2021-2022学年高二数学题汇编02 圆与方程（难点）（解析版）

专题02圆与方程（难点）

一、单选题

1.（2020江苏高二期中）在平面直角坐标系xO），中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A、B,圆C

经过A、B,且圆心在y轴上，则圆C的方程为（）

A.X2+y2+6y-16=0B.x2+y2-6^—16=0

C.x2+y2+8y-9=0D.x2+y2-8y-9=0

【答案】A

【分析】

求出点A、8的坐标，设圆心坐标为（0,6）,由|AC=|BC|可求出圆心C的坐标，并求出圆的半径，由此可

求得圆C的方程.

【解析】

易知，直线x+2y-4=0交x轴于点A（4,0）,交y轴于点8（0,2）,

设圆心C的坐标为（0力），由|AC|=忸。可得“2+上诽-2],解得6=—3,

所以，圆C的半径为忸C|=|—3-2卜5,

因此，圆C的方程为f+（y+3）2=25,即为/+/+6丫_16=0.

故选：A.

【点睛】

求圆的方程，主要有两种方法：

（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的

直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时;切点与两圆心三点共线；

（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆

心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有

三个独立等式.

2.（2019•广东佛山市•佛山一中高三期中（理））已知圆C与直线x+y+3=0相切，直线/nr+y+l=0始终平

分圆C的面积，则圆C方程为（）

A.x2+y2-2y=2B.x2+y2+2y=2

C.x2+y2-2y=\D.x2+y2+2y=l

【答案】D

【分析】

计算出直线见+y+i=o所过定点的坐标，由题意得出定点是圆c的圆心，然后利用点到直线的距离公式计

算出圆c的半径长，即可得出圆c的方程.

【解析】

在直线如+y+i=o的方程中，令x=0,则y=-l,则直线皿+y+i=O过定点

山T宜线尔+y+1=0始终平分圆C的面积，则点(0,-1)是圆C的圆心，

又圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的半径r=上詈=&.

因此，圆C的方程为Y+(y+l)2=2,即/+y2+2y=l.

故选D.

【点睛】

本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求

解能力，属于中等题.

3.(2019•浙江嘉兴市•嘉兴一中高二期中)已知圆。产/+>2=1与圆。”(x-3p+(y+4)2=16,则圆Q与

圆。2的位置关系为()

A.相交B.内切C.外切D.相离

【答案】C

【分析】

先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.

【解析】

圆Oi的圆心为0(0,0),半径等于1,圆。2的圆心为(3,Y),半径等于4,

它们的圆心距等于J(0-3)2+(0+4)2=5,等于半径之和，

故两个圆相外切.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于中档题.

4.(2020•天津市咸水沽第一中学高二期中)若方程=丘+2有唯一解，则实数k的取值范围是()

A.k=±6B.k2,2)

C.4<-2或％>2D.%<—2或&>2或&=±6

【答案】D

【分析】

将问题转化为函数，(力=庐7与g(x)="+2只有一个交点，然后利用数形结合处理.

【解析】

因为方程^/1^^=履+2有唯一解，即“工人仄^与g(x)="+2的图象有唯一交点，

又f(x)表示圆心为。(0,0),半径为r=1的上半圆(包括A(-1,0)和B(bO)),而g(x)是过点C(Q2)的直线,

如图：

2「

当直线与半圆相切时，由圆心到直线的距离公式得：7寸=1，左=±石，

,2-0c,2-0c

X,,k==2,==-2,

AC0+1BC。_]

由图象可知，当％<-2或k>2或&=±百时，y(x)=Jl—d与g(x)=h+2的图象有唯一交点,

故选：D.

【点睛】

本题考查根据方程的解的个数求参数的取值范围，难度一般，考查数形结合思想的运用.

5.(2020•利川市第五中学)已知圆/+/2_2尔_(4,“+2)>+4/+4n?+I=0的圆心在直线x+y-7=0上,

则该圆的面积为

A.4乃B.2万C.冗D.

