新教材高中数学第八章立体几何初步8-6-3平面与平面垂直二素养课件新人教A版必修第二册

8.6.3平面与平面垂直(二)

【情境探究】1.教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直?提示:不一定,也可能平行,相交(不垂直);只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.必备知识生成2.如图长方体ABCD-A′B′C′D′,在平面DCC′D′中,作直线l⊥DC.你能得出什么结论?

提示:在平面DCC′D′内,若直线l垂直于交线DC,则直线l垂直于平面ABCD.【知识生成】平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果___________有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直符号语言

⇒a⊥β图形语言

一个平面内关键能力探究探究点一平面与平面垂直的性质定理的应用【典例1】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.【思维导引】(1)连接BD,菱形ABCD,∠DAB=60°△ABD为正三角形BG⊥AD

由平面与平面垂直的性质定理得出结论(2)连接PG,要证AD⊥PB,只需证AD⊥平面PBG即可.【证明】(1)如图,在菱形ABCD中,连接BD,因为∠DAB=60°,所以△ABD为正三角形,因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.(2)如图,连接PG.因为△PAD是正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又因为PG∩BG=G.所以AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.(2)如图,连接PG.因为△PAD是正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又因为PG∩BG=G.所以AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.【类题通法】面面垂直性质定理的应用技巧

(1)面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常找交线的垂线,这样就可利用面面垂直证明线面垂直.(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【定向训练】1.(2019·全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 (

)A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线【解析】选B.因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,DN=a,DB=2a,根据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4·a2cos∠BDE,EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4a2cos∠BDE,所以BM≠EN.2.如图所示,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.【证明】因为平面VAB⊥底面ABCD,且BC⊥AB.所以BC⊥平面VAB,所以BC⊥VA,又VB⊥平面VAD,所以VB⊥VA,又VB∩BC=B,所以VA⊥平面VBC,因为VA⊂平面VAC.所以平面VBC⊥平面VAC.探究点二垂直关系的综合应用【典例2】如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为l.(1)求证:平面PBC⊥平面PAC.(2)求证:直线l⊥AC.【思维导引】(1)关键是利用圆的性质,推出BC⊥AC,再利用面面垂直推出线面垂直.(2)关键是先确定与直线l平行的直线,再证明垂直.探究点二垂直关系的综合应用【典例2】如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为l.(1)求证:平面PBC⊥平面PAC.(2)求证:直线l⊥AC.【思维导引】(1)关键是利用圆的性质,推出BC⊥AC,再利用面面垂直推出线面垂直.(2)关键是先确定与直线l平行的直线,再证明垂直.【证明】(1)因为AB是☉O的直径,所以AB所对的圆周角∠ACB=90°,所以AC⊥CB,又因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC,又因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.(2)因为E,F分别为PC,PB的中点,所以EF为△PCB的中位线,所以EF∥BC,又因为EF⊄平面ACB,BC⊂平面ACB,所以EF∥平面ABC,又因为EF⊂平面AEF,且平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,故l∥BC,由(1)知,BC⊥AC,所以l⊥AC.【类题通法】1.线面垂直条件的应用技巧当题目条件中含有线面垂直的条件时,一般想到的结论为:(1)线线垂直,即直线与平面内任一直线垂直.(2)面面垂直,即经过该直线的平面与该平面垂直.2.面面垂直条件的应用技巧当题目中含有面面垂直的条件时,一般想到的解题思路为:(1)可以在一个平面内找或作一条垂直于交线的直线,转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.(2)求斜线与某一平面所成的角,观察该斜线是否与另一平面相交,若相交可过交点在该平面内作交线的垂线,进而找到斜线的射影.(3)求点到平面的距离,可转化为某一平面内一点到交线的距离.【知识延拓】如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC.(2)AD⊥AC.【解题指南】(1)根据AB⊥AD,EF⊥AD,可得EF∥AB,从而得EF∥平面ABC.(2)证明BC⊥AD,再由AB⊥AD,从而可得AD⊥平面ABC,即得AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又因为AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.【定向训练】

