第一章直流电路教案

第一章直流电路

本章将着重介绍并讨论电流和电压的参考方向及基尔霍夫定律等。

通过本章内容的学习可了解和掌握电路中的基本概念和定律，为后续分

析复杂电路打下一个基础。

1.1电路的组成和基本物理量

1.1.1实际电路及其基本功能

实际电路的结构组成包括：电源、负载和中间环节。其中电源的作

用是为电路提供能量，如发电机利用机械能或核能转化为电能，蓄电池

利用化学能转化为电能，光电池利用光能转化为电能等；负载则将电能

转化为其他形式的能量加以利用，如电动机将电能转化为机械能，电炉

将电能转化为热能等；中间环节用作电源和负载的联接体，包括导线、

开关、控制线路中的保护设备等。如图1T中的白炽灯照明电路。图1-2

是图1T的电路模型。

口R

电路的作用可以概括为以下两个方面：一是实现电能的传输和转

换，将电能转化为光能和热能等，二是实现信号的传递和处理。

1.1.2电路的基本物理量

电路中的基本物理量包括电流、电压和功率及其相关的概念。

1电流及其参考方向

电荷的定向移动形成电流。习惯上规定正电荷的移动方向为电流的方向

(事实上，金属导体内的电流是由带负电的电子的定向移动产生的)。

电流的大小为单位时间内通过导体横截面的电量，用公式表示即

dr

336

量纲：安培(A)lkA=10A；lmA=10^A；l^A=10-Ao

前面提到的电池提供的就是直流电流，通常直流电流用大写字母I表示,

而随时间变化的电流用小写字母i表示。

电流的参考方向(referencedirection)：是一种任意的选定的方向，

当i>0时参考方向与实际方向一致，当i<0时参考方向与实际方向相反。

2电压及其参考方向

电压也称电位差(或电势差)，定义为电场力将单位正电荷由点a移动

到点b所做的功。电路中a、b两点间的电压用Uab表示，即

Unab,二一W

q

量纲：伏特(V)lkV=103V；lmV=10-3V；lgV=10-6Vo

电路中，电压的实际方向定义为电位降低或称电压降的方向，可用极性

“+”和“-”表示，其中“+”表示高电位，“-”表示低电位；也可用

双下标表示，如Uab表示电压的方向由a到b。电源电动势的实际方向，

规定为从电源内部的“-”极指向“+”极，即电位升高的方向。

电压的参考方向(referencedirection)：是一种任意的选定的方向，

当u>0时参考方向与实际方向一致，当u<0时参考方向与实际方向相反。

如果不特别指出，书中电路图上所标明的电流和电压方向都为参考方

向。当电流、电压的参考方向一致时，称为关联方向；否则为非关联方

向。

3电位及其计算

电位：电路中某点与参考点之间的电压称为该点的电位。

电位的计算；计算电路中各点电位时，一般选定电路中的某一点作参考

点（referencenode）,规定参考点的电位为0,并用，表示，称为接

地（并非真与大地相接），电路中其他各点的电位等于该点与参考点之

间的电压。

4电动势

衡量电源的电源力大小及其方向的物理量叫做电源的电动势。

电动势通常用符号E或e（t）表示，E表示大小与方向都恒定的电动势（即

直流电源的电动势），e（t）表示大小和方向随时间变化的电动势，也可

简记为e。电动势的国际单位制为伏特，记做V。

电动势的大小等于电源力把单位正电荷从电源的负极，经过电源内部移

到电源正极所作的功。如设W为电源中非静电力（电源力）把正电荷量q从

负极经过电源内部移送到电源正极所作的功，则电动势大小为

q

电动势的方向规定为从电源的负极经过电源内部指向电源的正极，即与

电源两端电压的方向相反。

1.1.3电功率和电能

1、电功率

电功率（简称功率）所表示的物理意义是电路元件或设备在单位时间内

吸收或发出的电能。两端电压为U、通过电流为I的任意二端元件（可推

广到一般二端网络）的功率大小为

P=UI

功率的国际单位为瓦特（W）,常用的单位还有毫瓦（mW）、千瓦（kW）,它

们与W的换算关系是

1mW=10-3W；1kW=103W

吸收或发出：一个电路最终的目的是电源将一定的电功率传送给负载，

负载将电能转换成工作所需要的一定形式的能量。即电路中存在发出功

率的器件（供能元件）和吸收功率的器件（耗能元件）。

习惯上，通常把耗能元件吸收的功率写成正数，把供能元件发出的功率

写成负数，而储能元件（如理想电容、电感元件）既不吸收功率也不发出

功率，即其功率P=Oo

通常所说的功率P又叫做有功功率或平均功率。

2、电能

电能是指在一定的时间内电路元件或设备吸收或发出的电能量，用符号

W表示，其国际单位制为焦尔（J）,电能的计算公式为

W=P.t=Ult

通常电能用千瓦小时（kW•h）来表示大小，也叫做度（电）：

1度（电）=1kW-h=3.6x106Jo

即功率为1000W的供能或耗能元件，在1小时的时间内所发出或消耗的

电能量为1度。

常用理想元件及符号

名称符号名称符号

电阻0-------CZZJ--------O电压表O——（V）——O

电池O---------1|----------O接地-J—或-L

