函数的表示法（备作业）2021-2022学年高一数学系列（人教A版2019必修第一册）解析版

3.1.2函数的表示法

一、单选题

1.（2020•广西高二学业考试）2015年以来，我国的年度GDP数据如下表:

时间（年）20152016201720182019

GDP（万亿元）68.550674.412782.712191.928199.0865

设时间为“，与其对应的年度GDP为"")，那么/(2018)=()

A.68.5506B.74.4127C.82.7121D.91.9281

【答案】D

【分析】

直接由表格中的数据得答案

【详解】

解：由题意可得“2018）=91.9281,

故选：D

2.（2021•浙江高二期末）函数/"）=凶」的图象大致是（）

2元

c.D.

o\\xO\fX

【答案】D

【分析】

代特值结合函数图像即可得到答案.

【详解】

函数定义域不含0,排除A；

/停斗2==排除B,C.

故选：D.

3.（2021•江苏高二期末）若函数小）=归'°；：<；贝（1/吟）=O.

f（x-2）,x>2V4J

A.-B.yC.—D.-

4222

【答案】B

【分析】

根据题意，由函数的解析式可得忌）=/（22）=尼），计算可得答案.

444

【详解】

>fx,0<x<2

解：根据题意，函数”x）h

/(x-2),x>2

则心=/（"）=心=’鸿,

故选：B.

4.(2021•宁夏长庆高级中学高二期末(文))设函数/(外='则/(/(〃2)))=()

A.0B.1C.2D.桓

【答案】B

【分析】

由内而外依次求解即可.

【详解】

由题意,/(2)=72^1=1,/(/(2))=/(I)=g=0,/(/((2)))=/(0)=1,

故选B.

5.(2020•广东东莞一中高一月考)已知f(4+l)=x+2五，则/(x)=()

A.x2-l(x>0)B.x/x+l(x>l)C.x2D.x/x-l(x>0)

【答案】C

【分析】

令f=«+l,/Nl，利用换元法求函数解析式.

【详解】

令f=«+l,Z>1.则尸=(4+1)，=x+24+1,

由f(6+l)=x+2五得，/«)="一1,t>\,

BP/(x)=x2-l,x>l.

故选：C.

6.（2020•西安市第八十三中学高一月考）已知函数/（匕）=2--3肛则"2）等于（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】

令二=2,求得x得值，代入=即可得出答案.

X+l1%+U

【详解】

4

解：令--7=2,则x=l,

x+1

所以"2）=7（哥=2-3=-l.

故选：A.

7.（2021•浙江高一期末）如图，设有圆。和定点C,当/从4开始在平面上绕。匀速旋转（旋转角度

不超过90。）时，它扫过圆内阴影部分面积S是时间t的函数，它的图像大致是如下哪一种（）

【答案】c

【分析】

先分析直线/从初始位置4转到经过点c时阴影部分面积的变化情况，再分析i从过点c的位置转至结

束时阴影部分面积的变化情况，由此确定出大致图像.

【详解】

当直线/从初始位置％转到经过点c的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭"；

/从过点c的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越"平缓"，

故选：C.

8.（2021・贵州高一期末）黔东南电信公司为迎接2021年元旦，推出两种手机收费方式：A种方式是

月租20元，8种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间/（分钟）与打出电话费S（元）的函数关

系如图，A种方式对应的函数解析式为工=制+20（加为常数），B种方式对应的函数解析式为邑

为常数），当通话50分钟时，这两种方式产生的电话费相差是。

一一一40-

A.10兀B.20兀C.30%D.3■兀

【答案】A

【分析】

根据，=100时，\=邑可得〃="+（,再根据『=50时，$2可解得结果.

【详解】

由图可知，f=100时，耳=邑，所以100〃?+20=100”,即

所以当t=50时.，S,-S2=50切+20-50"=50胆+20-50胆-m=10元.

所以当通话50分钟时，这两种方式产生的电话费相差是10元.

故选：A

9.(2021•重庆市清华中学校高三月考)已知函数“力=•-I一，则不等式/(x)>"l)的解集

x+6,x<0

是O

A.(-3,1)U(3,m)B.(Y,-1)U(2,3)

C.(-1,1)U(3,4W)D.(-W,-3)U(1,3)

【答案】A

【分析】

利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论.

【详解】

解：/(1)=1-4+6=3,

当x.O时，X2-4X+6>3,所以04x<l或x>3；

当x<0时，x+6>3,所以一3Vx<0,

所以不等式⑴的解集是(-3,1)=(3,+8),

故选：A.

f3x+1x(1

10.(2021•云南高三二模(文))已知函数/(*)=,,'-，，若"相，且/(〃)=/(⑼，设右〃一叫

[厂_1,x>]

则。

A.f没有最小值B.f的最小值为石-1

C.f的最小值为:D.f的最小值为£

【答案】B

【分析】

先作出分段函数图象，再结合图象由/(〃)=/(用)，得到m与n的关系，消元得关于n的函数，最后求

最值.

【详解】

如图，作出函数/(x)的图象，

,.•/(")=/(加)且"〉加，贝1」机£1,且〃>1,

:.3m+\=?72-1-即m=-——-.

3

叫[n>\解得1<〃4l6

n2-21...IF,3.117

n-m=n----------=——(n2-3n-20)=——(n——)2+—,

333L2J12

X1<n<A/5,，当〃=百时，(7?-zn)m，n=V5-1.

故选：B.