2

【答案】A

【分析】

根据圆的一般方程化为标准方程，根据直线过圆心求出见即可计算半径得面积.

【解析】

x2+y2-Itnx—（4m+2）y++4m+1=0,

z.（x-in）2+[》_（2"z+1）]2=m2,

即圆心为（m,2//2+1）,半径R=|同

・・•圆心在直线x+y-7=0上，

4-2/72+1—7=0,

即"7=2,

所以圆的半径R=2,

S=7TR?-4）.

故选：4

【点睛】

本题主要考查了圆的一般方程，圆的标准方程，圆的面积，属于中档题.

6.（2020•重庆市万州南京中学高二期中）已知圆C:（x-6）2+（y-l）2=l和两点A（f0）,的,0）。＞0）,若

圆C上存在点P,使得乙4尸8=90;，则f的取值范围是（）

A.（0,2]B.[1,2]C.[2,3]D.[1,3]

【答案】D

【分析】

根据圆心C到。（0,0）距离为2,可得圆C上的点到。（0,0）的距离最大值为3,最小值为1,再由AAPB=901

可得|PO|=；|AB|=r,从而得到答案.

【解析】

圆C:（x-石）2+（y-l）2=l的圆心c（点l）,半径为1,

因为圆心C到。（0,0）距离为2,

所以圆C上的点到。（0,0）的距离最大值为3,最小值为1,

又因为NAPB=90°,则以AB为直径的圆和圆C有交点，

可得I尸O|=g|AB|=r,

所以有1W3,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了实数值取值范围的求法，注意圆的性质的合理运用，属手中档题.

7.(2021•广西)己知回M：x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=O,P为/上的动点，过点P作!3M的

切线PAP8,切点为A,B,当最小时，直线AB的方程为()

A.2x-y-\=0B.1x+y-\=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=0

【答案】D

【分析】

由题意可判断宜线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A尸,8,M共圆，且A5_LMP,根据

归用以回=45..=4|网可知，当宜线MPJ■/时，|尸”|・|筋|最小，求出以为直径的圆的方程，根据

圆系的知识即可求出宜线A8的方程.

【解析】

|2xl+l+2|

圆的方程可化为(x-l)2+(y-l)2=4点M到直线/的距离为d==石＞2,所以直线/与圆相

离.

依圆的知识可知，四点AP,8,M四点共圆，且所以归河卜|阴=45.叩=4*9四冈4闾=4归山,

而陷=-4,

当直线时，|M4山=逃，|/训.=1,此时|PM"A8|最小.

11,

111y=—x4—X——1

0MP:y-1=—(x-1)HPy=-x+—,由1，22解得，S.

222卜x+y+2=0=°

所以以MP为直径的圆的方程为(x-i)(x+i)+y(y-i)=o,即/+/一丫-1=0,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=o,即为直线A8的方程.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力

和数学运算能力，属于中档题.

8.（2020•四川阖中中学高二期中（理））已知圆G：/+产一米+2y=0与圆C2：f+产+Q，-4=0的公共

弦所在直线恒过定点P（“，刀,且点尸在直线，火-2=0上，则>+〃2的取值范围是（）

A.（―,+°°）B.（-00,—JC.[—,+<»）D.（-℃,—）

【答案】C

【分析】

将两圆的方程相减求得两圆的公共弦方程，继而求得尸①，勿，再代入直线mx-町，-2=0,根据距离的几何意义

求解加+〃2即可.

【解析】

由题,两圆的公共弦方程为任+丁一履+2），）一任+丁+妗，—4）=0,即&（x+y）-2y-4=0,定点满足

[x+y=0（x=2/、

Lc，即。，故尸2,—2.

[2y+4=0[y=-2

又点尸在直线加""y-2=0上，故2加+2"-2=0,即〃z+"-l=0.故（加,“）的轨迹为直线x+y-1=0.又W+〃2

的几何意义为原点（0,0）到点（/77,〃）的距离d的平方.

