。第二章振动基础知识振幅比确定了系统的振动形态，又称为主振型。第一阶主振型第二阶主振型第二章振动基础知识第一阶主振型描述了两个质量按照同一方向运动；第二阶主振型描述了两个质量按照相反的方向运动。第二章振动基础知识xγ11xγ1γ2γ21节点节点的意义？？？第二章振动基础知识如何得到相关的系数？第二章振动基础知识一般情况下系统的振动是上述两种不同频率的主振动的叠加，结果不一定是简谐振动。第二章振动基础知识应用（1）——汽车的振动汽车是一个复杂的空间多自由度系统，但在设计时采取一些结构措施来减少车身的侧倾和限制横向振动，并略去弹簧下质量和减振器的影响，则影响汽车平顺性的振动就只有簧上质量的垂直振动和纵向角振动，即为一个两自由度系统。第二章振动基础知识x1x2xθk1k2k1(x+L1θ)k2(x-L2θ)0x第二章振动基础知识第二章振动基础知识

第二章振动基础知识主振型是同向还是反向运动取决于振幅比的各系数，或取决于b和f。第二章振动基础知识A1A2节点k1k2第二章振动基础知识A1A2节点k1k2第二章振动基础知识无耦合的情况，即各自按照自己的频率振动。仅有坐标的耦合称为静力耦合或弹性耦合。第二章振动基础知识第二章振动基础知识x1x2xθk1k2k1(x+L1θ)k2(x-L2θ)0x广义坐标的选择不同也可以得到不同的耦合形式。第二章振动基础知识

第二章振动基础知识与加速度有关的耦合称为动力耦合。汽车绕重心轴的回转半径第二章振动基础知识

第二章振动基础知识汽车的偏频，它表示汽车前后支点之一受到限制时的振动频率，即x1为0时的振动频率是ω2；x2为0时的振动频率是ω1。第二章振动基础知识如果分别为0，则将动力耦合解耦，即各质量自己单独振动。

悬挂质量分配系数第二章振动基础知识

各质量自己单独振动第二章振动基础知识A1节点k1k2A2节点k2k1第二章振动基础知识利用耦合也可以得到响应的频率。第二章振动基础知识利用耦合也可以得到响应的频率。第二章振动基础知识m1x1k1k2m2x2如果仅考虑汽车单轮振动问题，同时不忽略簧下质量的影响，则可简化为如图所示的情况，即由簧上质量与簧下质量组成的振动系统。第二章振动基础知识例1：基本参数：簧上质量437kg；车身绕中心的回转半径1.21m2，前后支承点到重心的距离1.22m，1.52m，前后弹簧的刚度23347N/cm，35022N/cm。x1x2xθk1k2k1(x+L1θ)k2(x-L2θ)0x第二章振动基础知识解：0）系统的微分方程为第二章振动基础知识

圆频率频率1）系统的频率第二章振动基础知识在第一阶频率下，位移2的振幅与位移1的振幅比，或位移1为1时的位移2的振幅大小为0.00429。在第二阶频率下，位移2的振幅与位移1的振幅比，或位移1为1时的位移2的振幅大小为-0.0194。2）系统的主振型第二章振动基础知识例2：基本参数：悬挂系统的固有频率为3π，簧上质量与簧下质量之比为6，支承弹簧刚度与轮胎刚度之比为6。试求该二自由度系统的固有频率。m1x1k1k2m2x2第二章振动基础知识解：m1x1k1k2m2x20）系统的微分方程为第二章振动基础知识第二章振动基础知识第二章振动基础知识16.77m1m2节点车身与车轮组成的两个自由度系统的主振型。在一阶主振型时，车身质量的振幅约为车轮质量振幅的6.77倍，即主要是车身质量在振动，故称为车身型振动。它与汽车简化为单质量系统的振动比较接近。第二章振动基础知识1-0.0.234m1m2节点车身与车轮组成的两个自由度系统的主振型。在二阶主振型时，车轮质量的振幅约为车身质量振幅的40倍，即主要是车轮质量在振动，故称为车轮型振动。它可以看做车身不动。第二章振动基础知识m1x1k1k2m2x2第二章振动基础知识五、二自由度系统的强迫振动m1x1k1k2k3m2x2m1x1m2x2k1x1k2(x2-x1)k3x2F1sinωtF2sinωtF1sinωtF2sinωt第二章振动基础知识第二章振动基础知识齐次方程的解为自由振动的解，非齐次方程的解为激励力引起的振动，即以激励力的频率振动。第二章振动基础知识在激励频率与系统的固有频率一致时，即共振时存在着一定的主振型。第二章振动基础知识m1x1k1k2k3m2x2F1sinωt0例1：基本参数：m1=m，m2=2m，k1=k2=k，k3=2k，F1sinωt，F2为0，试求系统的响应和共振时的振幅比。第二章振动基础知识解：0）系统的微分方程为第二章振动基础知识