电灯O---------------------O熔断器O-------日------O

开关O-------O电容O---------II----------O

0------

电流表O。电感o

1.2电阻

本节讨论电阻元件的伏安特性及其连接。

1.2.1电阻元件

电阻元件是对电流呈现阻碍作用的耗能元件，例如灯泡、电热炉等电器。

电阻定律：飞

p——制成电阻的材料电阻率，国际单位制为欧姆・米g-m)；

/——绕制成电阻的导线长度，国际单位制为米(m)；

S——绕制成电阻的导线横截面积，国际单位制为平方米(m》；

R——电阻值，国际单位制为欧姆(Q)。

经常用的电阻单位还有千欧(k。)、兆欧(MQ),它们与。的换算关系

为

1kQ=103。；1MQ=106Q

1.2.2电阻与温度的关系

电阻元件的电阻值大小一般与温度有关，衡量电阻受温度影响大小的物

理量是温度系数，其定义为温度每升高1冤时电阻值发生变化的百分数。

如果设任一电阻元件在温度tl时的电阻值为R1,当温度升高到t2时电阻

值为R2,则该电阻在tl~t2温度范围内的(平均)温度系数为

R2-Rl

a=

与“2-八）

如果R2>R”则a>0,将R称为正温度系数电阻，即电阻值随着温度

的升高而增大；如果R2<R”则a<0,将R称为负温度系数电阻，即

电阻值随着温度的升高而减小。显然a的绝对值越大，表明电阻受温

度的影响也越大。

1.2.3电阻的联结八&旦4c

1、电阻的串联

设总电压为U、电流为I。

1.等效电阻：R=R1+R2+…+Rn

2.电压关系:U=U(+U2+…+Un

3.电流关系:I=Ii=12=…=In

2、电阻的并联

设总电流为I、电压为U。

1.等效电导：G=Gi+Gz+…+Gn

11+1+,••+1

即R&«2R.

2.电压关系：U=Ui=U2=…=Un

3.电流关系：I=Ii+L+…+In

3、电阻的混联

分析步骤

在电阻电路中，既有电阻的串联关系又有电阻的并联关系，称为电阻混

联。对混联电路的分析和计算大体上可分为以下几个步骤:

首先整理清楚电路中电阻串、并联关系，必要时重新画出串、并联关系

明确的电路图；

利用串、并联等效电阻公式计算出电路中总的等效电阻；

利用已知条件进行计算，确定电路的总电压与总电流；

根据电阻分压关系和分流关系，逐步推算出各支路的电流或电压。

1.3欧姆定律及应用

1.3.1部分电路欧姆定律

电阻元件的伏安关系服从欧姆定律，即

U=RI或I=U/R=GU

其中G=1/R,电阻R的倒数G叫做电导，其国际单位制为西门子（S）。

1.3.2闭合电路欧姆定律

闭合电路欧姆定律的数学表达式为

P

E=RI+U或1=

R+r

其中r表示电源的内部电阻，R表示电源外部联接的电阻（负载）。

R£■

外电路两端电压U=RI=E-ri=R+r,显然，负载电阻R值越大，

其两端电压U也越大；当R»r时（相当于开路），贝网=E；当R«r时

（相当于短路），则U=0,此时一般情况下的电流（I=E/r）很大，电源

容易烧毁。

1.4基尔霍夫定律

基尔霍夫定律是电路中的基本定律，不仅适用于直流电路也适用于交流

电路。它包括基尔霍夫电流定律(Kirchhoff'scurrentlaw)简称KCL

和基尔霍夫电压定律(Kirchhoff'svoltagelaw)简称KVL。基尔霍

夫电流定律是针对节点的，基尔霍夫电压定律是针对回路的。

1.4.1几个概念

在具体讲述基尔霍夫定律之前，我们以下图为例，介绍电路中的几个基

本概念。

1.支路：电路中的每一分支称为支路，一十

条支路流过一个电流。图中共有6条支路，

分别是ab、bc>cd、da、ac、db0

2.节点：电路中三条或三条以上支路的连

接点称为节点。图中共有4个节点，分别是节点a、节点b、节点c和节

点d。

3.回路：电路中的任一闭合路径称为回路。图中共有7条回路，分别

是abda、dbcd、adca^abdca、adbca、abcda>abca。

4.网孔：电路中无其他支路穿过的回路称为网孔。图中共有3个网孔,

分别是abda、dbcd、adca。

1.4.2基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律(KCL)指出：对于电路中的任一节点，任一瞬时流

入(或流出)该节点电流的代数和为零。我们可以选择电流流入时为正,

流出时为负；或流出时为正，流入时为负。电流的这一性质也称为电流

连续性原理，是电荷守恒的体现。KCL用公式表示为

£I入+EI出=0

上式称为节点的电流方程。由此也可将KCL理解为流入某节点的电流之

和等于流出该节点的电流之和。即：£1入=21出

KCL不仅适用于电路中的任一节点，也可推广到包围部分电路的任一闭

合面（因为可将任一闭合面缩为一个节点）。可以证明流入或流出任一

闭合面电流的代数和为0。

1.4.3基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律（KVL）指出：对于电路中的任一回路，任一瞬时沿该

