2025届保定市重点中学九年级数学第一学期期末联考试题含解析

2025届保定市重点中学九年级数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为A． B． C． D．2．如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是A． B． C． D．3．在反比例函数图像的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则b的取值范围是（）A．b=3 B． C． D．4．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是A．点A在圆外 B．点A在圆上C．点A在圆内 D．不能确定5．将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体为（）A． B． C． D．6．已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定7．若函数y＝的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是（）A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m＞3 D．m＜38．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A． B． C． D．9．下列说法正确的是（）A．25人中至少有3人的出生月份相同B．任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上C．天气预报说明天降雨的概率为10%，则明天一定是晴天D．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是10．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定11．下列方程中，是关于x的一元二次方程是()A． B．x2+2x＝x2﹣1C．ax2+bx+c＝0 D．3(x+1)2＝2(x+1)12．如图，矩形的面积为4，反比例函数（）的图象的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．把两块同样大小的含角的三角板的直角重合并按图1方式放置，点是两块三角板的边与的交点，将三角板绕点按顺时针方向旋转到图2的位置，若，则点所走过的路程是_________．14．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．15．已知，则的值是_____________．16．在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点，点与点是对应顶点，且点A，点的坐标分别是，，那么与的相似比为__________．17．若，则=______18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60º，E是CD上一点，将△ADE折叠，折痕为AE，点D的对应点为点D’，AD’与BC交于点F，若F为BC中点，则∠AED=______.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，若是由ABC平移后得到的，且中任意一点经过平移后的对应点为(1)求点小的坐标．(2)求的面积．20．（8分）如图：在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，经过点的抛物线的对称轴是．（1）求抛物线的解析式．（2）平移直线经过原点，得到直线，点是直线上任意一点，轴于点，轴于点，若点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，且．求证：．（3）若（2）中的点坐标为，点是轴上的点，点是轴上的点，当时，抛物线上是否存在点，使四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．21．（8分）如图，双曲线上的一点，其中，过点作轴于点，连接.（1）已知的面积是，求的值；（2）将绕点逆时针旋转得到，且点的对应点恰好落在该双曲线上，求的值.22．（10分）如图，下列网格由小正方形组成，点都在正方形网格的格点上.（1）在图1中画出一个以线段为边，且与面积相等但不全等的格点三角形；（2）在图2和图3中分别画出一个以线段为边，且与相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与的相似比.（相同的相似比算一种）（1）（2）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，过点的双曲线与矩形的边交于点．(1)求双曲线的解析式以及点的坐标；．(2)若点是抛物线的顶点；①当双曲线过点时，求顶点的坐标；②直接写出当抛物线过点时，该抛物线与矩形公共点的个数以及此时的值．24．（10分）如图，Rt△FHG中，H=90°，FH∥x轴，，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），点D为二次函数图像的顶点.（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图像上，求点G的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y=mx+m与函数y1、y2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P、Q.且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由.25．（12分）某商场购进了一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种衬衫的售价每降低元，那么该商场平均每天可多售出件．（1）若该商场计划平均每天盈利元，则每件衬衫应降价多少元?（2）该商场平均每天盈利能否达到元?26．某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数的图象与性质进行了探究，请补充完整以下的探究过程．x…－2－101234…y…30－1010－3…（1）填空：a＝．b＝．（2）①根据上述表格数据补全函数图象；②该函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？（3）若直线与该函数图象有三个交点，求t的取值范围．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得ab=-2，由点A与点B关于y轴的对称，可得到点B的坐标，进而求出k，然后得出答案．【详解】解：∵点A（a，b）在双曲线上，

∴ab=-2；

又∵点A与点B关于y轴对称，

∴B（-a，b）

∵点B在双曲线上，

∴k=-ab=2；

∴=2-(-2)=4；

故选：D．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征．2、C【解析】试题分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆.故选C．考点：简单几何体的三视图3、C【分析】由反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，可得3-b＜0，进而求出答案，作出选择．【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，∴3-b＜0，∴b＞3，故选C.【点睛】考查反比例函数的性质和一元一次不等式的解法，掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．4、C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选C．5、D【解析】如图旋转，想象下，可得到D.6、C【分析】由反比例函数的增减性得到k＞0，表示出方程根的判别式，判断根的判别式的正负即可得到方程解的情况．【详解】∵反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k＞0，∴方程中，△＝=8k+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【点睛】本题考查了根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．7、C【分析】根据反比例函数的性质得m﹣1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得m﹣1＞0，解得m＞1．故选：C．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，当k＞0时，图像在第一、三象限内，根据这个性质即可解出答案.8、C【分析】根据完美点的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意方程有两个相等的实数根，求得4ac=9，再根据方程的根为=，从而求得a=-1，c=-，所以函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．【详解】解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，