如何得到系统的固有频率？第二章振动基础知识1）振幅及系统的响应

第二章振动基础知识系统的解？第二章振动基础知识2）振幅比第二章振动基础知识3）振幅频率响应第二章振动基础知识B1B2ω/(k/m)^0.5ω/(k/m)^0.5反共振第二章振动基础知识叠加方法（复数求解）m1x1k1k2k3m2x2m1x1m2x2k1x1k2(x2-x1)k3x2F1sinωtF2sinωtF1sinωtF2sinωt第二章振动基础知识0）系统的微分方程为m1x1k1k2k3m2x2F1sinωt0第二章振动基础知识

1）假设仅有质量m1上的激励第二章振动基础知识

作用在质量m1上的载荷，在质量m1及质量m2上的频率响应函数。第二章振动基础知识作用在质量m1上的载荷，在质量m1及质量m2上的产生的响应。第二章振动基础知识2）假设仅有质量m2上的激励

第二章振动基础知识

作用在质量m2上的载荷，在质量m1及质量m2上的频率响应函数。第二章振动基础知识作用在质量m2上的载荷，在质量m1及质量m2上的产生的响应。第二章振动基础知识3）系统的响应第二章振动基础知识有阻尼的二自由度强迫振动第二章振动基础知识x1x2xθk1k2k1(x+L1θ)k2(x-L2θ)c2(x’-L2θ’-y2’)c1(x’+L1θ’-y1’)y1(t)y2(t)应用（1）——汽车的振动0x第二章振动基础知识第二章振动基础知识如何求解？第二章振动基础知识1）假设仅有在第一个自由度上的激励第二章振动基础知识