故"+"的取值范围呜+◎.

故最小值为，=

故选：C

【点睛】

本题主要考查了圆的公共弦方程与直线过定点的问题，同时也考查了利用几何意义求解最值的问题.属于中

档题.

9.（2021•首都师范大学附属中学高二期中）几何学史上有一个著名的米勒问题："设点M、N是锐角/AQB

的一边QA上的两点，试在边Q8上找一点，使得NMPN最大”.如图，其结论是：点P为过V、N两点且和

射线。8相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系X。），中，给定两点加（-1,2）、

N（l,4）,点p在x轴上移动，当NMPN取最大值时，点P的横坐标是（)

'A

A.1B.-7C.1或-7D.2或-7

【答案】A

【分析】

根据米勒问题的结论，P点应该为过点M、N的圆与x轴的切点，可设点户的坐标为（。/），写出圆的方程,

并将点M、N的坐标代入可求出点P的横坐标.

【解析】

设圆心C的坐标为（。力）,则圆的方程为（x—ay+（y—勾2=户,

【点睛】

本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的位置关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，属于

中等题.

10.（2019•浙江杭州市•杭州外国语学校高二期中）已知直线如+y-2=0与圆心为C的圆

（》-1）2+仁-"）2=4相交于48两点，且448。为等边三角形，则实数4=

A.±¥B.+|C.I或7D.4±V15

【答案】D

【解析】

圆(x-l)2+(y-a)2=4的圆心C(l,a),半径R=2,团直线和圆相交，AABC为等边三角形，回圆心到直线的

+a-2|12a—2|厂,—

距离为Rsin60o=石即d=匕』^=石,平方得/一8。+1=0,解得a=4土后，故选D.

\Ja~+\\ja+\

11.(2021•江苏南通市•高二月考)已知点P(-2,-3)在以C(l,l)为圆心的圆C外，且圆C上的动点到点P距

离的最小值为2,直线。P与圆C交于4B两点(其中。为坐标原点)，点Q(x,y)在劣弧AB上运动，则

2y_4|+2x-3y-2的最小值为()

A.2+3&B.2-30C.1+3应D.1-3&

【答案】B

【分析】

由题意求得圆半径，=3,作出圆及直线PO,交点AI,作直线x-2y-4=0,判断出劣弧AB上点。(x,y)

的坐标代入有x-2y-4<0,可化简求值式为x-y+2,再作直线x-y+2=0,判断出在此直线上方有

x-y+2<0,下方有x-y+2>0,因此得出要取得最小值，。点在直线x-y+2=0上方，求得与之平行的

圆的切线方程可得结论.

【解析】

22

|PC\=A/(1+2)+(1+3)=5,因为圆C上的动点到点P距离的最小值为2,

所以圆半径为r=5—2=3,圆方程为(x-l)2+(y-l)2=9,

-33

直线OP方程为)，=丁=/

如图，作出圆C,直线OP与圆交于点AB,

作直线x-2y-4=0,劣弧A3位于直线x-2y-4=0的上方，因此点Q(x,y)在劣弧AB上运动时，

x-2y-4<0,所以|x-2y-4|+2x-3y-2=-x+2y+4+2x-3y-2=x-y+2,

作直线*7+2=0,在直线x-y+2=0上方，有x-y+2<0,在直线x-y+2=0下方，有x-y+2>0,

设直线x—丫+加=0与圆C相切，则吧芦1=3,加=±3及，在直线x—y+2=0上方取机=3式，即有

72

x-y+3&=0,

所以x-y+2=2-3应为最小值.