回路绕行一周，则组成该回路的各段支路上的元件电压的代数和为零。

可任意选择顺时针或逆时针的回路绕行方向，各元件电压的正、负与绕

行方向有关。一般规定当元件电压的方向与所选的回路绕行方向一致时

为正，反之为负。KVL用公式表示为

XU=0

上式称为回路的电压方程。注意当你选择了某一个回路时，在回路内画

一个环绕箭头，表示你选择的回路的绕

行方向。下图中，我们在两个网孔中分

忆

别选择了顺时针和逆时针的绕行方向。

3HCa200V

其意义为，在直流电路里，KVL又可以

表述为回路中电阻的电压之和（代数和）等于回路中的电源电动势之和。

注意应用KVL时，首先要标出电路各部分的电流、电压或电动势的参考

方向。列电压方程时，一般约定电阻的电流方向和电压方向一致。

KVL不仅适用于闭合电路，也可推广到结构不闭合电路。

1.4.4支路电流法

以各支路电流为未知量，应用基尔霍夫定律列出节点电流方程和回路电

压方程，解出各支路电流，从而可确定各支路（或各元件）的电压及功率,

这种解决电路问题的方法叫做支路电流法。对于具有b条支路、n个节点

的电路，可列出（n-1）个独立的电流方程和b-（n-1）个独立的电压

方程。

第二章单相正弦交流电路

2.1单相正弦交流电路的基本概念

2.1.1直流电和交流电

直流电：大小和方向都不变的电量（电动势、电压或电流）。

交流电：大小及方向都随时间做周期性变化的电量（电动势、电压或电

流）。

脉动直流电：方向不变，大小周期变化的的电量（电动势、电压或电流）。

2.1.2正弦量介绍

正弦量：随时间r按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在

某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i、

u表示。

周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。周期T：每一个瞬

时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S）；频率f：是每秒中周

期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz）。显然，周期和频率互为倒数，

即f=l/T。

交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。可见，正弦量不仅是

周期量，而且还是交变量。

2.1.3正线交流电动势的产生一交流发电机简介

发电机的基本组成部分是磁极和线圈（线圈匝数很多，嵌在硅钢片制成

的铁心上，通常叫电枢）。电枢转动、而磁极不动的发电机，叫做旋转

电枢式发电机。磁极转动、而电枢不动，线圈依然切割磁感线，电枢中

同样会产生感应电动势，这种发电机叫做旋转磁极式发电机。不论哪种

发电机，转动的部分都叫转子，不动的部分都叫定子。

旋转电枢式发电机，转子产生的电流必须经过裸露着的滑环和电刷引到

外电路，如果电压很高，就容易发生火花放电，有可能烧毁电机。这种

发电机提供的电压一般不超过500Vo旋转磁极式发电机克服了上述缺

点，能够提供几千伏到几十千伏的电压，输出功率可达几十万千瓦。所

以，大型发电机都是旋转磁极式的。

发电机的转子是由蒸汽机、水轮机或其他动力机带动的。动力机将机械

能传递给发电机，发电机把机械能转化为电能传送给外电路。

2.1.4正弦交流电的三要素：幅值、角频率、初相位

1、幅值、有效值、瞬时值

在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而规定一个能够表

征其大小的特定值一一有效值，其依据是交流电流和直流电流通过电阻

时，电阻都要消耗电能（热效应）。

设正弦交流电流i（t）在一个周期T时间内，使一电阻R消耗的电能为QR,

另有一相应的直流电流I在时间T内也使该电阻R消耗相同的电能，即QR=

2

IRTO

就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流（i与D是等效的，则该直流

电流I的数值可以表示交流电流i⑴的大小，于是把这一特定的数值I称

为交流电流的有效值。理论与实验均可证明，正弦交流电流，的有效值I

等于其振幅（最大值）Im的0.707倍，即

/=^=0.707/m

V2

正弦交流电压的有效值为

U=%=0.707（7,,,

V2

正弦交流电动势的有效值为

E

E=-^=0.7074

V2

2、周期、频率、角频率

周期：正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期，用字母T表

示，单位为秒（s）。显然正弦交流电流或电压相邻的两个最大值（或相邻

的两个最小值）之间的时间间隔即为周期，由三角函数知识可知

CO

频率：交流电周期的倒数叫做频率（用符号f表示），即

它表示正弦交流电流在单位时间内作周期性循环变化的次数，即表征交

流电交替变化的速率（快慢）。频率的国际单位制是赫兹（Hz）。

角频率：表示正弦交流电在单位时间内变化的弧度数，它与频率之间的

关系为

co=2nf

3、相位、初相位、相位差

任意一个正弦量y=Asin（cot+（p0）的相位为（cot+（p0）,本章只涉及

两个同频率正弦量的相位差（与时间t无关）。设第一个正弦量的初相为

（p01,第二个正弦量的初相为（p02,则这两个正弦量的相位差为

