2022届新高考数学冲刺复习数学归纳法

2022届新高考数学冲刺精品复习

数学归纳法

数学归纳法

一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时，可以用以下两个

步骤：

(D证明当n=n()时命题成立；

(2)假设当n=k(kGN+，且k>n0)时命题成立,证明n=k+l时命题也成立.

在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n。的所有正整数都成立.这种证明方法

称为数学归纳法.

一、恒等式问题

例1：1.用数学归纳法证明(1-X乂1+X+/+…+x"T)=l-x".

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

由”=1时，等式成立，假设〃=&(心1,*N*)时，等式成立，再证得鹿=&+1时，等式成立

即可.

【详解】

证明：(1)当九二1时，左边二l・x,右边=1■户左边，等式成立；

(2)假设〃=时，等式成立，gp(l-x)(l+x+x2+...+^-')=l-x\

当〃=%+］时，(1—x)0+x+x2+,

二(1-X)(l+X+%2+…+x"T)+(l_x)x",

=1—x"+(1—f

=1-尸，

故当〃=k+1时，，等式成立，

由(1)(2)可知，原等式对于任意〃成立.

2.已知数列｛叫满足4=1,且4--的向+2a,=9(〃eN)

(1)求。2,〃3，04；

（2）由（1）猜想｛a,,｝的通项公式。,；

（3）用数学归纳法证明（2）的结果.

一.八、71319

【答案】(1)%=§,4=《，«4=y

小、677-5

⑵"""O―T

2/?-1

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)山递推公式依次计算求解;

(2)由（1）的结论猜想通项公式;

(3)用数学归纳法证明.

(I)

9eN，

4a向一«A+i+X=(«)

7

6=1,则4c4-出+2=9,a2=—

，714c13

4%----ci-,H-----=9,4=—,

3335

“1326,、19

4a4-ya4+y=9,a4=y；

⑵

由（1）猜想4=誓!

277-1

(3)

证明：（i）n=l,命题成立,

6k-5

（ii）假设几=女时命题成立，即为=2J，

6A:—52(6%—5)6A+16(^+1)—5

则〃=八1时，由4%-口加+=9,解得％=罚=年1k，命题成立,

2k-\

6n-5

综上，时，命题成立，即。〃=

2/7-1

举一反三

1.如图，6（%，%）、2（孙必）、L、匕（冷稣）（0〈*<%<…<%）是曲线C：y2=3x（y*0）

上的〃个点，点A（%0）（i=l,2,3,…,〃）在》轴的正半轴上，且△ATAI是正三角形（4是坐

标原点）.

(1)写出为、%、%;

(2)猜想点4(%,OgeN")的横坐标a,关于〃的表达式，并用数学归纳法证明.

【答案】(1)4=2,%=6,《=12；(2)猜想：an=n(/i+l)(neN"),证明见解析.

【解析】

【分析】

⑴推导出(%-。,1丫=2(a“_1,结合4的值，可求得％、%、%的值;

(2)结合%、%、出的值可猜想得出a”=〃(〃+D(〃eN*),然后利用数学归纳法结合

(a”-%)。=2(a,z+aJ("eN")可证得猜想成立.

【详解】

(1)设4=0,则依题意，可得%=也受，巨，

代入/=3x,得".号可=|(*+a,

即(4-%『=2(。,I+an)(neN"),

所以4=2,%=6,4=12.

(2)由⑴可猜想:a„=n(n+l)(neN*).

下面用数学归纳法证明：

(i)当”=1时，猜想显然成立；

(ii)假设当〃=%时猜想成立，即有4=%(%+1),

则当〃=%+1时，由(am-=2(4+J得[/一&(上+1)丁=2仅仅+1)+%],

即吭-2伏2+k+1)%+伙(八3[(&+1)任+2)]=0,

解得%=(左+1)(4+2)(%=/伏一1)<《不符合题意，舍去),

即当"=4+1时，猜想成立.

由(i)(ii)知猜想成立，即4=〃(〃+l)(〃wN").

不等式问题

例2：1.用数学归纳法证明l+/+g+…+£&g+〃(〃eN*).

