浙江省宁波市镇海区2025届九年级数学第一学期期末复习检测试题含解析

浙江省宁波市镇海区2025届九年级数学第一学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．将抛物线y=2(x－7)2+3平移，使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则下列平移中正确的是()A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位C．向左平移7个单位D．向右平移7个单位2．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则△PQD的面积为（）A． B． C． D．3．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“”或，如，，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“”数的槪率为（）A． B． C． D．4．已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（）A．2：3 B．9：4 C．3：2 D．4：95．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：96．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C半径是（）A． B． C． D．27．已知函数：(1)xy=9；(2)y=；(3)y=-；(4)y=；(5)y=，其中反比例函数的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．48．下列事件中，是必然事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．抛一枚硬币，一定正面朝上C．打开电视机，它正在播放新闻联播D．三角形的内角和等于180°9．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为()A．10 B．9 C．8 D．710．已知，则下列各式中不正确的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图示，在中，，，，点在内部，且，连接，则的最小值等于______.12．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为_____．13．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为_______.14．如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上.若点的坐标为，则的值为_______．15．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（结果精确到0.1m）16．如图，在四边形中，，，，.若，则______.17．某校九年级学生参加体育测试，其中10人的引体向上成绩如下表：完成引体向上的个数78910人数1234这10人完成引体向上个数的中位数是___________18．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B．若∠P＝100°，则∠ACB的大小为_____（度）．三、解答题(共66分)19．（10分）点为图形上任意一点，过点作直线垂足为，记的长度为.定义一:若存在最大值，则称其为“图形到直线的限距离”，记作；定义二:若存在最小值，则称其为“图形到直线的基距离”，记作；（1）已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作则．（2）已知直线，点，点是轴上一个动点，的半径为，点在上，若求此时的取值范围，（3）已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形，若请直接写出的取值范围．20．（6分）现有红色和蓝色两个布袋，红色布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，蓝色布袋中有也三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字2，3，4小明先从红布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从蓝布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．（1）用列表法或树状图表示出两次取得的小球上所标数字的所有可能结果；（2）若把m、n分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率．21．（6分）如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（在同一条直线上），测得，如果小明眼睛距地面高度，为，试确定楼的高度．22．（8分）阅读下面材料：学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式x﹣3＞的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y1＝x﹣3与函数y2＝的图象（如图1），观察图象可知：它们交于点A（﹣1，﹣1），B（1，1）．当﹣1＜x＜0，或x＞1时，y1＞y2，即不等式x﹣3＞的解集为﹣1＜x＜0，或x＞1．小东根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x＝0时，原不等式不成立；x＞0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，原不等式转化为______；（2）构造函数，画出图象：设y3＝x2+3x﹣1，y1＝，在同一坐标系（图2）中分别画出这两个函数的图象．（3）借助图象，写出解集：观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨论结果，可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为______．23．（8分）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，．（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．24．（8分）如图，四边形OABC为平行四边形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB=．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若BC=10cm，求图中阴影部分的面积．25．（10分）如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=，D是BC的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．26．（10分）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC在网格中的位置如图所示：（1）在图中画出△ABC先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后的图形；（2）若点A的坐标是（－4，－3），试在图中画出平面直角坐标系，坐标系的原点记作O；（3）根据（2）的坐标系，作出以O为旋转中心，逆时针旋转90º后的图形，并求出点A一共运动的路径长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【详解】依题意可知,原抛物线顶点坐标为（7,3）,平移后抛物线顶点坐标为（0，t）(t为常数),则原抛物线向左平移7个单位即可.故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k

（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．2、D【分析】由折叠的性质可得AQ＝QD，AP＝PD，由勾股定理可求AQ的长，由锐角三角函数分别求出AP，HQ的长，即可求解．【详解】解：过点D作DN⊥AC于N，∵点D是BC中点，∴BD＝3，∵将△ABC折叠，∴AQ＝QD，AP＝PD，∵AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，∴AC＝，∵sin∠C＝＝，∴DN＝，∵cos∠C＝，∴CN＝，∴AN＝，∵PD2＝PN2+DN2，∴AP2＝（﹣AP）2+，∴AP＝，∵QD2＝DB2+QB2，∴AQ2＝（9﹣AQ）2+9，∴AQ＝5，∵sin∠A＝＝，∴HQ＝＝∵∴△PQD的面积＝△APQ的面积＝××＝，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，锐角三角函数，求出HQ的长是本题的关键．3、C【分析】首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，