（pl2=（p01-（p02

并规定

|^12|<180°或同2〔£兀

在讨论两个正弦量的相位关系时：

（1）当q>12>0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位越前（或超

前）（pl2；

（2）当（pl2<。时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位滞后（或落

后）I<pl21；

（3）当（pl2=。时，称第一个正弦量与第二个正弦量同相；

（4）当（p12=±n或±180。时，称第一个正弦量与第二个正弦量反相；

=+二

（5）当以-一万或土90。时，称第一个正弦量与第二个正弦量正交。

我国工业和民用交流电源电压的有效值为220V、频率为50Hz,因而通

常将这一交流电压简称为工频电压。

因为正弦交流电的有效值与最大值（振幅值）之间有确定的比例系数，所

以有效值、频率、初相这三个参数也可以合在一起叫做正弦交流电的三

要素。

2.1.5正弦量的相量表示法

1、相量

可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复

指数函数一一对应起来，而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效

值(最大值)和初相结合成一个复数表示出来的。运用相量进行正弦稳

态电路的分析和计算，可同时将正弦量(最大值)的有效值和初相计算

出来。有效值(最大值)上方加的小圆点是用来与普通复数相区别的记

号，在数学运算上与一般复数的运算并无区别。

相量既然是复数，它也可以在复平面上用一条有向线段表示。如下图所

示为正弦电流i=V^Isin(cot+H)的相量，其中叫＞0。相量/的长度

是正弦电流的有效值I,相量/与正实轴的夹角是正弦电流的初相。这种

表示相量的图称为相量图。为了简化起见，相量图中不画出虚轴，而实

轴改画为水平的虚线，如下图所示。/

1=1乙甲、

同频率正弦量的相量运算

同频率正弦量的加减法

(pui=(-30°)-(+60°)=-9o°,即"比i滞后90。，或让匕"超前90。。

例如正弦交流电流i=2sin(cot-30°)A的有效值I=2x0.707=1.414

A,如果交流电流i通过R=10Q的电阻时，在一秒时间内电阻消耗的

电能(又叫做平均功率)为P=I2R=20W,即与I=1.414A的直流电

流通过该电阻时产生相同的电功率。

我国工业和民用交流电源电压的有效值为220V、频率为50Hz,因而通

常将这一交流电压简称为工频电压。

因为正弦交流电的有效值与最大值(振幅值)之间有确定的比例系数，所

以有效值、频率、初相这三个参数也可以合在一起叫做正弦交流电的三

要素。

三、相位和相位差

任意一个正弦量y=Asin(m+仰)的相位为(加+例)，本章只涉及两个同频率正弦量的相位

差(与时间f无关)。设第一个正弦量的初相为仰|，第二个正弦量的初相为例2,则这两个正弦量

的相位差为

(P12二例1一例2

并规定

MM4180°或|。12|4兀

在讨论两个正弦量的相位关系时：

(1)当82>0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位越前(或超前)劭2；

(2)当团2<0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位滞后(或落后)1例21；

(3)当g2=0时，称第一个正弦量与第二个正弦量同相，如图7-l(a)所示；

(4)当矽2=土兀或±180。时，称第一个正弦量与第二个正弦量反相，如图7-l(b)所示；

(5)当劭2=±^或±9。°时，称第一个正弦量与第二个正弦量正交。

2.2电路定律的相量形式

1.KCL的相量形式

m

y

KCL时域形式iik=0

2.KVL的相量形式

在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为

mtn

y.y.

*=iumk=0*=iUk=0

式中Umk、Uk为回路中第k条支路的电压相量。

必须强调指出，KCL、KVL的相量形式所表示的是相量的代数和恒等于零,

并非是有效值的代数和恒等于零。

2.3R、L、C的相量模型

在正弦稳态电路中，三种基本电路元件R、L、C的电压、电流之间的关

系都是同频率正弦电压、电流之间的关系，所涉及的有关运算都可以用

相量进行，因此这些关系的时域形式都可以转换为相量形式。

2.3.1正弦交流电路中的电阻元件

1.伏安特性一、

也⑺

£-------1---------=£>

+W)

在电压和电流的参考方向关联时，电阻R的伏安关系的时域形式

uR(t)=RiR(t)

则在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为

UR=RIRURm—RIRin

线性电阻购相量电路、相量图如下。

/RR

0；------------------------zp

UR

2.功率：

①瞬时功率：

由于瞬时功率P是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定的，因此当流

过电阻R的电流为iR(t)=IRmsin(①t+中i)时,电阻所吸收的瞬时功率

为

PR⑺="R⑺£⑺

=^RmCOS(初+6)，RmCOS(Mt+弘)

=2UR/Rcos，血+9)