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可.

【详解】

13

(1)当〃=1时，左边=1+]=2=右边，

即当〃=1时，原不等式成立，

⑵假设当"Y(k£N*)时，原不等式成立，

即1+;+:+…+:=3+七

则当n=k+1时，

[+!+-—rH—;1—;---1-…H—;T<!+(+2*■-T=3+伏+1)，

232*2*+12,+22*4-2*22*2

即当〃=%+1时，不等式成立，

综合⑴和(2)得，原不等式对所有的“WN*都成立.

2.己知等差数列何｝的前n项和为5,，等比数列出｝的前〃项和为T.，且q=4=2,仇=

T3=S4.

(1)求u„,b“；

111c222

⑵己知匕n=二+二+…+「，Qn=—+——+…+-----,试比较匕,，。“的大小.

ab2bnata2a2a34A+i

【答案】⑴《="+1,2=2"；

(2)P„>Q„.

【解析】

【分析】

(1)设等差数列｛4｝的公差，等比数列｛〃｝的公比，由已知列式计算得解.

(2)由(1)的结论，用等比数列前〃项和公式求出匕，用裂项相消法求出再比较大小作答.

⑴

2q2=2+f>d

设等差数列｛q｝的公差为"，等比数列｛a｝的公比为4,依题意,

2+2q+2q'=8+6d

/=1+3d

整理得：<解得d=l,q=2,

q+q2=3+3d

所以%="+l,hn=2".

⑵

111i.；(1一51

由⑴知，7=市，数列｛7｝是首项为公比为3的等比数列，则6=2~=

~2

4a〃+](〃+1)(〃+2)〃+1n+2'

八1、/I1、/1、11、】“I1、12

Q=2[(---)+(---)+(---)+•••+(z-----)]=2(------)=1------,则

tl233445〃+1〃+22雇+2n+2

Pn-Qn=^-—j

-+12'

2

用数学归纳法证明+〃wN*,

2

3

①当〃=1时，左边=2,右边=：，左边〉右边，即原不等式成立，

②假设当"=时，不等式成立，即2*>g+l,

则2”1>2伶+1]=+1+^~1>“J+1,即〃=4+1时，原不等式成立,

VI

综合①②知，VnGN*,2">]+1成立，

因此，勺"0"=刀二一的>°,即B>Q“，

--1-1

2

所以右>。”.

举一反三

1.已知数列｛%｝满足4=g，.

⑴求。2，。3，。,；

⑵若包=麻二-%，且数列也｝的前〃项和为5.，求证：5„<1.

23n

【答案】⑴％=y*4，=商

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先求得的，%，猜想4=」，然后利用数学归纳法进行证明.

n+l

（2）利用放缩法证得结论成立.

⑴

依题意q=—^，?/°，

2〃+2

12

/,4=产生=§，

213

=/=%="

猜想见=3,下面用数学归纳法进行证明：

当“=1,2,3时，结论成立，

假设当〃=々时结论成立，即q=上，

k+1

〃K,

n+2k+2

k1k4+lk+1

a,,..=-----------=----------=-----，

k+2akk+2kk+2

k+1

所以当〃=Z+1时，有%i=（后+:+］，结论成立,

所以>PlnGN"时，％=——.

n+\

⑵

1

由（1）得4=——>0,且4=二7为单调递增数列,

/?+11+一

n

所以/=•（向?一阮）=2^,（>/^1一疯）

〈区卢（H:3号.

所以5.西+4+…+2〈当幺+宁+.••+巴口

H+1172+2-1111

=a向f=〃+2=」一^7?=1_]<1.

222242（〃+2）4

2.已知函数〃制=以-1/的最大值不大于!，且当xe1,口时，/（x）>l

261_4，」o

（1）求a的值；

（2）设。<4<<，""+1=/（。"），neN*>证明0<a“<—].

【答案】（1）a=l；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

⑴利用二次函数的性质，可得〃之「吗）4,转化当xe号时,

1

>,结合〃的范围可得/（力向小/6），求解即可.

-8-

（2）利用数学归纳法，按照步骤证明即可.

【详解】

4.