故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为，

故选：C．【点睛】本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．4、C【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：1，∴△ABC与△A1B1C1的周长之比3：1．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．5、A【分析】根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.【详解】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC，∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴，故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．6、B【解析】连接AD∵∠AOD=90°，∴AD是圆的直径．在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，∴AD=,则圆的半径是．故选B．点睛：连接AD．根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AD是直径，根据等弧所对的圆周角相等，得∠D=∠B=30°，运用解直角三角形的知识即可求解．7、C【分析】直接根据反比例函数的定义判定即可．【详解】解：反比例函数有：xy=9；y=；y=-．故答案为C．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，即形如y=（k≠0）的函数关系叫反比例函数关系．8、D【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．【详解】A.某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；B.抛一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项错误；C.打开电视机，它正在播放新闻联播，是随机事件，故此选项错误；D.三角形的内角和等于180°，是必然事件．故选：D．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9、D【解析】分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．10、C【分析】依据比例的基本性质，将比例式化为等积式，即可得出结论．【详解】A.由可得，变形正确，不合题意；B.由可得，变形正确，不合题意；C.由可得，变形不正确，符合题意；D.由可得，变形正确，不合题意．故选C．【点睛】本题考查了比例的性质，此题比较简单，解题的关键是掌握比例的变形．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，，然后根据，得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P的轨迹是以AB为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C、O、P在同一直线上时，CP最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.【详解】∵，，，∴∴∠CAB=30°，∠ABC=60°∵，∠PAB+∠PAC=30°∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°∴定角定弦，点P的轨迹是以AB为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C、O、P在同一直线上时，CP最小∴CO⊥AB，∠COB=60°，∠ABO=30°∴OB=2，∠OBC=90°∴∴故答案为.【点睛】此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P的位置.12、1．【分析】根据概率公式列方程计算即可.【详解】解：根据题意得，解得n＝1，经检验：n＝41是分式方程的解，故答案为：1．【点睛】题考查了概率公式的运用，理解用可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解答本题的关键.13、π【解析】试题分析：∵，∴S阴影===．故答案为．考点：旋转的性质；扇形面积的计算．14、1或-3【分析】由题意根据反比例函数中值的几何意义即函数图像上一点分别作关于x、y轴的垂线与原点所围成的矩形的面积为，据此进行分析求解即可.【详解】解：由题意图形分成如下几部分，∵矩形的对角线为，∴，即，∵根据矩形性质可知，∴，∵，点的坐标为，∴，解得1或-3.故答案为：1或-3.【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15、2.3【解析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．【详解】在Rt△ABC中,∴∴即斜坡AB的长为2.3m.故答案为2.3.【点睛】考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.16、【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，然后根据正切定义可算出．【详解】∵,，∴，∵AB=2，∴AC=6，∵AC⊥CD，∴，∴故答案为：.【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦，正切的定义是解题的关键.17、1【分析】将数据由小排到大，再找到中间的数值，即可求得中位数，奇数个数中位数是中间一个数，偶数个数中位数是中间两个数的平均数。【详解】解：将10个数据由小到大排序：7、8、8、1、1、1、10、10、10、10，处于这组数据中间位置的数是1、1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（1+1）÷2=1．