(2018·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.【证明】(1)在△PAD中,PA=PD,E是AD的中点,所以PE⊥AD,又底面ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥CD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA,又因为PA⊥PD,CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC的中点G,连接DG,FG,因为底面ABCD为矩形,所以AD

BC,又E是AD的中点,所以DE

BC,在△PBC中,因为F,G分别是PB,PC的中点,所以FG

BC,所以DE

FG,四边形DEFG是平行四边形,所以EF∥DG,又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.【补偿训练】1.在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,∠ABC=90°,∠BCD=135°,沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D.(1)求证:平面ABC⊥平面BCD.(2)求平面ABD与平面ACD所成的角的度数.【解题指南】(1)由二面角B-AC-D为直二面角,得CD⊥平面ABC,从而得平面BCD⊥平面ABC.(2)作BE⊥AC,EF⊥AD,连接BF,可证∠BFE即为二面角B

AD

C的平面角.解△BEF即可.【解析】(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AB⊥BC,所以∠ACB=45°,而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°,所以∠ACD=90°,即CD⊥AC.又平面ABC与平面ACD的二面角的平面角为直角,且平面ABC∩平面ACD=AC,所以CD⊥平面ABC,又CD⊂平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD.(2)过点B作BE⊥AC,E为垂足,则BE⊥平面ACD.又过点E在平面ACD内作EF⊥AD,F为垂足,连接BF.由已知可得BF⊥AD,所以∠BFE是二面角B-AD-C的平面角.因为E为AC的中点,所以AE=AC=a.又sin∠DAC=所以EF=AE,所以EF=a·=a,tan∠BFE=所以∠BFE=60°,即平面ABD与平面ACD所成的角的度数为60°.2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面BAC,D,E分别为AB,AC的中点.(1)求证:AB⊥PE.(2)求二面角A-PB-E的大小.【解析】(1)连接PD,因为PA=PB,D为AB的中点,所以PD⊥AB.因为DE∥BC,BC⊥AB,所以DE⊥AB.又因为PD∩DE=D,所以AB⊥平面PDE,因为PE⊂平面PDE,所以AB⊥PE.

(2)因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊥AB,所以PD⊥平面ABC.则DE⊥PD,又ED⊥AB,PD∩AB=D,所以DE⊥平面PAB,过D作DF垂直PB于F,连接EF,则EF⊥PB,∠DFE为所求二面角的平面角,则DE=,DF=,则tan∠DFE=故二面角A-PB-E的大小为60°.核心知识面面垂直的性质定理应用易错提醒利用性质定理时要注意直线在平面内核心素养逻辑推理：在面面垂直的性质定理中得以体现方法总结平行关系的相互转化线线垂直面面垂直线面垂直判定定理性质定理判定定理判定性质性质平面与平面垂直（二）课堂素养达标1.下列说法错误的是 (

)A.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a不一定平行于直线bB.若平面α不垂直于平面β,则α内一定不存在直线垂直于平面βC.若平面α⊥平面β,则α内一定不存在直线平行于平面βD.若平面α⊥平面υ,平面β⊥平面υ,α∩β=l,则l一定垂直于平面υ【解析】选C.C错误,平面α⊥平面β,在平面α内,平行于α,β交线的直线和平面β平行.2.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (

)A.α∥γ

B.α⊥γC.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能【解析】选D.可能平行,垂直,也可能相交.3.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是 (

)A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βC.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β【解析】选D.选项A缺少了条件l⊂α;选项B缺少了条件α⊥β;选项C缺少了条件α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.4.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在 (

)A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部【解析】选A.连接AC1,因为AC⊥AB,AC⊥BC1,所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.5.如图,在平行四边形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.求证:AB⊥DE.

【证明】在△ABD中,因为AB=2,AD=4,BD=2,所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB⊂平面ABD,所以AB⊥平面EBD.因为DE⊂平面EBD,所以AB⊥DE.

本课结束Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏5.如图,在平行四边形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.求证:AB⊥DE.

【证明】在△ABD中,因为AB=2,AD=4,BD=2,所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB⊂平面ABD,所以AB⊥平面EBD.因为DE⊂平面EBD,所以AB⊥DE.

3.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是 (

)A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