=[/4+〃&COS(2M+%)>0

常量两倍于原频率的正弦量

可以看出，电阻吸收的功率是随时间变化的，但pR始终大于或等于零，

表明了电阻的耗能特性。上式还表明了电阻元件的瞬时功率包含一个常

数项和一个两倍于原电流频率的正弦项，即电流或电压变化一个循环

时，功率变化了两个循环。瞬时功率的波形图如下图所示。

②平均功率：

瞬时功率在一周期内的平均值称为平均功率，记为P，即

1rT19

&~J()PR⑴出=UR/R=^/血/〜=MR

在正弦稳态电路中，我们通常所说的功率都是指平均功率而言。平均功

率又称为有功率。它们的单位为W。

2.3.2正弦交流电路中的电感元件

1.伏安特性

O__V_______o

+以⑺一

当电压和电流参考方向关联时，电感L伏安关系的时域形式为

电压、电流的最大（有效）值之间符合欧姆定律。

感抗值心人

冗

匕=^i+-

电压超前电流90

ULm=jCOLI

Ulf

伏安关系的相量形式

上述式表明：

★在正弦电流电路中，线性电感的电压和电流在瞬时值之间不成正比，

而在有效值之间、相量之间成正比。

★此时电压与电流有效值之间的关系不仅与L有关，还与角频率3有关。

当L值不变，流过的电流值IL一定时，3越高则UL越大；（0越低则UL越小。

当3=0（相当于直流激励）时，UL=0,电感相当于短路。

★在相位上电感电压超前电流90。。

线性电感的相量电路如下。

线性电感中正弦电压和电流的相量图图(a)所示。

2,功率：

①瞬时功率：

当电感两端的电压为uL(t)=V2(jLcos(ot,流过电感的电流为iL(t)=

V2ILcos(cotf/2)时-，则瞬时功率为

pL(t)=uL,iL=2ULILcoscotsincot

=ULILsin2(ot

正弦稳态电路中电感元件瞬时功率的波形图如下图所示。

瞬时功率pL(t)仅为一个两倍于原电流频率的正弦量，其平均值为零，

即

PL=0

也即在正弦电流电路中，电感元件不吸收平均功率。

③无功功率：

为了描述电感元件与外部能量交换的规模，引入无功功率的概念。电感

元件与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率的振幅)定义为无功功率

Q.UJ.单位(Var)

④能量

电感元件的瞬时能量则为

11

WL(t)=2LiL2(t)=2L(V2ILsincot)2=2LIL2(l-cos2(ot)

电感贮能的平均值

WL=2LIL2

由电感的功率及其能量的波形图看出，当pL>0时，电感吸收能量，其

贮能增长；当pLVO时，电感输出能量，其贮能减少。而电感的贮能在0

与LIL2之间变动。在正弦稳态电路中，电感元件与外部电路总间不断进

行能且交换的现象，是由电感的贮能本质所确定的。

2.3.3正弦交流电路中的电容元件

1.伏安关系

ic⑺

当电压和电流参考方向关联时，电容c的伏安关系的时域形式为

i=C皿

（dt

当正弦电压%。）=4mCOS（W+K）加于电容C上时，

u

=C："C⑺=C4cmsin（胡+匕）

atat

=oCUcmSin3+k+g

=4msin（"+〃i）

可见

ICm=coCUCm

l

^Cm=~~C'

（DCm

Ur=—/r

/C。J电流最大（有效值）之间也符合欧姆定律。

°Cm=1|xI

Ak公°一容抗值

71

%=^u+-

9=X，i=_

%滞后"c90

%⑴=Ucm=Ucm"

(/)=/cm=/Z%=90

icCmcocUCmZ.匕,+=ycoCUcm

/cm=jCOCUCm

UCm=--------ICm=-J--------ICm

切。沅伏安关系的相量形式

线性电容的相量电路如下。

.1

g-J-

/COC

；caL—~~=°

C的相量模型

线性电容中正弦电压和电流的相量图如图(a)所示o

(a)

2.功率

①瞬时功率：

当电容两端的电压为uC(t)=UCmcoscot,流过电容的电容iC(t)=ICm

COS(3t+7T/2)时，则瞬时功率为

pC(t)=uCiC=—2UCICsincotcoscot=-UCICsin2cot

正弦稳态电路中电容瞬时功率的波形图如下图所示。

电容元件的平均功率

1=44>。吸收无功功率

Qc=­UcIc<0发出无功功率

④能量

电容元件的瞬时能量则为

WC(t)=(C/2)uC2(t)=(C/2)(上UCcoscot)2

=(C/2)UC2(l+cos2cot)

其波形图如下图所示。电容贮能的平均值

WC=(C/2)UC2

由电容的功率及其能量的波形图看出，当pCVO时，电容输出能量，其

贮能减少；当pC>0时，电容吸收能量，其贮能增长。而电容的贮能在0

与CUC2之间变动。在正弦稳态电路中，电容元件与外部电路不断进行能

量交换的现象，也是由电容的贮能本质确定的。

2.4正弦稳态电路分析

3.4.1复阻抗

1.定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比

g

U

定义为该二端网络的阻抗，记为Z.

gg

注意：此时电压相量U与电流相量/的参考方向向内部关联。

U=u%

/“网(复数)阻抗Q)

=|Z|N%=H+jX

其中国=79)一阻抗z的模，即阻抗的值。I，/

/=匕一弘一阻抗Z的阻抗角/

7?=|Z|cos%(Q)—阻抗Z的电阻分量阻般角形

X=|Z|sin%(C)—阻抗Z的电抗分量

电阻元件的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的

相量形式为/RR

?—-----二

UR

UR=RIR

则/R

电感元件的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相

量形式为

IL

q=----------------工

UL

U-■■

ZL=j«L=^-jXL

则/L

电容的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量

形式为

.1

L一，嬴

;‘LH2

Ic^jcoCUc

zc=-j—=—!jxc丫i

则3ciccoC一容抗

欧姆定律的相量形式再Z/

2.电阻、电感、电容的串联阻抗

在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻

抗4g

1ZRZL

QF-/YY\

g

u士Zc

7UZI+ZI+ZI777

RLC

Z叫=一=>—————=zR+zL+zc

]

