新教材高中数学10-1-1复数的概念课件新人教B版必修第四册

第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.1复数的概念新课程标准素养风向标1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.1.通过数系的扩充引入复数的有关概念.(数学抽象)2.通过数系的扩充构建数系表,形成知识网络.(数学建模)3.利用复数的实部虚部的关系建立复数相等的意义.(逻辑推理)基础预习初探1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类(1)方程x2-2x-3=0的正整数解是________,有理数解是________,实数解是________.

(2)方程x2-2x-1=0的无理数解是________,实数解是________.

提示:(1)方程x2-2x-3=0即(x-3)(x+1)=0的正整数解是3,有理数解是3,-1,实数解是3,-1.(2)方程x2-2x-1=0的无理数解是,实数解是.答案:(1)3

3,-1

3,-1(2)

2.(1)方程x2=-1在实数集中是否有解?(2)如何解决方程无实数解的问题?提示:(1)因为实数的平方都是非负数,所以方程x2=-1在实数集中无解.(2)引入新数i,定义i·i=i2=-1,那么方程x2=-1有一个解为i.3.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零?提示:当且仅当a=b=0时表示零.(2)实数集R与复数集C有什么关系?提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即RC.用图形语言描述:

【概念生成】1.复数的概念:(1)复数的定义一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数,其中i叫做_________,满足i2=___,全体复数组成的集合C叫做_______.虚数单位-1复数集(2)复数的表示复数通常用字母z表示,即z=_____________,这一表示形式叫做复数的__________,a与b分别叫做复数z的_____与_____.分别记作Re(z)=__,Im(z)=__.2.复数相等如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔_________.特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.a+bi(a,b∈R)代数形式实部虚部a=c且b=dab3.复数的分类与数系表复数z=a+bi(a,b∈R)3.复数的分类与数系表复数z=a+bi(a,b∈R)核心互动探究探究点一复数的有关概念与表示【典例1】1.下列复数中虚数的个数为 (

)1+2i,1+2i2,2i+

,πi.A.1 B.2 C.3 D.42.已知虚数z=(a+b)+(a-b)i,且实部与虚部互为相反数,则实数a,b满足的条件是________.

【思维导引】1.利用复数的概念进行判断.2.根据复数的概念与表示⇒复数的实部+虚部=0.【解析】1.选C.1+2i,πi,2i+是虚数,1+2i2=-1是实数.2.虚数z=(a+b)+(a-b)i,且实部与虚部互为相反数,得(a+b)+(a-b)=0,得a=0,b∈R,且b≠0.所以实数a,b满足的条件是a=0,b∈R,且b≠0.答案:a=0,b∈R,且b≠0【类题通法】判断与复数有关的命题是否正确的策略(1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.【定向训练】1.复数z=2-3i的虚部为 (

)A.3i B.-3i C.3 D.-3【解析】选D.因为z=2-3i,所以z的虚部为-3.2.已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别是________.

【解析】由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.答案:3,32.已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别是________.

【解析】由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.答案:3,3探究点二复数的分类与参数问题【典例2】1.已知复数z=(x2-1)+(x+1)i(x∈R)为纯虚数,则z=________;

2.已知m∈R,复数z=,当m为何值时,z分别满足下列条件:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.【思维导引】当a,b都是实数时,【解析】1.由于复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数,则实数x满足,解得x=1,所以z=2i.答案:2i2.复数z=,m∈R.(1)由z∈R,得解得m=-3.(2)由z是虚数,得m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)由z是纯虚数,得解得m=0或m=-2.【类题通法】1.解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.2.复数分类的应用(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验算是很必要的.(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.【定向训练】已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i:(1)若复数z是实数,求实数m的值;(2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围;(3)若复数z是纯虚数,求实数m的值;(4)若复数z是0,求实数m的值.【解析】(1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数,所以m=5或-3.(2)当m2-2m-15≠0时复数z为虚数,所以m≠5且m≠-3.所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠-3}.(3)当时,复数z是纯虚数,所以m=-2.(4)当时,复数z是0,所以m=-3.【补偿训练】下列复数中,实数为________,虚数为________,纯虚数为________.(将序号填在相应的横线上)

①1-2i2;②-3i;③2i-3;④1+0i;⑤cosπ+isinπ.【解析】-3i,2i-3是虚数;-3i是纯虚数;1-2i2=3,1+0i=1,cosπ+isinπ=-1,都是实数.答案:①④⑤②③②探究点三复数相等及其应用【典例3】1.已知复数z1=a+2i,z2=2+2bi,若z1=z2,则实数a,b的值分别为 (

)A.a=1,b=1 B.a=1,b=2C.a=2,b=1 D.a=2,b=22.已知关于x的方程(x2+x+3m)-(2x+1)i=0有实数根,求实数m的值及方程的实数根.【思维导引】1.根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值.2.设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R)的形式解决.【解析】1.选C.因为复数z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,则实数a=2,2b=2,即a=2,b=1.2.设a是原方程的实数根,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以a=且+3m=0,所以m=.所以m=,方程的实数根为x=.【类题通法】复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.【定向训练】已知θ为三角形的内角,复数z1=sin2θ-icosθ,z2=cosθ+i

sinθ,若z1=z2,则θ=________.

【解析】依题意,得,即,显然cosθ≠0,所以,又因为θ为三角形的内角,所以θ=.答案:

【补偿训练】求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值,其中x∈R,y∈R.【解析】由复数相等的充要条件可知解得

【课堂小结】课堂素养达标1.若集合A={-1,0,1,i},i是虚数单位,则 (

)A.i∉A B.i2∈AC.1+i∈A D.2i∈A【解析】选B.由于集合A={-1,0,1,i},i是虚数单位,则i∈A,i2=-1∈A,1+i∉A,2i∉A.2.复数z=2-i的实部与虚部分别为 (

)A.2

1 B.2

-1C.2

i D.2

-i【解析】选B.复数z=2-i=2+(-i)的实部为2,虚部为-1.3.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,则 (

)A.C=R∪I B.R∪I={0}C.R=C∩I D.R∩I=∅【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=∅.4.如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则x=________,y=________.

【解析】由复数相等可知所以答案:

1Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏3.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,则 (

)A.C=R∪I B.R∪I={0}C.R=C∩I D.R∩I=∅【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=∅.课堂素养达标1.若集合A={-1,0,1,i},i是虚数单位,则 (

)A.i∉A B.i2∈AC.1+i∈A D.2i∈A【解析】