高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.3幂函数(精讲)(原卷版+解析)

3.3幂函数（精讲）考点一幂函数的辨析【例1-1】(2023·陕西省神木中学高一期末）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．【例1-2】(2023·福建）函数是幂函数，则实数的值为______________．【一隅三反】1．(2023·全国·高一课时练习）在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥2.(2023年广东潮州）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m=，n=考点二幂函数的三要素【例2-1】(2023·浙江）已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________．【例2-2】(2023·山西吕梁·高一期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A．R B．C． D．【一隅三反】1．(2023·黑龙江绥化·高一期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高一）已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．考点三幂函数的性质【例3-1】(2023·辽宁朝阳·高一开学考试）已知幂函数在上是减函数，则的值为（

）A．3 B． C．1 D．【例3-2】(2023·吉林·东北师大附中高一期中）设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的的值的个数是（

）A． B． C． D．【例3-3】(2023·福建）已知函数的增区间为（

）A． B． C． D．【例3-4】(2023·江西）已知幂函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·全国·高一）幂函数在上单调递减，则实数m的值为（

）A． B．3 C．或3 D．2．(2023·四川）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数是偶函数，则（

）A． B． C．或 D．或4．(2023·辽宁·高一期末）（多选）已知函数的图象经过点，则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于原点对称C．单调递减区间是 D．在内的值域为5．(2023·广西钦州·高一期末）（多选）若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4考点四幂函数的图像【例4】(2023·全国·高一单元测试）图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【一隅三反】1．(2023·全国·高一课时练习）若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（

）A．； B．，；C．，； D．，．2．(2023广东）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（

）A． B．C． D．3．(2023·江苏·高一）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．考点五幂函数的综合运用【例5】(2023·湖南·高一课时练习）已知幂函数在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论函数的奇偶性和单调性；(3)求函数的值域．【一隅三反】1．(2023·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知幂函数在上为增函数.(1)求实数的值；(2)求函数的值域.2．(2023·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．(1)求的值；(2)求满足不等式的实数的取值范围．3．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数满足：（1）在区间上为增函数（2）对任意的，都有，求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．4．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.（1）求的值及函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.3.3幂函数（精讲）考点一幂函数的辨析【例1-1】(2023·陕西省神木中学高一期末）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．答案:C解析：形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.【例1-2】(2023·福建）函数是幂函数，则实数的值为______________．答案:或解析：由题意，解得m=2或-1【一隅三反】1．(2023·全国·高一课时练习）在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥答案:C解析：幂函数是形如（，为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数.故选：C.2.(2023年广东潮州）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m=，n=答案:见解析解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2)考点二幂函数的三要素【例2-1】(2023·浙江）已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________．答案:解析：由题意知，设幂函数的解析式为为常数)，则，解得，所以.故答案为：【例2-2】(2023·山西吕梁·高一期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A．R B．C． D．答案:C解析：设，因为的图象过点，所以，解得，则，故的定义域为．故选：C【一隅三反】1．(2023·黑龙江绥化·高一期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．答案:B解析：由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B．2．(2023·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（

）A． B． C． D．答案:D解析：由可知，,，定义域、值域相同；由可知，，定义域、值域相同；由可知，,，定义域、值域相同；由可知，，，定义域、值域不相同.故选：D3．(2023·全国·高一）已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．答案:解析：由题意，设，代入点得，解得，则.故答案为：.考点三幂函数的性质【例3-1】(2023·辽宁朝阳·高一开学考试）已知幂函数在上是减函数，则的值为（

）A．3 B． C．1 D．答案:C解析：由函数为幂函数知，，解得或.∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，当时，，符合题意，∴，，∴.故选：C.【例3-2】(2023·吉林·东北师大附中高一期中）设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的的值的个数是（

）A． B． C． D．答案:B解析：当时，的定义域为，在上单调递减，不满足；当时，的定义域为，不具奇偶性，不满足；当时，的定义域是R，是偶函数，不满足；当时，的定义域是R，是奇函数，并且在上单调递增，满足；当时，的定义域是R，是奇函数，并且在上单调递增，满足，所以使幂函数为奇函数且在上单调递增的的值的个数是2.故选：B【例3-3】(2023·福建）已知函数的增区间为（

）A． B． C． D．答案:A解析：由，解得或，因为在递减，在递增，又因为在递增，所以增区间为故选：A【例3-4】(2023·江西）已知幂函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案:B解析：因为幂函数是增函数，且定义域为，由得，解得.所以实数a的取值范围是故选：B【一隅三反】1．(2023·全国·高一）幂函数在上单调递减，则实数m的值为（

）A． B．3 C．或3 D．答案:A解析：因为是幂函数，故，解得或，又因为幂函数在上单调递减，所以需要，则故选：A2．(2023·四川）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．答案:B解析：令，则或，所以函数的定义域为，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.故选：B.3．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数是偶函数，则（

）A． B． C．或 D．或答案:A解析：为幂函数，，解得：或；当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不合题意；综上所述：.故选：A.4．(2023·辽宁·高一期末）（多选）已知函数的图象经过点，则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于原点对称C．单调递减区间是 D．在内的值域为答案:BD解析：将点代入，可得，则，因为，故的图象不经过点(2，4)，A错误；根据反比例函数的图象与性质可得：的图象关于原点对称,单调递减区间是和，在内的值域为，故BD正确，C错误.故选：BD.5．(2023·广西钦州·高一期末）（多选）若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:BD解析：因为函数是幂函数，所以，解得：或，当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意，故选：BD.考点四幂函数的图像【例4】(2023·全国·高一单元测试）图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、答案:D解析：由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D.【一隅三反】1．(2023·全国·高一课时练习）若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（

）A．； B．，；C．，； D．，．答案:B解析：由图象知；在上递增，所以，由的图象增长的越来越慢，所以，在上递减，所以，又当时，的图象在的下方，所以，故选：B2．(2023广东）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（

）A． B．C． D．答案:A解析：当时，幂函数在上单调递减，当时，幂函数在上单调递增，可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，令，分别代入，，得到，，因为，可知曲线、对应的值分别为、.故选：A.3．(2023·江苏·高一）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．答案:A解析：和在上单调递增，所以，，当时，图象在上方，所以，当时，图象在下方，所以，所以，故选：A.考点五幂函数的综合运用【例5】(2023·湖南·高一课时练习）已知幂函数在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论函数的奇偶性和单调性；(3)求函数的值域．答案:(1)或或(2)答案见解析(3)答案见解析解析：(1)依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或(2)若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；(3)若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；【一隅三反】1．(2023·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知幂函数在上为增函数.(1)求实数的值；(2)求函数的值域.答案:(1)；(2).解析：(1)由题得或.当时，在上为增函数，符合题意；当时，在上为减函数，不符合题意.综上所述.(2)由题得，令，抛物线的对称轴为，所以.所以函数的值域为.2．(2023·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．(1)求的值；(2)求满足不等式的实数的取值范围．答案:(1)(2)解析：(1)因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，解得，又因为，所以或或，当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；综上所述，.(2)由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，则由得，即，即，解得，所以满足的实数的取值范围为.3．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数满足：（1）在区间上为增函数（2）对任意的，都有，求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．答案:；值域是．解析：因为函数