=R+ja)L+-—=R+jXL+jXc=R+jX

jo)C

=|z|/%

其中：阻抗z的模为\Z\=>IR2+X2

+

XX,XCCOL-\/MC

阻抗角分别为仁…g五R一=：一—0

可见，电抗X是角频率3的函数。

当电抗X>O（3L>1/3C）时，阻抗角（pZ>0,阻抗Z呈感性；

当电抗XVO（3LV1/3C=0^,阻抗角（pZ<。，阻抗Z呈容性；

当电抗X=0（3L=l/coC）时，阻抗角（pz=。，阻抗z呈阻性。

3.串联阻抗分压公式：

引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比,

不难得知，若一端口正弦稳态电路的各元件为串联的，则其阻抗为

z=£k=\z*

串联阻抗分压公式

Uk=^~U

G=|y|cos0Y（s）—导纳Y的电导分量

B=Msm外（s）—导纳丫的电纳分量

Yc

团

导纳三角形

可见，同一二端网络的Z与Y互为倒数

特例：

%」=GZR

电阻的导纳R

电容的％==zcBC电容的电纳，简称容纳。

Y.=-j—=jB,Z,

电感的BL称为电感的电纳，简称感纳;

2.欧姆定律的另一种相量形式

UYU

若一端口正弦稳态电路的各元件为并联的，则其导纳为

y=±Y.

*=|

并联导纳的分流公式：

%

注意：两个电阻的并联与两个阻抗的并联对应

R^2=Z^

=R、+R>=4+Z]

一般情况下，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正

弦稳态电路的等效阻抗Z(j3)是外施正弦激励角频率3的函数，即

Z(jco)=R(co)+jX(co)

式中R(co)=1^[26€0)]称为2。3)的电阻分量，X(co)=Im[Z(jco)]称为

Z(jQ的电抗分量。式中电阻分量和电抗分量都是角频率3的函数。所

1

coC

以，要注意到电路结构和R、L、C的值相同的不含独立源的正弦稳态电

路，对于角频率3不同的外施正弦激励而言，其等效阻抗是不同的。如

下图电路的等效阻抗

R1①L

Zeq=T~~：~~7+J=-----------十(一j-

R+)①LcoCR+(coL)a)C

_R(叫之["L__1_'

一内+(叫2+J[斤+包)2.茄

=R(M+jX(co)

3.4.2简单正弦稳态电路的分析、相量图

例1:已知：%⑺n^^QcosSOOOrV,求：i«),

1.5kQ

1.5kQ

，L⑺icQ)

()Us

=1/6PF

解：将电路转化为相量模型

ZL=j&L=j3000x；=jlk。

1

Zc~J---------i--------=—j2k。

3000X-X10-6

6

(l-2j)-jl”2+jl_(2+jl)(l+jl)

Zeqr1.J-r1.Js-+1.5=2+jl.5k。=2.5Z36.9攵Q

(l-j2)+jl1-jl2

=-4°/0-=162—36.9mA

Zeq2.5Z36.9

——/=^-/=2/90X16Z_36.9=8&N98.1mA

(l-j2)+jl1-jl72Z-45

—/=/-/c=25.3N-55.3mA

(l-j2)+jl

z(r)=16>/2cos(3000z-36.9)mA

zc(r)=16cos(3000/4-98.1)mA

^(r)=25.3x/2cos(3(XX)r-55.3)mA

例2：已知：U=100V,I=5A,且。超前/53.1,求RXL

解法］:令/=5N0A,则U=100N53.1V

U100Z53.1

=20/53.1=12+jl6Q

&,=12QXf（7=16Q

RX；

R2+X：

R'XL

XL=25c

R2+X：

解法2:令U=l（）0N0一纯实数,

贝『=5N—53.1A=3-j4A

八U100Z0100小

R=—

IR

U100Z0

=j25。

例3：已知/C=2A,/R=0A,XL=100Q,且U与/c同相，求u=?