由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，

又方程的根为=，

解得a=-1，c=-，

故函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，

如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，-3），由对称性，该函数图象也经过点（4，-3）．由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，

∴2≤m≤4，

故选：C．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合的数学思想得出是解题关键．9、A【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、天气预报说明天的降水概率为10%，则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3有2种可能，故概率是，原说法错误，故这个选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．10、A【解析】先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．【详解】解：一元二次方程中，△，则原方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根11、D【解析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、＝3不是整式方程，不符合题意；B、方程整理得：2x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；C、ax2+bx+c＝0没有条件a≠0，不一定是一元二次方程，不符合题意；D、3(x+1)2＝2(x+1)是一元二次方程，符合题意，故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．12、D【分析】过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，根据矩形的性质得S矩形OEPF=S矩形OACB=1，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解．【详解】过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图所示：

∵四边形OACB为矩形，点P为对角线的交点，

∴S矩形OEPF=S矩形OACB=×4=1．

∴k=-1，

所以反比例函数的解析式是：.故选：D【点睛】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】两块三角板的边与的交点所走过的路程，需分类讨论，由图①的点运动到图②的点，由图②的点运动到图③的点，总路程为，分别求解即可．【详解】如图，两块三角板的边与的交点所走过的路程，分两步走：(1)由图①的点运动到图②的点，此时：AC⊥DE，点C到直线DE的距离最短，所以CF最短，则PF最长，根据题意，，，在中，∴；(2)由图②的点运动到图③的点，过G作GH⊥DC于H，如下图，∵，且GH⊥DC，∴是等腰直角三角形，∴，设，则，∴，∴，解得：，即，点所走过的路程：，故答案为：【点睛】本题是一道需要把旋转角的概念和解直角三角形相结合求解的综合题，考查学生综合运用数学知识的能力．正确确定点所走过的路程是解答本题的关键．14、等【解析】根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，所以解析式满足a＜0，b=0，c=0即可．【详解】解：根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，例如：.【点睛】此题是开放性试题，考查函数图象及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义.15、【分析】设a=3k，则b=4k，代入计算即可．【详解】设a=3k，则b=4k，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质．熟练掌握k值法是解答本题的关键．16、2【分析】分别求出OA和OA1的长度即可得出答案.【详解】根据题意可得，，，所以相似比=，故答案为2.【点睛】本题考查的是位似，属于基础图形，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.17、【分析】可设x=4k，根据已知条件得到y=3k，再代入计算即可得到正确结论．【详解】解：∵，∴y=3k，x=4k；代入=故答案为【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．18、75º【分析】如图（见解析），连接AC，易证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得.【详解】如图，连接AC在菱形ABCD中，是等边三角形F为BC中点（等腰三角形三线合一的性质），即（两直线平行，同旁内角互补）又由折叠的性质得：在中，由三角形的内角和定理得：故答案为：.【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键.三、解答题（共78分）19、（1）（-1，5），（-2，3），（-4，4）；（2）三角形面积为2.5；【分析】（1）由△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x-5，y+2）可得△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，向上平移2个单位，由此得到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标．

（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【详解】解：（1）∵△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x-5，y+2），

∴△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，向上平移2个单位，

∵A（4，3），B（3，1），C（1，2），

∴点A1的坐标为（-1，5），点B1的坐标为（-2，3），点C1的坐标为（-4，4）．

（2）如图所示，

△A1B1C1的面积=3×2-×1×3-×1×2-×1×2=．【点睛】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．20、（1）；（2）证明见解析；（3）存在，点的坐标为或.【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是，列出关于a、c的方程组求解即可；