12.（2022•全国高三专题练习）已知直线x+y-A=0（k>0）与圆x2+/=4交于不同的两点4B,。为坐标原

点，且有|函+函邛网，则k的取值范围是（）

A.（右,+8）B.［垃,2近）

C.［x/2,+-）D.［上,2g）

【答案】B

【分析】

山题设，I次+而I为等腰回AOB底边中线长度的2倍，|通|为底边长度，而左是直线在数轴上的截距，山

已知条件并结合数形结合思想及圆的性质，求左的范围.

【解析】

y

，+"2=4

当廊+函呼同

时，。、A、B为等腰三角形的三个顶点且。4=。8,此时0408=120。，则圆心。到直

线x+y—k=0（k>0）的距离为1,则々=&；

当k>五时，|况+又直线与圆x?+y2=4存在两交点，故k<2立，

综上，k的取值范围为［及,20）.

故选：B.

13.（2021•全国高二课前预习）己知点P（x,y）是直线/：辰-y+4=0（%>0）上的动点，过点尸作圆C：

x2+/+2y=0的切线以，A为切点，若1小1最小为2时，圆M：/+y2r2=。与圆。外切，且与直线/相

切，则机的值为（）

A.-2B.245-2

C.4D.V6+2

【答案】B

【分析】

根据题意当CP与/垂直时，IPAI的值最小，进而可得&=2,再根据圆〃与圆C外切可得%>0,根据圆M

与直线/相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出.切的值.

【解析】

圆C的圆心为C（0，-l）,半径为1，

,|1+4|

当CP与/垂直时，IP*的值最小，此时点C到直线/的距离为“=:言,

由勾股定理得俨+22=（光能）2,又Q0,解得左=2,

圆M的圆心为Ml。,2），半径为l：l,

22

iTim

团圆A/与圆。外切，即丁1+1=1=一（一1）I,团相＞0,

22

.m..

团圆M与直线/相切，回加=一彳+,解得切=2石-2,

275

故选:B

14.（2021•黑龙江哈尔滨市,哈尔滨三中高二月考）已知点尸为圆（1-Ip+（y-2）2=1上动点，。为坐标原点,

则向量办在向量7=（2,1）方向上投影的最大值为（）

A.75B.逑+1C,如5.1D,延

555

【答案】B

【分析】

设向量:所在直线为。4（A为向量的终点），当点P位于与直线OA垂直且与圆相切的直线上时，投影取得

最值，进而求出最大值.

【解析】

如图所示，向量；所在直线为83为向量的终点），则心则设与直线。人垂直且与圆相切的直线为

l:y=-2x+t,所以圆心到直线的距离1=匕*=1=，=4±石，

根据图形可知，当7=4+6时投影最大，设此时/:》=一2工+4+不与直线OA交于B,

y=-2工+4+石

易得，直线。4y=jx,联立：，

1,解得:

+1，则向量而＞在向量（2,1）方向上投影的最大值为竽+1・

所以|0B|=

故选：B.

15.（2021•全国高二课时练习）如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1）,图

若圆C经过点4（2,15）,则圆C的半径为

C.872D.10

【答案】A

【分析】

题中的网格，相当于给出了点的坐标，由此可求出直线的方程、切点的坐标：要求圆的半径，可考虑求出

圆心坐标，这样圆心与点A之间的距离即是半径.

【解析】

由图可知，直线与圆C切于点（2,1）,即圆C经过点（2,1）,又圆C经过点（2,15）,所以圆C的圆心在直线y=8

又直线过点（0,3）,（3,0）,所以直线的斜率氏=汽=-1,

0—3

因为直线与圆C切于点（2,1）,所以圆心在直线y-l==（x-2）,即x-y-l=0上

-1

x_；二；10得圆C的圆心为（9,8），

联立

则圆C的半径为7（9-2）2+（8-1）2=7正.

【点睛】

本题考查直线与圆，考查数形结合的数学方法.

圆心的性质：圆心在弦的垂直平分线上；圆心与切点的连线与切线垂直（K?右-1）.