jXc/c

解代数法：令/R=>/^NOA,则UR=R0NOV

空―迪A

/L

jXL100

IR+IL

2=/⑸+*

/?=10()0

UR=1000/0VII——jV2A7c=/R+/L=X/2Z-45A

RjXU

Zeq=jXc+

H+jXLIc

jXc+50+j50=—

Ic

u与/c同相•1-Im[zeq]=o即Xc+50=。贝|jXc=-50C

U=]XCIC+UR=-j50x2Z-45+1000=50夜-j50夜=100N-45V

U=100V

在正弦稳态电路分析和计算中，往往需要画出一种能反映电路中电压、

电流关系的几何图形，这种图形就称为电路的相置图。与反映电路中电

压、电流相量关系的电路方程相比较，相量图能直观地显示各相量之间

的关系，特别是各相量的相位关系，它是分析和计算正弦稳态电路的重

要手段。通常在未求出各相量的具体表达式之前，不可能准确地画出电

路的相量图，但可以依据元件伏安关系的相量形式和电路的KCL、KVL方

程定性地画出电路的相量图。在画相星图时一，可以选择电路中某一相量

作为参考相量，其它有关相量就可以根据它来确定。参考相量的初相可

任意假定，可取为零，也可取其它值，因为初相的选择不同只会使各相

量的初相改变同一数值，而不会影响各相量之间的相位关系。所以，通

常选参考相量的初相为零。在画串联电路的相量图时，一般取电流相量

为参考相量，各元件的电压相且即可按元件上电压与电流的大小关系和

相位关系画出。在画并联电路的相量图时，一般取电压相量为参考相量,

各元件的电流相置即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画

出。

3.4.3正弦稳态电路的功率

1.瞬时功率

如图所示的任意一端口电路NO,在端口的电压u与电流i的参考方向对电

路内部关联下，其吸收瞬时功率

p(O=w(r)-/(O

若设正弦稳态一端口电路的正弦电压和电流分别为

w(f)=y/2Ucoscoti(t)=Olcos(cot-

式中为正弦电压的初相位，

弘二一伊为正弦电流的初相位，

匕=%一-=。为端口上电压与电流的相位差。

则在某瞬时输入该正弦稳态一端口电路的瞬时功率为

则P(^)=V2t/coscot->/2/cos(<yr-(p)

-UI[cos(P+COS(269t-(p)\

=UIcos(p+UIcos(2tyt-(p)

常量两倍于原频率的正弦量

=UIcos(p+UIcos269/cos(p+UIsin2cotsin(p

=UIcos0(1+cos2691)+UIsin2cotsin(p

不可逆部分"⑺Q°)可逆部分心⑺

2.平均功率

]T

-£pQ)dt=UIc°s(p

可见：1.P是一个常量，由有效值U、I及（夕=匕一-）三者乘积确

定，量纲：W

2.当P＞0时，表示该一端口电路吸收平均功率P；当PVO时，表示该一

端口电路发出平均功率IPl。

3.单一无源元件的平均功率：PR=UI,4=0,

0<夕<90感性

＞P＞0

—90<(p<0容性,始终消耗功率。

3.无功功率

正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率（即瞬时功率可逆

部分的振幅）定义为无功功率Q,即

QUIsm（p

可见：1.Q也是一个常量，由U、I及sin。三者乘积确定，量纲：乏（Var）

2.QR=。，2="，/

0＜。＜9。。＞。吸收无功功率

-90＜。＜0Q＜0发出无功功率

1.3.2电感元件

电感(Inductance)元件是一种能够贮存磁场能量的元件，是实际电感

器的理想化模型，单位是亨利(H)。

伏安特性

dt

关联参考方向非关联参考方向

只有电感上的电流变化时，电感两端才有电压。在直流电路中，电感上

即使有电流通过，但U=0,相当于短路。

W=-Li2

存储能量

1.3.3电容元件

电容(Capacitance)元件是一种能够贮存电场能量的元件，是实际电

容器的理想化模型，单位是法拉（F）。

符号

伏安特性

i"

dt

^du

i=-C—

dt

关联参考方向非关联参考方向

只有电容上的电压变化时，电容两端才有电流。在直流电路中，电容上

即使有电压，但i=0,相当于开路，即电容具有隔直作用。

W=-Cu2

存储能量2

1.4电压源和电流源

独立电源指电源输出的电压（电流）仅由独立电源本身性质决定与电路

中其余部分的电压（电流）无关。

［电压源

分类［电流源

1.4.1电压源

1.理想电压源：若一个二端元件输出电压恒定则称为理想电压源。

①电路符号

e_*1-a：~~G-1

②基本性质G".⑺

输出电压厘定,+和50

Q

外电啊AU/Rl0

其流过的电流由外叶

电路决定^----*----

I工L

RR

③伏安曲线

2.实际电压源

若一个二端元件所输出的电压随流过它的电流而变化就称为实际电流

源。

①电路模型

②伏安特性

u=iRs+us

③三种工作状态

a.力口载u=us-Rsi

b.开路i=0uoc=us（uoc开路电压）

c.短路u=0isc=us/R（isc短路电流）

1.4.2电流源

理想电流源

若一个二端元件的输出电流恒定时，则称为理想电流源.

①电路符号

4(0(4)

②基本性质

a.输出电流恒定和外电路无关

U=RI=RI,

b.其端电压由外电路确定

③伏安曲线

实际电流源

若一个二端元件所输出的电流随其端电压变化而变化称为实际电流源.