（2）设P（3n，n），则PC=3n，PB=n，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设，然后用含t的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含t的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得t的值即可．【详解】解：（1）当时，，解得，即，抛物线过点，对称轴是，得，解得，抛物线的解析式为；（2）∵平移直线经过原点，得到直线，∴直线的解析式为.∵点是直线上任意一点，∴，则，.又∵，∴.∵轴，轴∴∴∵，∴，∴.（3）设，点在点的左侧时，如图所示，则.∵，∴.∴.∵四边形为矩形，∴，，∴，，∴，.将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：或（舍去）.∴.当点在点的右侧时，如下图所示，则.∵，∴.∴.∵四边形为矩形，∴，，∴，，∴，.将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：或（舍去）.∴.综上所述，点的坐标为或.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含t的式子表示点Q的坐标是解题的关键．21、（1）6；（2）【分析】（1）根据点A坐标及三角形面积公式求得的值，从而求得的值；（2）延长交轴于点，根据旋转的性质可得,，然后判定四边形为矩形，用含m,n的式子表示出点C的坐标，将点A,C代入反比例解析式中，得到关于m的方程，解方程，从而求解.【详解】解：（1）∵，轴于点,∴，.又，∴.∵点在双曲线上，∴.（2）延长交轴于点.∵绕点逆时针旋转得到,∴,,∴，，.∵轴于点,∴,∴四边形为矩形，∴,∴轴，∴，∴，，∴.∵点都在双曲线上，∴，化简得.解法一：解关于的方程，得.∵，∴，∴.解法二：方程两边同时除以，得，解得.∵，∴.【点睛】本题考查反比例函数的应用，比例系数k的几何意义，旋转的性质，及一元二次方程的解法，综合性较强，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.22、（1）画图见解析；（2）画图见解析；图2：；图3：.【分析】（1）根据等底、等高的两个三角形面积相等，检验网格特征画出图形即可；（2）根据相似三角形的性质画出图形即可.【详解】（1）如图所示，即为所求.（答案不唯一）（2）如图所示，和即为所求，∵BC=，AC=2，AE=，BE=5，AB=，∴=，∴△ABE∽△CAB，∴相似比；∵BC=，AC=2，AF=2，BF=5，AB=，∴=，∴△AFB∽△CAB，相似比，【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质及网格的特征，正确找出对应边是解题关键23、（1），；（2）①；②三个，【分析】（1）将C点坐标代入求得k的值即可求得反比例函数解析式，将代入所求解析式求得x的值即可求得E点坐标；（2）①将抛物线化为顶点式，可求得P点的横坐标，再根据双曲线解析式即可求得P点坐标；②根据B点为函数与y轴的交点可求得t的值和函数解析式，再根据函数的对称轴，与x轴的交点坐标即可求得抛物线与矩形公共点的个数．【详解】解:(1)把点代入，得，∴把代入，得，∴；(2)①∵抛物线∴顶点的横坐标，∵顶点在双曲线上，∴，∴顶点，②当抛物线过点时，，解得，抛物线解析式为，故函数的顶点坐标为，对称轴为，与x轴的交点坐标分别为所以它与矩形在线段BD上相交于和，在线段AB上相交于，即它与矩形有三个公共点，此时．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和求二次函数解析式，二次函数的性质．在求函数解析式时一般该函数有几个未知的常量就需要代入几个点的坐标，本题（2）（3）中熟练掌握二次函数一般式，交点式，顶点式三种表达式之间的互相转化是解决此题的关键．24、（1）y=(x-1)2-4；（2）点G坐标为（3.6，2.76），S△FHG=6.348；（3）m=0.6，四边形CDPQ为平行四边形，理由见解析.【分析】（1）利用顶点式求解即可,（2）将G点代入函数解析式求出坐标,利用坐标的特点即可求出面积,（3）作出图象,延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得证明△AQR∽△PHQ,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，即可证明四边形CDPQ为平行四边形.【详解】（1）设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由题可知该抛物线与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），∴y=a(x-1)2-4,代入E（0，），解得a=1,（）（2）设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式，得，，解得a1=3.6，a2=-1（舍去），所以点G坐标为（3.6,2.76）.S△FHG=6.348（3）y=mx+m=m（x+1），当x=-1时，y=0，所以直线y=mx+m延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QR⊥x轴.因为FH∥x轴，所以∠QPH=∠QAR,因为∠PHQ=∠ARQ=90°，所以△AQR∽△PQH,所以=0.6,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，mn+m=0.6（n+1），m（n+1）=0.6（n+1），因为n+1≠0，所以m=0.6..因为y2=（x-1-m）2+0.6m-4,所以点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，过D作y轴的平行线,交x轴与K,再作CT⊥KD,交KD延长线与T,所以=0.6,所以tan∠KSD=tan∠QAR，所以∠KSD=∠QAR，