16.（2021•全国高二课时练习）太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太

极图如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图"，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色

阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线/：y=a（x-2）.给出以下命题：

①当。=0时，若直线/截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，S2（S|NS2）,则$:$2=3:1；

②当〃=时，直线/与黑色阴影区域有1个公共点；

③当。目0,1）时，直线/与黑色阴影区域有2个公共点.

其中所有正确命题的序号是（）.

七

-2

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

根据直线和圆的位置关系，逐项分析判断即可得解.

【解析】

2

图1图2图3

如图1所示，大圆的半径为2,小圆的半径为1,

所以大圆的面积为4兀，小圆的面积为兀.

对于①，当。=0时，直线/的方程为y=o.

此时直线/将黑色阴影区域的面积分为两部分,

兀37c7T71

3=兀4=,=7T=—,

122222

所以E：邑=3:1,故①正确.

对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为

x2+（y-l）2=l（x>0）

44

当”=时，直线/的方程为y=-]（x-2）,

即4x+3y-8=0,小圆圆心（0,1）到直线/的距离d==1，

所以直线/与该半圆弧相切，如图2所示，

所以直线,与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确.

对于③，当ae[0,l）时，如图3所示，

直线/:y=a（x-2）与黑色阴影区域的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故③错误.

综上所述，①②正确.

故选：A.

二、多选题

17.（2020•辽宁高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值

“几#1）的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）,点

\PA\1

「满足局=「•设点P的轨迹为C,则（）.

I?邙2

A.轨迹C的方程为（x+4>+y2=9

\PD\1

B.在x轴上存在异于A,B的两点。，E,使得=7

\PE\2

C.当A,B,P三点不共线时，射线尸。是44P3的角平分线

D.在C上存在点使得|图=2|加4|

【答案】BC

【分析】

根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.

【解析】

A：在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）,点P满足犒=g,

.、A/（X4-2）-4-y21

设P（x,y）,则…广=_3----=不,化简得x++8%=0,

■.4）2+/2

即（x+4『+y2=i6,所以A错误；

B：假设在x轴上存在异于A,8的两点O,E,使得黑=:，

\PE\2

设E（〃,o）,则J（x_“y+y2=2j（x_，〃/+y2,

化筒得+39-（8/n-2n）x-i-4/n2-n2=0,

山轨迹C的方程为x2+y2+8x=0,可得8m-2M=-24,4m2-n2=0,

解得m=-6,〃=一12或机=一2,n=4（舍去），所以B正确；

OA]\PA

C：当A,B,P三点不共线时，7^二;=而商，

UD2rD

可得射线P。是N4PB的角平分线，所以C正确；

D：若在C上存在点"，使得|MO|=2|M4|,可设"（x,y）,

则心2+尸=2戊*+2）2+/,化简得八八++与=0,

与丁+9+8》=0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误.

故选：BC.

18.（2020•江苏扬州市•高一期中）已知点P（cosasin，）（6eR）,直线/:x+阳-4=0,下列结论正确的是

（）

A./恒过定点（4,0）

B.|。"=1（。为坐标原点）

C.尸到直线/的距离有最小值，最小值为3

D.P到直线/的距离有最大值，最大值为5

【答案】ABD

【分析】

直接代点可判断A；利用两点之间距离公式可判断B；山点尸的轨迹与直线过定点，画出图形后可判断C、

D.即可得解.

【解析】

直线/:x+my-4=0,当y=0时，x=4,故A正确；

\0P\=>/cos26？+sin20=1,故B正确；

点尸的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为1的圆，直线过定点(4,0),位置如图:

由图可知，点尸到直线/的距离最小值为0,

当直线与*轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4,所以P到直线/的距离有最大值，最大值为5.

故C错误，D正确.

故选:ABD.

【点睛】

本题考查了直线过定点问题、两点之间距离公式的应用以及直线与圆的位置关系，考查了转化化归思想，

属于中档题.