？？？第二章振动基础知识2）假设仅有在第二个自由度上的激励第二章振动基础知识

？？？第二章振动基础知识第二章振动基础知识六、多自由度系统的自由振动第二章振动基础知识第二章振动基础知识①刚度矩阵产生单位位移多需要的外力（广义）一般定义是指引起单位位移所需要的系统外力，即，在系统第j个坐标上引起作用单位位移时在第i个坐标上所需要的外力，就定义为刚度系数Kij。第二章振动基础知识m1x1k1k2k3m2x2k4m3x31假设质量m1产生单位位移1，质量m2不动，则需要在m1及m2上所加的力为需要的刚度矩阵中系数的大小。第二章振动基础知识m1x1k1k2k3m2x2m1x1=1m2x2=0k1k20？？？？k1+k2k2-k21）刚度矩阵的第一行第二章振动基础知识m1x1k1k2k3m2x2m1x1=0m2x2=10k2k3？？？？-k2k2k2+k32）刚度矩阵的第二行第二章振动基础知识第二章振动基础知识②柔度矩阵刚度的倒数为柔度。一般定义是指单位外力所引起的系统位移，即，在系统第j个坐标上作用单位力时在第i个坐标上所引起的位移，就定义为柔度系数δij。第二章振动基础知识m1x1k1k2k3m2x2k4m3x31假设质量m1产生单位位移1，质量m2不动，则需要在m1及m2上所加的力为需要的刚度矩阵中系数的大小。δ第二章振动基础知识③质量矩阵第二章振动基础知识④固有频率与振型第二章振动基础知识第二章振动基础知识系统的n个固有频率第二章振动基础知识主振型方程第二章振动基础知识mx12kkkmx22kmx3例1：求解下面系统的固有频率和主振型。第二章振动基础知识解：mx12kkkmx22kmx31）先建立系统的振动方程（刚度法）即，在某质量上施加单位的位移，其它质量不产生位移时，则在该质量块上的外力大小。第二章振动基础知识mx12kkkmx22kmx3第二章振动基础知识第二章振动基础知识2）固有频率第二章振动基础知识3）主振型第二章振动基础知识第二章振动基础知识mx12kkkmx22kmx3第二章振动基础知识mx1kkmx2mx3例2：求解下面系统的固有频率和主振型。第二章振动基础知识第二章振动基础知识八、拉格朗日方程在振动中的应用以牛顿运动定律为基础来推导系统的运动微分方程是可行的，但对于较复杂的振动系统，这种方法会带来一些不必要的麻烦，如自由度太多，进行力的平衡可能较繁琐。第二章振动基础知识拉格朗日方程假设有n各质点所组成的系统，同时受有s个完整的理想约束，则系统有N=3*n-s个自由度，即可以用N个广义坐标q1，q2，…qN来确定系统的位置。系统中各个质量的矢径都可以表示为N个广义坐标和时间的函数。第二章振动基础知识系统的动能广义坐标广义力第二章振动基础知识系统的动能与势能之差广义坐标如果系统作用的是有势力：第二章振动基础知识试用拉格朗日方程建立如图所示的汽车振动的微分方程。已知汽车的质量为m，绕质心的转动惯量为Jc，两个支承弹簧的刚度为k1和k2，质心距前、后轴的距离分别为l1和l2。例：x1x2xθk1k2k1(x+L1θ)k2(x-L2θ)0x第二章振动基础知识解：分析：一般先需要进行系统自由度的分析，选择广义坐标来描述系统的运动。再分别计算系统的动能和势能，根据拉格朗日方程来得到系统的振动微分方程。第二章振动基础知识1）选质心的垂直位移x和绕质心的转角θ为广义坐标x1x2xθk1k2k1(x+L1θ)k2(x-L2θ)0x第二章振动基础知识2）系统的动能第二章振动基础知识3）系统的势能（需要选择零势面——静平衡位置）k1弹簧的势能第二章振动基础知识k2弹簧的势能汽车质量的势能第二章振动基础知识平衡位置的确定第二章振动基础知识系统的总势能第二章振动基础知识4）系统的微分方程（对广义坐标x）第二章振动基础知识（对广义坐标θ）第二章振动基础知识选用不同的广义坐标得到的结果又如何？第二章振动基础知识九、连续体系统的振动实际系统的质量和刚度在空间是连续分布的。因此有时并不能简化为前面的离散系统，如：弹簧-阻尼-质量系统，而需要利用新的方法进行分析和研究（波动方程）。