河南省驻马店市部分学校2023-2024学年高一下学期5月青桐鸣联考 数学试题（北师大版）（含解析）

2026届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣高一联考数学（北师大版）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知为虚数单位，复数满足，则（

）A． B．C． D．2．已知，则（

）A．2 B． C． D．3．已知复数，（，为虚数单位），且，则（

）A． B．C． D．4．在平行四边形中，为的中点，设，，则（

）A． B．C． D．5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．6．在中，，点为边上一点，且，则（

）A．3 B．2 C． D．7．如图，在菱形中，，，，，分别是边，，，的中点，以点为圆心，以，为半径作出两段圆弧，与分别交于点，，分别以，，为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中.若扇环的周长为，则扇环的面积为（

）

A． B． C． D．8．已知，，，均为非零向量，与的夹角为，与的夹角为，满足，，则，的夹角（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是（

）A． B．的共轭复数为C．的虚部为 D．在复平面内，复数对应的点位于第二象限10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．C．直线为图象的一条对称轴D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象11．已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（

）A．B．对于任意与不共线的非零向量，都有C．对于任意的非零实数，都有D．若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若向量与单位向量的方向相同，则.13．如图，已知山体与山体的底部在同一水平面上，且两个山体的高线与均与水平面垂直，，在山体的最高点处测得山顶的仰角为，测得山底A的俯角为，则m.14．已知为钝角，且，角，，满足，则.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知为虚数单位，复数为纯虚数，为的共轭复数.(1)求的值；(2)求的值.16．在平面直角坐标系中，已知向量，.(1)求向量在向量上的投影向量；(2)若点满足，与的夹角为，求的值.17．已知.(1)求的值；(2)求的值.18．已知的图象关于点对称，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，.(1)求的解析式；(2)若，求满足不等式的解集.19．如果三角形的一个内角等于另外一个内角的二倍，我们称这样的三角形为二倍角三角形.设的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：为二倍角三角形；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.1．A【分析】由复数除法运算可解.【详解】根据题意，，则.故选：A2．D【分析】利用同角基本关系式，可得，从而得解.【详解】由，又，故选：D3．D【分析】根据题意，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】由复数，（，为虚数单位），因为，可得，则，解得.故选：D.4．A【分析】先利用向量的减法表示，再利用向量的加法表示.【详解】如图：因为，.故选：A5．C【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得.【详解】因为角的终边经过点，所以，，，于是．故选：C.6．D【分析】根据题意，求得，再由向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解.【详解】由，可得，因为点为边上一点，且，可得，所以，所以.故选：D.7．B【分析】先根据扇环的周长，求出的长度，再根据扇形的面积公式求扇环的面积.【详解】设，则，因为扇环的周长为，所以：.所以扇环的面积为：.故选：B8．B【分析】利用平面向量夹角公式化简已知，可得，再根据数量积的定义计算可解.【详解】根据题意，，则，因为，可得，化简为，，则，所以，而，所以.故选：B9．BC【分析】对于A：根据模长公式分析求解；对于B：先根据乘法运算求，再结合共轭复数的概念分析判断；对于C：先根据除法运算求，再结合虚部的概念分析判断；对于D：先求，再结合复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可知：，对于选项A：因为，所以，故A错误；对于选项B：因为，所以的共轭复数为，故B正确；对于选项C：因为，所以的虚部为，故C正确；对于选项D：因为，所以复数对应的点为，位于第四象限，故D错误；故选：BC.10．ACD【分析】根据函数的图象，求得，可得判定A正确，B不正确，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定C、D正确.【详解】由函数的图象，可得，可得，则，又由，所以，又由，即，因为，所以，可得，所以，所以A正确；B不正确；对于C中，由为函数的最大值，所以直线为图象的一条对称轴，所以C正确；对于D中，将图象上的所有点向左平移个单位长度，可得，所以D正确.故选：ACD.11．ABD【分析】对于A：根据题中定义即可判断；对于BC：根据题意结合数量积的运算律分析判断；对于D：分析可知，可得，进而可知，即可得结果.【详解】对于选项A：因为，，所以，故A正确；对于选项B：因为，故B正确；对于选项C：因为，当且仅当时，，故C错误；对于选项D：若，，则，可得，则，且，可知，结合题意可知，，所以，故D正确；故选：ABD.12．2【分析】根据向量共线的坐标表示求得，并代入检验即可.【详解】因为向量与单位向量共线，则，解得，若，则，可知，且，则同向，所以符合题意.故答案为：2.13．【分析】在中，可得，在中，利用正弦定理分析求解.【详解】在中，可知，可得，在中，可知，由正弦定理可得，所以m.故答案为：.14．##【分析】首先“切化弦”，再利用两角和与差的三角函数公式求，再结合的范围求角.【详解】因为所以，则，即.因为，所以，且为钝角，.所以，故.所以，又为锐角，所以.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）利用复数的运算，结合纯虚数的概念列式即可求解参数m；（2）由（1）得到复数，再根据复数的四则运算化简，再求得复数的模，从而得解.【详解】（1）由，得因为为纯虚数，所以，解得.（2）由第一问得，所以，所以，从而，即的值为.16．(1)(2)【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求，可得，结合投影向量的定义分析求解；（2）由题意可知为线段的中点，进而可得，根据向量的坐标运算结合夹角公式分析求解.【详解】（1）由题意可得：，则，所以向量在向量上的投影向量为.（2）因为，可知为线段的中点，则，，可得，所以.17．(1)2(2)【分析】（1）结合二倍角公式和同角三角函数的基本关系求值.（2）利用二倍角的余弦公式化简求值.【详解】（1）因为，所以.（2）.18．(1)(2)【分析】（1）根据对称轴和对称中心求出周期，再由关于点对称，求出，最后由解出函数；（2）根据题意，得，结合函数的性质可解.【详解】（1）根据题意，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，则为函数的对称轴，又函数图象关于点对称，且对称点在单调区间内，所以，则，，且，又，所以，再由，即，所以，所以；（2）由，得，而，则，，则，则或，解得或，所以满足不等式的解集为.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得，再由余弦定理，得到，结合正弦定理求得，得到，即可得证；（2）由（1）知，则，结合为锐角三角形，求得，由正弦定理得，求得，结合函数单调性，即可求解.【详解】（1）