19.(2021•全国高二单元测试)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于

同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作AABC,AB=AC=4,点

8(7,3),点C(4,-2),且其“欧拉线"与圆“：(》-3)2+产=，相切，则下列结论正确的是()

A.的“欧拉线"方程为y=x-l

B.圆加上点到直线x->+3=0的最大距离为3五

C.若点(x，y)在圆M上，则x+石)，的最小值是3-2夜

D.圆(x-a-l)2+(y-a)2=8与圆M有公共点，则。的取值范围是［1-2友,1+2夜］

【答案】ACD

【分析】

山A3=AC及题意可得三角形ABC的欧拉线为线段8c的中垂线，求出BC的中垂线方程判断A；山欧拉线

与圆M相切可得，圆心又到欧拉线的距离等于半径可得『的值，由圆上的点到直线的距离的最大值为圆心

到直线的距离加半径判断5；令，=x+Gy,得)'=号，代入圆的方程，由方程有根求出f的范围判断C；

由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得。的取值范围判断。.

解：•.-4?=AC,由题意可得三角形43c的欧拉线为8c的中垂线,

山仇一1,3),点C(4,-2)可得BC的中点为弓，!)，且即C=¥；=T，

22—1—4

13

••・线段BC的中垂线方程为：即x-y-l=O,故A正确;

22

•••三角形ABC的"欧拉线"与圆M:(x-3>+>'2=/相切，

圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离d=r=军=&,

V2

•••圆M的方程为：(》-3)2+丁=2,

圆心(3,0)到直线犬-y+3=0的距离d=史普=3后,

•••圆M上点到直线X-y+3=0的距离的最大值为d+r=3点+夜=4夜，故B错误；

I—x

令t=x+6y,；.y=,代入圆M的方程(x-3)2+y?=2,

可得4x2-(18-2r)x+产+21=0,由于(x,y)在圆上，.•.4/-(18+2f)x+产+21=0有根,

J1lj0=(18+2f)2-4x4x(?+21)..0,整理得:/_&+L,0,解得:3-2夜剌3+2近,

的最小值为3-2应，即x+6y的最小值为3-20，故C正确；

(x—a—1厂+(y—。)-=8园心坐标3+1,〃)，半径为2>/2，

圆M的(x-3)2+V=2的圆心坐标为(3,0),半径为近，

要使圆(x-a-l)2+(y-a)2=8与圆”有公共点,则圆心距e[242亚+业，即圆心距3扬,

'''级旷("+1-3)~+优,

a2-2a-10

即:aFa+J。,解得1一2伍女1+2&，故。正确.

故选：ACD.

20.(2021•江苏高二课时练习)已知尸为椭圆C：?+=l的左焦点，直线/：y="(kH0)与椭圆C交

于A,B两点,AELx轴，垂足为E,破与椭圆C的另一个交点为P,贝!!()

14L

A.府广麻|的最小值为2B.△ABE面积的最大值为0

C.直线8E的斜率为;kD.为钝角

【答案】BC

【分析】

A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+忸F|=4,再利用1的代换利用基本不等式可得最小值:，

A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值：

C项，由对称性，可设A（%%）,则3（-%,-%）,E（与,0）,则可得直线BE的斜率与k的关系；D项，先

h211

由A、8对称且与点P均在椭圆上,可得k-k=————，又由C项可知k=ABE=彳火，得kpA，^AB=—>

PAPBa'2PB2

即NR钻=90。，排除D项.