(1)由题意，^0/(x)=ax——x2=

乂小）皿・所以/（扑V

所以即T4a41.

又函数〃力图象的对称轴为x=],月.-4三4：，

所以当时，=

所以解得心1,

2oo

所以a=l.

（2）用数学归纳法证明：

①当”=1时，0<a,<p显然原不等式成立.

因为当时，0</（x）<l,

所以0<%.

故当〃=2时，原不等式也成立.

②假设当n=k（k>2,ZeN"）时，不等式0<4<上成立.

由（1）知/⑺*#,其图象的对称轴为宜线X=；,

所以当xe（o,g时，/（X）为增函数.

所以由,得°</（4）</（总］）.

工日C"'13rl丫111：+4:1

T-^,0<^1=/（«J<-J+_____=__-2^+i）2（^2）k+2,

所以当〃=上+1时，原不等式也成立.

根据①②，知对任何〃热，不等式成立.

巩固提升

一、单选题

1.用数学归纳法证明1+<+:+…+不二时，第一步应验证不等式（）

232-1

A.1+—<2B.1H1—<2

223

C.1+-+-<3D.1+-+-+-<3

23234

【答案】B

【解析】

【分析】

取〃=2即可得到第一步应验证不等式.

【详解】

由题意得，当〃=2时，不等式为l+；+g<2.

故选：B.

2.用数学归纳法证明"」7+—二+…+的过程中，从〃=%（%€忆）到〃=4+1时，

n+\n+23n6

不等式的左边增加了（)

A.-------B.--------1-----------

3Z+13&+13A+23Z+3

1^111

C.-------D.--------1------1-----

3k+33A+13攵+23k+3

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意，由〃=上伏€乂）递推到“=^+l（ZeNj时，不等式左边为

11111

力+…+正+E+w+F不，与,=&时不等式的左边作差比较即可得到答案•

K十N3KDK十13K十/J）IAt11I

【详解】

用数学归纳法证明等式一1+—二+…+乙2?的过程中，

72+1〃+23no

假设”=%仕€乂）时不等式成立，左边击+力+…+全，

11111

则当〃=%+1时,左边布+…+泰+而+至百+啊,

・・・从〃=%（%£乂）至lJ〃=R+l时，不等式的左边增加了

--1--1---1--1----1----1---=-1---1-----2------

3A+13k+23优+1）k+\3k+l3k+23%+3，

故选:B.

3.用数学归纳法证明匕1>3_对任意”2女，（«,ZwN）的自然数都成立，则女的最

3〃+13〃+1

小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

分别令〃=1,2,3,4代入不等式验证，即可解出.

【详解】

3〃一12_j_3n313

当刀=1时,-<-，不等式不成立;

3〃+14-23〃+1-"

3"-1843n646

当〃=2时,-------=——,——<——不等式不成立;

3"+1105371+1757

3n-l26133/29139

当“=3时,-------——,—>—,不等式成立:

3"+1-28-143〃+1101410

3"-180403n124012

当〃=4时,----——，—>—,不等式成立,

3M+1-82-4?3〃+1134113

所以满足题意的女的最小值为3.

故选：C.

4.用数学归纳法证明—1+3—5+…1)=(-1)“〃(〃£%*)时，若记

/(〃)=—1+3-5+…+(-1)"(2〃一1),则()

A.(-l)*+lkB.(-1)*'(4+1)C.(-1)*"(2%)D.(一1)*'侬+1)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用数学归纳法求解.

【详解】

因为〃%)=_1+3_5+...+(_叶(21),

/()l+l)=-l+3-5+..•+(-!)*(2A:-l)+(-l/+'(2jt+l),

所以〃"1)_/㈤=(-1广(2%+1),

故选：D

5.用数学归纳法证明关于/5)=(〃+1)(〃+2)…(〃+”)的命题时，f(k+l)=f(k)x

，4为正整数，则空格处应填()

A.2EB,四二+2)c.如里D.”起

%+1A+1上+1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件，写出〃=4时/(Q的表达式及〃=%+1时/(%+1)的表达式即可求解.