第二章振动基础知识杆的纵向振动xldx杆上任意一点x处的纵向振动位移大小第二章振动基础知识xldxdxxNu第二章振动基础知识dxxNu①微元的平衡方程第二章振动基础知识②微元上力的大小dxxNu第二章振动基础知识③杆纵向振动的微分方程第二章振动基础知识④微分方程的解根据其特点假设的解的形式（分离变量法）第二章振动基础知识对任何的x，t都成立，则左右只有相等。假设等于α。第二章振动基础知识要使它们为振动，则必需为α小于0。原因？？？第二章振动基础知识振动方程第二章振动基础知识⑤微分方程解的系数具体的系数需要利用边界条件确定第二章振动基础知识⑥边界条件xldx主要是端部的条件，分为：1）固结；2）自由；3）弹性载荷；4）惯性载荷。第二章振动基础知识1）固结x它们分别对以着杆的左右端部第二章振动基础知识x第二章振动基础知识2）自由x它们分别对以着杆的左右端部第二章振动基础知识x第二章振动基础知识3）弹性载荷x它们分别对以着杆的左右端部轴向内力等于弹性力第二章振动基础知识x第二章振动基础知识4）惯性载荷x它们分别对以着杆的左右端部轴向内力等于质量块惯性力第二章振动基础知识x第二章振动基础知识杆纵向自由振动的频率x该系统为左端固定，右端自由第二章振动基础知识x第二章振动基础知识x系统具有无穷解固有频率，即为无穷自由度系统。第二章振动基础知识例：求杆在左端x=0固定，右端x=l附有集中质量块M边界条件下的固有频率和振型函数X(x)。杆的截面积为A‘，长度为l，材料的弹性模量为E，密度为ρ。lM第二章振动基础知识解：1）根据杆纵向振动的分析可假设纵向振动为u(x,t)=U(t)X(x)第二章振动基础知识2）在x=0处固结，可表示为u(0,t)=U(t)X(0)=0第二章振动基础知识3）在x=l处的惯性载荷可表示为第二章振动基础知识第二章振动基础知识杆质量与杆端质量之比第二章振动基础知识该特征方程有无穷多个解第二章振动基础知识杆的扭转振动第二章振动基础知识梁的横向振动第三章随机振动一、随机振动与确定性振动二、随机过程三、相关系数四、功率谱密度函数五、线性系统在随机激励下的响应第三章随机振动一、随机振动与确定性振动振动现象可区分为两大类：一类为规则振动，也就是可以用时间的确定函数来描述它的振动。对于比这个例子稍复杂一些的周期振动。可以由一系列简谐振动的线性组合来表示。更复杂的振动(两个或几个任意频率正弦波的合成)称为非周期的。上述这些都届于规则振动，人类最早探讨的振动也就是这一类振动(如自由振动，受迫振动，自激振动与参变振动等)。另一类振动称为随机振动。第三章随机振动随机的意思“随机应变”，前两个字的意思是随着时间或情况的变化，后两个字的意思是灵活应付。所以，随机是指时机和情况是多变的或事先不能肯定的。也就是说，它可能是这样，也可能是那样等等。例如盲人走路，他对旅途的情况是未知的，所以要用手杖借助于触觉和听觉来探索前进道路上的各种情况。第三章随机振动随机振动对于一个振动系统，它的输入又称振源或激励，系统所产生的振动也称为对这个输入的响应或输出。当响应是随机的，这种振动称为随机场动。随机振动与规则振动的本质区别就在于，随机振动一般指的不是单个的振动现象，而是着眼于大量的振动现象。在这大量的振动现象的集合中，就单个现象来看似乎是杂乱的、无规则的。但从总体来看，它们之间却存在着一定的统计规律性。因此，它的规律虽然不能用时间的确定函数来描述，但却能用概率论和统计动力学的方法来描述。第三章随机振动但必需注意，切不可把复杂波形误认为一定是随机振动；反过来，受概率支配而产生的振动波形，即使是简单波形，它也是随机振动。对于波形不变的振动，无论波形怎样复杂，只要每次所得到的特性都是一样的，它就不能称为随机振动。因为随机是概率的意思；而不是复杂意思。所以，不能以波形的复杂还是简单来区别它是随机振动还是非随机振动。第三章随机振动总之，随机振动不同于一般的自由振动和受迫振动，其特点可以归纳如下：