【解析】

对于A,设椭圆C的右焦点为尸，连接AT,BF',

则四边形AF'BF为平行四边形，

.-.|AF|+|fiF|=\AF\+\AF'\=2a=^,

•.•白+向=!修目+忸同）（赢+向,1（阚*硝、9

4〔卜日1MJ」4

当且仅当|明=2|AF|时等号成立,A错误;

2）

土+匕=1,旦±2

对于B,由一得户为才

y=kx

c11||।4网

「.△ABE的面积§=1以F=TT2F

同+2网

当且仅当A=±等时等号成立'B正确;

对于C,设4（为,%）,则3（-%,一%）,E（%,0）,

故直线BE的斜率&«=丝坦=；•&=C正确;

玉）十天）N演）Z

对于D,设P（，%〃），直线R4的斜率额为岫，直线PB的斜率为L，

则原八条依=

tn—xam+x<)m~—x；

2922

又点尸和点A在椭圆C上，.-W+3=1①，=1②,

①一②得当一^二一:，易知kpB=kBE=gk,

nr-x022

则%得”-'

：.ZPAB=90°,D错误.

椭圆常用结论：

已知椭圆±+4=13＞匕＞0），AB为椭圆经过原点的一条弦，P是椭圆上异于A、B的任意一点，若kpA，kp"

a~b~

都存在，则Zp八•即8=一」.

a~

力优选提升题

三、填空题

21.（2020•辽宁高二期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆0：（》-2）2+＞2=/任＞0）上存在点人且点尸关

于直线x-y=0的对称点。在圆C2:（x-2＞+（y-炉=4上，则，的取值范围是.

【答案】[石-2,石+2]

【分析】

根据题意，可得圆G关于直线x-y=。对称圆c”根据题意，可得圆C3与圆G有交点，根据两圆的位置关

系，即可求得答案.

【解析】

将题意等价为圆C1关于直线X-y=0对称圆G与圆J有交点，

由题意得,圆+。-2）2=产（「＞0）,圆心为（0,2）,半径为r,

又G：(x-2y+(y—1)2=4,圆心为(2』)，半径为2,

所以IGC3I=捏+㈠)2=也，

若两圆相交，则满足一2V|GG|Vr+2，

解得石-24"K+2.

所以厂的取值范围是[石-2,石+2].

故答案为：[石-2,石+2]

22.(2021•全国高二期中)如图，已知圆O:/+y2=16,4,8是圆。上两个动点，点尸(2,0),则矩形P4C8的

顶点C的轨迹方程是.

【答案】X2+/=28

【分析】

设点C(x,y),连接A氏PC交于可写出M的坐标，再在直角△OMB中，OMLMB,利用勾股定理列

方程可得x,y的关系式，即顶点C的轨迹方程.

【解析】

设点C(x,y),如图连接AB,PC交于M,

由矩形B4C8可知M为PC的中点，PM=MB

连接OB,OM,在直角△QWB中，OMVMB,则OB?=O河？+=OM?+用产

即16=(晋j+仁J+(学-2J+仁j,整理得/+r=28,

所以顶点C的轨迹方程是x2+y2=28

故答案为：x2+/=28

【点睛】

关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点C(x,y),然后再利用图像的几何关系找到

x,y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.

23.(2018•北京市陈经纶中学高二期中(理))已知圆/-2利+丫2=0与圆/+/=4交于A,B两点.。是

坐标原点，且NAO3N120。，则实数。的取值范围是.

【答案】(ro,-2]U[2,+«)

【分析】

由题意可知，若NAO3W120。，则却226,即。到直线AB的距离小于等于1.

【解析】

y

3-

团圆V-2ax+丁=0与圆/+丁=4交于人，B两点，

回直线AB：(x2-2ar+y2)-(x2+/)=-4,即ov=2

若NAOB2120。，Wi]|AB|>2>/3,即O到直线AB的距离小于等于1.

N的

团实数。的取值范围是(-8,-2]0[2,y)

故答案为(-8,-2卜[2,+8)

【点睛】

本题考查r两圆间的位置关系，解题关键是把两圆间的关系转化为直线与圆间的关系，进而转化为垂径定

理问题即可.

24.(2018•安庆市第七中学高二期中(理))在平面直角坐标系xOy中，若圆(x-2)?+(y-2)?=1上存在点

M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最小值为.