【详解】

解：因为时,/"(：)=伏+1)(%+2)…(1+A),

〃=%+1,f(k+1)=(&+1+1)(k+1+2)...+1+%—1)(A+1+k)(k+1+左+1),

所以从〃=%到〃=%+1时，/a+D=f（k）x"+1+牛’+旧）=/WX（2A+：）（2：+2）,

女+1k+\

故选：B.

6.用数学归纳法证明：对于任意正偶数〃均有

］一<+…=++…,在验证“=2正确后，归纳假设应写

234n-1n\n+2〃+4In）

成（）

A.假设〃=M%eN*）时命题成立

B.假设〃2%（左€4）时命题成立

C.假设"=2A（&eN*）时命题成立

D.彳限设"=2仕+1乂々€^^*）时命题成立

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意根据数学归纳法证明判断即可；

【详解】

解：因为要证明的是对任意正偶数〃均有等式成立，所以在验证〃=2正确后，

归纳假设应写成：假设〃=2&（%61<）时命题成立.

故选：C.

二、多选题

7.对于不等式J〃2+2〃<〃+2（+eN"）,某同学用数学归纳法证明的过程如下：

①当”=1时，JF+2<1+2,不等式成立；

②假设当N'）时，不等式成立，即“2+2&<4+2,

则当〃=4+1时，++2（&+1）=J%?+4Z+3

<J（/+4k+3）+（2&+6）=41+3）2=（%+］）+2.

故当九=4+1时,不等式成立.

则下列说法错误的是（)

A.过程全部正确B.〃=1的验证不正确

C.”=&的归纳假设不正确D.从〃=%至1）“=%+1的推理不正确

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.

【详解】

在〃=左+1时，没有应用〃=4时的假设，即从〃=4到"=4+1的推理不正确.

故选：ABC.

8.一个与正整数”有关的命题，当〃=2时命题成立，且由〃=&时命题成立可以推得〃=k+2

时命题也成立，则下列说法正确的是（）

A.该命题对于〃=6时命题成立

B.该命题对于所有的正偶数都成立

C.该命题何时成立与欠取值无关

D.以上答案都不对

【答案】AB

【解析】

【分析】

利用数学归纳法原理可判断各选项的正误.

【详解】

命题对于〃=左依eN*）时成立，那么它对于n=k+2也成立，

若当〃=2时命题成立，则对〃=4时命题成立，从而对〃=6时命题成立，

假设当”=2m（帆eN*）时命题成立，则当〃=2加+2时命题也成立，

因此，该命题对于所有的正偶数都成立，当〃为奇数时，无法确定该命题的真假.

故选：AB.

三、填空题

1_zi+2

9.用数学归纳法证明等式：1+。+/+…+优“=与匚（»1,”。*）,验证”=1时，等式左边

\-a

【答案】1+a+a2

【解析】

【分析】

根据数学归纳法的步骤即可解答.

【详解】

1.«+2

用数学归纳法证明等式：1+。+々2+...+4用=?z—

验证"=1时，等式左边=1+4+/.

故答案为：1+〃+/.

10.对任意"WN*3%+2+//*/都能被14整除，则最小的自然数〃=.

【答案】5

【解析】

【分析】

当"=1时，求出。=3或5,再由当。=3月.”=2时，不能被14整除，即可得出答案.

【详解】

当”=1时，36+/能被14整除的数为。=3或5；

当。=3且”=2时，3")+35不能被14整除，故a=5.

故答案为：5

四、解答题

11.己知数列｛""｝的前〃项和S“=

(1)计算M02,03,04；

(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.

【答案】(Dq=[a2=1,的=]，

2o12ZU

1

(2)%=而而，证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由S.=1-陷,(〃wN*)代值即可求解；

(2)猜想见=舟可，由数学归纳法的步骤证明即可

⑴

由S,=1-〃a“(〃wN*)得，

4=E=l-q,解得q=g；

山S,=q+〃，=1-2”，，解得出=!；

由53=4+4+43=1-30,,解得％='；

由S’=q+4+%+4=1-4%,解得了=了;

所以计算得/=:，%=，%==;

261220

(2)

猜想""=下短