(1)随机振动没有固定的周期，即不能用简单函数的线性组合来表述其运动规律。

(2)对于确定的时间t，振动的三要素(振幅、频率、相位角)不可能事先知道，且它们本身也是随机的。

(3)在相同条件下，进行一系列的测试，各次记录结果不可能一样。第三章随机振动例：汽车在路面上行驶，在同一条道路上，同一辆汽车，同一个驾驶，同一个人在同一个座位上，两次行驶的振动是不一致的。第三章随机振动产生随机振动的原因产生振动的原因有内因和外因。内因是系统本身的结构(包括质量、弹性、阻尼等)，在受到外界的激励后台发生振动；外因是系统以外的物体对系统有激励作用(如初位移、初速度、冲击、周期性干扰力或随机干扰力等)。该系统可以是规则的，也可以是随机的。第三章随机振动常见的随机干扰，其产生原因有下列四种：(1)固体的接触表面凸凹不平；(2)流体对固体表面的作用；(3)由燃烧放热不均匀引起压力变；(4)由撞击及地层的突骤运动。第三章随机振动随机振动理论是振动理论的一个新分支，它所研究的各种振动现象都是随机的。随机振动现象的特点是：不论对系统特性和初始状态有多么精确的了解，要对未来某一时刻的振动状态作出确定性的予言都是不可能的。但用概率论的方法可以对未来某一时刻的振动状态的统计规律进行描述。第三章随机振动二、随机过程系统（汽车）随机输入激励随机输出响应如何描述随机输入？频率与概率在概率论中，通常把在一定条件下对现象或事物的一次观察叫做一次试验。在相同条件下试验进行了M次就叫做M重试验。由于随机现象的试验结果都带有随机性故试验也常称为随机试验。自然界中的事物是多种多样的。那种在一次试验下必然发生的事情叫做必然事件。那种在一次试验下不可能发生的事件叫做不可能事件。它们统称为确定性事件。与此有着本质区别的另一类事件叫做随机事件。一般用A，B，…表示，那就是，在一次试验下可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却具有某种规律性的事件。第三章随机振动例：抛掷硬币试验，出现正面这一现象就是随机现象。因为在一次抛探试验中，它有两个可能纠果：“出现正面”或“出现反面”。由于“出现正面”这一现象是随机的，故它是随机现象。第三章随机振动上式称为事件A在N次试验中出现的频率。式中N称为频数。所谓频率的稳定性就是随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动。这种规律性就是上面所说的随机现象的统计规律性。频率的稳定性说明了随机事件发生可能性的大小是随机事件本身固有的，不依人的意志而改变的一种客观同性。表示事件A发生可能性大小的一个实数P(A)称为该事件的概率。因此，概率是事件发生可能性大小的度量。fN(A)=n/N第三章随机振动实践和理论都证明，当试验次数N非常大时，事件的频率就稳定地趋向于一个常数。这个常数就是该事件的概率。因此，可以用试验次数较大时事件的频率作为其概率的估计值。