①电路模型

②伏安特性

i=is-us/Rs=is-Gsu

③三种工作状态

加载i=is-u/Rs

短路u=0,isc=-is

开路i=0,uoc=Rsis

1.5受控电源

前面提到的电源如发电机和电池，因能独立地为电路提供能量，所以被

称为独立电源(independentsource)。而有些电路元件，如晶体管、运

算放大器、集成电路等，虽不能独立地为电路提供能量，但在其他信号

控制下仍然可以提供一定的电压或电流，这类元件被称为受控电源

(dependentsource)。受控电源提供的电压或电流由电路中其他元件(或

支路)的电压或电流

控制。受控电源按控制量和被控制量的关系分为四种类型：电压控制电

压源(VCVS)、电流控制电压源(CCVS)、电压控制电流源(VCCS)、电

流控制电流源(CCCS)。

1.电压控制电压源(VCVS)2.电流控制电

压源(CCVS)

|i(无纲量)一电压放大倍数r一转移电阻,

电阻量纲

3.电压控制电流源(VCCS)4.电流控制电

流源(CCCS)

1/]=0122

2'

12'

g—电导量纲B一无纲量，电

流放大倍数

注意：判断电路中受控电源的类型时，应看它的符号形式，而不应以它

的控制量作为判断依据.图『6所示电路中，由符号形式可知，电路中

的受控电源为电流控制电压源，大小为101,其单位为伏特而非安培。

aRD段

+r~np-n+

6vb帆＜匆

图1-6含有受控源的电路

图1-10结构不闭合电路

例题求图示电路中的电流I1、I2

【解】选择回路1的绕行方向如图所示，列节点a的电流方程

II1210

列回路1的电压数值方程

308113120

解上面两个方程得

I13A122A

例题1-2已知u=4.9V,求us=?

【解】

us=6xz+0.1x0.002

4Q

0.98=—=>z=lA

5

us=6.002V

1.7电功率和电位的计算

除了电压和电流两个基本物理量外，还需要知道电路元件的功率。

1.7.1电功率

电路中，单位时间内电路元件的能量变化用功率表示，即

/、△dw(Z)dvv(r)dq,、./、

P«)=——=——•—=•，⑺

瞬时功率dfdqdt(关联参考方向下成立)

其中p表示功率。国际单位制中，功率的单位是瓦特(W),规定兀件1秒

钟内提供或消耗1焦耳能量时的功率为1W0常用的功率单位还有千瓦

(kW)。关联方向下，如果P>0,表明元件吸收或消耗功率，称该元

件为负载；如果P<0,表明元件发出功率，称该元件为电源。非关联

方向下的结论与此相反。

电功率的计算

P=5x2=10W（吸收）

下面我们通过图所示电路中的四种情况来具体讨论。

3A3A

0

c）非关联方向d）希关联方向

图1-11功率的计算

图a、b中，关联方向下

P43W12W>0

元件分别吸收12W的功率，均为负载。

图1-11c、d中，非关联方向下

P-43W-12W<0

元件分别发出12W的功率，均为电源。

任何电路都遵守能量守恒定律，因此无论是关联方向还是非关联方向

下，电路中元件的功率之和为0,即

Po

或者说，电路中所发出的功率等于所吸收的功率。

例题1-3求uab和uad及各段电路的功率并指明吸收发出功率

4

U1=1VI1=2A

U2=-3VI2=1A

U3=8VI3=-1A

U4=-4VU5=7V

U6=-3V

【解】：Uab=Uac+Ucb=-Ul+U2=-（l）+（-3）=-4V

Uab=U4=-3V

Pl=-UI11=-2W<0（发出）

P2=U2I1=-6W<0（产生）

P3=U3Il=16W>0（吸收）

P4=U4I2=-4W<0（产生）

P5=U5I3=-7W<0（产生）

P6=U6I3=3W>0（吸收）

通常电业部门用千瓦时测量用户消耗的电能。1千瓦时（或1度电）是

功率

为1千瓦的元件在1小时内消耗的电能。

1度电=1kWh3,600,000J

如果通过实际元件的电流过大，会由于温度升高使元件的绝缘材料损

坏，甚至使导体熔化；如果电压过大，会使绝缘击穿，所以必须加以限

制。电气设备或元件长期正常运行的电流容许值称为额定电流(rated

current),其长期正常运行的电压容许值称为额定电压(rated

voltage)；

额定电压和额定电流的乘积为额定功率(ratedpower)o通常电气设备

或元件的额定值标在产品的铭牌上。如一白炽灯标有220V40W,表示它

的额定电压为220V,额定功率为40W。

1.7.2电位的计算

前面提到电位是与电压相关的概念。分析电路时，除了经常计算电路中

的电压外，也会涉及到电位的计算。在电子线路中，通常用电位的高低

判断元件的工作状态，如：当二极管的阳极电位高于阴极电位时，管子

才能导通；判断电路中一个三极管是否具有电流放大作用，需比较它的

基极电位和发射极电位的高低。计算电路中各点电位时，一般选定电路

中的某一点作参考点(referencenode),规定参考点的电位为0,并

用，表示，称为接地(并非真与大地相接)，电路中其他各点的电位等

于该点与参考点之间的电压。

我们以图1-12为例来讨论电路中各点的电位。

图1T2电路中的电位

以。点为参考点，则Va10V

则％=匕1+%=(2+4)xlV=6V

匕=2xlV=2V

U“=九-吸=4V

若以a点为参考点，则Va=0V

%=U“=-4V

K=Us=-8V

Ube=Pb-/c=4V

由以上计算可知，参考点选的不同，电路中各点的电位也不同，但任意

两点间的电压是不变的。在电子线路中，通常将电路中的恒压源符号省

去，各端标以电位值。如图lT3a可以简化为图lT3b

-15VR.&-15V

------C=J-------------co------Q-----1~I