【答案】一三4

【解析】

•.•M在0一2)2+(了-2)2=1,可设/(2+cos6,2+sin。)，可得N(2+cos6,-2-sin。)，将N的坐标代入

fcr+y+3=0,可得sin6-kcos6=2/:+l,|2%+1区7^71,化为得北2+4440,-g4%40,/的最小值为-g,

4

故填一§•.

25.(2019•江西赣州•(文))圆G：/+)，2+4公+4。2-4=0和圆。2：/+/一2纱+/-1=0相内切，若a/eR,

则*+*的最小值为

且必w0,

【答案】9

【分析】

由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得/+从=],再利用"1"的代换，使用基

本不等式，可求解.

【解析】

由题意，根据两圆分别为x2+y~+4ax+4〃~-4=。和圆C2：/+）广-2by+h2—1=0,

圆心分别为(-200),(0,。)，半径分别为2和1,故有国寿=1，所以4〃2+〃=1,

所以*+AT+和4/+〃)=5+》今

>5+4=9,

当且仅当今=笄时'等号成立，所以:+，的最小值为9.

【点睛】

本题主要考查了两圆的位置关系，及利用基本不等式求最小值问题，其中解答中根据两圆的位置关系，根

据"1"的代换，利用基本不等式求最小值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

中档试题.

26.(2019•安徽阜阳市•)圆〃的方程为(x-2-5cos6)2+(y-5sine)2=l(ewR),圆C的方程为

(X-2)2+/=4,过圆M上任意一点尸作圆C的两条切线PE、PF,切点分别为E、F,则丽.丽的最小

值为.

【答案】6

【分析】

设NCP£=a,可得出NEPF=2a,利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出

PEPF=\PC\+舒72,利用圆的几何性质求得|无『的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得而.而

的最小值.

【解析】

设NCPE=a,则/EPF=2a,

PE

由切线长定理可得|厚卜|可，|而卜向I2+4,cosa=

PC

一味吟型一囤"画+46+而啊

圆心M的坐标为（2+5cos，,5sin，），则|祝卜J（2+5cos9一2『+（5sin6>）2=5,

由图可得|碇卜臼定目碇|+1,即41无上6,则16«|定『436,

由双勾函数的单调性可知，函数^=%+亍-12在区间［16,36］上单调递增，

所以，当附=16时，丽.而取得最小值16+*12=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题

27.（2018•义乌市义亭中学高二期中）如图，椭圆C：f+3y2=〃2

（2）若”=拓，M,N是椭圆C上两点，且|MN|=2g,求/XMON面积的最大值.

【答案】（1）—:（2）6

3

【分析】

（1）将椭圆方程化成标准方程，代入离心率公式计算即可；

（2）对直线的斜率讨论，设方程为，=丘+以联立方程组，根据弦长公式上,匕的关系，利用4>0得

出人的范围，求出O到直线MN的距离d的范围即可得出结论.

【解析】

x2y2

解：(1)由椭圆的标准方程：/+/=

T

m22a~2a~ini

0c2=a2---=---,HPc=—a»

333

回椭圆C的离心率e=£=直.

a3

r22

(2)a=卡时，椭圆方程为=+^^—=1,

62

显然直线MN的斜率存在.

①当々=0时.，把1=百代入椭圆方程得y=i,

回。到直线MN的距离为1,

回S^MON=5X26X1—6>

②当直线MN斜率不为零时，设直线MN的方程为丫=丘+%

y=kx+b

联立方程组//,得(1+3公产+6附x+3从-6=0,

--F--=1

62

回△=36虑2-40+3〃)(3从-6)>0,解得"<6公+2,

设〃a，x）,"（毛，必），则玉+々=-售工,不々=生言

-

1"•JK1I3K

36k汨12W-2)Jl+r.2jl8%2-322+6

回“凶=&+於=273,

(1+3公『1+3公1+3公

回>Jl+k2yl6k2