【点睛】

(1)分段函数的图象一般分段来画，在画各段图象时要注意端点实虚.

(2)多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题.根据变量间的关系消元

或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法.

二、解答题

11.(2022・全国高三专题练习)已知函数/(x)的图象如图所示，其中)轴的左侧为一条线段，右侧为

某抛物线的一段.

(1)写出函数/(X)的定义域和值域；

(2)求/"(一切的值.

【答案】(L)定义域为-2,3],值域为[-2,2J；(2)-1.

【分析】

(1)由图像直接得到定义域和值域；

(2)先求出解析式，再直接代入求/"(T)]的值.

【详解】

解：(1)由图象可知，函数JU)的定义域为[-2,3],值域为[-2,2];

(2)当xe[-2,0]时，设/(x)=fct+2(办0),

\-2k+b=0

将(-2,0),(0⑵代入可得厂c,

[o=2

解得4=1,b=2,

即f(x)=x+2,

当xw(0,3]时，设/(幻=心-2产-2,将点(3,-1)代入可得-1=03-2)2-2,解得。=1,

.1.f(x)=(x-2)--2=X?—4x+2,

、[x+2,-2M0

f(x)=<,,

|/-4x+2,0<%,3

=-1+2=1,

•./[/(-1)]=/(1)=I2-4+2=-1.

12.(2021•安徽省泗县第一中学高二开学考试(文))已知〃x)+2/(_x)=3x-2,求.f(x)的解析式.

2

【答案】f(x)=-3x-；

【分析】

用T代换X,构造新方程，与原方程联立，即可解得TV)的解析式.

【详解】

因为〃x)+2f(-x)=3x—2,用t代替x可得/(—x)+2/(x)=-3x—2,

=消去/(一)，解得，(x)=-3xg,

由

[/(-x)+2/(x)=-3x-23

?

所以f(x)=-3x-§.

13.(2021•全国高一课时练习)已知函数f(x)=|x+l|+k-2|,g(x)=|x-3|.

(1)在平面直角坐标系里作出了(X)、g(x)的图象.

(2)VxeR,用min(x)表示〃x)、g(x)中的较小者，记作min(x)={/(x),g(x)},请用图象法和解析

法表示min(x)；

(3)求满足〃x)>g(x)的x的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)(田,-2)U(O,物).

【详解】

2x-l,x>2

x-3,x>3

(1)/(JC)=|X+1|+|X-2|=-3,-l<x<2,g(x)=|x-3|=

3-x,x<3

I—2x,xK—1

则对应的图象如图:

(2)函数min(x)的图象如图:

3-x,x<-2或0<x<3

l-2x,-2<x<-l

解析式为min(x)=,

3,-1<x<0

x-3,x>3

(3)若〃x)>g(x),

则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件，此时对应的x满足％>0或x<-2,

即不等式〃x)>g(x)的解集为(f-2)U(O,y).

14.(2020•河北石家庄二十三中高一月考)已知/(x)=/-2x+l,g(x)是一次函数，且〃g(x)]=4x2.

(1)求g(x)的解析式;

(2)若函数/(x)的定义域为2,3],求函数〃(x)=〃x)+历丽的值域.

「17-

【答案】⑴g(x)=2x+l或g(x)=—2x+l；(2)2,—

【详解】

(1)设g(x)=H+b,

贝ijf[g(x)]=/(fcr+6)=(Ax+Z>)2-2(Ax+Z?)+l=4x2,

艮[Jk2^+(2kb-2k)x+b2-2b+l=4x2,

k2=4

:.-2kb-2k=0,解得％=±2力=1,

fe2-26+1=0

g(x)=2x+l或g(x)=-2x+l；

(2)=-2x+l=(x-l)2,

当x=l时，〃X)取得最小值为0,当x=3时，〃X)取得最大值为4,

・•・/(x)在[0,3]的值域为[0,4],

令f=则fe[0,2],〃同=4-2,

则6(x)=f(x)+j4-f(x)等价于y=-『+|+4=-[r-J)+*fe[0,2].

117

当，=耳时，y^=—<当r=2时，>'min=2,

~17

所以/?(x)的值域为2,-.

15.(7.5港口水深的变化与三角函数(基础练)-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练(苏

教版2019必修第一册))如图，已知AB=AC=5,BC=S,点P从B点沿直线8c运动到C点，

过P做BC的垂线/,记直线/左侧部分的多边形为C,设3P=x,Q的面积为S(x),Q的周长为〃x).

(1)求S(x)和。x)的解析式;

(2)记气》)=翌，求F(x)的最大值.

3,

-x2(0<x<4)3JC(0<X<4)

L(x)=h

【答案】(1)S(x)="(2)6-277.

3-x+6(4<x<8)

--x2+6x-12(4<x<8)

8

【分析】

53

(1)作IBC的高AD,当0<xW4时，根据△ABD〜JWBP,计算得到=：元与PM二二x；从而计算S(x)

44

35

和£(x)；当4<xK8时根据△AQC〜△MPC,计算得到PM=/8r),AM=5--(8-x),从而计算S(x)和

44

L(x)；(2)根据(1)的结果分别计算0vxW4和4<xW8时尸(x)的最值，再比较大小可得.

【详解】

(1)作△ABC的高AO,AB=AC=5,BC=8,A£)=3,

当0<%K4,△AB£)〜AMSP,所以PM=-X,S(x)=-BPMP=—x—x=-x2,

442248

35

L(x)=x+—x+—x=3x.

44