所以这组同学引体向上个数的中位数是1．

故答案为：1．【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义，解题的关键是准确认识表格．18、1【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO＝360°﹣90°﹣100°﹣90°＝80°，∴．故答案为：1．【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题的关键是掌握辅助线的作法，熟练掌握切线的性质．三、解答题(共66分)19、（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）作直线：平行于直线，且与H相交于点P，连接PO并延长交直线于点Q，作PM⊥x轴，根据只有一个交点可求出b，再联立求出P的坐标，从而判断出PQ平分∠AOB，再利用直线表达式求A、B坐标证明OA=OB，从而证出PQ即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；（2）过点作直线，可判断出上的点到直线的最大距离为，然后根据最大距离的范围求出TH的范围，从而得到FT的范围，根据范围建立不等式组求解即可；（3）把点P坐标带入表达式，化简得到关于a、b的等式，从而推出直线的表达式，根据点E的坐标可确定点E所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线一定与图形K相交，从而分两种情况画图求解即可．【详解】解：（1）作直线：平行于直线，且与H相交于点P，连接PO并延长交直线于点Q，作PM⊥x轴，∵直线：与H相交于点P，∴，即，只有一个解，∴，解得，∴，联立，解得，即，∴，且点P在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ平分∠AOB，∴为等腰直角三角形，且OP=2，∵直线：，∴当时，，当时，，∴A(－2，0)，B(0，－2)，∴OA=OB=2，又∵OQ平分∠AOB，∴OQ⊥AB，即PQ⊥AB，∴PQ即为H上的点到直线的最小距离，∵OA=OB，∴，∴AQ=OQ，∴在中，OA=2，则OQ=，∴，即；（2）由题过点作直线，则上的点到直线的最大距离为，∵，即，∴，由题，则，∴，又∵，∴，解得或；（3）∵直线恒过定点，∴把点P代入得：，整理得：，∴，化简得，∴，又∵点恒在直线上，∴直线的表达式为：，∵，∴直线一定与以点为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交，∵，∴点E一定在直线上运动，情形一：如图，当点E运动到所对顶点F在直线上时，由题可知E、F关于原点对称，∵，∴，把点F代入得：，解得：，∵当点E沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，∴点E要沿直线向下运动，即；情形二：如图，当点E运动到直线上时，把点E代入得：，解得：，∵当点E沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，∴点E要沿直线向上运动，即，综上所述，或．【点睛】本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键．20、（1）见解析；（2）．【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；（2）利用，的值确定满足的个数，根据概率公式求出该事件的概率．【详解】解：（1）所有可能情况如下表，且它们的可能性相nm2341（1，2）（1，3）（1，4）2（2，2）（2，3）（2，4）3（3，2）（3，3）（3，4）由列表知，（m，n）有9种可能；（2）由（1）知，所有可能情况有9种，其中满足y＝的有（2，3）和（3，2）两种，∴点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率为．【点睛】本题考查了列表法求概率，反比例函数图象上点的坐标特点．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．21、32米【分析】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，由题意可知且、∴∴∴即：∴∴答：楼的高度为米.【点睛】本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键.22、（2）x2+3x﹣2＜；（2）画图见解析；（3）﹣3＜x＜﹣2或x＞2．【分析】（2）根据不等式的基本性质，不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向发生改变，先在不等式的两边同时除以x，在移项即可；（2）根据列表，描点，连线的步骤画出y3＝x2+3x﹣2与y2＝的图象即可；（3）观察函数图象即可确定交点坐标，再根据（2）中的变形观察图象即可．【详解】（2）由题意得：当x＜0时，x2+3x﹣2－＜0，∴x2+3x﹣2＜故答案为：x2+3x﹣2＜；（2）列表：x-2-3-2-2.5-202y3＝x2+3x﹣23-2-3-3.25-3-23x-3-2-2223y2＝-2-2.5-332.52描点、连线，画出y3＝x2+3x﹣2与y2＝的图象如图所示：（3）由（2）可得：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0当x＞0时，可转化为x2+3x﹣2＞；当x＜0时，可转化为x2+3x﹣2＜，由图象可得：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为：﹣3＜x＜﹣2或x＞2；故答案为：﹣3＜x＜﹣2或x＞2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、反比例函数的图象和性质，此类题目通常通过画出函数图象，通过图象的性质求解．23、（1）D（﹣3，﹣4）；（1）当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3＜a≤﹣1．【分析】（1）利用待定系数法以及等腰直角三角形的性质求出EC，OE即可解决问题．（1）如图，设M（a，a﹣1），则N（a，），由EC＝MN构建方程求出特殊点M的坐标即可判断．【详解】解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠CAE＝45°∵AE＝3OA，∴AE＝3，∵EC⊥x轴，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠ACE＝45°，∴EC＝AE＝3，∴C（4，3），∵反比例函数y＝经过点C（4，3），∴k＝11，由，解得或，∴D（﹣3，﹣4）．（1）如图，设M（a，a﹣1），则N（a，）∵四边形ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴|a﹣1﹣|＝3，解得a＝6或﹣1或﹣1±（舍弃），∴M（6，5）或（﹣1，﹣3），观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3＜a≤﹣1．【点睛】考核知识点：反比例函数与一次函数.数形结合，解方程组求图象交点，根据图象分析问题是关键.24、（1）见解析（2）.【分析】连接OB，由sin∠OCB=求出∠OCB=45，再根据OB=OC及三角形的内角和求出∠BOC=90，再由四边形OABC为平行四边形，得出∠ABO=90即OB⊥AB，由此切线得到证明；（2）先求出半径，再由-S△BOC即可求出阴影部分的面积.【详解】连接OB，∵sin∠OCB=，∴∠OCB=45，∵OB=OC，∴∠OB