必须注意，随机事件的频度，其数值是与已进行的试验有关的(如次数多少、试验方法、试验条件等)。而随机事件的概率却是完全客观存在着的。第三章随机振动许多随机现象的试验结果表现为数量，例如：某电话局“一天内接到的电话呼唤次数”，“某时刻的气温”等等。一个实验的结果是什么数值，不能事先知道。用来表示随机试验各种结果的变量叫做随机变量。一般用大写字母X，Y，Z，…表示。随机试验的—种结果称为随机变量的一个可能位，一般用相应的小写字母x，y，z…表示。随机变量可以定义为其可能值的集合，用集合符号表示就是随机变量的基本概念X={xi},i=1,2,…第三章随机振动仅可能取有限个或可列个数值的随机变量叫做离散型随机变量。例如，某电话周“一天内接到的电话呼唤次数”g＝(0，1，2，…)。能取某个区间内一切数值的随机变量称为连续型随机变量。例如，“某时刻的气温”T＝(-273℃＜f＜M)。第三章随机振动第三章随机振动随机变量及其概率分布随机变量的数字特征概率分布完整地报述了随机变量的概率特性，对于一个随机变量，当人们知道它的概率分布之后，就不仅知道了它取些什么值，而且还知道它以多大的概率取这些值。但是在实际中，一方面是由于求得概率分布并非一件容易的。另一方面在实际问题中往往并不一定需要知道随机变量的概率分布，而只要知道它某些概率特征就够了。例如，在测量一个随机振动系统的振幅时，一般关心的是振幅的平均值和振幅瞬时值偏离平均值的情况。因此，在实际中常常避开寻求概率分布的困难，转而寻求那些能够反映随机变量主要概率特征的一些参数。这些参数称为随机变量的数字特征。第三章随机振动①数学期望第三章随机振动离散与连续变量的数学期望描述第三章随机振动第三章随机振动第三章随机振动第三章随机振动②方差和均方差xi-11P0.50.5xi-11P0.50.5第三章随机振动第三章随机振动定义：随机变量X的离差的平方的数学期望称作随机变量X的方差，记作D[X]或σX2。随机变量系第三章随机振动随机过程在客观世界中事物都在不断发展变化，这种变化作为一个过程来观察，可以概括地分成两类。一类变化过程具有确定的形式，或者说有必然的变化规律。用数学语言来说，就是事物变化的过程可以用一个(或几个)时间t的确定的函数来描绘。这种过程称为确定性过程。很多大家熟知的物理现象和物理定律，如实空中的自由落体运动，加热时水的温度变化，电容器通过电阻放电时电容两端的电压变化，等等，都是确定性过程的例子。另一类过程则没有确定的变化形式，没有必然的变化规律。亦就是说事物变化的过程不能用一个(或几个)时间t的确定的函数来加以描绘。或者说对事物变化的全过程进行一次观测得到的结果是一个时间t的函数，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察所得到的结果是不相同的。第三章随机振动实际的随机过程常通过多次观察来研究。每次实验观察得到的结果是表示该随机现象的一个时间历程，称为样本函数。严格地讲，实际进行观察的时间区间总是有限的，这时得到的时间历程，则称为样本记录。随机现象可能产生的全部样本函数的集合(总体)，即为随机过程。这是从另一个角度得出的关于随机过程的概念。第三章随机振动如果一个随机试验的结果是用一个时间t的函数Y(t)来描述，这个函数Y(t)随试验结果的不同而取不同的变化形式。这种时间t的函数Y(t)称为随机过程。相应地，每一次试验结果所得到的具体函数yi(t)，i＝1，2，…，称为样本函数。由此可见，随机过程Y(t)不是指某个确定的时间t的函数y(t)，而是指试验结果所有可能出现的样本函数y(t)(i=1,2,…)的集合。第三章随机振动第三章随机振动截口（时刻）样本函数众所周知，一个确定性的时间函数Y(t)，可以从时(间)域和频(率)域两个方面进行描述。对于一个以时间t为参变量的随机函数——随机过程Y(t)，可以从下面的三个方面进行描述。第三章随机振动（1）幅域描述——描述过程Y(t)在各个时刻状态的统计特征——概率分布；（2）时域描述——描述过程Y(t)变化的平均性质和过程Y(t)在两个不同状态(截口)相互联系的概率特性，通常称为相关分析；（3）频域描述——描述过程Y(t)的频率结构，以揭示过程Y(t)的频率成分。随机过程的概率分布和概率密度第三章随机振动随机过程的数字特征随机过程的统计特性，可以用一维、二维乃至n维的分布函数或概率密度函数来完整地相述，但在实际应用中，要确定随机过程的分布函数(或概率密度函数)族十分困难甚至不可能。因而有必要象随机变量的描述一样，引入描述随机过程的数字特征。第三章随机振动第三章随机振动①数学期望集合平均：随机变量X(t)在任意一个给定的时刻t1，其截口是一个随机变量X(t1)，则其数学期望为依赖于截口（时刻）的选择第三章随机振动时间平均：随机变量X(t)，理论上是指由无限多个无限长的样本组成的集合。对样本沿整个时间轴求平均值，即时间平均，则为第三章随机振动②方差和均方差集合平均：在任意截口处有第三章随机振动时间平均：对第k个样本有自相关函数第三章随机振动集合平均：设X(t1)和X(t2)为随机过程X(t)在任意两