新教材高中数学10-2-2复数的乘法与除法课件新人教B版必修第四册

10.2.2复数的乘法与除法基础预习初探1.回顾多项式乘法运算,类比复数的乘法运算:(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2=____________.

(2)z1

=____________.

(3)

=____________.

提示:(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)z1=(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2.(3)=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi.答案:(1)(ac-bd)+(ad+bc)i

(2)a2+b2

(3)a2-b2+2abi2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系?怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算?提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算得到除法运算法则,即=z⇔z1=zz2.设复数a+bi除以非零复数c+di的商为x+yi,即x+yi=等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,通过相等复数解方程可得,(xc-yd)+(xd+yc)i=a+bi,所以

消去y,解得x=,同理消去x,解得y=所以(c+di≠0).【概念生成】1.复数的乘法运算(a+bi)(c+di)=_________________.2.复数乘法的运算律运算律恒等式交换律z1z2=____结合律(z1z2)z3=________分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(ac-bd)+(ad+bc)iz2z1z1(z2z3)3.复数的乘方n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn,即zn=z×z×…×z(n个z相乘).当m,n都为正整数时,zmzn=____,(zm)n=___,(z1z2)n=____.zm+nzmn4.复数的除法运算(分母实数化)(1)如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=

(或z=z1÷z2).(2)一般地,给定复数z≠0,称

为z的倒数.z1除以z2的商

也可以看成z1与z2的倒数之积.(3)复数的除法法则:通过z2

=(c+di)(c-di)=c2+d2,可以实现复数除法的“分母实数化”:

i(c+di≠0).4.复数的除法运算(分母实数化)(1)如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=

(或z=z1÷z2).(2)一般地,给定复数z≠0,称

为z的倒数.z1除以z2的商

也可以看成z1与z2的倒数之积.(3)复数的除法法则:通过z2

=(c+di)(c-di)=c2+d2,可以实现复数除法的“分母实数化”:

i(c+di≠0).5.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)在复数范围内总有解(1)Δ=b2-4ac≥0时,有两个实根.(2)Δ<0时,有两个互为共轭的虚数根x1,2=

,根与系数的关系仍成立.核心互动探究探究点一复数的乘法运算【典例1】1.复平面内,若复数z满足z=(i-1)(2-i),则

对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).【思维导引】1.利用复数的乘法运算结果判断.2.利用复数的乘法运算法则进行计算.【解析】1.选C.由于z=(i-1)(2-i)=2i-i2-2+i=-1+3i,则=-1-3i,对应的点(-1,-3)在第三象限.2.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2=5(3-4i)=15-20i.

【类题通法】复数乘法运算的注意事项1.复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.2.多个复数的乘法运算,可以利用乘法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”进行复数乘法计算.【定向训练】1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b= (

)A.-2 B.-

C.

D.2【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.【定向训练】1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b= (

)A.-2 B.-

C.

D.2【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.2.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4= (

)A.-4 B.4 C.-4i D.4i【解析】选A.(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.探究点二复数的除法运算【典例2】1.(2019·全国Ⅰ卷)设z=

,则|z|= (

)A.2 B.

C.

D.12.定义运算

=ad-bc.若复数x=

,y=

,则y=________.

3.计算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].【思维导引】1.通过复数的除法运算化简,再计算复数的模.2.利用复数的除法运算化简x,根据新定义计算y.3.先对括号内的复数进行计算,再进行复数除法运算.【解析】1.选C.由z=得|z|=.2.因为x==-i.所以y==8i.答案:8i3.方法一:因为,所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷=(1+i)÷=2-i.方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷=(1+i)×=2-i.

【类题通法】复数除法运算的注意事项1.将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.2.多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.【定向训练】1.(2020·天津高考)i是虚数单位,复数

=________.

【解析】

答案:3-2i2.定义实部与虚部互为相反数的复数为“反复数”,若z=a-i+

为“反复数”,则实数a=________.

【解析】因为z=a-i+=a-i+=依题意,得即(a-1)=0,解得a=1.答案:1探究点三复数的乘方运算以及周期性【典例3】1.计算i+i2+i3+…+i2020=________.

2.已知w=-

+

i,求证:w3=1.【思维导引】1.计算in,n∈N*的值,明确周期性再计算.2.直接将复数的乘方运算转化为乘法运算证明,也可以利用分析法证明.【解析】1.计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…所以i+i2+i3+…+i2020=505×0=0.答案:02.方法一:由w=-+i,得w2=

所以w3=w2w=

方法二:由于w=-+

i,要证w3=1,只需证w3-1=0,即证(w-1)(w2+w+1)=0,即证w2+w+1=0,即证w2+w=w(w+1)=-1,因为w(w+1)==-1,所以等式得证.

【类题通法】虚数单位乘方的周期性in(n∈N*)的周期性计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,这就是说,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集.(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i,

=i,

=-i.【定向训练】1.设f(n)=

(n∈N+),则集合{f(n)}中元素的个数为 (

)A.2 B.3 C.4 D.无数个【解析】选B.因为所以f(n)==in+(-i)n,f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,f(6)=-2,f(7)=0,…集合{f(n)}={0,2,-2},共有3个元素.2.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则

的值为________.

【解析】复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,可得a=1,=1-i.答案:1-i3.已知复数z=

,则复数z=________.

【解析】因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+i2+i3+i4=0,而2022=5×404+2,所以z==i.答案:i探究点四实系数一元二次方程的求根公式【典例4】在复数范围内解下列一元二次方程:(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.【思维导引】(1)利用复数的乘方运算解方程.(2)利用配方法解方程,也可以运用一元二次方程的求根公式解方程.【解析】(1)由x2+9=0得x2=-9=(±3i)2,所以x=±3i.(2)方法一:由x2-x+1=0配方得x2-x+=-,即所以解得方法二:由x2-x+1=0,得Δ=(-1)2-4=-3,由实系数一元二次方程的求根公式,得x1,2=

【类题通法】对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为x1,x2,根与系数的关系仍然成立:x1+x2=-

,x1x2=

.【定向训练】1.解方程x2+2x+3=0.【解析】由方程x2+2x+3=0,得Δ=b2-4ac=-8,所以方程的两根为x1,2=2.已知一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,求a的值以及另一个根.【解析】方法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.方程为x2-2x+5=0,Δ=b2-4ac=-16,所以方程的两根为x1,2==1±2i,所以方程另一个根为1-2i.方法二:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则另一个根为1-2i,由根与系数的关系,得x1+x2=-,即a=2.【课堂小结】课堂素养达标1.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,所以复平面内表示复数z的点位于第三象限.2.在复平面内与复数z=

所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为 (

)A.1+2i B.1-2iC.-2+i D.2+i【解析】选C.复数z==i(1-2i)=2+i,z对应的点的坐标是(2,1),该点关于虚轴对称的点A(-2,1)对应的复数为-2+i.3.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,则

=________,z的倒数为______.

【解析】因为z==2-i,所以=2+i.z的倒数为答案:2+i

4.已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4.(1)求复数z的共轭复数.(2)若ω=z+ai,且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.(2)ω=-2+(4+a)i,复数ω对应向量为(-2,4+a),其模为又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2.由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得,20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,所以,实数a的取值范围是-8≤a≤0.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏4.已知复数z满足z=(-